初中数学竞赛题整除范文

初中数学竞赛题整除范文第1篇

我们知道，每一个自然数都有正因数(因数又称约数).例如，1有一个正因数;2，3，5都有两个正因数，即1和其本身;4有三个正因数：1，2，4;12有六个正因数：1，2，3，4，6，12.由此可见，自然数的正因数，有的多，有的少.除了1以外，每个自然数都至少有两个正因数.我们把只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数(又称素数)，把正因数多于两个的自然数称为合数.这样，就把全体自然数分成三类：1，质数和合数.

2是最小的质数，也是唯一的一个既是偶数又是质数的数.也就是说，除了2以外，质数都是奇数，小于100的质数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.

质数具有许多重要的性质：

性质1 一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数.

性质2 如果n是合数，那么n的最小质因数a一定满足an.

性质3 质数有无穷多个(这个性质将在例6中证明).

性质4(算术基本定理)每一个大于1的自然数n，必能写成以下形式：

2

这里的P1，P2，，Pr是质数，a1，a2，，ar是自然数.如果不考虑p1，P2，，Pr的次序，那么这种形式是唯一的.

关于质数和合数的问题很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一.哥德巴赫猜想是：每一个大于2的偶数都能写成两个质数的和.这是至今还没有解决的难题，我国数学家陈景润在这个问题上做了到目前为止最好的结果，他证明了任何大于2的偶数都是两个质数的和或一个质数与一个合数的和，而这个合数是两个质数的积(这就是通常所说的1+2).下面我们举些例子.

例1 设p，q，r都是质数，并且

p+q=r，p

求p.

解 由于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p，q为一奇一偶.因为p

例2 设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数.求证：4p+1是合数.

证 由于p是大于3的质数，故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整数.

若p=3k+1，则

2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1) 是合数，与题设矛盾.所以p=3k+2，这时

4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3) 是合数.

例3 设n是大于1的正整数，求证：n+4是合数.

证 我们只需把n+4写成两个大于1的整数的乘积即可.

n+4=n+4n+4-4n=(n+2)-4n =(n-2n+2)(n+2n+2)，

因为

n+2n+2>n-2n+2=(n-1)+1>1，

所以n+4是合数.

例4 是否存在连续88个自然数都是合数?

解 我们用n!表示123n.令

a=12389=89!，

那么，如下连续88个自然数都是合数：

a+2，a+3，a+4，，a+89.

这是因为对某个2k89，有

a+k=k(2(k-1)(k+1)89+1)

是两个大于1的自然数的乘积.

说明 由本例可知，对于任意自然数n，存在连续的n个合数，这也说明相邻的两个素数的差可以任意的大. 4

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2

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4

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4 2

用(a，b)表示自然数a，b的最大公约数，如果(a，b)=1，那么a，b称为互质(互素).

例5 证明：当n>2时，n与n!之间一定有一个质数.

证 首先，相邻的两个自然数是互质的.这是因为

(a，a-1)=(a，1)=1，

于是有(n!，n!-1)=1.

由于不超过n的自然数都是n!的约数，所以不超过n的自然数都与n!-1互质(否则，n!与n!-1不互质)，于是n!-1的质约数p一定大于n，即n

所以，在n与n!之间一定有一个素数.

例6 证明素数有无穷多个.

证 下面是欧几里得的证法.

假设只有有限多个质数，设为p1，p2，，pn.考虑p1p2pn+1，由假设，p1p2pn+1是合数，它一定有一个质约数p.显然，p不同于p1，p2，，pn，这与假设的p1，p2，，pn为全部质数矛盾.

例7 证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和.

证 设n是大于11的自然数.

(1)若n=3k(k≥4)，则

n=3k=6+3(k-2);

(2)若n=3k+1(k≥4)，则

n=3k+1=4+3(k-1);

(3)若n=3k+2(k≥4)，则

n=8+3(k-2).

因此，不论在哪种情况下，n都可以表为两个合数的和.

例8 求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数.

解 三个最小的合数是4，6，8，它们的和是18，于是17是不能用三个不同的合数的和表示的奇数.

下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示.

由于当k≥3时，4，9，2k是三个不同的合数，并且4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于19的奇数n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和来表示.

综上所述，不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数是17.

练习十六

1.求出所有的质数p，使p+10，p+14都是质数.

2.若p是质数，并且8p+1也是质数，求证：8p-p+2也是质数.

3.当m>1时，证明：n+4m是合数.

4.不能写成两个合数之和的最大的自然数是几?

5.设p和q都是大于3的质数，求证：24|p-q.

6.设x和y是正整数，x≠y，p是奇质数，并且

2

2

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2

初中数学竞赛题整除范文第2篇

为增强我校学生的数学学习兴趣，培养学生竞争意识，也为了履行本学期初的教务工作计划，我数学教研组特定于11月21日在八年级学生中举行一次数学竞赛，具体竞赛方案如下：

一、竞赛组织教师：

出卷：李岩;监考：马慧，田丽霞;改卷：李岩。

由于九年级临近中考故不参加，九年级教师做好复习迎考工作。

二、 参赛人员：

由八年级各数学教师从班上抽选或组织学生自愿报名的形式每班抽取5名学生参加竞赛。

三、 奖项设置：

一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名。

四、 竞赛时间：2013年11月21日(星期四)下午4:505:50

五、 考场安排：

考场设置在多媒体教室，实行单人单桌考试制度。

六、 监考教师务必从严监考，杜绝舞弊现象。改卷教师务必做到公

正、公平。

七、 5月25日下午7点前各评卷教师将竞赛试卷交于教务处，请

教务处的同志安排发奖事项。