2026年第二十三届中国东南地区数学奥林匹克高一第二天试题+答案

学科网（北京）股份有限公司 第二十三届中国东南地区数学奥林匹克 福建·福清 高一年级第二天 2026 年 7 月 31 日 上午 8:00-12:00 1．如图，设 ABCD 为凸四边形，,,,E F G H 分别为线段,,,AB BC CD DA 内部（即不含端点）的动点．记四边形 EFGH 的周长为l ． (1) 若l 存在最小值，证明：, ,,A B C D 四点共圆； (2) 设四边形 ABCD 内接于半径为 R 的圆，证明：2l RAB BC CD DA⋅≥⋅⋅⋅． 2．已知实数列{ }na满足：对任意正整数 ,i j ，都有ijijaaa+ ≥+．证明：对任意正整数 n ，都有1121iiij nniani ja≤=≤ ≤≥+⋅∑∑． 3．令集合121212121212{(,,,) |,,,,128}Ma aaa aaaaaZ=∈≤<<<≤．对正整数 m 及数组1212(,,,)Aa aaM=∈，记NA ( )m 为集合 {() |},112,jii jijaam≤ <≤−= 的元素个数．求127)m n(i maxAA MmNm∈≤≤． 4．证明：存在无穷多组正整数(, , , , )a b c d e 满足 ,a b 互素，且 ,11111.abcdeabcde+=+++=++ {#{QQABKQah5wgwghQACa6bE0HkCwoYspMSLAoOBVCUOAQCQBFABAA=}#}{#{QQABKQah5wgwghQACa6bE0HkCwoYspMSLAoOBVCUOAQCQBFABAA=}#}{#{QQABKQah5wgwghQACa6bE0HkCwoYspMSLAoOBVCUOAQCQBFABAA=}#}{#{QQABKQah5wgwghQACa6bE0HkCwoYspMSLAoOBVCUOAQCQBFABAA=}#}{#{QQABKQah5wgwghQACa6bE0HkCwoYspMSLAoOBVCUOAQCQBFABAA=}#}{#{QQABKQah5wgwghQACa6bE0HkCwoYspMSLAoOBVCUOAQCQBFABAA=}#}