北师大平行线的证明

北师大平行线的证明（精选12篇）

北师大平行线的证明 第1篇

平行证明

1．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，求∠CDE的度数．

4．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．

2．已知如图射线AB∥CD，P为一动点，∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于点E（1）当P运动到线段AC上时，∠APC=180°（图1），此时∠AEC为多少度？（不要求证明）

（2）当P运动到如图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC 的关系，并说明理由？（3）当P运动到如图3的位置时，上述结论还成立吗？（不要求说明理由）

（1）如图①，当∠BOC=70°时，求∠DOE的度数；

（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化，说明理由；

（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，画出图形，直接写出相应的∠DOE的度数（不必写出过程）．

5．如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．

3．如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC=70°，CD是∠BCF的平分线，求∠CDE的度

6．如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B=180°．

（1）求证：DE∥BC；（2）如果∠AMD=75°，求∠AGC的度数．

数．

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7．已知：如图，CD∥AB，CD∥GF，FA与AB交于点A，FA与CD交于点E． 求证：∠A=∠1+∠C．

11．如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG．（1）说明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数．

8．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．

12．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°．

（1）求∠DOF的度数；（2）试说明OD平分∠AOG．

9．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=B，（1）证明：EF∥AB．（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．

13．如图，直线AB，CD被直线BD，DF所截，AB∥CD，FB⊥DB，垂足为B，EG平分∠DEB，∠CDE=50°，∠F=25°．（1）求证：EG⊥BD；（2）求∠CDB的度数．

10．如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E在BC边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点B落在AD边上的F点处，折痕为AE．

（1）判断EF与CD的位置关系，并说明理由；（2）如果∠C=110°，求∠AEB的度数．

14．如图，EF∥AD，AD∥BC，∠DAC=120°．（1）若AB平分∠DAC，求∠ABC的度数．（2）若∠ACF=20°，求∠BCF的度数．

（3）在（2）的条件下，若CE平分∠BCF，求∠CEF的度数．

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2018年04月10日138****6042的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共1小题）1．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE= 20 度．

（3）当P运动到如图3的位置时，上述结论还成立吗？（不要求说明理由）

【分析】（1）根据∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于点E，即可得出∠BAE=∠EAC，∠DCE=∠ACE，再利用平行线的性质求出即可；

（2）作EM∥BA，PN∥BA，根据平行的传递性，再根据两直线平行内错角相等的性质可求；

（3）根据平行的传递性，再根据两直线平行内错角相等的性质以及平角性质即可求出． 【解答】解：（1）过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于点E，∴∠BAE=∠EAC，∠DCE=∠ACE，∴∠BAE+∠CEF=90°；

∴∠AEC=180°，此时∠AEC为90度；

（2）作EM∥BA，PN∥BA，∴∠BAE=∠AEM，∠MEC=∠ECD，∠APN=∠BAP，∠NPC=∠PCD，∵∠BAE=∠EAP，∠PCE=∠ECD，又∵∠AEC=∠AEM+∠MEC，∠APC=∠APN+∠NPC，∴∠AEC=∠APC；

（3）作EW∥AB，EP∥AB，同理即可得出：2∠AEC=360°﹣∠APC，∴∠AEC=180°﹣∠APC．

【分析】由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，又由CF∥DE，所以∠CDE=∠DCF． 【解答】解：过点C作CF∥AB，已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，∴AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC=180°，∴∠BCF=60°，∴∠DCF=20°，∴∠CDE=∠DCF=20°． 故答案为：20．

【点评】此题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．

二．解答题（共13小题）

2．已知如图射线AB∥CD，P为一动点，∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于点E（1）当P运动到线段AC上时，∠APC=180°（图1），此时∠AEC为多少度？（不要求证明）

（2）当P运动到如图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC 的关系，并说明理由？

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【点评】此题主要考查了平行线的性质以及平行线的传递性等知识，解题的关键是正确作出辅助线，然后根据两直线平行内错角相等的性质解此类题．

3．如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC=70°，CD是∠BCF的平分线，求∠CDE的度数．（写理解）

【分析】由AB∥CF，∠ABC=70°，易求∠BCF，∠DCF，又DE∥CF，那么易求∠DCF． 【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC=70°，∴∠BCF=∠ABC=70°，∵CD是∠BCF的平分线，∴∠BCD=∠DCF=35°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE=180°，∴∠CDE=145°．

【点评】本题利用了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，牢记平行线的性质是解题的关键．

4．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．

（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化，说明理由；

（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，画出图形，直接写出相应的∠DOE的度数（不必写出过程）． 【分析】（1）由∠BOC的度数求出∠AOC的度数，利用角平分线定义求出∠COD与∠COE的度数，相加即可求出∠DOE的度数；

（2）∠DOE度数不变，理由为：利用角平分线定义得到∠COD为∠AOC的一半，∠COE为∠COB的一半，而∠DOE=∠COD+∠COE，即可求出∠DOE度数为45度；

（3）分两种情况考虑，同理如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°． 【解答】解：（1）如图，∠AOC=90°﹣∠BOC=20°，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=∠AOC=10°，∠COE=∠BOC=35°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°；

（2）∠DOE的大小不变，理由是：

∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠COB=（∠AOC+∠COB）=∠AOB=45°；

（3）∠DOE的大小发生变化情况为，如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°，分两种情况：如图3所示，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=（∠AOC﹣∠BOC）=45°；

（1）如图①，当∠BOC=70°时，求∠DOE的度数；

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如图4所示，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，∴∠DOE=∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=×270°=135°．

【点评】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．

5．如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD=∠BEG，∠H=20°，求∠G的度数．

【分析】已知∠HFD=∠BEG且∠BEG=∠AEF，从而可得到∠HFD=∠AEF，根据同位角相等两直线平行可得到DC∥AB，根据平行线的性质可得到∠HDC=∠DAB，已知∠HDC与∠ABC互补，则∠DAB也与∠ABC互补，根据同旁内角互补即可得到AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠G的度数．

【解答】解：∵∠HFD=∠BEG且∠BEG=∠AEF，∴∠HFD=∠AEF，∴DC∥AB，∴∠HDC=∠DAB，∵∠HDC+∠ABC=180°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC，∴∠H=∠G=20°．

【点评】此题主要考查学生对平行线的判定及性质的综合运用能力．

6．如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B=180°．（1）求证：DE∥BC；

（2）如果∠AMD=75°，求∠AGC的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BHD=180°，求出∠B=∠DHB，根据平行线的判定得出即可；

（2）根据平行线的性质求出∠AGB=∠AMD=75°，根据邻补角的定义求出即可． 【解答】解：（1）∵AB∥DF，∴∠D+∠BHD=180°，∵∠D+∠B=180°，∴∠B=∠BHD，∴DE∥BC；

（2）∵DE∥BC，∴∠AGB=∠AMD，即∠AMD=75°，∴∠AGB=75°，∴∠AGC=180°﹣∠AGB=180°﹣75°=105°．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，邻补角的定义的应用，能求出DE∥BC是解此题的关键．

7．已知：如图，CD∥AB，CD∥GF，FA与AB交于点A，FA与CD交于点E． 求证：∠A=∠1+∠C． 证明：

∵CD∥GF，FA与CD交于点E（已知），∴∠C=∠GFC（两直线平行，内错角相等）． ∵∠GFA=∠1+∠GFC（已知），∴∠GFA=∠1+∠C（等量代换）． ∵CD∥AB，CD∥GF，（已知），∴AB∥GF（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A=∠GFA（两直线平行，内错角相等），∴∠A=∠1+∠C（等量代换）． ．

【分析】先由平行线的性质得出∠C=∠GFC，再由∠GFA=∠1+∠GFC得出∠GFA=∠1+∠C，根据CD∥AB，CD∥GF可知AB∥GF，故可得出∠A=∠GFA，由此可得出结论． 【解答】证明：∵CD∥GF，FA与CD交于点E（已知），∴∠C=∠GFC（两直线平行，内错角相等）．

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∵∠GFA=∠1+∠GFC（已知），∴∠GFA=∠1+∠C（等量代换）． ∵CD∥AB，CD∥GF，（已知），∴AB∥GF（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A=∠GFA（两直线平行，内错角相等），∴∠A=∠1+∠C（等量代换）． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．

8．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．

（1）证明：EF∥AB．

（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．

【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2=∠A=∠1，根据平行线的判定推出即可；

（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3=180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可． 【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠1=∠A，∴AB∥CD；

（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3=180°，∵∠D=∠3+60°，∠CBD=70°，∴∠3=25°，∵AB∥CD，∴∠C=∠3=25°．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．

9．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=B，【分析】（1）根据∠1+∠2=180°，∠1+∠DFE=180°，可得∠2=∠DFE，由内错角相等，两直线平行证明EF∥AB；

（2）根据∠3=∠ADE，∠3=∠B，由同位角相等，两直线平行证明DE∥BC，故可根据两直线平行，同位角相等，可得∠AED与∠C的大小关系． 【解答】解：（1）∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知），∴∠2=∠4，∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）；

（2）∠AED与∠C相等． ∵EF∥AB，∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等），∵∠3=∠B（已知），∴∠B=∠ADE（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．

【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，综合运用平行线的判定与性质定理是解答此题的关键．

10．如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E在BC边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点B落在AD边上的F点处，折痕为AE．（1）试判断EF与CD的位置关系，并说明理由；（2）如果∠C=110°，求∠AEB的度数．

【分析】（1）EF与CD平行，理由为：由EF，CD都与AD垂直，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；

（2）由EF与CD平行，利用两直线平行同位角相等得到∠BEF=∠C=110°，由折叠得到

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∠AEB=∠AEF，即可求出∠AEB的度数． 【解答】解：（1）EF与CD平行，理由为： ∵∠B=∠AFE，∠B=∠D=90°，∴∠AFE=∠D，∴EF∥CD；

（2）∵EF∥CD，∴∠BEF=∠C=110°，∵∠AEB=∠AEF，∴∠AEB=∠C=55°．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

11．如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG．（1）说明：DC∥AB；（2）求∠PFH的度数．

∴∠GFH=∠GFE=54°，∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣54°=26°．

【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定，首先利用同位角相等两直线平行证明直线平行，然后利用平行线的性质得到角的关系解决问题．

12．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°．

（1）求∠DOF的度数；

（2）试说明OD平分∠AOG．

【分析】（1）由DC∥FP知∠3=∠2=∠1，可得；

（2）由（1）利用平行线的判定得到AB∥PF∥CD，根据平行线的性质得到∠AGF=∠GFP，∠DEF=∠EFP，然后利用已知条件即可求出∠PFH的度数． 【解答】解：（1）∵DC∥FP，∴∠3=∠2，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1，∴DC∥AB；

（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF=28°，∴∠DEF=∠EFP=28°，AB∥FP，又∵∠AGF=80°，∴∠AGF=∠GFP=80°，∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+28°=108°，又∵FH平分∠EFG，【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解；

（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解． 【解答】解：（1）∵AE∥OF，∴∠FOB=∠A=30°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=∠FOB=30°，∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°；

（2）∵OF⊥OG，∴∠FOG=90°，∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°，∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，∴∠AOD=∠DOG，∴OD平分∠AOG．

【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键．

13．如图，直线AB，CD被直线BD，DF所截，AB∥CD，FB⊥DB，垂足为B，EG平分∠DEB，第8页（共9页）

∠CDE=50°，∠F=25°．（1）求证：EG⊥BD；（2）求∠CDB的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义，可得∠DAB的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠ABC的度数；

（2）根据平行线的性质，即可得出∠ACB的度数，再根据角的和差关系，即可得到∠BCF的度数；

（3）根据角平分线的定义，可得∠BCE的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠CEF的度数． 【解答】解：（1）∵AB平分∠DAC，∠DAC=120°，∴∠DAB=60°，又∵AD∥BC，∴∠ABC=∠DAB=60°；

（2）∵AD∥BC，∠DAC=120°，∴∠ACB=180°﹣120°=60°，又∵∠ACF=20°，∴∠BCF=60°﹣20°=40°；

（3）∵CE平分∠BCF，∴∠BCE=∠BCF=20°，又∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠CEF=∠BCE=20°．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BED=∠CDE=50°，由角平分线的定义得到∠DEQ=25°，然后根据平行线的性质即可得到结论；

（2）由（1）得∠FBE=∠BFG=25°，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠CDE=50°，∴∠BED=∠CDE=50°，∵EG平分∠DEB，∴∠DEQ=25°，∵∠F=25°，∴BF∥EG，∵FB⊥BD，∴EG⊥BD；

（2）由（1）得∠FBE=∠BFG=25°，∵∠FBD=90°，∴∠EBD=65°，∵AB∥CD，∴∠CDB=115°． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

14．如图，EF∥AD，AD∥BC，∠DAC=120°．（1）若AB平分∠DAC，求∠ABC的度数．（2）若∠ACF=20°，求∠BCF的度数．

（3）在（2）的条件下，若CE平分∠BCF，求∠CEF的度数．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

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北师大平行线的证明 第2篇

2011乌鲁木齐

20如图，在ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G。

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。

C

2012南京中考（8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点

（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。

（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折

叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE=AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 2

2A E D

B

特殊的平行四边形

2010河南中考

（9分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．

（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；；

（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

AD

两道有关平行线的证明经典题例 第3篇

这个几何事实常常被忽视, 其实大有用处, 有时运用起来妙不可言.下面例举两道经典题供大家欣赏.

例1如图2, 在五边形A1A2A3A4A5中, B1是A1对边A3A4的中点, 连接A1B1, 我们称A1B1是这个五边形的一条中对线.如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分.

求证:五边形的每条边都有一条对角线和它平行.

证明:如图3, 取A1A5中点B3, 连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5.

因为A3B1=B1A4,

所以S△A1A2A3=S△A1B1A4.

又因为四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4B5的面积相等,

所以S△A1A2A3=S△A1A4A5.

同理S△A1A2A3=S△A3A4A5,

所以S△A1A4A5=S△A3A4A5.

所以△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等,

所以A1A3∥A4A5.

同理可证A1A2∥A3A5, A2A3∥A1A4, A3A4∥A2A5, A5A1∥A2A4.

例2如图4, △ABC的面积是10, 点D、E、F (与A、B、C不同的点) 分别位于AB、BC、CA各边上, 而且AD=2, DB=3.如果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等, 求这个相等的面积值.

“三法”证明线面平行 第4篇

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

北师大平行线的证明 第5篇

一、填空题（每空3分，共 42分）

1、“两直线平行，同位角互补”是命题（填真、假）

2、把命题“对顶角相等”改写成“如果„那么„”的形式

3、如图所示，∠1+ ∠2=180°，若∠3=50°，则∠X Kb1.C om4、如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°,则∠∠

5、在△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，则∠

6、在△ABC中，∠B—∠C=40°，则∠

7、在三角形中，最多有个锐角，最多有个钝角（或直角）

8、△ABC的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为

9、在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I, 若∠A=60°，则∠

10、已知如图，平行四边形ABCD中，E为AB上一点，DE与AC交于点F，AF∶FC=3∶7，则AE∶

二、选择题（每小题3分，共18分）

11、下列命题是真命题的是（）A、同旁内角互补B、直角三角形的两锐角互余C、三角形的一个外角等于它的两个内角之和 D、三角形的一个外角大于内角

12、下列语句为命题的是（）A、你吃过午饭了吗？B、过点A作直线MNC、同角的余角相等D、红扑扑的脸蛋

13、命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）

A、垂直B、两条直线C、同一条直线D、两条直线垂直于同一条直线

14、已知△ABC的三个内角度数比为2∶3∶4，则个三角形是（）Xk B 1.co m

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形

15、如图，一个任意的五角星，它的五个内角的度数和为（）

A、90°B、180°C、360°D、120°

16、如图，AB∥EF，∠C=90°，则α、β、γ的关系为

（）

A、β=α+γB、α+β+γ=180°C、β+γ-α=90°

D、α+β-γ=90°

三、完型填空（每空2分，共8分）

17、已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线。

求证：∠A= 2∠H

证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠ABC+∠A

（）

∠2是△BCD的一个外角，∠2=∠1+∠H()

∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线

∴∠1= 11∠ABC，∠2= ∠ACD（）2

2∴∠A =∠ACD-∠ABC= 2（∠2∠1（等式的性质）

∴∠A= 2∠H（）

四、解答题（每题8分，共 32分）

18、已知如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE。求证：∠1> ∠

219、求证：两条直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直。（提示：先画图，写出已知，求证，然后进行证明）

19、已知如图，O是四边形ABCD的两条对角线的交点，过点O作OE∥CD，交AD于E，作OF∥ BC，交AB于F，连接EF。

求证：EF∥BD20、已知如图，AB∥DE。（1）、猜测∠A、∠ACD、∠D有什么关系，并证明你的结论。

平行线的证明 第6篇

命题一般由条件和结论组成。通常可以写成如果…那么…的形式。如果引出的是条件那么引出的是结论。

正确的为真命题不正确的为假命题

要证明一个命题是假命题通常要举一个例子，使它具备问题得条件不具备问题得结论，我们称这样的例子为反例。

经过证明的真命题为定理

平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。

（内错角相等，两直线平行）

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么

两条直线平行。

（同位角相等，两直线平行）

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行。

（同旁内角互补，两直线平行）

平行线的性质：两直线平行同位角相等

两直线平行内错角相等

两直线平行同旁内角互补

平行线及其判定练习题

一、选择题:

1.如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()

A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD

A

D

AE

DA

E

C

(1)(2)(3)2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么()

A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF3.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是()

A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE4.下列说法错误的是()

A.同位角不一定相等B.内错角都相等

C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行

5.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互()A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交

二、填空题:

1.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是______.2.在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.CD3.如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是

三、训练平台:(每小题15分,共30分)

1.如图所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,试说明DC∥AB.A

2.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=•30°,试说明AB∥CD.E

AC

四、提高训练:

K

H

BD

如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?•为什么?

de

abc

五、探索发现:

如图所示,请写出能够得到直线AB∥CD的所有直接条件.24AC

B

657D

六、中考题与竞赛题:

(2000.江苏)如图所示,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:•①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为()

A.①②B.①③C.①④D.③④

c

41a

平行线的证明练习 第7篇

练习

1、已知，如图AB∥CD，直线EF分别截AB、CD于点M、N，MG、NH分别是∠EMB与 ∠END的平分线，试说明MG∥NH.。证明：∵AB∥CD（已知）,∴________＝________（）.∵MG平分∠EMB（已知）,∴________＝________＝1________（）.∵NH平分∠END（已知）,∴________＝________＝1________（）.∴________＝________（）.∴_______∥________（）.2、已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D, 试说明∠A＝∠F.证明：∵AF与DB相交（已知）

∴________＝________（）.∵∠1＝∠2（已知）,∴________＝________（）.∴_______∥________（）.∴________＝∠D().∵∠C＝∠D（已知）,∴________＝________（）.∴________∥________（）.∴________＝________（）.3、已知，如图，AB∥EF, ∠ABC＝∠DEF，试判断BC和DE的位置关系，并说明 理由.证明：连接BE, 交CD于点G.∵AB∥EF（已知）,∴________＝________（）.∵∠ABC＝∠DEF（已知）,∴_______－_______＝_______－______（）∴________＝________（）.∴________∥________（）.

北师大平行线的证明 第8篇

在之前的学习中,我们曾运用同位角证明一个十分典型的对边平行的图形———等 腰梯形 . 受这个图形的启发,我制作了平行线校对器. 之所以采用圆形框架,主要是通过圆形的对称性, 可以选择在原线段的上面或者下面作平行线,其次,通过调节半径长短及线段与圆的交点的位置可以控制平行线间的距离.

通过制作这个校对器,我发现学习数学,不仅要能够将所学知识与实际生活相结合,更需要考虑实用性以及它的可操作性,将自己的知识与实践结合,进行创造,这样才是真正的学以致用.

平行线相交的证明 第9篇

在两条平行直线之间，任意取三点，连成三角形。为计算简便（三角关系），我采用直角三角形；

设长边为c，直角边分别为a，b，其中b是两平行线间的距离。开始时，p点位于初位置，夹角为θ；

则有c＝a＋b，c·sinθ＝b，c·cosθ＝a；

现将p点向右移动，我们可以知道：当p点无限向右移动的过程中，存在一点p′，使得可以θ很小，这时候可以忽略sinθ，cosθ二阶以上222

b无穷小，即sinθ＝θ＝tanθ＝；cosθ＝1； a

则有c＝a＋b，c·sinθ＝c·＝b，c·cosθ＝c·1＝a； 222b

a

c∴c＝a＋b，＝1，c＝a； a222∴c＝a＋b，c＝a；

平行线的性质证明题 第10篇

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

也可以简单的说成：

1.同位角相等两直线平行

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

也可以简单的说成：

2.内错角相等两直线平行

3.同旁内角相等两直线平行

这个是平行线的性质

一般地，如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

也可以简单的说成：

1.两直线平行，同位角相等

2.两直线平行，内错角相等

3.两直线平行，同旁内角互补

2已知以下基本事实：①对顶角相等;②一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行;④全等三角形的对应边、对应角分别相等.在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有①②

①②

(填入序号即可).考点：平行线的性质.分析：此题属于文字证明题，首先画出图，根据图写出已知求证，然后证明，用到的知识由一条直线截两条平行直线所得的同位角相等与对顶角相等，故可求得答案.解答：解：如图：已知：AB∥CD，求证：∠2=∠3.证明：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，(一条直线截两条平行直线所得的同位角相等)

∵∠1=∠3，(对顶角相等)

∴∠2=∠3.故用的基本事实有①②.3本节是在学生掌握了“探索直线平行的条件”和“平行线的特征”后的一节巩固和提高的综合习题课，怎样区分平行线性质和判定，是教学中的重点和难点。

引例：(从实际情景出发，激发学生的求知欲)

探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关。如图所示的是探照灯的纵剖面，从位于E点的灯泡发出的两束光线EA、EC经灯碗反射以后平行射出。

试探索∠AEC与∠EAB、∠ECD之间的关系，并说明理由。

你能把这个实际问题转化为数学问题吗?

例题1(一题多证)：已知AB∥CD,探索三个拐角∠E与∠A，∠C之间的关系

(E在AB与CD之间且向内凹)

※本题的难点在引导学生添加辅助线构造三线八角及如何利用已知条件AB∥CD。

添加辅助线的方法有以下四种：

证法一：过点E作MF∥AB

∴∠AEM=∠A

又∵AB∥CD

∴EF∥CD

∴∠MFC=∠C

又∠AEC=∠AEM+∠MEC

∴∠AEC=∠A+∠C

证法二：延长AE交AB于F

∵AB∥CD

∴∠A=∠AFC

又∠AEC=∠C+∠AFC

∴∠AEC=∠A+∠C

证法三：延长CE交AB于F

(略，与证法二类似)

证法四：连接AC

∵AB∥CD

∴∠BAC+∠ACD=180°

即∠BAE+∠EAC+∠ACE+∠ECD=180°

又∠EAC+∠ACE+∠AEC=180°

∴∠AEC=∠BAE+∠ECD

※通过一题多证，加深了学生对平行线的特征的理解和运用。

例题2(一题多变)已知AB∥CD,如果改变E点与AB、CD的位置关系，且∠E、∠A、∠C依然存在，有哪几种情况?请画出图形，并证明

图1中结论，∠AEC+∠A+∠C=360°

证：过点E作EF∥AB

∵AB∥CD

∴EF∥CD

∴∠A+∠AEF=180°,∠FEC+∠C=180°

∴∠A+∠AEF+∠FEC+∠C=360°

即∠AEC+∠A+∠C=360°

图2中结论，∠AEC=∠C-∠A

证：过点E作EF∥AB

∵AB∥CD

∴EF∥CD

∴∠FEA+∠A=180°

∠FEC+∠C=180°

∴∠FEA-∠FEC=∠C-∠A

即∠AEC=∠C-∠A

图3中结论，∠AEC=∠A-∠C

证：过点E作EF∥AB

∵AB∥CD

∴EF∥CD

∴∠FEA+∠A=180°

∠FEC+∠C=180°

∴∠FEC-∠FEA=∠A-∠C

即∠AEC=∠A-∠C

例题3(一题多变)将例1和例2的条件和结论对换，以上结论都成立重点练习近平行线的性质和判断(证明过程略)

图形条件结论∠AEC=∠A+∠CAB∥CD∠AEC+∠A+∠C=360°AB∥CD∠AEC=∠C-∠AAB∥CD∠AEC=∠A-∠CAB∥CD拓展延伸

观察以下二个图形，这些拐角之间的关系有什么规律?

提示：分别过E1，E2，E3……En作AB的平行线即可证得

平行线的证明的精选试题 第11篇

知识梳理：

定理判定平行线性质真命题推论证明应用分类内角和定理三角形证明命题推论（外角）公理假命题反例条件（题设部分）结构结论

一、选择填空题。

二、三、1.已知，如图6－74，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：∠EGH>∠ADE.2、已知，如图6－76，∠B=32°,∠D=38°,AM、CM分别平分∠BAD、∠BCD，求∠M的度数.你能把它一般化吗？你会证明如下结论吗？AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD.求证：∠M=1（∠B+∠D）在探索的活动过程中，体会由特殊到一般的过程.培

2养他们分析、综合、归纳的能力.4、如图所示，在△ABC中，延长CA到E，延长BC到F，D是AB上的一点。

求证：∠ACF∠ADE

E

D

B C5、如图，点D在△ABC的边BC上，连结AD，在线段AD上任取一点E。

北师大平行线的证明 第12篇

这里以人教版一年级下册“找规律”为例, 见下图:

这里的一个“应”字, 就是不妥当的。它意味着找的规律只有一种 (两个一组间隔出现) , 第一排的第10面旗只能是黄色, 即“红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红, 黄”。

小学数学界一向认为, 此题的答案非“黄”不可, 必须让学生无条件地接受“两两间隔”这一规律。这妥当吗?

事实上, 我们可以找到许多其他的规律, 使得第10面旗是“红”。

例1: (9个一组, 周期重复) 于是第9、第10;第18、第19, 连续两面都是红旗, 即:

红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红;红, ……

例2: (10个一组, 最后两面都是红旗) 第9、10、11连续地出现三面红旗, 即:

红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红, 红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红、红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红, 红;红……

你能说这不是规律吗?

实际上, 找规律问题是一个开放性问题。任何一个有限序列, 都可以生成无限的多种的规律。认为只有一个规律, 推断出“必须是什么”和“应该是什么”, 把开放题封闭成一个唯一答案的题目, 在数学上是不对的。

有人说, 小学生只能找最简单的一种, 多种规律是以后的事情。这可以理解。但问题在于, 小学数学的大量课件、教师用书都没有指出这是一个开放性问题。有些文章在讨论, 重复几次才算“规律”, 更是误导。

怎么办?只要改一个字:把“后面一个应是什么”改成“后面一个会是什么”就可以了。“应”和“会”一字之差, 意义完全不同。苏步青先生在指导中小学教材编写时, 提出“混而不错”的原则。用在找规律的时候是, 如果问“会是什么”, 其答案可以有许多种, 其意义比“应是什么”宽泛许多。至于将来在几年级将它当做一个开放性问题来处理, 可以讨论, 但是必须有这样一步才好。

让我们回到“三角形内角和为180度”的问题上。马建平和戎松魁两位老师的争论点, 在于矩形可否定义为“四个角都是直角的四边形”。马老师认为可以, 于是就认为由此可以证明三角形内角和定理, 而无需平行公理。戎老师认为不可以, 必须用平行四边形定义矩形, 由此说明三角形内角和定理不能绕开平行公理。

笔者认为, 两位老师都有对的部分, 也有不对的部分。马老师觉得矩形可以定义为“有四个直角的四边形”, 这是对的。但是, 以为由此定义出发, 可以避开平行公理来证明三角形内角和为180度, 则是错的。戎老师坚持三角形内角和定理, 必须使用平行公理, 这是对的。但是, 说矩形不能定义为“有四个直角的四边形”, 则是不对的。

实际上, 将矩形定义为“四个角都是直角的四边形”, 完全可以。属和种差式的逻辑定义方法, 并没有规定所从属的“属”必须是其外延最相近的。打个比方, 要定义“杭州人”, 可以说成“居住在杭州的中国人”, 没有错。也就是说, 并非一定要把“杭州人”定义为“居住在杭州的浙江人”, 因为二者是等价的。对于矩形的“四直角”定义, 一旦服从平行公理, 就和“有一个角是直角的平行四边形”定义等价 (如果没有平行公理, 那么两者是不等价的) 。

然而, 如同马建平老师和许多其他文章所说的那样, 可以从“四个角都是直角的四边形”出发, 绕开平行公理就能够直接推出“三角形内角和为180度”, 则是不可能的。理由如下。

依照四个角都是直角的矩形定义, 自然得出矩形的内角和是360度, 这毫无问题。矩形的对角线把矩形分为两个一样的直角三角形, 只要运用平移旋转的刚体运动也可以做到。小学生也知道一点平移、旋转、对称的知识, 可以直观地接受, 严密地逻辑证明需要引用合同公理得出两个三角形三边相等则全等的结论, 逻辑上引用就是了。于是, 得到了如下的结论:“矩形对角线分成的两个直角三角形, 每一个的内角和都是180度。”逻辑的正确性到此为止。问题在于, “任意的直角三角形, 是不是都能成为某一个矩形用对角线分成的直角三角形?”这需要证明, 不能想当然。马老师及许许多多作者都振振有词地把两者混为一谈, 犯了逻辑上的错误。

换句话说, 马老师等作者的所谓证明, 必须从任意的“直角三角形”出发, 作出一个矩形, 使其成为该矩形的一半。但是没有平行公理, 这是作不出来的。那个貌似正确的三角形内角和证明, 这一关过不去, 整个证明的逻辑链条就断裂了。

马建平老师可能会说, 从已知的直角三角形出发, 作一个和自身一样的直角三角形, 两者拼起来就是一个矩形。这是一厢情愿。这样拼起来的四边形只有两个直角;无法证明它有四个直角, 除非引进平行公理。

这就是说, 想从“矩形有四个直角”作为矩形的定义出发, 避开平行公理来证明三角形内角和为180度的企图, 是决然不可能实现的。