2023年高考数学试卷（北京）（空白卷）

第 1 页 | 共 6 页 2023 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）A. B. C. D. 3. 已知向量满足，则（ ）A. B. C. 0D. 14. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ）．A. B. C. 40D. 806. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为 5，则（ ）第 2 页 | 共 6 页 A. 7B. 6C. 5D. 47. 在中，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，则（ ）A. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立D. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立第 3 页 | 共 6 页 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．11. 已知函数，则____________．12. 已知双曲线 C 的焦点为和，离心率为，则 C 的方程为____________．13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明 p 为假命题的一组的值为__________， _________．14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列，该数列的前 3 项成等差数列，后 7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．15. 设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则 a 的取值范围是．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 如图，在三棱锥中，平面，．第 4 页 | 共 6 页 （1）求证：平面 PAB；（2）求二面角的大小．17. 设函数．（1）若，求的值．（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第 5 页 | 共 6 页 第 1 天到第 20 天-++0---++0+0--+-+00+第 21 天到第 40 天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19. 已知椭圆的离心率为，A、C 分别是 E 的上、下顶点，B，D 分别是的左、右顶点，．（1）求的方程；（2）设为第一象限内 E 上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．20. 设函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求的值；（2）设函数，求的单调区间；（3）求的极值点个数．21. 已知数列的项数均为 m，且的前 n 项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集 M 中最大的数. （1）若，求的值；第 6 页 | 共 6 页 （2）若，且，求；（3）证明：存在，满足 使得．