2025———2026 学年第一学期期末考试高一数学试卷参考答案一、单选题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)1 - 4 DCAB 5 - 8 CBCA二、多选题(本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求,全部选对得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分)9. BCD 10. ABD 11. CD三、填空题(本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)12. - 7 13. 1 14. ( - ∞ , 78 )四、解答题:本大题共 6 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15. 解:(1) 因为 5a = 4b = 10,所以 a = log510,b = log410, ……2 分 2a + 1b = 2lg5 + lg4 = lg(25 × 4) = 2. ……6 分(2) 若 xlog23 = 1,则 x = log32,3x = 3log32 = 2 ……8 分 3x + 3﹣x = 2 + 12 = 52 ……12 分 16. 解:(1)tanα =2tan α21 - tan2 α2= 34 . ……2 分∵ 0 < α < π2 , ∴ sinα = 35 , ……5 分(2)∵ - π < α - β < 0, ∴ sin(α - β) = - 7 210 , ……7 分∴ tan(α - β) = sin(α - β)cos(α - β) = 7 ……9 分∵ tan(α - β) = tanα - tanβ1 + tanαtanβ =34 - tanβ1 + 34 tanβ= 7 ∴ tanβ = - 1,……11 分∵ π2< β < π, ∴ β = 3π4 . ……12 分高一数学答案 第1 页 (共 4 页) (2026. 2)17. 解:(1) 函数 f(x) 的定义域为 R, f(x) 是奇函数,∴ f(0) = m - 1 = 0, ∴ m = 1, ……3 分经检验 m = 1 时,f(x) + f( - x) = 0……4 分(2) f(x) = ax - a-x,设 x1,x2 ∈ R,且 x1 < x2,则f(x1) - f(x2) = (ax1 - a-x1) - (ax2 - a-x2) = (ax1 - ax2)(1 +1ax1+x2),……6 分∵ a > 1,x1 < x2 ∴ ax1 - ax2 < 0 .又 ∵ 1 +1ax1+x2 > 0,∴ f(x1) - f(x2) < 0,即 f(x1) < f(x2),∴ 函数 f(x) 在 R 上是单调递增函数. ……8 分(3) 由 f(x2) + f(3x - 10) < 0,得 f(x2) < - f(3x - 10),即 f(x2) < f(10 - 3x). ……10 分又 ∵ f(x) 在 R 上单调递增,∴ x2 < 10 - 3x,即 x2 + 3x - 10 < 0, 解得 - 5 < x < 2,∴ 原不等式的解集为( - 5,2). ……12 分18. 解:(1) f(x) =32 cos2x + 12 sin2x + 1 - cos(2x + π2 )= 32 sin2x +32 cos2x + 1=3 sin(2x + π6 ) + 1……4 分函数 f(x) 的图象左移 π4 个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 g(x) =3 sin(2x + 2π3 )……6 分.所以函数 g(x) 的最小正周期为 T = 2π2 = π, ……7 分令 2kπ - π2 ≤ 2x + 2π3 ≤ 2kπ + π2 ,k ∈ Z,整理得:kπ - 7π12 ≤ x ≤ kπ - π12,k ∈ Z.故函数 g(x) 的单调递增区间为[kπ - 7π12 ,kπ - π12](k ∈ Z).……9 分高一数学答案 第2 页 (共 4 页) (2026. 2)(2) 当 x ∈ [ π12,7π12 ] 时,5π6 ≤ 2x + 2π3 ≤ 11π6 ,∴ - 1 ≤ sin(2x + 2π3 ) ≤ 12当 2x + 2π3 = 3π2 即 x = 5π12 时,函数 g(x) 的最小值为 -3 .……13 分19. 解:(1) 在 Rt△ADB 中,∵ AD = 12 ED = 3,且 ∠ABD = α,∴ AB = ADsinα =3sinα; ……2 分∵ AC ⊥ AB,∴ ∠EAC = ∠ABD = α,∴ 在 Rt△AEC 中,AC = AEcosα =3cosα, ……3 分∴ BC =AB2 + AC2 =9sin2α+9cos2α=3sinαcosα,……5 分∴ △ABC 的周长 l(α) =3sinα +3cosα +3sinαcosα,α ∈ (0,π2 ). ……6 分(2)l(α) =3sinα +3cosα +3sinαcosα = 3sinα + 3cosα + 3sinαcosα,令 t = sinα + cosα =2 sin(α + π4 ), 则 sinαcosα = t2 - 12,……9 分∵ α ∈ (0,π2 ),∴ α + π4 ∈ ( π4 ,3π4 ),∴ t ∈ (1, 2 ], ……10 分于是,l(α) = 3t + 3t2 - 12=6(t + 1)(t + 1)(t - 1) =6t - 1 ≥62 - 1= 6( 2 + 1),……12 分∴ l(α) 的最小值为 6( 2 + 1). ……13 分20. 解:(1) 因为函数 f(x) = ln(e2x + 1) + kx 是偶函数,所以 f( - x) = f(x),即 ln(e-2x + 1) - kx = ln(e2x + 1) + kx,所以 ln(e-2x + 1) - ln(e2x + 1) = 2kx,即 ln e-2x + 1e2x + 1= ln 1e2x = - 2x = 2kx,所以 2k = - 2,得 k = - 1,……4 分经检验当 k = - 1 时,函数 f(x) = ln(e2x + 1) - x 是偶函数.……5 分高一数学答案 第3 页 (共 4 页) (2026. 2)(2) 函数 F(x) = h(x) - f(x) 有 2 个不同的零点,即关于 x 的方程 ln(mex + e-x2 + 2m) = ln(e2x + 1) - x 有 2 个不相等的实数根,化简上述方程得 ln(mex + e-x2 + 2m) = ln(e2x + 1ex),即 mex + e-x2 + 2m = ex + e-x,……8 分所以(m - 1)ex - 12ex + 2m = 0,所以(m - 1)e2x - 12 + 2mex = 0.……9 分令 t = ex(t > 0),得关于 t 的方程(m - 1)t2 + 2mt - 12 = 0(∗).……10 分记 p(t) = (m - 1)t2 + 2mt - 12 (t > 0,m > 0 且 m ≠ 1),① 当 m > 1 时,函数 p(t) 的图象开口向上,图象恒过点(0, - 12 ),方程(∗) 只有一个正实根,不符合题意. ……12 分② 当 0 < m < 1 时,函数 p(t) 的图象开口向下,图象恒过点(0, - 12 ),因为 -2m2(m - 1) > 0,要满足题意,则方程(∗) 应有两个正实根,即 Δ = (2m) 2 + 2(m - 1) > 0, 解得 m > 12 或 m < - 1,又 0 < m < 1,所以 12< m < 1.……14 分综上,m 的取值范围是( 12 ,1). ……15 分高一数学答案 第4 页 (共 4 页) (2026. 2)
