高数极限求法总结

高数极限求法总结（精选11篇）

高数极限求法总结 第1篇

总结求极限的常用方法，详细列举，至少4种

极限定义法 泰勒展开法。洛必达法则。

等价无穷小和等价无穷大。

极限的求法 1.直接代入法

适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为

例 1.求

极限分为 一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！必须是 函数的导数要存在！！！！必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况0比0 无穷比无穷 时候 直接用 0乘以无穷 无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式。）

高数极限求法总结 第2篇

1.1 利用极限的定义求极限

用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。

例：limfxA的ε-δ 定义是指：ε＞0，δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|xx0

＜δ|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放

大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：

｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ

1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1

从φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-x0 |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε.xx...xna.例：设limxna则有lim1

2nnn

xn-a于是当证明：因为limxna,对0，N1N1(),当nN1时，n2

xx...xnxx...xnna12a12 nN1nn

0

其中Ax1ax2axN1是一个定数,再由

解得n2AA，n2xx...xn2A ,故取NmaxN1,当nN12+=。n22

1.2 利用极限的四则运算性质求极限

定理[1]：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)当xx0xx0

xx0时也存在且

①limf(x)g(x)limf(x)limg(x)xx0xx0xx0

②limf(x)g(x)limf(x)limg(x)xx0xx0xx0

limf(x)f(x)f(x)xx

又若c0，则在xx0时也存在，且有lim.0

xx0g(x)g(x)limg(x)

xx0

利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，0

一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现， 等情况，都

0

不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。

31（）例：求lim x11x31x

解：由于当x1时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等3

1x1x

于和的极限”这一法则，先可进行化简

313(1xx2)(1x)(2x)(2x)

这样得到的新函数当=

1x31x1-x3(1x)(1xx2)(1xx2)

x1时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即

31(2x)lim（）=lim=1 x11x31xx1(1xx2)

1.3 利用函数的连续性求极限

定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义区间内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0

一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)是初等函数，x0是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把x0代入f(x)中计算出函数值，即

xx0

xx0

limf(x)=f(x0)。

对于连续函数的复合函数有这样的定理：若u(x)在x0连续且u0(x0)，yf(u)在u0处连续，则复合函数yf[(x)]在x0处也连续，从而

xxo

limfxfxo或limfxflimx。

xxo

xxo

lnsinx 例：lim

x

解：复合函数x=



在处是连续的，即有limlnsinx=lnsinln10

22x

1.4 利用无穷小的性质求极限

我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。

4x-7

例：求lim2

x1x3x2

解：当时x1，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒

4x-7x23x2

=。=0，故lim2数的极限lim

x1x1x3x24x-7

1.5 利用单调有界原理求极限

这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。

例：求

n解：令xn

xn1

n，即xn1xn，所

以数列x

n单调递增，由单调有界定理知，A，limxn1，即

A

n

n，所以

n1。2

1.6 利用夹逼准则求极限[3]

已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)；（2）limyna，limzna。

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxna。利用夹逼准则求极

n

n

n

n

限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得ynxnzn。

例：xn

...xn的极限

解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项

xn

...

xn

...



xnn

又因为n，则limxn1。

一元函数极限的求法和技巧 第3篇

一极限的定义

设函数f (x) 在点x0的左、右近旁有定义 (点x0可以除外) , 如果当xx0时, 函数f (x) 无限接近于一个确定的常数A, 那么A叫做函数f (x) 当xx0时的极限, 记作xlimx0f (x) =A或f (x) A (xx0) 。

二运用极限的运算法则求极限

定理1:已知xlimx0f (x) =A, xlimx0g (x) =B, 则有下列法则: (1) xlimx0[f (x) ±g (x) ]=A±B; (2) xlimx0f (x) g (x) =AB; (3) (此时需B≠0成立) 。

三极限的求法和技巧

1. 约去零因子求极限

解:因为lxim3 (x-) 3=0, 所以不能直接应用法则3, 因而在分式中可约去非零公因子。即:

2. 分子分母同除以最高次幂

3. 应用两个重要极限求极限

4. 用等价无穷小量代换求极限

5. 用罗必塔法则求极限

注:型的极限, 可通过罗必塔法则来求。许多变动上限积分表示的极限, 常用罗必塔法则求解。

例6:求极限xlim0+2x l nx。

6. 用泰勒展开式求极限

四结束语

在近代数学中, 极限思想贯穿于微积分学的始终, 是一种重要的数学思想, 更准确地说微积分学的所有定义和概念都离不开极限。本文主要介绍了有关极限的概念及性质, 通过例题对有关一元函数的极限求解问题进行了分类总结。我们发现计算极限的方法多种多样, 并且技巧性都很强。因此, 本文通过例题讲解以帮助学生更深刻地了解极限的概念并熟练掌握求极限的方法。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001

谈高数情怀之极限 第4篇

【关键词】高数情怀；极限；无限接近

谈到高数情怀，这是一种什么情怀，也许是高数里那些智慧结晶的一种赞叹，也许是对数学家用生命研究数学的一种感恩，也许是高数渗透的那些经典的哲理的一种吸引，也许是高数让我们看到生活真谛的一种沉静.不知道你们也有我这样的情怀吗？在过去教学一度时间中，我总是在问自己，老师到底在高数课堂上要教学生什么，我一直在寻找答案，每次上完课都总感觉不尽兴，总感觉学生不应该这么学习高数。就在一次备课“极限”内容，突然让我找到了答案，我为什么不把我这种高数情怀也让学生知道呢？我为什么不把这种高数情怀贯穿到我的课堂上呢？从现在开始我就要在我高数课堂上的谈高数情怀，从极限开始。

一、极限的争议

例1：阿基米德追乌龟。

这是由古希腊哲人芝诺提出的一个经典悖论。假设乌龟在阿基米德前面100米的地方，乌龟的速度1米/s，阿基米德的速度是10米/s，阿基米德跑完100米的时候，乌龟又跑了10米，阿基米德再跑那10米，乌龟又跑了1米，阿基米德跑完1米，该死的乌龟又跑了0.1米……按这个推理，好像阿基米德永远也追不上乌龟，乌龟始终都领先阿基米德一点点。这个问题大家普遍是这么回答的，因为乌龟跑10米要10s，跑1米要1s，0.1米是0.1s，0.01米是0.01s……这样把时间加起来10+1+0.1+0.01+0.001+……这样一直加下去是一个无限的数列，但是这个数列的值是可以求出来，等比数列求和即 s，时间在 s的时候阿基米德就追上了乌龟。但是人们又开始疑惑另一个问题，极限的概念告诉我们：极限是无限的接近但是不到达，就算加起来是确定的时间值，但是按极限概念确是达不到啊，还是没追上不是？于是就又出来类似问题，例如例2的问题。

例2：。

0.9到底和1相等吗？按照极限的概念，0.9应该是无限接近，但是没有达到，所以不等于1.但是还是有一些人不死心，一直在追究0.9到底等不等于1，如果不相等，那例1中的阿基米德不就永远追不上乌龟了吗？

二、极限的“坚持”

针对以上的两个例子，让我反思的不是例子的答案是什么？而是为什么极限的学习总有一些人在思考类似的这些问题。思考过后，这些问题就算有了答案，你得到了什么呢？你是一个学生？还是老师？你是数学业余爱好者，还是专业数学家？即使你是专业数学家，这样的问题更没有意义，何况前三种人。为什么没有意义，简单的说，极限定义就是“无限接近”注意是“无限”接近，至于达到没达到，我可以说这不归极限管。极限就是用来解决无限接近的。你们有那么多精力放在不归极限管的领域里面，怎么不用心来感受下极限真正的价值所在。“极限”的定义能把“无限接近”这么浅显易懂，但是你用汉语又解释不清的一个概念用纯粹的数学符号翻译成如此严密思维和逻辑。“ε-N”定义，“ε-X”定义，“ε-δ”定义，如此惊叹的数学语言的翻译，难道这不应该赞叹一下吗？赞叹“极限”这种非凡的能力——“无限接近”，它不仅可以看到你用肉眼看不到的地方——“领域”，它还可以一直坚持做一件永远做不完的事情，这是何等的超能力，这是多么的值得学习的地方。接下来我们来看例3。

例3：这个数列的极限是两个重要的极限之一，利用准则Ⅱ单调有界数列必收敛已经证明了这个极限值一定存在，那这个值是多少？很多学生认为当 n→∞的时候， ， 所以1∞=1，所以，显然这个答案是错的，应该是e。你可以把n=1.n=2，n=3，……n=16，……带入此式计算出Xn，观察下Xn无限接近e，所以这个极限的正确答案应该是，这个极限告诉我们什么：首先你看这个，答案就是1，这两个极限的区别是什么？我这个时候再来解释下，如果你起点开始拥有的资本是1，如果你每天做一点点点点（+ ），次方100意思就是做了100天，结果你的资本还是1，但是如果你做了n→∞天，那你的资本就变成了e≈2.7… 翻了2倍多，这是多么惊叹！原因其实就是n→∞，这时候n其实不在叫n，而应该叫“坚持”，而又是谁让你看到这坚持以后带来的巨大改变，它就是“极限”，这就是极限的意义，这就是我从高数里感受的情怀，坚持是多么的厉害！ 于是趁热打铁赶紧问等于多少，也就是你每天少做一点点点点，结果，你原来1资本变成了 这个损失何其大啊！这不正是人生真谛吗？——贵在坚持！

所以无论是你前面四种的哪一种人，甚至就是一个普通老百姓或妈妈奶奶级别的人，这才是我们要学习和值得去花时间思考和感叹的问题，这也正是我们学生急需从高数课堂里面获得的知识。

三、极限的精神

可能有人要反问我，极限如此厉害，如此有意义，为什么例1和例2解释不了，那么极限的定义都是错的，就别谈它的价值所在了，其实前两问的一个根本原因是n→∞，在实际操作和生活当中∞有吗，或者我反问你，你可以把一个线段给我切成无穷多个点吗？你确定你切完了吗？你真的可以把一把1米的尺子不停的取二分之一吗？你真的可以在阿基米德追乌龟的路上找到∞多个点吗？事实上没有办到！这个时候极限该笑了，你连n→∞都不能给我，你还要我帮你去无限接近，这不是可笑之极！所以我要说的是例1悖论的推翻理由根本就不需要极限登场，哪来的无穷项相加？而同样例二也需要无穷多的9，你有本事给我无穷个9先！再者，你要0.99循环等于1干什么？0.99999999999999999999999的精确度就足够让火箭飞天了。这个时候又会有人反问我那极限的产生就更没意义了？没有意义吗？你难道还没有感受到例3极限的那份坚持？你难道还没没感受到0.9那种永不停息，一直努力地在往自己小数点后面加9的那份执着？你难道不应该感叹极限一直在不停的“无限接近”的这种精神吗？这其实就是“经典数学”。“经典数学”是不用迎合“应用数学”，它不仅可以解释物理现象，它更胜于超越生活的领域。这就是我们学习极限的价值和感受高数情怀的地方！

高数情怀不仅可以在极限体会，它的所有概念，你都应该试着去找找那份情怀的存在，所以我的高数课堂的情怀之路漫漫而道远！希望我能带着越来越多的学生一起走上这条路！

参考文献：

极限连续-高数竞赛超好 第5篇

第一讲 函数、极限、连续

例1.例2.例3.例4.例5.例6.例7.例8.例9.lim1nn(1n2nn).lim135(2n1)246(2n)n

limx0x35x，其中[]为取整函数

lim1cosxx2x0

lim(cosnn)n2

lim(xxaxa)2x1e，求常数a.lim(sinx2xcos1x)x

lim[(nnn32n21)en1n]

6limln(13x)(e2x3x01)sinx2 例10.例11.例12.lim1tanx1sinx2x0xln(1x)x

limln(12)ln(1xx3x)

limsinxxcosxsinx3x0

例13.已知f(x)在x0的某邻域内有连续导数，且lim(sin2xx0f(x)xx)2，求 f(0),f(0).例14.例15.例16.lim(nnn12nn222nnn22)

2nsinsinsinnnnlimn11n1nn2n

xlim[xx1(axb)]0，求常数a,b.2例17.设f(x)nlim

x2n1axbxx2n21为连续函数，求a,b.例18.设f(x)在(,)上连续，且f(f(x))x，证明至少，使得f().....................................................................................................................极 限

例1.例2.nlim(n1nn122nn22nnnn2)

limnk1knk122

先两边夹，再用定积分定义 例3.例4.例5.设limx0 例6.例7.1x2lim(n1)nnn1nsin1n

limee2xsinx2x0x[ln(1xx)ln(1xx)]

ln(1)f(x)tanx5，求limx2x021xf(x).12(3sinttcos)dt0tlimxx0(1cosx)ln(1t)dtx0

xlimln(2e2xx1)xxsinx1

例8.例9.limexx0100

xlim(xxxx)

1例10.xxxlima1a2anx，其中，ax0.n1,a2,an均为正数

例11.已知2nf(x)limxe(1x)nxene(1x)nx2n1，求0f(x)dx.例12.设10ab，求limanbnnn

例13.设f(x)在(,)内可导，且limf(x)ex，xlim的值.xclim[f(x)f(x1)]，求cxxcx

例14.设f(x)在x0的某邻域内二阶可导，且f(0)0，x又已知)dtlim0f(tx0xsinx0,求,.例15.当x1时，lim(1x)(1x2)(1x4)n(1x2)n

例16.当x0时，求limxncosx2cosx4cos2n

例17.lim(11(11n22)(1132)n2)

例18.lim1nnnn(n1)(2n1)

limf(x)x0x0，连 续

例1.求f(x)lim

例2.设g(x)在x0的某邻域内连续，且lim1g(x2t)dt102x1f(x)2abcosx2xx0x0x01x1x2n的间断点，并判断其类型

ng(x)1xn0a，已知

在x0处连续，求a,b的值.例3.证方程ln实根.例4.f(x)在[a,b]上连续，且acdb，证：在(a,b)内至少存在xxe01cos2xdx在区间(0,)内有且仅有两个不同，使得pf(c)qf(d)(pq)f()，其中p,q为任意正常数.例5.设f(x)在(a,b)内连续，且x1,x2,,xn(a,b)，试证：(a,b)，使

例6.试证方程xasin且它不超过ba.例7.设f(x),g(x)在(,)上连续，且g(x)0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点[a,b]，使abf()1n[f(x1)f(x2)f(xn)].xb，其中a0,b0，至少存在一个正根，并

f(x)g(x)dxf()g(x)dx

高数复习方案(函数和极限) 第6篇

函数与极限

1.集合：具有某种特性定性质的事物的总体成为集合组成集合的事物叫做元素设元素为a集合为M那么aM

交集，子集，属于，不属于 包含于，并集，空集

2.设X，y是两个变量，D是数集，按照一定的对应关系，总有唯一的y和x相对应，则说

y是x的函数，记做y=f（x），y是因变量，x是自变量。（简单一点说：x在一个对应法则的机器搅和搅和就出来一个y）

F（D）为值域xD是定义域

函数的三要素：定义域 值域 对应法则

注意： 强烈建议只要写函数就写定义域

eg：求下列函数的自然定义域

(1)yarcsin(2)ytan

(3)y（x3）（x+1）

3.函数的特性

（1）单调性：增函数和 减函数

如果对于arctan1 xI 上任意两点x1及x2，当

x1x2时，恒有f（x1）f（x2）成立，则称在I上f（x）是增函数，反之则是减函数注意：增减性在解间断点时候有重要性（下文解释）

eg：设f（x）为定义在（-a，a）内的奇函数，若f（x）在（o，a）上单点增加，证明f（x）在（-a，0）上也单点增加

（2）有界性： xD, M0,f(x)M,则称f（x）为有界函数

f(x)M, xD, M0,则函数在D上面有界

注意：上界大于等上界下界小于等于最小值千万不要搞错了

（3）奇偶性：奇函数特性

注意：奇偶性的定义与一定是对称的不对称就没有这个性质而言

（4）周期性：正弦余弦就是明显的特点f（x+T）=f（x）

注意：如果一个函数关于两个直线对称，那么两个直线之间的距离是函

数周期大小的一半。

4.反函数和复合函数：反函数的定义域和值域和原函数相反但是奇和

偶函数的反函数奇偶性质不变。复合函数的定于与要明确，增减为减增增 减减为增

5.数列的极限：如果给定的数列{}，当变量n趋近于无穷大时，数列

趋近于一个常数a，则称a是数列的极限当然如果a不存在，说明这个函数是发散的注意：课本P34 例题5 有证明函数极限，这个很重要

Eg

：证明：当x00时，limxx06.极限的性质：（1）唯一性，如果这个a存在，那么一定是唯一的假设不存在，那么不就和定义说函数是发散的吗

（2）有界性：若limf（x）a存在，则函数f（x）有界x

（3）保号性：若limxna（a0或a0），则N，当nN时，xn（00），n

反之，若xn（00），则limxn（00）n

7.n数列的存在准则：（1）夹逼准则（2）单调有界函数必有界 eg：证明limn（8.（1）（2）111.......)=1n2n22n2n我主要讲讲极限的一些重要求的方法： 1xsinx）eli（有兴趣可以证明）1 xx0xx7个重要的等价无穷小且都x0（1两个重要极限lim

（1x1（1）1

n1x（2）tanxx（3）arctanxx n

1-cosx（4）arcsinxx（5）

（3）

（4）12（1x）x x（6）ex1x（7）ln2两个准则：夹逼 还有单调有界

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小量的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小常数与无穷小的乘积仍是无穷小利用极限的四则运算和指数预算 利用泰勒公式 洛比达法则 利用导数极限求极限 函数的性质求因为数列是特殊的函数

注意：这里就有一些小方法了，有换元等价代换拆项求和三角的和差化积 数列求和的公式…

（10）间断点和连续性

间断点：除去不成立的点，一般都是间断点

连续性：区间上每一点都连续的函数，就是在该区间连续，一定是不间断的注意：可导的函数一定连续连续的函数不一定可导

闭区间上连续函数一定有界

第一类间断点：可去和跳跃间断点

eg：yx（x1）且x=1 y=0.5可去间断点

第二类间断点：无穷间断点和震荡间断点

y=tanxx=1为无穷间断点y=sinx=0为振荡间断点 2x

（11）渐近线：当变量无穷大时利用函数求极限一般都有a值（水平渐近线）

还有一些点怎么看这些点呢，一般都是间断点的地方有渐近（铅直渐近线）0这点很重要

还有一个斜渐近线说明图像到达一个点变化的斜率很小这样的话 一般是图像上面有部分是直线

eg求e的渐近线



xo1xcos)x课后练习求下列极限（1）limx（2）lim(sinx2x1x

3x)（3）lim(1x02sin(x)

考研 高数函数极限连续复习内容 第7篇

第一点函数。函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，这里主要是以复习的形式来回顾一下，但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算，要认真理解，因为函数的有界性是新知识，并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系，所以请同学们认真理解。

第二点极限。说起极限，大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种，我们来复习一下：

1)四则运算。在这里要强调一点：什么时候运用四则运算，四则运算要求每个极限都存在，才能有两个函数的极限等于分别求极限之和，否则不能应用四则运算。

2)等价无穷小替换。等价无穷小替换公式可以将极限的计算化简，使得我们更快的求解结果，但这要注意几个问题，第一，什么情况下可以应用等价无穷小替换公式，并不是任何情况下都可以等价替换的.，只有在乘法和除法时可以应用的，这一点请同学们注意，有很多同学不记得这一点，上来就替换，最后算错了。第二，牢记等价无穷小替换公式，掌握它的广义化形式，不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。

3)洛必达法则。说起这个法则，大家应该都很熟悉，没事“导”两下，但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法则的，它是有条件的，三条，你还记得么?另外，洛必达法则并不是上来一个极限就用的，一般情况下是先利用等价无穷替换公式和四则运算等将极限表达式化简，最后再用洛必达法则，前提要验证是不是满足洛必达法则的三个条件，只要是想利用，就必须验证条件，而且这三个条件在历年考研真题中也考察过，请同学们注意。

4)重要极限。重要极限两个公式要牢记，也要掌握它们的广义化形式，灵活应用，会计算幂指函数极限的计算处理方法。

5)单侧极限。单侧极限这里要求在什么情况下要分侧求极限，比如分段函数，指数函数，反正切函数等这都是要分测计算极限的。

6)夹逼准则。一阶复习只需要掌握夹逼准则的内容，会简单的应用。

高数复习笔记之极限与函数 第8篇

2，如何判断微积分的有界性

3，极限定义做了解，性质：唯一性、保号性、四则运算，若一个极限存在另一个不存在则相加减的极限必不存在、乘除的极限可能存在也可能不存在；若两个极限都不存在那么加减乘除的极限可能存在也可能不存在。举反例：（参考书籍：数学分析中的反例）；相除时，分母为0分子不为0则极限为无穷大，若分子分母全为0，极限怎么算？

4，极限的复合运算：若此函数连续则函数符号跟极限符号可以调换位置。

极限存在准则：单调有界数列必有极限；夹逼定理

两类重要极限：书上找

5：无穷大量与无穷小量（即把任何函数的极限为A的问题转化为极限为零的问题）

无穷小量的比较（视频001 2第16分钟）：高阶l=0（两个趋近于0的速度前者比后者快）、同阶l不=0（两者趋近于0的速度一样快）、等价l=1（五个等价无穷小的特例：把指数、三角、对数函数转化为求解简单的幂函数）

高数极限与函数等价代换公式 第9篇

1cosx~12x~secx1 2ax1~xlnaex1~x

a（1Bx）1~aBx

浅谈数列极限的求法 第10篇

龙门中小李海东

摘要：本文主要介绍了数列极限的几种求法，并通过一个例题说明利用函数极限的求法，帮助寻找数列极限的方法，帮助学生理解和掌握求极限的方法。

关键词：数列极限方（求）法说明

引言：在初等代数，高等代数学习过程中发现或多或少都涉及到数列极限的有关内容，在数学分析中数列极限是极其重要的章节，数列极限是学习函数极限的基础和铺垫，数列极限的求法和函数极限求法在某种程度上是彼此相似的，所以可以对照学习，也可以用一种求极限的方法，求出另外一种极限，给解答习题带来一定的灵活性。方法也是比较灵活的。下面就数列极限的求法略作浅谈，且举例说明。

一 利用单调有界准则求极限

预备知识：若数列an收敛，则an为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n，有 anM.此方法的解题程序为：

1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an单调有界；

2、设an的极限存在，记为limanA代入给定的表达式中，则该式变为A的代数方n

程，解之即得该数列的极限。

举例说明：

例：若序列an的项满足a1a(a0)且an11aan,(n1,2,),试证2an

an有极限并求此极限。

解由a1a

21a1a12a2a1aa1aa22aa2a111

用数学归纳法证明aka需注意

22a2aka1a1akaka.ak2ak2akak

又anan12a1aana0 n2an2an

an为单调减函数且有下界。

令其极限为A 由 an1

1a

an有： 2an

1a

an2an

liman1

n

即A

1a

A 2A

AaA

a(A0)

n

从而liman

a.二 利用数列极限的定义求数列的极限

大家知道，数列极限的定义是这样的：设an为数列，a为定数，若对任给的正数，总存在正整数N，使得当nN时，有ana，则称数列收敛于a，定数a称为数列

anan的极限，记作：limn

a，当数列不单调时，我们就用此定义来求极限，其步骤：

1、先根据数列极限的唯一性求出极限；

2、再去证明极限的存在性。举例说明：

例：设x12, xn12解1.令limxnt

n

(n1)求:：limxn.nxn

则limxn1lim2

n

n



xn

 

即t2t12xn2

t2 t12(t12舍去)

1t

2.证明其极限的存在性对0xnt(2)(2)xn1t

xn1txn2t1xn1t ttxn1442



24n1

(当n足够大)



1xn1



x144n1

由极限的下定义可得：limxnt0

n

limxnt1

n

2.三 利用数列夹逼准则求数列极限

回顾一下：设收敛数列an数列{cn}满足：存在正数N0，当nN0，bn都以a为极限，时，有：ancnbn.则数列{cn}收敛，且limcna.n

此方法一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项，从而达到求极限的目的。

举例说明：

11

例：求 lim12.n

nn

111n1

解由11212

nnnn

n1n11

1112 (n1)(n1)n1n1

n

n

n

n

nnn

1

显然 lim1e

n

n

nn1

111lim11并且 lim1e nn

n1n1n1

n

11

lim12e.n

nn

四 利用重要公式求极限或转化为函数的极限

此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。

举例说明：

n

n1

n11

例：求 limsin.n

nnn

n1

n11

解limsin

n

nnn

=lim

n1

nn

n1

sin1

nsin1n1n

=lim1

n

1n

n1

=lim1=e11=e

n



111nn1

n

n

sin

例：求极限lim

sinx

xasina

xa

1xa

.解lim

sinx

xasina

xa



1xa

=lim1

sinxsina

sina

1sinacosa

xacosasina

xaxa2cossin=lim1xasina

xa2cosasin

=lim1xasina

sina

cosa(xa)



cosasina

sina

cosa(xa)xa2cosasin=lim1xasina

ctga

=e

ctga

sin



xaxa

~ 22

五 利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限

此方法把数列极限化成函数形式的极限，而后回代，从而求出数列极限的一种方法。

举例说明：

abc

.例：若 a,b,c0,求limn3

解先考虑：

1

axbxcx

ln

3

n



xln

x

1

axbxcx

3 

1

axbxcx

而limxln

x3

 

1xxxlnabcln3=lim

x1

x

2axlna2bxlnb2cxlnc=lim

x

12x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alnablnbclnc

abc

1x

1x

1x

x

=lnabc

c

 limn3

n

1

axbxcx

=lim

n3

 

n

=lime

n

111axbxcxxln



=e

lnabc

3

=e

lnabc3

=abc

通过上面简单的对求数列极限的一般方法加以归纳，并举例说明，就可以在我们大脑中造成深刻的印象，更好地掌握函数和数列极限的求法。但数列极限的求法并不限于这几种方法，或许还有很多种，希望大家在学习过程中善于归纳总结求数列极限的方法，以便我们共勉。

参考文献：

[1]程其襄.数学分析第三版[M].高等教育出版社，1981（4）[2]谢惠民.数学分析习题课讲义[M].高等教育出版社，2003（7）

高数极限求法总结 第11篇

1.f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)g(a),f(b)g(b),证明：(1)(a,b),使f()g()

(2)(a,b),使f()g()证明：设f(x),g(x)分别在xc,xd处取得最大值M，不妨设cd(此时acdb)，作辅助函数F(x)f(x)g(x),往证(a,b),使F()0

令F(x)f(x)g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)F(b)0，① 当cd，由于 F(c)f(c)g(c)Mg(c)0F(d)f(d)g(d)f(d)M0由“闭.连.”零点定理，[c,d](a,b),使f()g()② 当cd，由于F(c)f(c)g(c)f(c)g(d)MM0即(a,b),使f()g()

对F(x)分别在[a,],[,b]上用罗尔定理，1(a,),2(,b)，使

在[1,2]上对F(x)在用罗尔定理，F(1)F(2)0，(1,2)(a,b)，使F()0，(a,b),使f()g().2.设数列{xn}满足0x1,xn1sinxn,n1,2,

xn存在，并求该极限(1)证明limn

xn1x1n(2)计算lim()nxn

分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可

1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn

解：易得0xn1(n2,3,)，所以xn1sinxnxn,n(2,3,)，即{xn}为

xn存在，并记为limxna,则a[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim nn

对等式xn1sinxnxn,两边令n取极限，得asina,a[0,1]，所以

a0,即limxn0.n

lim((2)n



xn1sinxn)lim()

nxnxn

2xn

2xn

令txn

lim（t0

sint)et0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t0

t

ln(sin)ttsint

ln[1(sin1)]1-1t2sintt洛cost11tt2

limlimlimlimlim t0t0t0t0t03t2t2t2t33t26

xn1xn1

所以lim()e.nxn

3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)0,f(1)1，证明：(1)(0,1),使f()1，(2)存在两个不同点,(0,1),使f()f()1

证：(1)令F(x)f(x)x1，则F(x)在[0,1]上连续，且

F(0)10,F(1)10，由“闭.连.”零点定理，(0,1),使F()0,即f()1

(2)f(x)在[0,],[,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以

(0,),(,1)，使

f()f(0)f()(0),f(1)f()f()(1)，即

f()f()

f()





1



1f()1(1)

111

f()f()

1







1

1

4.设方程xnnx10，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正



实根xn，并证明当1时，级数xn收敛.n1

证：令f(x)xnnx1,则f(x)在(0,)上连续，且

f(0)10,f()()n0

nn

所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f(x)n(xn11)0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.

由上述知，对n1,2,，有0xn,有0xn



1n

1n1n

1n

1n1，n

此外，由1知，级数

收敛，所以由正项级数比较审敛法，知

n1n

x收敛.nn1



5.求lim(cosx)

x0

1ln(1x)

x0ln(1x)

解：lim(cosx)

x0

1ln(1x)

=e

lim

lncosx，其中limln(1x

x0

lncosx)

lim

x0

ln[1(cosx1)]ln(1x)

lim

x0

x22x



(cosx)所以，limx0

ln(1x)

e



6.f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)0,f(0)0,若

af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）

0lim

af(h)bf(2h)f(0)af(h)af(0)af(0)bf(2h)bf(0)bf(0)f(0)

lim

h0h0hhaf(h)af(0)bf(2h)bf(0)[(ab)1]f(0)[(ab)1]f(0)limlimlim(ab)f(0)limh0h0h0h0hhhh

ab1

由f(0)0,f(0)0,得,即a2,b1

a2b0

解2：按解1，只要假定f(x)在x0处可导即可，但在题中“f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim

h0

h0

af(h)bf(2h)f(0)

0得 limaf(h)bf(2h)f(0)=0

h0h

即0limaf(h)bf(2h)f(0)(ab1)f(0)，由f(0)0,得ab1（1）

af(h)bf(2h)f(0)洛

limaf(h)2bf(2h)(a2b)f(0)且f(0)0,又由0lim

h0h0h

所以 a2b0（2）

由（1）、（2）得a2,b1.2esinx

.7.求lim4x0x1e

解：

2eesinx2esinx

1 limlim44x0x0xx1ee12esinx2esinx

1 limlim44x0xx01ex1e

所以 原式 = 1

8.求lim

x0

143

xx2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

xx2[1

1111

xx2o(x2)][1xx2o(x2)]22828(x0)

x2o(x2)~x2

所以

1x2

xx21limlimx0x0x2x24

解2：（洛必达法则）



xx2洛必达limlimx0x0x22x1xx1

limlim x0xx4x0x