洛阳市 2025———2026 学年第一学期期中考试高二数学试卷参考答案一、选择题 CBAA DBCA二、选择题 ACD ABC BD三、填空题 12. 53 13. 4 14. ( - ∞ , -2 ] ∪ [ 2 , + ∞ )四、解答题15. (1) 由直线 l1:3x + 2y - 8 = 0 即 y = - 32 x + 4 可得其斜率为 - 32 ,……1 分根据垂直关系可设所求直线方程为 y = 23 x + b,……2 分则依题意有 1 = 23 × 4 + b,解得 b = - 53 ,……4 分所以所求直线方程为 y = 23 x - 53 ,整理得 2x - 3y - 5 = 0.……5 分(2) 联立 3x + 2y - 8 = 0,{2x - y - 3 = 0.解得 x = 2,{y = 1.即直线 l1 与 l2 的交点为(2,1),……6 分当直线经过原点时,满足题意,经过点(2,1) 得 x - 2y = 0;……8 分当直线的截距都不为 0 时,设直线方程为 xa + yb = 1(a,b ≠ 0),……9 分依题意a = b,2a + 1b = 1.ìîíïïïï解得 a = 3,{b = 3.……11 分此时直线方程为 x + y - 3 = 0,……12 分综上所述:所求直线方程为 x - 2y = 0 或 x + y - 3 = 0.……13 分16. (1) 根据题意以 C 为原点,CA,CB,CC1 为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则 A(2,0,0),B(0,2,0),D(2,0,1),B1(0,2,2),C1(0,0,2),所以AD→ = (0,0,1),C1D→ = (2,0, - 1),C1B1→ = (0,2,0),……3 分设平面 B1C1D 的法向量 n = (x,y,z),所以n·C1D→ = 0,n·C1B1→ = 0.{即 2x - z = 0,{2y = 0.……5 分高二数学答案 第1 页 (共 4 页) (2025. 11)令 x = 1,则 z = 2,所以 n = (1,0,2),……6 分点 A 到平面 B1C1D 的距离 d = | AD→·n || n |= 25= 2 55 .……8 分(2) 易得 m = (1,1,0) 为平面 ABB1A1 的一个法向量,……10 分设平面 B1C1D 与平面 ABB1A1 夹角为 θ,cosθ =| cos < m,n > | = | m·n || m | | n | =12 · 5=1010 ,……12 分所以 sinθ =1 - (1010 ) 2 = 31010.……14 分即平面 B1C1D 与平面 ABB1A1 夹角的正弦值为31010.……15 分17. (1) 由题设,线段 AB 的中点为 D( - 32 , - 12 ) 且 kAB =1 - ( - 2)- 1 - ( - 2) = 3,由 CD ⊥ AB 知 kCD = - 13 ,……1 分所以直线 CD 方程为 y + 12 = - 13 (x + 32 ),即 x + 3y + 3 = 0,……2 分联立 x + 3y + 3 = 0,{x + y - 1 = 0.解得 x = 3,{y = - 2.即得 C(3, - 2),……4 分而 r =| CA | =| CB | = 5,……5 分所以圆的方程为(x - 3) 2 + (y + 2) 2 = 25.……6 分(2) 因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 7 ,所以圆 C 到直线 l 的距离 d =52 - ( 7 ) 2 = 3 2 .……7 分① 当直线 l 的斜率不存在时,此时圆心 C 到直线的距离为 0,不符合题意……8 分② 当直线 l 的斜率存在时,设 l:y - 4 = k(x - 3),即 kx - y + 4 - 3k = 0……10 分所以| 3k + 2 + 4 - 3k |k2 + 1= 3 2 ,……11 分解得 k = 1 或 k = - 1.……13 分∴ 直线 l 的方程为 x - y + 1 = 0 或 x + y - 7 = 0.……15 分18. (1) 连接 BE,由题意得 △ADE 为等边三角形,则 DE = AE = AD = 2,……1 分在 △BCE 中,EC = 2,BC = 2,∠BCE = 120°, ∴ BE = 2 3 ,……2 分由 BE = 2 3 ,AE = 2,AB = 4,则 AE2 + BE2 = AB2,故 BE ⊥ AE.……3 分又 BD = 4,则 BE2 + DE2 = BD2,所以 BE ⊥ DE,……4 分又 AE ∩ DE = E,AE,DE ⊂ 平面 ADE,所以 BE ⊥ 平面 ADE,……5 分高二数学答案 第2 页 (共 4 页) (2025. 11)又 BE ⊂ 平面 ABCE,所以平面 ADE ⊥ 平面 ABCE.……6 分(2) 如图,以点 E 为坐标原点,以 EA,EB 所在直线分别为 x 轴,y 轴,过 E 垂直于平面ABCE 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 ...
