学科网（北京）股份有限公司 第二十三届中国东南地区数学奥林匹克 福建·福清 高二年级第二天 2026 年 7 月 31 日 上午 8:00-12:00 1．对正整数 m ，记 ( )S m 为 m 的十进制表示的各位数字之和．问：是否存在正整数 n ，使得 (23 )( )(2026)SnS nS n=⋅+？ 2．明代叶向高《登石竹岩》云：嶙峋石竹插青霄． 给定整数n ≥ 2．节间数为 (k k ≥ 2)的“石竹”称为可填充的，若可将1,2,3,3,2n无重复地填入石竹的 k 个节间中（如右图），使得每个节间不空，且每个节间的数之和整除下一个节间的数之和。例如，当n = 3时，右图说明节间数为 3 的石竹是可填充的． 求可填充的石竹的最大节间数（用 n 表示）． 3．给定整数n ≥ 3，设正实数1, 2,,na a3 a满足121na a3a ≤．证明： 212211 (1)122ninniiana aaa=≤−−∑ +3． 4．如图，折四边形 ABCD 中，边,BC DA 相交．圆ω 与,AB CD 的延长线及边,BC DA 均相切．一个过点,A C 的圆 Γ 与ω 相交，且点,B D 在 Γ 内部，记 Γ 与ω 的外公切线为 1, 2l l ．设圆α 与 Γ、CB的延长线及边 AB 均相切，圆 β 与 Γ 、 AD 的延长线及边CD均相切．证明：存在异于 Γ 的圆 Γ′与直线 1, 2l l 及圆,α β 均相切． {#{QQABKQahxwKQkAZACC6bEwHQCwsYkoISLKoOAVCQKAQCQRFABAA=}#}{#{QQABKQahxwKQkAZACC6bEwHQCwsYkoISLKoOAVCQKAQCQRFABAA=}#}{#{QQABKQahxwKQkAZACC6bEwHQCwsYkoISLKoOAVCQKAQCQRFABAA=}#}{#{QQABKQahxwKQkAZACC6bEwHQCwsYkoISLKoOAVCQKAQCQRFABAA=}#}{#{QQABKQahxwKQkAZACC6bEwHQCwsYkoISLKoOAVCQKAQCQRFABAA=}#}{#{QQABKQahxwKQkAZACC6bEwHQCwsYkoISLKoOAVCQKAQCQRFABAA=}#}{#{QQABKQahxwKQkAZACC6bEwHQCwsYkoISLKoOAVCQKAQCQRFABAA=}#}{#{QQABKQahxwKQkAZACC6bEwHQCwsYkoISLKoOAVCQKAQCQRFABAA=}#}
