2025———2026 学年第一学期期末考试高二数学试卷参考答案一、选择题 1 - 4 ADBC 5 - 8 BACC二、选择题 9. ABD 10. CD 11. ABC三、填空题 12. 2n - 12n 13. ( - 7,3) 14. 2 77四、解答题15. (1) 圆心 C1(2, - 3),则 | C1A | =( - 2 - 2) 2 + (0 + 3) 2 = 5,……2 分| C1B | =(2 - 0) 2 + ( - 4 + 3) 2 =5 ,……4 分所以 | C1A | > | C1B | ,故点 A 在圆 C1 外,点 B 在圆 C1 内,∴5 < r < 5,即 r 的取值范围为( 5 ,5)……6 分(2)∵线段 AB 的中点( - 1, - 2) 在圆 C1 上,……7 分∴( - 1 - 2) 2 + ( - 2 + 3) 2 = r2,即 r =10 .……9 分又 | C1C2 | =( - 1 - 2) 2 + (1 + 3) 2 = 5,……11 分∴10 - 2 < | C1C2 | <10 + 2,圆 C1 与圆 C2 是相交关系……13 分16. (1) 连接 BD,设 AC 与 BD 交于 O 点,连接 PO.∵底面 ABCD 是正方形,∴O 为 BD 的中点,又 P 为 SD 的中点, ∴OP ∥ BS,……2 分∵OP ⊂ 平面 PAC,BS ⊄ 平面 PAC, ∴BS ∥ 平面 PAC.……4 分(2)∵SA ⊥ 底面 ABCD, ∴SA ⊥ BD,又 AC ⊥ BD,且 SA ∩ AC = A∴BD ⊥ 平面 SAC,……6 分又 CS ⊂ 平面 SAC, ∴CS ⊥ BD.……8 分(3) 以 A 为原点,以 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 SA = 4,则 B(2,0,0),S(0,0,4),P(0,1,2),C(2,2,0).∴AP→ = (0,1,2),AC→ = (2,2,0),……9 分设 n1 = (x,y,z) 是平面 PAC 的一个法向量,则由n1·AP→ = 0n1·AC→ = 0{,得 y + 2z = 0{2x + 2y = 0,令 z = 1,∴n1 = (2, - 2,1).……11 分又 n2 =AB→ = (2,0,0) 是平面 PAD 的一个法向量. ……12 分高二数学答案 第1 页 (共 4 页) (2026. 2)设二面角 D - AP - C 的平面角为 θ,由图可知 θ 为锐角,……13 分∴cosθ =cos < n1,n2 >=| n1·n2 || n1 |·| n2 | =43 × 2 = 23 .即二面角 D - AP - C 的余弦值为 23 .……15 分17. (1) 由已知条件得3a2 +34b2 = 1,a2 - b2 = 1.ìîíïïïïï……2 分解得a2 = 4,{b2 = 3.……4 分所以椭圆 C 的方程为x24 + y23 = 1.……5 分(2) 直线 l 的方程为 y -32 = x -3 ,即 y = x -32 .……6 分设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立x24 + y23 = 1,y = x -32 .ìîíïïïïï化简得 7x2 - 4 3 x - 9 = 0,所以x1 + x2 = 4 37 ,x1x2 = - 97 .ìîíïïïïï……8 分∴| MN | =2(x1 + x2) 2 - 4x1x2 =2(4 37 ) 2 + 367 = 10 67.……11 分又点 P(0, 3 ) 到直线 l 的距离 d =| 0 -3 -32 |2= 3 64……13 分所以 △PMN 的面积为 12 × 10 67× 3 64= 4514.即 △PMN 的面积为4514.……15 分18. (1) 证明:因为 an+2 = 4an+1 - 3an,bn = an+1 - an,所以 bn+1 = an+2 - an+1 = 4an+1 - 3an - an+1 = 3(an+1 - an) = 3bn.……2 分又 b1 = a2 - a1 = 1.……3 分所以{bn} 是首项为 1,公比为 3 的等比数列.……4 分(2) 由(1) 可得 bn = 3n-1,则 cn = 2n + 1bn= 2n + 13n-1 ,……5 分高二数学答案 第2 页 (共 4 页) (2026. 2)Sn = 330 + 531 + 732 + 933 + … + 2n - 13n-2+ 2n + 13n-1 ,……6 分13 Sn = 331 + 532 + 733 + … + 2n - 13n-1+ 2n + 13n,……7 分两式相减得: 23 Sn = 330 + 231 + 232 + 233 + … +23n-2 +23n-1 - 2n + 13n,……8 分即 23 Sn = 3 +23 × (1 -13n-1)1 - 13- 2n + 13n= 4 - 2n + 43n.……9 分则 Sn = 6 - n + 23n-1 .……10 分(3)∵bn = an+1 - an = 3n-1.……11 分∴an - an-1 = 3n-2,……12 分an-1 - an-2 = 3n-3,……a3 - a2 = 31,a2 - a1 = 30,将以上(n - 1) 个式子左、右分别相加,得 an - a1 = 30 + 31 + 32 + … + 3n-2 = 1 - 3n-11 - 3 .……15 分所以 an = 1 + 1 - 3n-11 - 3= 1 + 3n-12(n ≥ 2).……16 分又 a1 = 1 也满足上式,所以数列{an} 的通项公式为 an = 1 + 3n-12.……17 分19. (1)∵点 A 与 B(2,1) 关于直线 y = x 对称, ∴A(1,2),……1 分又点 A 在抛物线 C 上, ∴22 = 2p × 1,解得 p = 2,……2 分所以 C 的方程为 y2 = 4x.……3 分(2) 如图,过点 P 作 PQ 垂直于抛物线的准线 x = - 1,垂足为Q,则 | PF | =| PQ | ,……5 分∴| PF | +| PB | =| PQ | +| PB | ≥| BB′ | = 3,即 | PF | +| PB | 的最小值为 3.……7 分(3) 设直线 MN 的方程为 x = ty + m,设 M(x1,y1),N(x2,y2).由x = ty + m,{y2 = 4x.∴y2 - 4ty - 4m = 0,……9 分高二数学答案 第3 页 (共 4 页) (2026. 2)∴Δ = 16t2 + 16m > 0, ∴t2 + m > 0,y1 + y2 = 4t,{y1y2 = - 4m.……10 分∴AM→·AN→ = (x1 - 1,y1 - 2)·(x2 - 1,y2 - 2)= (y12 - 4)(y22 - 4)16+ (y1 - 2)(y2 - 2)= (y1 - 2)(y2 - 2)[1 + (y1 + 2)(y2 + 2)16] = 0.……11 分∵(y1 - 2)(y2 - 2) ≠ 0, ∴1 + (y1 + 2)(y2 + 2)16= 0,……12 分∴y1y2 + 2(y1 + y2) + 20 = 0,∴- 4m + 8t + 20 = 0, ∴m = 5 + 2t,……13 分∴直线 MN 的方程为 x = ty + m = ty + 5 + 2t = (y + 2)t + 5,即直线 MN 过定点D(5, - 2).……15 分∵AH ⊥ MN, ∴点 G 为 AD 中点时, | GH | 为定值,此时 G(3,0),……16 分且 | GH | = | AD |2= 2 2 .……17 分高二数学答案 第4 页 (共 4 页) (2026. 2)
