不等式的证明二范文

不等式的证明二范文第1篇

步骤一：首先把不等式转化关于某变量x的函数，并且求出x的定义域。 步骤二：证明该变量x的函数在其定义域的单调关系。

步骤三：由步骤二可得出该不等式的极小值或极大值，进而求出最小值或最大值。

步骤四：利用最小值或最大值证该不等式是正确。

②利用求等比数列和的方法证明不等式成立。

③利用列式分解法来证明不等式成立(经常用于数列不等式)。

Ⅰ利用分子分母的列式分解法分解。类型应是分子是常数，分母是可由两个因子式的二元一次方程并且该两个因子式相减可得一个常数。通常类型如下：c/a(x+b1)(x+b2) = c/a * 1/(b2-b1) * [1/(x+b1) - 1/(x+b2)] Ⅱ利用根号和列式分解法来证明不等式的成立。

Ⅲ利用对数的性质来进行因式分解。例如ln[n/(n+1)] = ln(n)-ln(n+1); ④利用假说演绎法来证明不等式的成立。

步骤如下(假设有5分，一般都可拿3分)：

步骤一：假设该不等式成立。

步骤二：当n = 1 时，该不等式成立。(1分或2分)

步骤三：当n = k+1 时，把他代入左边的参数，再跟与 n = k的不

等式转换。从而验证当n = k+1 时，该不等式也成立。(3分或4分)

步骤四：综上所述，该不等式成立。(0分或1分)

⑤利用放缩法来证明不等式成立。下面有几种常见的关于放缩法的几种类型。 Ⅰ利用已有的列式分解法的知识进行放缩。

Ⅱ利用上述已知的条件进行放缩。

不等式的证明二范文第2篇

§14不等式的证明

课后练习

1.选择题

(1)方程x-y=105的正整数解有().(A)一组 (B)二组(C)三组(D)四组

(2)在0,1,2,，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有().

(A)3个 (B)4个(C)5个(D)6个

2.填空题

(1)的个位数分别为_________及_________.

45422(2)满足不

________. 等式10≢A≢10的整数A的个数是x10+1，则x的值

(3)已知整数y被7除余数为5,那么y被7除时余数为________.

(4)求出任何一组满足方程x-51y=1的自然数解x和y_________.

3.求三个正整数x、y、z满足

22

3.4.在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组?

5.求的整数解.

6.求证可被37整除.

7.求满足条件的整数x，y的所有可能的值.

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8.已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2(l+m+n)是完全平方数.

9.如果p、q、、都是整数，并且p>1，q>1，试求p+q的值. 课后练习答案

1.D.C.2.(1)9及1.

(2)9.

(3)4.

(4)原方程可变形为x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50. 2

23.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z都不能是整数.

4.可仿例2解.

5. 分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法. ..

略解：ab2ab,同理bc2bc,ca2ca;三式相加再除以2即得证. 评述：(1)利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧. 如x1222232

2x2x22x3xn2x1x1x2xn，可在不等式两边同时加上

x2x3xnx1.再如证(a1)(b1)(ac)(bc)256abc(a,b,c0)时，可连续使用基本不3322

3等式.

(2)基本不等式有各种变式如(ab

2)2ab

222等.但其本质特征不等式两边的次

数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.

6.8888≡8(mod37),∴8888

33332222≡8(mod37). 222227777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888

238+7=407,37|407,∴37|N.

223+77773333≡(8+7)(mod37),而237.简解:原方程变形为3x-(3y+7)x+3y-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0

及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).

8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m>n-m>0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方数. 2222

29.易知p≠q,不妨设p>q.令

(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.

不等式的证明二范文第3篇

导数及其应用

构造函数法证明不等式

一、教学目标：

1.知识与技能：利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性和最值来证明不等式. 2.过程与方法：引导学生钻研教材，归纳求导的四则运算法则的应用，通过类比，化归思想转换命题，抓住条件与结论的结构形式，合理构造函数. 3.情感与态度：通过这部分内容的学习，培养学生的分析能力(归纳与类比)与推理能力(证明)，培养学生战胜困难的决心和解题信心。

二、教学重难点：解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。难点：将命题的结论进行转化与化归，变成熟悉的题型。

三、教法学法：变式训练

四、教学过程：

(一)引入课题：

1.复习导数的运算法则：

2.问题探源：

(教材第32页B组题第1题)

利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证

(3)ex1x(x0)(4)lnxx1(x0)

3.问题探究：

1、直观感知(几何画板演示);(2)推理论证 4高考探究：

例

1、(2013年北京高考)设L为曲线C：ylnx在点(1，0)处的切线. x(I)求L的方程;

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.

(类似还有2011年课标全国卷第21题)

1 选修2-2

导数及其应用

变式练习1：

证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)11n111n 都成立

(类似还有2012年湖北高考题第22题)

变式练习2：

若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf/(x)f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：.af(a)>bf(b)

变式练习3：

若定义在(0,)上的两函数yf(x),yg(x)均可导，满足f/(x)g(x)f(x)g/(x)，且对任意x(0,+)，都有f(x)0,(g)x0

变式练习4：

证明当x0时，不等式(1x)

思考题5.(全国卷)已知函数g(x)xlnx 设0ab,证明 ：

五.小结： (1)知识点： (2)解题步骤： (3)数学思想方法

11x，设0ab，求证f(a)g(b)f(b)g(a)

e

g(a)g(b)abg()

222 选修2-2

导数及其应用

课后巩固训练：

1、已知函数f(x)12xlnx. 求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数2g(x)

23x的图象的下方;

32、证明：对任意的正整数n，不等式ln(

3. 证明当x0时,(1x)

课后提高训练：

11x1111)23 都成立. nnne1x2

1. 已知m、n都是正整数，且1mn,证明：(1m)n(1n)m

2.(2013年陕西高考最后一题) 已知函数f(x)ex,xR. f(b)f(a)ab设ab, 比较f的大小, 并说明理由. 与

不等式的证明二范文第4篇

1.实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2.最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>a

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3.常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)

|f(x)|<|g(x)|

4.三角形不等式:

||a|-|b|||a±b||a|+|b|。

例题选讲:

例1.解不等式 |x2+4x-1|<4.............①

解:① -4g(x); f2(x)

-a

-5

即原不等式的解集是(-5，-3)∪(-1，1)。

例2.解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①

即原不等式的解集(-∞，1)∪(3，+∞)。

例3.解不等式|

|1...........① -33

x<1或x>3。 x2-3<-2x或x2-3>2x

x2+2x-3<0或x2-2x-3>0

解: ①

(2)

(3) (x+4)(3x+2)0,x≠1。

]。

-4x-|2x+3|2|x-1|2

(2x+3)2-(x-1)20

(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)0

。

∴原不等式的解集为[-4，-

例4.解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①

分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把(-∞，+∞)分成了三个区间;(-∞，-1)，

[-1，2]，(2，+∞)。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。

解:将不等式①化为三个不等式组

(I)

-2

(II)

-1x2;

(III)

2

∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即(-2，3)。

例5.解不等式|x+1|+|x-2|<1。

解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式无解。

说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。

例6.已知:|a|<1, |b|<1。求证:|

证法1：欲证①，只需证

只需证(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需证-(a2-1)(b2-1)<0............②

∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立，

∴ 原不等式成立。

证法2：欲证①，只需证-1<

只需证(

只需证

<0, +1)(

-1)<0,

<1, <1,

|<1.........①

只需证|a+b|<|1+ab|, 只需证(a+b)2<(1+ab)2, 只需证(a+b)2-(1+ab)2<0,

只需证

<0,

只需证

<0............③

∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0,

又(1+ab)2>0, ∴③式成立，

∴ 原不等式成立。

例7.求证:

证法1:

∵

∵ 上式显然成立，∴

又

证法2：这里只证明

分析:观察两式结构均为y=

=

+

成立。 |a+b||a|+|b|。

|a+b|(1+|a|+|b|)(|a|+|b|)(1+|a+b|)

+

。

+。

∴ 原命题成立。

的形式，又∵|a+b||a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明函数在[0，+∞)上单调递增即可。

证明:设0x1x2, 则

-=，

∵ 0x1x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴

≥0。

∴ -≥0, 即≥,

设x1=|a+b|, x2=|a|+|b|

∵ |a+b||a|+|b|,

∴

参考练习:

。

1.解不等式 |x2+3x-8|10。

2.解不等式 |x+7|-|x-2|<3。

3.解不等式 |

4.解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5.求y=

6.设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|<

7.已知|x|<

参考答案:

1. [-6, -2]∪[-1, 3];

2. (-∞, -1);

3. [

4. 提示:首先求定义域(0，3)。其次求出二零点1，2。分三个区间(0，1]，(1，2]，(2，3)解即可。解集(0， ]∪[

，3)。 , 2)∪(6, +∞); , |y|<

, |z|<

, (ξ>0)。求证:|x+2y-3z|<ξ。

, |f(2)|<

, |f(3)|<

,不可能同时成立。 的值域。

-3|>1。

5.提示:可用反解法解出sinx=

6.提示:用反证法

略证:假设|1+a+b|< , |4+2a+b|<

，则解不等式||1得y∈[-4, -]。

, 及|9+3a+b|<同时成立。

由题设a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z,

∴ 1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3, b=2。 但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同时小于

7.证明略。

不等式的证明二范文第5篇

比较法：(1)作差比较法

(2)作商比较法

综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是一正二定三相等的方法的使用。

分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。

换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考

反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立

放缩法：

用柯西不等式证。等等

高考不是重点，但是难点。

大学数学也会讲到柯西不等式。

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

(2)利用基本不等式，如

3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

注意：这类方法对几何的熟悉程度以及几何与代数的相互联系能力要求比较高。

每一种不等式的证明方法基本上都有一种固定的模式可以去对比，但数学的特点就在于它的灵活性非常强，所以不等式的证明中的题目会有很多种变化，这对学习者的要求是非常高的，这就需要我们在今后的学习中多总结、归纳，才能达到我们学习的效果。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学对于老师讲过的题会做，其他的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择与其他条件有关的，或与结论有关的，或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。一般难题都有多种解法，俗话说，条条大路通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

不等式的证明二范文第6篇

一、利用直角三角形的性质证明

例1, 证明。这一个不等式的证明建立在m>n>0的前提条件之下。高中生看到这样的题目的时候, 最好进行正确的分析, 即从给出的一直条件出发, 建立起一个直角三角形ABC, 并且令AB边等于m, 令BC边等于n。如下图所示, 当这样的图形构造完成之后, 可以直观地感受不等式给出的信息, 进而发现其中隐藏的条件。

通过分析可以知道AC等于, 所以可以得出一个结论即+n是大于m的。这时可以进一步开始分析因为题目中给出了特定的条件即m>n>0, 根据前面所分析的原因和结论可以推导出mn>n2, 而且2mn>2n2, 紧接着将思维拓展开来, 则可以得出2mn-n2>n2的结论。这样很容易就可以证明。[2]通过联系直角三角线的特征, 用来解决不等式的证明问题可以大大提高解题的效率, 而且证明的过程也会更加的清晰, 对于高中生应对考试具有重要的意义。

二、利用三角函数证明

例2, 证明f (a) -f (b)

三、利用长方体对角线性质证明

例3, 证明。这一个不等式证明满足一个前提条件即cos2α+cosβ2+cos2γ=1。当看到这样的一个题目的时候, 首先需要联系到等式的特征, 并且将思维带到长方体的对角线上面去。因为长方体的对角线中存在一个夹角, 其满足cos2α+cosβ2+cos2γ=1。所以这一道题目最关键的就是应用长方体的特征进行证明。几何构造图如下图所示。

对角线所提供给这一个等式证明的信息非常重要, 而且要知道当形成了直观的图像的之后, 还可以挖掘题目中隐藏的已知条件, 对于解答题目具有非常重要的价值。根据构造的几何图形可以迅速地判断出α、β以及γ所表示的角。进而就可以待证明的不等式中的tanα, tanβ, tanγ等式表示出来, 一步一步地推导就可以证明证明t。通过这样的方式可以训练自身的想象力, 而且因为证明题需要向阅卷者展示思路及证明的过程, 所以对于高中生的良好学习习惯培养也是非常有帮助的。高中生练习不等式证明题的时候除了应用比较常见的分析综合法之外, 可以应用几何图形构造法, 这种方法也是数形结合方法的其中一种, 能够提高解题的速率。

四、利用三角形面积和三角函数证明

例4, 证明sin2A>sin2B>sin2C。给出的已知条件是锐角三角形ABC, 这一个锐角三角形的三个内角分别为A、B、C, 而且三个角的大小从左到右依次减小。通过观察分析题目可以看出, 给出的已知条件非常的丰富, 而且能够快速抓住解题的关键点。但是因为需要证明的是这一个锐角三角形的正弦值大小的比较关系。这个时候高中生就应当从所学过的知识中迅速找出能够与这一关系式相关的内容, 或者联想能够帮助证明这一个不等式的知识。如可以结合三角形的性质和特征, 将题目中给出的信息与三角形的面积公式联系起来, 即三角形的面积公式底乘高除二。那么将这一种一般的公式转化成与正弦相关的内容, 即三角形的面积可以是三角形夹角边长的1/2, 然后乘以这一个夹角的正弦。这样转化之后可以将其与要求证明的不等式直接联系起来。

五、利用矩形面积证明

。这一道题目的证明建立在0

六、结束语

学习不等式需要丰富证明方法, 这样可以大大提高知识的融会贯通能力。几何证明不等式尽管实际应用范围相对较小, 但是对于解决一些具有难度的几何题目具有积极意义。因此, 高中生要重视自身几何图形构造的能力, 并学好不等式知识。

摘要：不等式的证明属于高中数学中的重要组成部分, 证明不等式的方式有很多, 其中几何证明法在教材中介绍的内容相对较少。本文主要介绍了高中不等式几何证明的具体方法, 希望可以帮助高中生学习不等式。

关键词：不等式,数学,几何证明

参考文献

[1] 高妍丽.对均值不等式的探讨[J].山西师范大学学报 (自然科学版) , 2013, S2:15-19.