2025年高考数学试卷（北京）（空白卷）

第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷共 12 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数 z 满足，则（ ）A. B. C. 4D. 83. 双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 4. 为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）A. 横坐标变成原来的倍，纵坐标不变B. 横坐标变成原来的 2 倍，纵坐标不变C. 纵坐标变成原来的倍，横坐标不变D. 纵坐标变成原来的 3 倍，横坐标不变5. 已知是公差不为 0 的等差数列，，若成等比数列，则（ ）A. B. C. 16D. 186. 已知，则（ ）第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为 D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 39. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 N 个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中 k 为常数．在此条件下，已知训练数据量 N 从个单位增加到个单位时，训练时间增加20 小时；当训练数据量 N 从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）A. 2B. 4C. 20D. 4010. 已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11. 抛物线的顶点到焦点的距离为 3，则________．12. 已知，则________；________．第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司13. 已知，且，，写出满足条件的一组________，_________．14. 某科技兴趣小组通过 3D 打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 ABCDEF 是一个平行多边 形 ， 平 面平 面 ABC ， 平 面平 面 ABC ，，，若，则该多面体的体积为________．15. 关于定义域为 R 的函数，以下说法正确的有________．①存在在 R 上单调递增的函数使得恒成立；②存在在 R 上单调递减的函数使得恒成立；③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，．（1）求 c；（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求 BC 的高．第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司①；②；③面积为．17. 四棱锥中，与为等腰直角三角形，，E 为 BC的中点．（1）F 为 的中点，G 为 PE 的中点，证明：面 PAB；（2）若面 ABCD，，求 AB 与面 PCD 所成角的正弦值．18. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取 100 人，甲校有 80 人答对，乙校有 75 人答对用频率估计概率．（1）从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率．（2）从甲、乙两校各随机抽取 1 人，设 X 为做对的人数，求恰有 1 人做对的概率以及 X 的数学期望．（3）若甲校同学掌握这个知识点则有的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）19. 已知的离心率为，椭圆上的点到两焦点距离之和为 4，（1）求椭圆方程；（2）设 O 为原点，为椭圆上一点，直线与直线，交于 A，B．与的面积为，比较与的大小．第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司20. 函数的定义域为，为处的切线．（1）的最大值；（2），除点 A 外，曲线均在上方；（3）若时，直线过 A 且与垂直，，分别于 x 轴的交点为与，求的取值范围．21. ，从 M 中选出 n 个有序数对构成一列：．相邻两项满足：或，称为 k 列．（1）若 k 列的第一项为，求第二项．（2）若为 k 列，且满足 i 为奇数时，：i 为偶数时，；判断：与能否同时在中，并说明；（3）证明：M 中所有元素都不构成 k 列．