2025———2026 学年高二质量检测数学试卷参考答案一、选择题1 - 4 ADCD 5 - 8 CBBA二、选择题9. BCD 10. ABD 11. AD 三 填空题12. 4 13. 2 14. 518四、解答题15. (1) 设“取到的小球颜色相同” 记为事件 C, ……1 分则 P(C) = C23 + C24C27 ……3 分 = 921 = 37 ……5 分(2) 显然 X 的可能取值有 0,1,2,3. ……6 分 P(X = 0) = C34C37= 435, P(X = 1) = C13·C24C37= 1835,P(X = 2) = C23·C14C37= 1235, P(X = 3) = C33C37= 135,……10 分所以 X 的分布列为: X0123 P43518351235135 ……11 分故 E(X) = 0 × 435 + 1 × 1835 + 2 × 1235 + 3 × 135 ……12 分 = 97 . ……13 分16. (1) 设等差数列{an} 的公差为 d,等比数列{bn} 的公比为 q,……1 分依题意得2 × 2q = (1 + d) + (1 + 2d), 2q3 = 4 + 4 × 32d.ìîíïïïï ……3 分高二数学答案 第1 页 (共 4 页) (2026. 7)又 bn > 0,解得 d = 2,q = 2.{ ……5 分所以 an = 2n - 1, bn = 2n. ……7 分(2) 设 cn = an·bn = (2n - 1)·2n, ……8 分所以 Tn = 1 × 2 + 3 × 22 + 5 × 23 + … + (2n - 3)·2n-1 + (2n - 1)·2n , ①……9 分 2Tn = 1 × 22 + 3 × 23 + … + (2n - 3)·2n + (2n - 1)·2n+1,②……11 分② - ① 得:Tn = (2n - 1)·2n+1 - 2 × (22 + 23 + … + 2n) - 2 ……12 分= (2n - 1)·2n+1 - 2n+2 + 8 - 2 = (2n - 3)·2n+1 + 6.即数列{cn} 的前 n 项和 Tn = (2n - 3)·2n+1 + 6.……15 分17. (1) PA ⊥ 平面 ABC, ∴ PA ⊥ CB,又 AC ⊥ CB,PA ∩ AC = A,∴ BC ⊥ 平面 PAC,从而 CB ⊥ AD. ……2 分又 AP = AC, D 是 PC 的中点, ∴ CP ⊥ AD. ……3 分CB ∩ CP = C, ∴ AD ⊥ 平面 PBC,从而 PB ⊥ AD. ……4 分又 DE ⊥ PB,AD ∩ DE = D, ∴ PB ⊥ 平面 ADE. ……6 分(2) 由 PA ⊥ 平面 ABC, ∴ PA ⊥ AB,又 PB ⊥ 平面 ADE 得 PB ⊥ AE,∴ 在 Rt△PAB 中,PA2 = PB·PE = 14 PB2,即 PB = 2PA = 4, ……7 分从而 AB = 2 3 ,BC = 2 2 . ……9 分 以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,依题意可得 A(0,0,0),B(2 2 ,2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),D(0,1,1),即AD→ = (0,1,1),AB→ = (2 2 ,2,0),……10 分设平面 ADB 的法向量 m = (x,y,z),由m·AB→ = 0,m·AD→ = 0,{得 2 2 x + 2y = 0,{y + z = 0,令 x = 1,得 m = (1, -2 , 2 ). ……12 分由(1) 知平面 ADE 的一个法向量为PB→ = (2 2 ,2, - 2),……13 分设平面 ADE 与平面 ADB 的夹角为 α,则 cosα =| cos < m,PB→ > | =2 25 × 4=1010 ,即平面 ADE 与平面 ADB 夹角的余弦值为1010 . ……15 分高二数学答案 第2 页 (共 4 页) (2026. 7)18. (1) 由题意可得1a2 + 34b2 = 1,e =a2 - b2a=32 .ìîíïïïïïï ……2 分解得 a = 2,b = 1.{ ……4 分所以椭圆 C 的方程为x24 + y2 = 1. ……5 分(2) 显然 P(0,1),当直线 l 的斜率不存在时,设 l: x = x0(| x0 | < 2 且 x0 ≠ 0)则 A(x0,1 - x024 ),B(x0, -1 - x024 ). ……6 分∴ kAP·kBP =1 -1 - x024- x0·1 +1 - x024- x0= 14 .即当直线 l 的斜率不存在时,不符合要求.……7 分当直线 l 的斜率存在时,设直线的方程为 y = kx + t(t ≠ 1).……8 分联立y = kx + tx24 + y2 = 1ìîíïïïï,消去 y 得(4k2 + 1)x2 + 8tkx + 4t2 - 4 = 0,……9 分则 Δ = (8tk) 2 - 4(4k2 + 1)(4t2 - 4) = 16(4k2 + 1 - t2) > 0, ……10 分设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1 + x2 = -8tk4k2 + 1,x1x2 = 4t2...
