角的平分线性质范文

角的平分线性质范文第1篇

三角形的三边的垂直平分线交于一点。(外心定理)这个点叫做三角形的外心。(到三个顶点的距离相等) 三角形的三条高交于一点。(垂心定理)这个点叫做三角形的垂心。

三角形的三内角平分线交于一点。(内心定理)这个点叫做三角形的内心。 (到三边的距离相等) **三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外交平分线交于一点。(旁心定理)三角形有三个旁心。

角的平分线的性质

教学过程设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1，复习引入课题.

(1)提问关于直角三角形全等的判定定理.

(2)让学生用量角器画出图3-86中的∠AOB的角平分线OC. 2.画图探索角平分线的性质并证明之.

(1)在图3-86中，让学生在角平分线OC上任取一点P，并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段PD，PE.

(2)这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理.

(3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1)，分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式. 3.逆向思维探求角平分线的判定定理.

(1)让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立?如何证明?请一位同学叙述证明过程，得出定理2角平分线的判定定理.

(2)教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2.

(3)教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程. 4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性).

(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置，渗透集合的完备性).

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

1

二、应用举例、变式练习

练习1填空：如图3-86(1)∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D PE⊥OB于E.∴---------(角平分线的性质定理).

(2)∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB(-------------)

例1已知：如图3-87(a)， ABC的角平分线BD和CE交于F.

(l)求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等; (2)求证：AF平分∠BAC;

(3)求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等; (4)怎样找△ABC内到三边距离相等的点?

(5)若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87(b)，那么(1)～(3)题的结论是否会改变?怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点?共有多少个?

说明： (1)通过此题达到巩固角平分线的性质定理(第(1)题)和判定定理(第(2)题)的目的.

(2)此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

(3)引导学生对题目的条件进行类比联想(第(5)题)，观察结论如何变化，培养发散思维能力.

练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等.

练习 3已知：如图 3-88，在四边形 ABCD中， AB=AD， AB⊥BC，AD⊥DC.求证：点 C在∠DAB的平分线上.

2 例2已知：如图 3- 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D.求证：(1)OC=OD;(2)OE垂直平分CD.

分析：证明第(1)题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC=∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC=OD.这样处理，可避免证明两个三角形全等. 练习4 课本第22页的练习.

说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力.

三、互逆命题，互逆定理的定义及应用 1.互逆命题、互逆定理的定义.

教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子.教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题. 2.会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题.

例3写出下列命题的逆命题，并判断(1)～(5)中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：

(1)两直线平行，同位角相等;

(2)直角三角形的两锐角互余;

(3)对顶角相等;

(4)全等三角形的对应角相等;

(5)如果|x|=|y|，那么x=y;

(6)等腰三角形的两个底角相等;

(7)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第(6)题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”. 3.理解互逆命题、互逆定理的有关结论.

例4 判断下列命题是否正确：

(1)错误的命题没有逆命题;

(2)每个命题都有逆命题;

(3)一个真命题的逆命题一定是正确的;

(4)一个假命题的逆命题一定是错误的;

(5)每一个定理都一定有逆定理.

角的平分线性质范文第2篇

教学目标

1.角的平分线的性质.

2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

教学重点

角平分线的性质及其应用.

教学难点

灵活应用两个性质解决问题.

教学过程

Ⅰ.创设情境，引入新课

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?

分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.

Ⅱ.导入新课

如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?

PD、PE是否等长?

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.

请填下表：

已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.

由已知事项推出的事项：PD=PE.

于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?

问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.

由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.

由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?

分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?

1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?

2.比例尺为1：20000是什么意思?

结论：

1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.

2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.

作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.

第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.

III.例题

例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.

因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.

所以PD=PE.

同理PE=PF.

所以PD=PE=PF.

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

IV.课时小结

角的平分线性质范文第3篇

教学目标

1.角的平分线的性质.

2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

教学重点

角平分线的性质及其应用.

教学难点

灵活应用两个性质解决问题.

教学过程

Ⅰ.创设情境，引入新课

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?

分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.

Ⅱ.导入新课

如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?

PD、PE是否等长?

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.

请填下表：

已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.

由已知事项推出的事项：PD=PE.

于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?

问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.

由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.

由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?

分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?

1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?

2.比例尺为1：20000是什么意思?

结论：

1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.

2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.

作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.

第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.

III.例题

例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.

因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.

所以PD=PE.

同理PE=PF.

所以PD=PE=PF.

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

IV.课时小结

角的平分线性质范文第4篇

(一) 角的平分线的性质

(二)

角的平分线的性质

(一)

教学目标

1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.

2.会用尺规作一个已知角的平分线.

教学重点

利用尺规作已知角的平分线.

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼.

教学过程

Ⅰ.提出问题，创设情境

问题1：三角形中有哪些重要线段.

问题2：你能作出这些线段吗?

Ⅱ.导入新课

在学直角三角形全等的条件时有这样一个题：

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB.MC与NC交于C点.

求证：∠MOC=∠NOC.

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线.

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了.

思考：这个方案可行吗?(学生思考、讨论后，统一思想，认为可行)

议一议：图中是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?

要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB.

∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了.

看看条件够不够.

所以△ABC≌△ADC(SSS).

所以∠CAD=∠CAB.即射线AC就是∠DAB的平分线.

由此，我们总结出作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB.

求作：∠AOB的平分线.

作法：

①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.

②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.

③作射线OC，射线OC即为所求.

议一议：

1.在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗?

2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?

总结：

1.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角平分线.

2.若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.

3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可.

4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.

探索活动

按以下步骤折纸

1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C;把角A对折，使得这个角的两边重合;

2、在折痕(即平分线)上任意找一点O;

过点O折AC边的垂线，得到新的折痕OD，其中，点D是折痕与AC的交点，即垂足;

4、将纸打开，新的折痕与AB边交点为E.我们由此得出：

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

下面用我们学过的知识证明发现：

如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC.求证：OE=OD.

Ⅲ. 课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质.

Ⅳ.思考

在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现!”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法.他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，•那么BD•就是∠ABC的平分线.

有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢?请你来说明理由.

角的平分线的性质

(二)

教学目标

1.角的平分线的性质.

2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

教学重点

角平分线的性质及其应用.

教学难点

灵活应用两个性质解决问题.

教学过程

Ⅰ.创设情境，引入新课

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?

分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.

Ⅱ.导入新课

如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?

PD、PE是否等长?

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.

请填下表：

已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.

由已知事项推出的事项：PD=PE.

于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?

问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.

由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.

由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?

分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?

1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?

2.比例尺为1：20000是什么意思?

结论：

1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.

2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.

作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.

第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.

III.例题

例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.

因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.

所以PD=PE.

同理PE=PF.

所以PD=PE=PF.

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

IV.课时小结

角的平分线性质范文第5篇

陈明盛

一、教学目标

(一)知识与技能

1.了解角的平分线的判定定理;

2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.

(二)过程与方法

在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.

(三)情感、态度与价值观

在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.

二、教学重点、难点

重点：角的平分线的判定定理的证明及应用; 难点：角的平分线的判定.

三、教法学法

自主探索,合作交流的学习方式.

四、教学过程

(一) 复习、回顾

1. 角平分线的作法(尺规作图)

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点; ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P; ③过点P作射线OP，射线OP即为所求.

2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ①推导

已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON， 垂足分别为点A、点B.

求证：PA=PB.

证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON

∴∠PAO=∠PBO=90° ∵OC平分∠MON ∴∠1=∠2 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA=PB

②几何表达：(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)

如图所示，∵OP平分∠MON(∠1=∠2)，PA⊥OM，PB⊥ON，

∴PA=PB.

(二)合作探究

角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ①推导

已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB. 求证：点P在∠MON的平分线上.

证明：连结OP

在Rt△PAO和Rt△PBO中，

∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL) ∴∠1=∠2 ∴OP平分∠MON

即点P在∠MON的平分线上.

②几何表达：(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.)

如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA=PB ∴∠1=∠2(OP平分∠MON) 【典型例题】

例1. 已知：如图所示，∠C=∠C′=90°，AC=AC′. 求证：(1)∠ABC=∠ABC′;

(2)BC=BC′(要求：不用三角形全等判定).

分析：由条件∠C=∠C′=90°，AC=AC′，可以把点A看作是 ∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路.

证明：(1)∵∠C=∠C′=90°(已知)， ∴AC⊥BC，AC′⊥BC′(垂直的定义). 又∵AC=AC′(已知)，

∴点A在∠CBC′的角平分线上(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).

∴∠ABC=∠ABC′.

(2)∵∠C=∠C′，∠ABC=∠ABC′，

∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C′+∠ABC′) 即∠BAC=∠BAC′，

∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，

∴BC=BC′(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).

例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC?请说明理由.由此题你能得到一个什么结论?

分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段.

解：AP平分∠BAC.

结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D. ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，

∴PD=PE(角平分线上的点到角的两边的距离相等). 同理PF=PE，∴PD=PF.

∴AP平分∠BAC(到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).

(三)巩固训练

练习：第2题

(四)小结

请你说说本届课的收获与困惑.

(五)作业

习题12.3

角的平分线性质范文第6篇

一、教学分析：

1.教学内容：

本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12章3节第一课时的内容，是七年级学习角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的，内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径。因此，本节内容在数学科体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深，则易到难，知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。 2.教学对象分析：

刚进入八年的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较弱，思维的广阔性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。 3.教学环境分析：

利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索数学环境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。选择根据本节课的实际需要，我选择电脑及投影仪多媒体教学系统辅助教学，借助几何画板将有关教学内容用动态的方式表示出来，发现变化中的不变，吸引学生的注意力。

二、教学目标：

1.知识与技能

通过作图直观地理解角平分线的性质. 2.过程与方法

经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法. 3.情感、态度与价值观

激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力.

三、重、难点

1.重点：领会角的平分线的性质.

2.难点：角平分线的性质的实际应用.

教具准备投影仪、制作如课本图12.3─1的教具(几何画板).

四、教学策略与手段

教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会角平分线的性质.

五、教学过程

1.创设情境，导入新课 活动1(投影显示)

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法? 学生分组讨论测量方法

A O

B

老师总结：可以用对折的方法把∠ABC平分

活动2如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢? 学生仍讨论：对折的方法不可以，应当考虑使用工具了。

如课本图12.3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? 画板演示

小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图12.3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理.证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB(已知)

DC=BC(已知)

CA=CA(公共边)

∴ △ACD≌ △ACB(SSS)

∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应边相等)

∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)

活动3：根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器) 做出三条边相等

图12.3-1

如何用尺规作角的平分线?

作法：1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N.

2.分别以M，N为圆心.大于

1MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C. 23.作射线OC.

则射线OC即为所求.

活动4：实践应用(1) 1〉 平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系? 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

(图形在课件上)

活动5：探究角平分线的性质

(1)实验：任意作一个∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE，比较PD，PE的长度。 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 学生实际测量，老师几何画板验证，确定命题的已知和求证

角的平分线的性质的数学符号表示：

已知：如右图，OC平分∠AOB，点P在OC上，

PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB (已知)

∴ ∠1= ∠2(角平分线的定义)

∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB(已知)

∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定义)

在△PDO和△PEO中

∠PDO= ∠PEO(已证)

∠1= ∠2 (已证)

OP=OP (公共边)

∴ △PDO ≌ △PEO(AAS)

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)

证明几何命题的一般步骤

1.明确命题中的已知和求证;

2.根据题意画出图形，并用数学符

号表示已知和求证;

3.经过分析，找出由已知推出要证

的结论的途径，写出证明过程. 例：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)

活动6：实践应用(2)

如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF; 求证：CF=EB

A F

E

D B

C

分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明. 随堂练习

1.教材50页第1题

2.已知：在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线， DE⊥AB，AB=7㎝，AC=3㎝，求BE的长。

3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢? ⑵哪条线段与DE相等?为什么?

⑶若AB=10，BC=8，AC=6，

求BE，AE的长和△AED的周长。

小结：

1：画一个已知角的角平分线

(注意作图痕迹和几何语言的表达) 2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3：角平分线的性质的应用 作业：教科书51页第2题 板书设计：

12.3.1角的平分线的性质

1.作已知的角的平分线

2.角平分线的性质