2015年高考数学试卷（江苏）（解析卷）

2015 年江苏省高考数学试卷 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1．（5 分）（2015•江苏）已知集合 A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合 AB∪中元素的个数为 ． 2．（5 分）（2015•江苏）已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ． 3．（5 分）（2015•江苏）设复数 z 满足 z2=3+4i（i 是虚数单位），则 z 的模为 ． 4．（5 分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ． 5．（5 分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、1 只红球、2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 ． 6．（5 分）（2015•江苏）已知向量 =（2，1）， =（1，﹣2），若 m +n =（9，﹣8）（m，n∈R），则 mn﹣ 的值为 ． 7．（5 分）（2015•江苏）不等式 2＜4 的解集为 ． 8．（5 分）（2015•江苏）已知 tanα=2﹣ ，tan（α+β）= ，则 tanβ 的值为 ． 9．（5 分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ． 10．（5 分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线 mxy2m1=0﹣ ﹣﹣（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 11．（5 分）（2015•江苏）设数列{an}满足 a1=1，且 an+1a﹣ n=n+1（n∈N*），则数列{}的前 10 项的和为 ．第 1 页 | 共 19 页 12．（5 分）（2015•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y﹣ 2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 xy+1=0﹣的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为 ． 13．（5 分）（2015•江苏）已知函数 f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数为 ． 14．（5 分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2…，，12），则（ak•ak+1）的值为 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14 分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，A=60°．（1）求 BC 的长；（2）求 sin2C 的值． 16．（14 分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱 ABCA﹣1B1C1中，已知 ACBC⊥，BC=CC1，设 AB1的中点为 D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面 AA1C1C；（2）BC1AB⊥1． 17．（14 分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2的距离分别为 20 千米和2.5 千米，以 l2，l1在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y=（其中 a，b 为常数）模型．第 2 页 | 共 19 页 （1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t．①请写出公路 l 长度的函数解析式 f（t），并写出其定义域；②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度． 18．（16 分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程． 19．（16 分）（2015•江苏）已知函数 f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论 f（x）的单调性；（2）若 b=ca﹣ （实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f（x）有三个不同的零点时，a 的取∞值范围恰好是（﹣ ，﹣3）∪（1， ）∪（ ，+∞），求 c 的值． 20．（16 分）（...