函数的单调性知识梳理
函数的单调性知识梳理（精选6篇）
函数的单调性知识梳理 第1篇
幂函数、指数函数和对数函数知识点梳理
函数是高中数学的一个基本而重要的知识点，它的有关概念和理论是研究运动变化着的变量间相互依赖关系的规律的工具。在高考试题中占有很大的比重。在高中阶段是运用集合、对应的思想，即“映射”的观点去概括函数的一般定义，深化函数的概念。函数作为中学数学的重要知识体系，不但其自身内容十分丰富，而且与不等式、数列、三角、复数、解析几何等都紧密相连，因此，要用运动变化，相互联系，相互制约，相互转化的观点和方法去分析问题和解决问题。此外，还应重视数形结合，分类讨论，等价转化（包括变形，换元等）等重要的思想方法的运用，加强函数与各部分知识间的联系，加强综合运用知识和方法的能力，在函数复习中应给予高度的.现将有关知识点作如下归纳，供复习参考.1．幂函数
(1)定义形如y=x的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形 α
2．指数函数和对数函数
(1)定义
指数函数，y=a(a＞0，且a≠1)，注意与幂函数的区别．
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)．
指数函数y=a与对数函数y=logax互为反函数． xx
(2)指数函数y=a(a＞0，且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如表1-2． x
(3)指数方程和对数方程
指数方程和对数方程属于超越方程，在中学阶段只要求会解一些简单的特殊类型指数方程和对数方程，基本思想是将它们化成代数方程来解．其基本类型和解法见表1-3．
函数的单调性知识梳理 第2篇
（学生朗读．）
师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？
生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．
师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！
（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）
师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．
（指图说明．）
师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．
（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）
师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……
（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）
生：较大的函数值的函数．
师：那么减函数呢？
生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．
（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）
师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？
（学生思索．）
学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．
（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）
生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．
师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？
生：不能．因为此时函数值是一个数．
师：对．函数在某一点，由于它的`函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？
生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．
（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）
师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．
师：还有没有其他的关键词语？
生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．
师：你答的很对．能解释一下为什么吗？
（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）
师：“属于”是什么意思？
生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．
师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？
生：可以．
师：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．
师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？
（让学生思考片刻．）
生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．
师：那么如何来说明“都有”呢？
生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．
师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．
（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）
师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．
（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）
三、概念的应用
例1图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？
（用投影幻灯给出图象．）
生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．
生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？
师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，
（增或减）．反之不然．
例2证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．
师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．
（指出用定义证明的必要性．）
师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．
（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）
师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a―b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．
生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，
f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，
所以f（x）是增函数．
师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．
这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以
小．
（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）
调函数吗？并用定义证明你的结论．
师：你的结论是什么呢？
上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．
生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．
生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．
域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．
上是减函数．
（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：
（1）分式问题化简方法一般是通分．
（2）要说明三个代数式的符号：k，x1・x2，x2-x1．
要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．
对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）
四、课堂小结
师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？
（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）
生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．
五、作业
1．课本P53练习第1，2，3，4题．
数．
=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）
=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）
+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．
课堂教学设计说明
函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．
另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．
还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．
函数的单调性知识梳理 第3篇
探究式教学是以探究为基本特征的一种教学活动形式, 课堂教学中的探讨和研究包含着师生之间的交流、互动和对话.这种教学方式可以充分调动学生自主学习, 自主探究的积极性和主动性, 让学生在不断地探究过程中体验数学发现和创造的历程, 感受成功的喜悦和快乐, 发展学生的创新意识, 培养学生的创新能力.那么在平时的教学中教师应如何引导学生有效地开展探究活动呢?本文就一次关于对勾函数单调性的探究式教学谈谈自己的做法和体会.
1 (部分) 课堂教学实录
在学习过高中新课程人教A版数学必修1的函数单调性与奇偶性内容后, 笔者在一次上课前提出如下问题:学校准备建造一个长方形花坛, 面积为16平方米, 由于周围环境的限制, 每边的长度均不能超过8米, 也不能少于2米, 求花坛的长与宽两边之和的最小值与最大值.
师:如何将实际问题归结为数学问题?
经过短暂的独立思考, 学生将实际问题归结为如下的数学问题:
设花坛一边长为x米, 则另一边长为
由
所以两边之和
师:如何求f (x) 的最大 (小) 值?
生1:取x=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8代入计算, 发现当x=4时, f (x) 最小;当x=2或8时, f (x) 最大.因此,
生2:生1的说法是错误的, 因为他并没有取遍区间[2]上的所有值.我认为解决问题的关键是探讨f (x) 的单调性, 并由此确定f (x) 的最大 (小) 值.
师:很好!那么如何探讨
生2:可以描点画图, 观察图像, 发现f (x) 的单调性.
学生画图后, 教师问道:f (x) 的单调性如何?
生3:画图发现f (x) 在[2]上递减, 在[4, 8]上递增.
由于作图时描出点的个数多少不同及作图精度的差异, 学生得到的结论并不一致, 于是课堂上出现了激烈的争论.突然生4大声说道:“生3的结论是正确的”.
师:为什么?
生4:因为
所以当
由此可猜测:f (x) 在[2]上递减, 在[4, 8]上递增, 并且可用函数单调性的定义证明结论的正确性.
教师对生4的探究精神给予充分地肯定, 并投影展示了该生的证明过程.至此课前问题获得解决.但教师并没就此罢休, 而是趁热打铁, 因势利导地提出问题:
函数
学生思维的积极性又一次被调动起来, 经过学生间充分地探讨与交流, 得到如下解法.
解法1 类比生4的思路, 由
猜想:f (x) 在 (0, 4]上为减函数, 在[4, +∞) 上为增函数, 并给出证明 (略) .
解法2 设0<x1<x2, 则
若f (x1) -f (x2) >0, 由0<x1<x2, 知x1x2-16<0, 即
又x1x2<x
因此, 当0<x1<x24时, 有f (x1) -f (x2) >0, f (x) 在 (0, 4]上为减函数.
同理可得f (x) 在[4, +∞) 上为增函数.
我对学生的精彩表现给予了高度的评价, 到此, 学生体验了一次成功的学习经历, 脸上洋溢着幸福的微笑.
师:函数
学生又一次陷入沉思状态.稍后, 学生便纷纷发表自己的见解.
生5:类比探究
所以当
f (x) max=-8.
猜想:f (x) 在 (-∞, -4]上为增函数, 在[-4, 0) 上为减函数, 证明 (略) .
生6:类比探究
设x1<x2<0, 则
若f (x1) -f (x2) >0, 由x1<x2<0, 知x1-x2<0且x1x2>0, 必需x1x2-16<0即
x1x2<16.
又x1x2<x
因此, 当-4x1<x2<0时, 有f (x1) -f (x2) >0, f (x) 在[-4, 0) 上为减函数.
同理可得f (x) 在 (-∞, 4]上为增函数.
生7:由于
这正是新课程理念所期待的课堂学习氛围.
师:很好!现在请大家归纳函数
学生尝试画图后, 教师选择几幅具有典型问题的图像 (如画成一、三象限内的两支抛物线等) 投影展示, 并让大家发表见解.
师:上述图像是否正确?你能通过f (x) 的解析式去探究它的图像特征吗?
一石激起千层浪, 学生学习的热情异常高涨.突然, 生8激动地要求发言, 教师鼓励他到讲台边画边讲.
生8: (边画边讲) 当x>0时, 由
接着教师用几何画板画出了
随后在教师的引导下, 学生由特殊到一般归纳并证明了对勾函数
最后, 作为对本节课探究结论及方法的巩固与练习, 我布置了如下思考题:
讨论函数
2 教学体会与反思
2.1 转变学生的学习方式, 让学生成为知识的主动建构者
丰富学生的学习方式, 改进学生的学习方法是《普通高中数学课程标准 (实验) 》追求的基本理念, 该理念认为学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受等被动学习方式, 强调应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等主动学习方式, 让学生成为知识的主动建构者.在传统课堂中, 关于对勾函数
2.2 教师应注意加强自身的专业修养, 做好教学的策划、组织和指导工作
《普通高中数学课程标准 (实验) 》指出:教师是学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者, 应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料, 有比较开阔的数学视野, 并积累指导学生进行数学探究的资源.新课程对教师的专业化成长提出了更高的要求.因此, 教师只有不断地学习才能适应新的挑战, 决不能因循守旧, 故步自封.本案例中的函数
参考文献
[1]徐斌艳.新课程与“数学教学内容”[M].南宁:广西教育出版社, 2004.
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (实验) [S].北京:人民教育出版社, 2003.
分段函数的单调性 第4篇
（A） （0，1）
（B） 0，
（C） ，
（D） ，1
错解： 当x<1时， f（x）=（3a-1）x+4a递减，得3a-1<0，即a<；当x≥1时， f（x）=logax递减，得0
错因分析：这一错误解法在同学中普遍存在， 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f（x）单调递减的意义，没有从全局上理解函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减的深刻含义.
事实上，当x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减，并不能保证f（x）在（-∞，+∞）上递减. 如图1所示，当x1 真正满足题意的是图2的情形，从图上可以看出：除了要满足x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减外，还必须满足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判断分段函数单调性时，要特别注意临界情况的分析. 正解：由题意得3a-1<0，0 【练一练】 （1） 若函数f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为 . （A） （1，+∞） （B） （1，8） （C） （4，8） （D） [4，8） （2） 若函数f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在区间（0，+∞）上单调递增， 则实数a 的取值范围是 . （3） 已知函数f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，数列{an}满足：an=f（n），n∈N*且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 . 【参考答案】 （1）由题意得a>1，4->0，4-×1+2≤a， 所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，选D. （2） 由题意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1， 所以- （3） 当x>7时，由于{an}是递增数列，所以ax-6递增，a>1.同理，x≤7时，（3-a）x-3递增，所以3-a>0，a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得，a∈（2，3）.
例： 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是 .
（A） （0，1）
（B） 0，
（C） ，
（D） ，1
错解： 当x<1时， f（x）=（3a-1）x+4a递减，得3a-1<0，即a<；当x≥1时， f（x）=logax递减，得0
错因分析：这一错误解法在同学中普遍存在， 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f（x）单调递减的意义，没有从全局上理解函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减的深刻含义.
事实上，当x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减，并不能保证f（x）在（-∞，+∞）上递减. 如图1所示，当x1 真正满足题意的是图2的情形，从图上可以看出：除了要满足x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减外，还必须满足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判断分段函数单调性时，要特别注意临界情况的分析. 正解：由题意得3a-1<0，0 【练一练】 （1） 若函数f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为 . （A） （1，+∞） （B） （1，8） （C） （4，8） （D） [4，8） （2） 若函数f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在区间（0，+∞）上单调递增， 则实数a 的取值范围是 . （3） 已知函数f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，数列{an}满足：an=f（n），n∈N*且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 . 【参考答案】 （1）由题意得a>1，4->0，4-×1+2≤a， 所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，选D. （2） 由题意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1， 所以- （3） 当x>7时，由于{an}是递增数列，所以ax-6递增，a>1.同理，x≤7时，（3-a）x-3递增，所以3-a>0，a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得，a∈（2，3）.
例： 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是 .
（A） （0，1）
（B） 0，
（C） ，
（D） ，1
错解： 当x<1时， f（x）=（3a-1）x+4a递减，得3a-1<0，即a<；当x≥1时， f（x）=logax递减，得0
错因分析：这一错误解法在同学中普遍存在， 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f（x）单调递减的意义，没有从全局上理解函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减的深刻含义.
事实上，当x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减，并不能保证f（x）在（-∞，+∞）上递减. 如图1所示，当x1 真正满足题意的是图2的情形，从图上可以看出：除了要满足x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减外，还必须满足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判断分段函数单调性时，要特别注意临界情况的分析. 正解：由题意得3a-1<0，0 【练一练】 （1） 若函数f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为 . （A） （1，+∞） （B） （1，8） （C） （4，8） （D） [4，8） （2） 若函数f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在区间（0，+∞）上单调递增， 则实数a 的取值范围是 . （3） 已知函数f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，数列{an}满足：an=f（n），n∈N*且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 . 【参考答案】 （1）由题意得a>1，4->0，4-×1+2≤a， 所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，选D. （2） 由题意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1， 所以- （3） 当x>7时，由于{an}是递增数列，所以ax-6递增，a>1.同理，x≤7时，（3-a）x-3递增，所以3-a>0，a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得，a∈（2，3）.
函数的单调性证明 第5篇
一．解答题（共40小题）
1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．
2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．
3．证明f（x）=
在定义域为[0，+∞）内是增函数．
4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．
第1页（共23页）
5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．
6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．
7．证明：函数y=
在（﹣1，+∞）上是单调增函数．
8．求证：f（x）=
在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
9．用函数单调性的定义证明函数y=
在区间（0，+∞）上为减函数．
第2页（共23页）
10．已知函数f（x）=x+．
（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若
＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．
11．证明：函数f（x）=
在x∈（1，+∞）单调递减．
12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．
13．判断并证明f（x）=
在（﹣1，+∞）上的单调性．
14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．
第3页（共23页）
15．求函数f（x）=的单调增区间．
16．求证：函数f（x）=﹣
﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
17．求函数的定义域．
18．求函数的定义域．
19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+
（2）f（x）+2f（）=3x．
20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．
第4页（共23页）
21．求下列函数的解析式
（1）已知f（x+1）=x2求f（x）
（2）已知f（）=x，求f（x）
（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）
（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）
22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．
第5页（共23页）
23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．
24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．
25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．
26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式．
27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．
28．已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．
第6页（共23页）
29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．
30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）
31．求下列函数的解析式：
（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；
（2）已知f（）=，求f（x）．
32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．
33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．
34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式．
第7页（共23页）
35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．
36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式．
37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）
38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．
39．若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式．
40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．
第8页（共23页）
第9页（共23页）
函数的单调性证明
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：
；
∵x1＜x2＜0；
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增． 【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+
=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减，设≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10页（共23页）），则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增．
3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）内是增函数．
【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则：
=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．
4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数． 【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=
﹣（=
；
；
因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数．
5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 【解答】解：设x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+
=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11页（共23页）
∴x1﹣x2＜0，2+
＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．
6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）
因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函数在[0，+∞）是单调递增函数．
7．证明：函数y=
在（﹣1，+∞）上是单调增函数．
=1﹣
在在区间（﹣1，+∞），【解答】解：∵函数f（x）=可以设﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，﹣1+=
∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0
∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数；
8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
第12页（共23页）
【解答】证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，﹣（﹣）=﹣=，∴若x1＜x2＜0，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．
若0＜x1＜x2，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增． 即f（x）=
9．用函数单调性的定义证明函数y=【解答】解：∵函数y=可以设0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数；
10．已知函数f（x）=x+．
（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．
﹣
=
＞0，在区间（0，+∞）上为减函数． 在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
在区间（0，+∞），【解答】（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）解：∵＞0对任意x∈[4，5]恒成立，第13页（共23页）
∴x﹣a＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．
11．证明：函数f（x）=
在x∈（1，+∞）单调递减．
【解答】证明：设x1＞x2＞1，则：
；
∵x1＞x2＞1；
∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在x∈（1，+∞）单调递减．
12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数． 【解答】证明：①在（0，1）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣
；）﹣（）），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣
＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是减函数． ②在[1，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）
第14页（共23页）
=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣
＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函数．
13．判断并证明f（x）=【解答】解：f（x）=证明如下：
在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=
﹣
=，在（﹣1，+∞）上的单调性． 在（﹣1，+∞）上的单调递减．
∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=
14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2
∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
第15页（共23页）
在（﹣1，+∞）上的单调递减．
﹣x2﹣=（x1﹣x2）+
﹣
=（x1﹣x2），所以f（x）在（0，2）上是单调减函数．
15．求函数f（x）=的单调增区间．
=1﹣的单调递增区间为【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞）
故答案为：（﹣∞，0），（0，+∞）
16．求证：函数f（x）=﹣
﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：
；
∵x1＜x2＜0；
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
17．求函数的定义域．
【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．
18．求函数的定义域．
第16页（共23页）
【解答】解：由故函数定义域为{x|x＜}
．
19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+
（2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+
=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．
20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：
3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①×3﹣②×2得：
5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．
21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）
（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）
【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣
第17页（共23页）
1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令
=t，求得 x=，∴f（t）=，∴f（x）=
．
（3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求 ∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．
（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=由①②求得f（x）=x2+
22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x① 令x=，则2f（）+f（x）=②，①×2﹣②得： 3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣
23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，① 等号两边同时以代x，得：3f（）+2f（x）=，② 由①×3﹣2×②，解得 5f（x）=3x﹣，∴函数f（x）的解析式：f（x）=x﹣
24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．
第18页（共23页）
②，．
．
（x≠0）．
【解答】解：∵x＞0时，x+≥2且函数f（x+）=x2+（）2=设t=x+，（t≥2）； ∴f（t）=t2﹣2；
即函数f（x）=x2﹣2（其中x≥2）．
=2，﹣2；
25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1，联立消去f（﹣x），可得f（x）=﹣3x﹣．
26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式． 【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①，用﹣x代替x，得：
2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②； ①×2﹣②得：
3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1，∴f（x）=3x+．
27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①，∴4f（）﹣5f（x）=…②，①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+∴f（x）=﹣x﹣
第19页（共23页），．
28．已知函数f（【解答】解：令t=则由f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． +2，（t≥2），x=（t﹣2）2．
+2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1．
∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）．
29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①，可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x． ∴f（x）=4x．
f（x）的解析式：f（x）=4x．
30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，∴a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，若a=3，则4b=8，解得b=2，此时f（x）=3x+2，若a=﹣3，则﹣2b=8，解得b=﹣4，此时f（x）=3x﹣4．
31．求下列函数的解析式：
（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．
【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2+1，第20页（共23页）
∴f（x）=（x﹣1）2+1；（2）令m=（m≠0），则x=，∴f（m）==，∴f（x）=（x≠0）．
32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=则f（t）=4（）2﹣6•
；
+5=t2﹣5t+9，故f（x）=x2﹣5x+9．
33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 【解答】解：令t=2x，则x=t，∴f（t）=t2﹣t﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣1．
34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：设f（x）=ax+b，∴f（f（x）=a（ax+b）+b，∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f（x）= x﹣．
第21页（共23页）
35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5，设x+2=t，则x=t﹣2，∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15，∴f（x）=x2﹣7x+15．
36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得 f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6 则函数f（x）的解析式为f（x）=2x2+5x+6
37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①，用﹣x代替x，得：
3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②； ①×3﹣②×2得：
5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x，∴f（x）=2x．
38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．
【解答】解：设∴x=（t﹣1）2； ∵f（+1）=x2+2+1=t，则t≥1，∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）．
39．若函数f（【解答】解：令）=
+1，求函数f（x）的解析式．
=t（t≠1），则=t﹣1，第22页（共23页）
∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3，∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）．
40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．
【解答】解：（1）变形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x﹣3；
（2）方程f（x+1）=0可化为（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0，化简可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2
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函数的单调性反思 第6篇
积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利 用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。
(一)注意与初中内容的衔接
函数这章内容是与初中数学最近的结合点，如果初中代数中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就有障。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数概念，要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要内容，包括函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函数的性质等等；又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此，因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作。
(二)注意数形结合本章的内容中图象占有相当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别注意利用函数图象，使学生不仅能从图象观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有函数图象来印证的思维方式。在教学过程中要注意培养学生绘制某些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯
(三)注意与其他章内容的联系
本章是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识。因此，要经常联系前一章的内容来学习本章，又如学会二次不等式解集的表示就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上来。简易逻辑中的充要条件在本章中就章节的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。
函数的单调性知识梳理
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