高二数学正弦定理范文

高二数学正弦定理范文第1篇

[摘  要] “解三角形”是高中数学的重点模块，涵盖了几何与代数的相关知识，在高考中常以综合题的形式出现，用以考查学生的综合思维，因此对其问题类型开展解题探析是十分必要的，文章探究解三角形的几类常见综合题，并开展解后反思总结.

[关键词] 解三角形;综合;方程;函数;向量;几何

“解三角形”是初中直角三角形知识的延伸，也是高考数学重要的考查内容，其中涉及众多的公式定理和直角三角形模型的构建思路，解题时需要灵活运用. 而在高考中解三角形一般与其他知识点相结合，以综合题的形式出现，一般具有考查程度深、变化多样等特点，下面将对其交汇问题分类探析.

解三角形与代数方程

解三角形的一般思路是基于解题模型，将复合问题转化为单纯的代数问题，然后通过代数运算来破解，因此常见的综合类型为解三角形与代数方程综合，即在解三角形中渗透方程思想，设未知，列等式，通过解未知的方式来实现突破. 考虑到所设未知量对方程模型的影响很大，因此在设未知量时要充分考虑几何模型的特点，简化代数式.

例1：已知△ABC中边长AB=4，AC=7，AD为边BC上的中线，若AD= ，试求BC的长.

解析：已知△ABC的结构和性质，求BC的长，首先可以绘制相应的几何图形，如图1所示，求线段长可以基于几何定理构建代数方程. 设BD=x，在△ABD中使用余弦定理，则cosB= = = ，然后在△ABC中使用余弦定理，可得cosB= = ，因此 = ，解得x= ，而BC=2BD=9，即边长BC为9.

评析：本题在求解时采用了构建方程的解题思路，即以余弦定理为切入点，在不同的三角形中构建角B的余弦模型，从而构建了相应的代数方程. 解题的关键有两个：一是基于问题条件构建对应的三角形;二是基于方程思想，在几何三角形中构建对应的等量关系.

解三角形与函数知识

解三角形与函数知识的交汇点一般为三角函数，即以三角形为问题背景，设置与解三角形相关的问题，其中涉及函数的转化变形，正弦、余弦定理等变形公式.求解时需要紧密结合函数性质对函数的取值进行定义，确保结果的准确合理.

例2：设函数f（x）=cos2x+ +sin2x.

（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期;

（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB= ，f =- ，且C为锐角，试求sinA.

解析：（1）该问求函数f（x）的最大值和最小正周期，该函数包含有余弦型函数和正弦型函数，需要通过变换将其融合，通过三角变换有f（x）= - sin2x，分析可知最大值为 + ，最小正周期为π.

（2）根据函数求sinA的值，首先需要借助函数将问题转化为解三角形问题，然后利用对应的公式定理来构建模型，f = - sinC=- ，解得sinC= ，即C= . 已知在△ABC中，cosB= ，所以sinB=  ，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC= .

评析：本题目属于以函数为背景解三角形的综合题，题干给出了所求函数和对应关系，并构建了相应的三角形，因此求解时首先需要基于函数的性质对问题进行转化，从中提炼与三角形内角相关的条件，然后利用三角形中的元素关系及定理来破解.

解三角形与平面向量

向量是高中数学较为特殊的知识，具有几何与代数的双重特性，向量与解三角形的融合点同样为几何三角形. 理解向量的几何定义，并能利用向量的相关公式对条件进行转化是解该类综合题的关键，因此在解题时需要提炼向量条件，完善三角形模型.

例3：已知△ABC为锐角三角形，设三角形的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，b<c，且存在如下关系：（sinA-sinB）·（sinA+sinB）=sin -Bsin +B.

（1）试求角A的值;

（2）如果 · =12，a=2 ，试求b和c的值.

解析：（1）已知内角所对边和对应的等式，需要利用cos2B+sin2B=1对其进行化简，从而将其转化为与角A相关的等式，sin2A= sin -Bsin +B+sin2B= cosB- sinB cosB+ sinB+sin2B= （cos2B+sin2B）= ，所以sinA= ，已知△ABC为锐角三角形，则A= .

（2）该问已知 · =12，根据向量积的数量积公式可得bc·cosA=12，结合（1）问可得bc=24，利用余弦定理的展开式可得a2=b2+c2-2bc·cosA=（b+c）2-3bc，所以b+c=10. 又b<c，所以b=4，c=6.

评析：本题目涉及解三角形与平面向量的综合，考查向量积的几何定义及三角函数的余弦定理. 对于该类综合问题，破解的关键是利用向量的概念与定理将向量条件向代数转化，因此理解向量的几何定义是解题的基础，必要时可以借助三角形模型，结合几何知识来构建思路.

解三角形与平面几何

解三角形的过程含有众多的解题思维，其中数形结合是最为常见的一种，也是高考考查的重点，衍生了众多的与平面几何相融合的综合题.该类问题的图形一般較为复杂，解题时需要结合条件充分提炼解题模型，把握其中的特殊图形，借助图形的特殊性质来构建解题思路.

例4：在图2所示的图形中，△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a=b（sinC+cosC）.

（1）试求∠ABC;

（2）若∠A= ，点D位于△ABC的外面，线段DB和DC之长分别为2和1，试求四边形ABCD面积的最大值.

解析：（1）给出了相应的图形，需要结合对应的关系式来分析图形特点，由a=b（sinC+cosC）可知sinA=sinB（sinC+cosC），变形可得cosBsinC=sinBsinC. 又C为△ABC的内角，则取值范围为（0，π），结合sinC≠0，可得cosB=sinB，即tanB=1，则B= ，即∠ABC= .

（2）点D位于△ABC的外面，给出了相应的条件，求四边形的面积，可以采用面积割补法，即S四边形ABCD=S△ABC+S△BCD，因此关键是求三角形的面积. 在△BCD中利用余弦定理可得BC2=5-4cos∠D. 分析可知△ABC为等腰三角形，则S△ABC= BC2= ，而S△BCD= BD·DC·sinD=sinD，所以S四边形ABCD= + sin∠D- ，当∠D= 时，四边形ABCD的面积可取得最大值，且最大值为 + .

评析：上述题目以分析几何图形的形式考查解三角形知识，其知識交汇点在于两部分内容的知识本质是一致的，即均是对几何图形的内在分析. 求解问题时也相应地采用了数形结合的策略，即根据问题条件来分析图形特点，然后对图形进行深层探索，从而获得了问题突破的关键条件.

问题求解的反思与归纳

解三角形是高中数学需要学生掌握的重点知识，从上述问题可以看出其一般以综合题的形式出现，这是基于解三角形与其他众多知识交汇. 无论是求解方程、函数类问题，还是分析平面向量、平面几何类问题，其中都存在一定的解题策略，下面对其进一步探讨.

1. 关注问题条件，灵活变形转化

解三角形综合问题一般都会给出相应的关系式或几何条件，而对条件的灵活转化是解题的关键. 一般解三角形多为求值类问题，在分析时需要活用正弦、余弦定理对其中的边角关系进行转化变形，以达到解题的目的，可以按照“定模型→定工具→求结果”的策略，即首先根据条件构建几何模型，确立转化的方向，然后选定转化公式来对关系式进行转化，从中提炼与三角形边、角相关的条件，最后结合问题求解. 而在求解综合题的第一步（定模型）时还需要基于知识的交汇点开展问题分析，如与函数相关的问题需要利用函数的性质来提炼条件，而与向量相关的问题需要借助向量的几何定义来提炼关系式.

2. 基于知识交汇，发展解题思维

对知识交汇点的分析是解三角形综合题的难点所在，也是该类问题考查的重点，因此在开展问题总结时特别需要对模块知识的联系点进行归纳，如解三角形与代数方程的联系点为正弦、余弦定理的特性，与函数的联系点为三角形函数的特性. 对应的综合类问题的求解过程需要借助解题思想，常用的数学思想包括转化思想、方程思想、数形结合思想. 通用的解题思路是基于问题条件分析或构建解题模型，结合模型来对已知条件进行适当转化，通过数形结合的策略来破解. 其中的数学思想在无形中引导问题分析，简化问题条件，指明解题方向，是问题高效求解的思想保障，因此开展解三角形综合题的反思教学，需要教师着重讲解其中的思想方法，将学生的思维发展和综合能力提升作为教学的重点.

高二数学正弦定理范文第2篇

在这个过程中, 贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际问题出发, 经过抽象概括, 把它转化为具体问题中的数学模型, 然后通过推理演算, 得出数学模型的解, 再还原成实际问题的解。正弦定理和余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系, 在测量学, 运动学, 力学, 电学等诸多领域有着广泛的应用。

解三角形应用问题的基本思路是:实际问题数学问题数学问题的解解实际问题的解。

1 测量距离问题

例:如图1, 为了测量河对岸A, B两点之间的距离, 在河岸这边选取相距km的C, D两点, 测得∠A C B=7 5°, ∠B C D=4 5°, ∠A D C=3 0°, ∠A D B=4 5°, 设A、B、C、D在同一平面内, 试求两目标A、B之间的距离。

分析:要求AB, 则先由△BCD应用正弦定理求出BC, 再通过△ABC应用余弦定理即可求出AB。

解:在△A C D中, ∠A C D=1 2 0°, ∠C A D=4 5°=∠A D C=3 0°,

在△BCD中, ∠BCD=45°, ∠BDC=75°, ∠CBD=60°,

在△ABC中, 由余弦定理得:

答:A、B之间的距离为km。

评述:当已知量与未知量之间关系不明确时, 要注意挖掘隐含条件, 这种情况下往往要涉及到多个三角形, 才能明确已知与求解之间关系, 因此要善于观察, 从多角度、多方面思考条件的转化方向。

2 测量高度问题

例:如图2, A、B是海平面上的两个点, 相距800m, 在A点测得山顶C的仰角为45°, ∠BAD=120°, 又在B点测得∠A B D=4 5°, 其中D是点C到水平面的垂足, 求山高C D。

分析:由于C D⊥平面A B D, ∠C A D=4 5°, 所以C D=A D。因此, 只需在△A B D中求出A D即可。

解:在△ABD中, ∠BDA=180°-45°-120°=15°,

答:山高CD为800 (+1) m。

评述:这是一类“测量底部不能到达的物体高度”问题, 在计算过程中, 未知量往往要涉及到多个三角形, 并且还涉及到空间图形问题, 明确已知与求解之间关系, 因此, 要充分挖掘已知量与未知量的关系。

3 航行问题

例:如图3, 甲船以每小时海里的速度向正北方航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于A1处时, 乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处, 此时两船相距20海里, 当甲船航行20分钟到达A2处时, 乙船航行到甲船的北偏西120在方向的B2处, 此时两船相距海里, 问乙船每小时航行多少海里?

分析:先把航行问题转化为数学问题, 构造三角形, 连结A1A2, 通过△A1A2B2求出∠B1A1B2, 因此, 只需在△A1B2B1中求出B1B2即可。

解:如图, 连结△A1A2B2

是等边三角形, , 在△A1B2B1中, 由余弦定

答:乙船每小时航行海里。

评述:本题是一类航行问题, 解本题的关键是根据实际, 找出等量关系, 利用余弦定理求出距离, 再计算速度。在画示意图时, 要注意方向角的作法。

摘要：本文介绍教学中正弦定理和余弦定理的应用。

高二数学正弦定理范文第3篇

尊敬的各位老师：

大家好!我叫是数学学院11级励志班丁云红，下面我将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计。

一 教材分析

本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。

二、学习者分析

作为高中生，在此之前已学习了三角函数、平面向量知识，这为过渡到本章的学习做好了铺垫作用。同时学生已经具备了一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力，合作交流的意识等方面还有待加强。 所以正弦定理的探索及证明是本节课的一个难点。

三、教学目标

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，我制定如下教学目标：

知识与技能目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解三角形的两类问题。

过程与方法目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，体会数形结合解决问题。

情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教法

根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想， 采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作

交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点

五、 学法：

指导学生掌握“观察猜想证明应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

六、教学工具

运用几何画板作图，作图标准，形象直观，可以很好的给学生做示范以及讲解。

七 教学过程

第一：创设情景，大概用2分钟

第二：实践探究，形成概念，大约用25分钟

第三：例题讲解，习题应用，大约用13分钟

(一)创设情境，布疑激趣

“兴趣是最好的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问题引入，“在生活中，架设桥梁，铺设管道、牵电线等等，我们都需要测量很远的2点之间的关系。比如说我们的架设桥梁，我们首先要测量河的宽度，通常技术人员都是在河的一边就能测出河的宽度，用的工具是测角仪和卷尺，他们在不过河的情况下，就能测出河的宽度，同学们你们觉得不过河能测出河的宽度么?”激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。

(二)探寻特例，提出猜想

1.激发学生思维，从自身熟悉的特例(测河宽做直角三角形)入手进行研究，发现正弦定理。

2.那结论对任意三角形都适用吗?指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对一般三角形进行验证。

3.让学生总结实验结果，得出猜想：

在三角形中，角与所对的边满足关系

这为下一步证明树立信心，不断的使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

(三)逻辑推理，证明猜想

1.强调将猜想转化为定理，需要严格的理论证明。

2.鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。

3、从特殊到一般，严格证明。

(四)归纳总结，简单应用

1.让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称和谐美，提升对数学美的享受。

2.正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。

3.运用正弦定理求解本节课引入的问题。自己参与实际问题的解决，能激发学生知识后用于实际的价值观。

(五)讲解例题，巩固定理

1.例1。在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.例1简单，结果为唯一解，如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

2. 例2. 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。完了把时间交给学生。

(六)巩固练习

1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形.

(1)A=45°,C=30°,c=10cm

(2)A=60°,B=45°,c=20cm

2. 在△ABC中,已知下列条件,解三角形.

(1)a=20cm,b=11cm,B=30°

(2)c=54cm,b=39cm,C=115°

学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。

(七)课堂小结

通过以上的研究过程，同学们主要学到了以下知识：

1.证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。

2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。

3.定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。

(从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。)

(八)作业布置

如果已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办?发现正弦定理不适用了，那么自然过渡到下一节内容，余弦定理。布置作业，预习下一节内容。

(九) 板书设计

正弦定理

1正弦定理 2证明方法： 3 利用正弦定理能够解决两类问题：

(1)平面几何法 (1)已知两角和一边

(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角

例题

板书设计可以让学生一目了然本节课所学的知识，证明正弦定理的方法以及正弦定理可以解决的两类问题。

八、小结