高中数学概念课型及其教学设计

高中数学概念课型及其教学设计（精选6篇）

高中数学概念课型及其教学设计 第1篇

高中数学概念课型及其教学设计

谭国华

【专题名称】高中数学教与学 【专 题 号】G312 【复印期号】2014年02期

【原文出处】《中学数学研究》(广州)2013年6上期第4～8页 【作者简介】谭国华，广州市教育局教研室（510030）.在我国高中数学教学中，有按课型特点设计和组织教学的传统.但是，对于如何划分课型以及如何认识每一类课的一般结构特点等问题，一直以来都未得到很好的解决.究其原因，主要是我们过去对高中数学课型的研究基本上是依据广大教师的教学实践经验，对课型结构特点的归纳总结，或者只是泛泛而谈，提出一些基本原则，缺乏可操作性；或者因人而异，不同人的观点有很大的不同.因此，原有的课型理论对课堂教学的指导作用有限.在过去，由于受教育心理学特别是教学心理学发展所限，要想用心理学的研究成果来指导中小学课堂教学的研究也是心有余而力不足，更别说是用来指导课型的研究.但现在的情况大不相同了.从1980年代以来，教育心理学与中小学课堂教学的关系越来越紧密，对中小学课堂教学的指导作用越来越直接而有力.近几年，我们借助教育心理学的研究成果，特别是学习心理学和教学心理学的研究成果指导课型的研究，取得较为可喜的成效.具体做法是，一方面使高中数学课型的理论保持我国传统课型理论中课型的整体性与综合性特点，以方便操作；同时，融入现代学习理论关于学习分类的观点，对每一种课型中涉及的主要知识的类型及其学习的过程、有效学习的条件进行深入的分析，以此为高中数学教学设计奠定坚实的科学基础.本文仅对有关高中数学概念课型及其教学设计的研究成果作简要介绍.一、高中数学概念课型的基本特点

我国传统的课型概念有两种含义：一是指课的类型，它是按某种分类基准（或方法）对各种课进行分类的基础上产生的.例如，《中国大百科全书。教育卷》（1985年版）中关于课的类型，是指根据不同的教学任务或按一节课主要采用的教学方法来划分课的类别.二是指课的模型，它是在对各种类型的课在教学观、教学策略、教材、教法等方面的共同特征进行抽象、概括的基础上形成的模型、模式.在这种意义下，课型可以看作是微观的课堂教学模式.本文所指的课型主要是指课的类型，是根据一节课（有时是连续的两节或三节课）承担的主要教学任务来划分的，但是同时它也兼具课的模型的含义.这是因为根据教学心理学的有关理论，不同的教学任务分属不同的知识类型，而不同类型知识的学习过程与学习所需的内、外部条件是不同的，这就导致了不同的课堂教学结构.具有某种特点的课堂教学结构实际上就是微观的课堂教学模式，也即是课的模型.在高中数学教学中，数学概念可以划分为原始概念和定义性概念.原始概念一般是通过对一系列的例证直接观察和归纳而习得，这类概念一般不需单独设课讲授，只需结合其他概念或规则的学习附带进行即可习得.而定义性概念中的那些次要的和易学的数学概念往往也不单独设课讲授.但是，在高中数学概念中，有许多重要的定义性概念往往是要单独设课讲授的，这一类课是具有共同的课堂教学结构特点的，于是，我们将这一类需要单独设课讲授的、重要的定义性概念课统称为高中数学概念课型.1.教学任务分析

高中数学概念课型的主要教学任务是使学生掌握概念所反映的一类事物的共同本质属性，以及运用概念去办事，去解决问题.因此，高中数学概念学习主要应作为程序性知识学习.根据学习心理学关于定义性概念的学习过程与条件的分析，高中数学概念教学有三项内容：一是要明确数学概念是什么，也就是要帮助学生习得概念，这将涉及前面提到的四个方面即概念的名称、定义、属性和例证的分析；二是要运用概念去办事，即将习得的数学概念运用到各种具体情境中去解决相应的问题；三是要辨明相关概念间的关系，形成概念系统.其中前两项内容完全属于高中数学概念课型的教学任务，第三项内容中一般只有部分内容属于概念课型的教学任务，形成完整的概念系统则属于高中数学复习课型的教学任务，我们将在复习课型中进行讨论.2.学与教的过程和条件

高中数学概念学与教的一般过程可以以我国教育心理学家皮连生创立的“六步三段两分支”教学模型为线索进行分析.（具体内容请参见参考文献[1]）

第一阶段：习得阶段

主要教学任务是帮助学生习得数学概念，明确数学概念是什么，重点是促进学生对所学数学概念的理解.教学中，帮助学生习得数学概念一般需要做好下面四件事情.首先，揭示概念所反映的一类事物的本质属性，给概念下定义.其次，辨别概念的正例和反例，并结合定义给予恰当的说明.再次，用不同的语言形式对概念加以解释，如将概念的定义由文字语言表述转换为用符号语言或图形语言表述.最后，对概念做深入分析，着重在以下四点：

①辨明所学数学概念与原有相关数学概念之间的关系；

②分析所学数学概念的其他一些重要属性或特征；

③分析所学数学概念及其形成过程中蕴含的数学思想方法；

④分析所学数学概念及其形成过程中蕴含的情感教育内容.当然，并非每一个数学概念的教学都要完成所有这些事情.对于一些简单的、次要的数学概念，有时只需完成前三件事情就可以了.习得概念的基本形式有两种：一种叫概念形成，另一种叫概念同化.①概念形成这是一种从辨别概念的例证出发，逐渐归纳概括出概念的本质属性的学习方式，其心理机制可用奥苏贝尔的上位学习模式来解释.（具体内容见参考文献[1]）

学与教的基本过程：

知觉辨别（提供概念的正例，引导学生分析概念例证的特征）→提出假设（对概念例证的共同本质特征作出假设）→检验假设，使假设精确化→概括（给概念下定义）→辨别概念的正例、反例（正例应有助于证实概念的本质属性，反例应有助于剔除概念的非本质属性）→用不同的语言形式对概念加以解释→对概念做深入分析（分析与相关数学概念之间的关系，揭示概念的其他一些重要属性或特征）.学习的内部条件（即学生自身应具备的条件）：

学生必须能够辨别正、反例证.学习的外部条件（即教学应提供的条件）：

第一，必须为学生提供概念的正、反例，正例应有两个或两个以上，正例的无关特征应有变化，以帮助学生更好地辨别概念的本质属性和非本质属性；正例应连续呈现，最好能同时让学生意识到，以帮助学生形成概括.第二，学生必须能从外界获得反馈信息，以检验其所做的假设是否正确.第三，提供适当的练习，并给予矫正性反馈.采用概念形成的学习方式涉及如何给概念下定义的问题.明确概念的定义方式，对于教师更好地分析概念以及促进学生形成概括是有帮助的.在高中数学中，对于一些重要的数学概念大多数采用属加种差的定义方式.这里的属是指属概念，种是指种概念.属概念和种概念是指具有包含关系的两个概念，即如果概念A的外延真包含概念B的外延，则称概念A为概念B的属概念，而概念B即为概念A的种概念.通常，也称概念A为概念B的上位概念，而概念B即为概念A的下位概念.可用公式表示：

被定义概念=种差+最邻近的属概念.公式中，最邻近的属概念是指在被定义概念的所有上位概念中外延最小的上位概念（属概念），种差就是被定义概念在它的最邻近的属概念里区别于其他种概念的那些本质属性.例如，一元二次不等式的定义是：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.这个定义中，被定义概念是一元二次不等式；最邻近的属概念是不等式；种差是“只含有一个未知数且未知数的最高次数是2”，这是一元二次不等式独有的而且能够将一元二次不等式与其他不等式区别开来的本质属性.②概念同化概念同化是通过直接下定义来揭示一类事物的共同本质属性，从而习得概念的一种学习方式，其心理机制可用奥苏伯尔的下位学习模式来解释.学与教的基本过程：

呈现概念的定义→分析定义，包括揭示概念的本质属性和构成定义的各部分的关系→辨别概念的正例、反例（正例应有助于证实概念的本质属性，反例应有助于剔除概念的非本质属性）→用不同的语言形式对概念加以解释→对概念做深入分析（分析与相关数学概念之间的关系，揭示概念的其他一些重要属性或特征）.学习的内部条件：

学生的原有认知结构中应具有同化新概念的适当的上位概念（或结构），而且这一上位概念（或结构）越巩固、越清晰就越有利于同化新的下位概念.学习的外部条件：

第一，言语指导，以帮助学生更好地理解概念的本质属性.第二，提供符合概念定义的正例和不符合概念定义的反例.第三，提供适当的练习，并给以矫正性反馈.第二阶段：转化阶段

第一阶段习得的概念仍属于概念的陈述性形式.若要运用概念对外办事，则还需将它转化为程序性形式，也就是转化为办事的技能.这是本阶段的主要教学任务，重点是要明确运用概念办事的情境和程序，并在一些典型的情境中尝试运用概念.转化的关键条件是要提供变式练习.运用数学概念办事大致可分两种情况：一种是为数学概念自己办事，解决与数学概念本身有关的问题；另一种是运用概念的本质属性和一些重要的非本质属性去解决有关数学运算、推理、证明问题以及解决实际问题.例如，函数概念的运用，一种是为函数自己办事，如求函数的解析式、函数值、定义域、值域，作函数的图象，判定函数的单调性和奇偶性，求函数的最值等；另一种是运用函数的概念、图象、性质等解决与方程、数列、不等式等相关问题，或建立函数模型解决实际问题.函数概念教学及变式练习的重点就在于熟练掌握每一种情境中办事的程序和步骤.第三阶段：迁移与应用阶段

这是第二阶段的延伸.通过变式练习，学生已能在一些典型的情境中运用概念，已初步形成运用概念对外办事的技能.本阶段是要进一步提供概念应用的新情境，以促进迁移，其关键条件是提供综合练习.综合练习中问题的类型或情境应多样化，和第二阶段相比有类似的，也有新的呈现，以有效地帮助学生在不同情境中独立运用概念解决问题.这一阶段既可在课内完成，也可在课外完成，但通常都要反复多次才能完成.3.高中数学概念课教学的基本程序

根据上面的分析，结合广义知识学与教的“六步三段两分支”教学模型，我们可以将高中数学概念课型教学的基本程序简要归纳为：

第一阶段：习得阶段（习得数学概念）

（1）引起注意与告知目标，使学生对学习新概念产生一定的预期，从而激发学生的学习动机.（2）提示学生回忆原有知识，以便为同化新概念做好准备.（3）引入概念，使学生初步感知概念的本质属性.这里，既要从学生接触过的具体内容引入，也要注意从数学内部提出问题.（4）采用概念形成或概念同化的形式帮助学生习得概念的陈述性形式，即理解概念.第二阶段：转化阶段（将习得的概念转化为办事的技能）

（5）通过变式练习促进学生将习得的陈述性形式的概念转化为程序性形式，即转化为办事的技能.第三阶段：迁移与应用阶段（运用概念对外办事）

（6）通过课外作业、复习、间隔练习和在后续课程内容中应用概念等多种形式，为学生提供概念应用的情境，促进保持与迁移.根据高中数学教学的特点，第一、二两个阶段的5步通常是在课内完成.第三阶段即第6步为概念的巩固、迁移和应用阶段，通常是在课外和后续的课程中完成.对于以学案自学为主的教学则需考察其学案编写以及教师课堂上提供的帮助是否有助于学生完成学习的三个阶段.二、高中数学概念课型教学设计举例

下面以《对数函数及其性质》（具体内容见参考文献[2]第2.2.2节）的教学过程分析为例，具体说明高中数学概念课型的教学设计过程.1.教学任务分析

本节教材有两项学习内容：

（1）对数函数的概念；

（2）反函数的概念.第（1）项内容属于定义性概念学习，需达到掌握水平.对对数函数概念的学习需采用数形结合方法从数和形两个方面展开.第（2）项内容也属于定义性概念学习.高中数学课程标准对反函数的学习要求已经降低.本课学习反函数的概念，主要为了帮助学生明确对数函数和指数函数间的关系，从而深化对数函数概念的理解.因此，本节教材主要是对数函数概念的学习，反函数概念的学习只需达到了解水平即可.本节教材的主要教学任务是对数函数概念的教学，属于概念课型，需按高中数学概念课的课型特点来设计整个教学过程.具体教学要做到三点：

第一，要帮助学生明确对数函数概念是什么，包括四个方面：对数函数的定义、名称、例证和属性.根据函数的特点，对对数函数属性的讨论应包括形和数两个方面.第二，要运用对数函数概念去办事，教材主要要求能解决三方面问题：求对数型函数的定义域，比较两个对数值的大小，解决简单的实际问题.第三，要明确对数函数与指数函数及函数的关系.其中，辨明对数函数概念与指数函数概念的关系需要先介绍反函数概念.本节教材一般应安排2课时.第1课时学习对数函数的概念、图象与性质.第2课时学习运用对数函数解决简单的两数大小比较、运用对数函数模型解决简单实际问题和反函数概念.为了帮助学生形成运用对数函数概念去办事的能力，需要补充适量的变式练习题.2.教学的基本过程

第一阶段：习得阶段.习得对数函数的概念.第一步 引起注意与告知目标.通过本课的学习，学生应能做到：

（1）初步掌握对数函数的概念.包括：

①能陈述对数函数的定义，并能列举正例、反例加以说明；

②能用描点法画出具体对数函数的图象，并能用自己的话描述一般对数函数的图象特征和基本性质；

③能根据对数函数的单调性比较两个对数值的大小.（2）了解反函数的概念，进一步明确对数函数和指数函数之间的关系.（3）通过对实际问题的分析，能初步认识到对数函数模型与现实生活以及与其他学科的密切联系和应用价值，提高数学应用的意识.第二步 复习原有知识.对本课学习影响较大的原有知识，一是函数概念和指数函数概念，二是描点法画函数的图象.对数函数的定义是属加种差的定义方式，函数是其上位概念，也是其最邻近的属概念.因此，在学习新课之前，应帮助学生回忆函数和指数函数的定义，以及函数图象的画法.第三步 采用概念同化方式习得对数函数的定义.习得对数函数的定义可以采用概念形成的方式，也可以采用概念同化的方式.如采用概念形成方式则需列举两至三个正例.我们这里是采用概念同化方式.（1）引入概念

教材提供了一个引例：通过碳14的含量测量出土文物的年代.这个引例能起两方面的作用：一是使学生初步感知对数函数的概念；二是使学生认识对数函数的应用价值，激发学生的学习动机.教师应引导学生观察教材中给出的t和P的取值的对应表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系的函数.（2）呈现并分析定义

根据对数函数的定义方式，分析时要讲清两点：一是最邻近的属概念，二是种差.在对数函数的定义中，最邻近的属概念是函数，函数与对数函数构成了上下位关系，即对数函数是一种函数；种差是指两个变量间的对应关系为

（a＞0，且a≠1），种差也就是对数函数，都有唯一的生物死亡年数t与之对应”，从而说明t是P区别于其他函数的本质属性，即对数函数是一类特殊的函数.分析定义的目的是为了帮助学生形成对定义的深入理解.教师可以提出一些问题供学生思考.例如：定义中为什么要规定a＞0，且a≠1？为什么对数函数义域是（0，+∞）？

（3）列举正例与反例

通过列举正例、反例，帮助学生进一步加深对概念的理解.第四步 采用概念形成方式习得对数函数的图象与性质.（a＞0，且a≠1）的定 对各种不同的函数的概念学习都包括数和形两个方面，画函数图象既是为了获得函数的性质，也是为了从形的方面更好地理解函数概念.将图象上观察到的共同特征用代数语言表达出来，就得到一类函数的性质.这一过程体现了数形结合的基本思想.（1）在同一坐标系内采用描点法画出对数函数的图象

应分0＜a＜1和a＞1两种情况，每种情况至少举两个对数函数的例子，在同一坐标系内采用描点法画出它们的图象.有的教师在教学时，每种情况都只举一例，这是不能形成对共有的关键特征的概括的.有的教师说教材也只举一例，这是不对的.教材中有一段话：“选取底数a（a＞0，且a≠1）的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象.观察图象，你能发现它们有哪些共同特征吗？”教学时应落实教材的这个意图.（2）通过观察图象的特征，概括出一般对数函数的性质

观察和分析图象，归纳它们的共同特征和性质，并由此概括出一般对数函数的图象特征和性质.第二阶段：转化阶段.将习得的对数函数概念转化为办事的技能.第五步 样例学习和变式练习

这一步主要任务是帮助学生学会如何运用概念去办事，其核心是掌握运用的方法与步骤.根据教材的要求，分为三种情况.（1）运用对数函数定义解决求对数型函数的定义域问题

教材中提供了两个例题，均属于对数型的函数.教学中应结合这两个例题分析对数型函数与对数函数的异同，以及总结求这类函数定义域的基本方法.例1 求函数数的定义域：（a＞0，且a≠1）的定义域.通过样例学习后让学生小结求对数型函数的定义域的步骤，并进行变式练习.如求下列函（2）运用对数函数性质解决比较两个对数值大小的问题

教材中提供了三个例题，三个例题分属三种类型.教学中应结合这三个例题，总结运用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的基本方法.同样，先学习样例，然后再进行变式练习.例2 比较下列两个值大小：

在学习例2时，教师可以提出一些问题引发学生的思考.如本题的第①、②小题都可以直接使用计算器计算，然后比较大小.但第③小题则不行.有没有其他统一的方法解决这一类型的问题呢？这种统一的方法实际上就是：利用数形结合，画出图象，再利用函数的单调性则可以比较大小.利用函数的单调性比较大小，将设及构造函数.那么如何构造函数呢？三个小题中的底数不变，真数变化，则可以构造函数：

教师引导学生小结：根据对数函数的单调性比较两个对数值的大小的步骤为：

第1步：依据对数的特点构造对数函数；

第2步：判断函数单调性，有时需要分类讨论；

第3步：利用单调性比较大小，下结论.（3）运用对数函数模型解决简单实际问题

教材提供了一个溶液酸碱度测量问题.通过这一例题，不仅要使学生初步掌握运用对数函数模型解决简单实际问题的方法，而且要帮助学生初步认识到对数函数模型与现实生活以及与其他学科的密切联系，同时，教师还可通过对“对数函数模型”的应用（如航天技术、考古学、生物学等领域）的大致介绍，使学生进一步体会到对数函数模型的应用价值，提高数学应用意识.数学应用意识属于学习分类中的态度学习，亦即数学中情感态度价值观的学习.第六步习得反函数概念

对反函数概念只需达到了解水平，知道指数函数与对数函数是互为反函数即可.具体教学中，可以请学生先阅读教材中的有关内容，然后思考以下问题：

①我们知道表示y是x的函数，由

可以得到，教材上说x也是y的函数，请尝试用自己的话说明理由.②教材上说和y=

都表示函数的反函数，这是何原因？

（a＜0，且a≠1）③请用自己的话说明指数函数是互为反函数.（a＜0，且a≠1）与对数函数y= 第三阶段：迁移与应用阶段.运用对数函数概念对外办事.第七步 提供技能应用的情境（相似的和不同的情境），促进迁移.提供课外作业以及在后续课程中提供运用对数函数概念办事的机会.【参考文献】

[1]皮连生.学与教的心理学(第五版)[M].上海：华东师范大学出版社.2009.[2]刘绍学主编.普通高中课程标准实验教科书·数学必修1(A版)[M].北京：人民教育出版社，2007.^

高中数学概念课型及其教学设计 第2篇

师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具(如图)，所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：

两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转(动画)。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗?

二、实验探究，交流发现

探究1：卵之由来椭圆的形成

(1)单个定椭圆的形成

椭圆的定义：平面内到两定点、的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。(即若平面内的动点到两定点、的距离之和等于常数(大于)，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆。)

思考1：如何使为定值?

(不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段的延长线上取点，使得，此时，为定值则可转化为为定值。)

思考2：若为定值，则点的轨迹是什么?定点与点轨迹的位置关系?

(以定点为圆心，为半径的圆。由于>，则点在圆内。)

思考3：如何确定点的位置，使得，且?

(线段的中垂线与线段的交点为点。)

揭示思路来源：(高中数学选修2-1P497)如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线l和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么?为什么?

(设圆的半径为，由椭圆定义，(常数)，且，所以当点在圆周上运动时，点的轨迹是以为焦点的椭圆。)

图形计算器作图验证：以圆与定点所在直线为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，设圆半径，，即圆，点，则点轨迹是以以为焦点的椭圆，椭圆方程为。

(2)单个动椭圆的形成

思考4：构造一种动椭圆的方式

(由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长为定值，则也要为定值，因此可将圆内点取在圆的同心圆上，当点在圆上动时，即可得到动椭圆。)

图形计算器作图验证：当圆内动点取在圆的同心圆上，运动点，即得到动椭圆。

(3)两个椭圆的形成

观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴对称，且直线过两椭圆公共点，所以直线为两椭圆的公切线。

因而找到公切线，作椭圆关于切线的对称椭圆即可。

探究2：卵之所依切线的判断与证明

线段的垂直平分线与椭圆的位置关系

(1)利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断与椭圆的位置关系.设圆上动点，则线段的中垂线的方程为，将动点的横坐标保存为变量，纵坐标保存为变量，随着点的改变，在Graphs中画出相应的动直线.用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线与椭圆的交点，拖动点，动态观测交点个数的变化，发现无论点在何处，动直线与椭圆只有一个交点，因此判断直线与椭圆相切，并可求出该切点的坐标.也可以将椭圆方程与直线方程联立，用“代数”工具中的solve求出方程组的解，从而判断根的情况.

(2)证明椭圆与直线相切.

不妨设直线：，其中，，与椭圆方程联立，得，因此

，

将，，代入上式，用“代数”工具中的expand()化简式子，得，所以椭圆与直线相切，切点为.

(3)证明由任意圆上的动点和圆内一点确定的椭圆与线段中垂线均相切(反证法)

因为椭圆是点的轨迹，而点是直线与线段中垂线的交点，所以点既在椭圆上，也在直线上。因此，直线与椭圆至少有一个公共点，即直线与椭圆相切或相交。

假设直线与椭圆相交，设另一个交点为(与不重合).因为，所以;又因为，

所以为定值，而，矛盾.因此直线与椭圆相切。

探究3：两卵相依对称旋转椭圆的形成与动画

当圆内动点取在圆的同心圆上，作椭圆关于切线的对称椭圆，运动点，隐藏相关坐标系与辅助圆等图形，呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。

改变一些问题条件，进行深入探究与发现。

探究4：改变点位置，探究点轨迹

(1)曲线判断：利用TI图形计算器作图分析，拖动点，当点在定圆内且不与圆心重合时，交点的轨迹是椭圆;当点在定圆外时，则，交点的轨迹是双曲线;当点与圆心重合时，点的轨迹是圆的同心圆;当点在圆周上时，点的轨迹是是一点(圆心).

(2)方程证明：圆，设点，可解得点的轨迹方程为

当或时，点的轨迹为圆心;

当且时，点的轨迹方程为

当时，点的轨迹为圆:;

当且时，点的轨迹为椭圆;

当或时，点的轨迹为双曲线。

探究5：改变切线位置，探究由切线得到的包络图形

查阅有关参考书籍，了解圆锥曲线的包络线，并利用图形计算器作出椭圆、双曲线的包络图形，自主探究抛物线的包络线(将定圆改为定直线)。

结论：所谓包络图，就是指有一条曲线按照一定运动规律运动，保留其所有瞬间位置的影像，会有一条曲线能够和该运动曲线所有位置相切，这条曲线就成为该运动曲线的包络线。

探究6：拓展延伸：椭圆切线的几个性质及其应用

性质1：是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上异于长轴两端点的任一点，则点的切线平分的外角。

性质1′：点处的法线(过点且垂直于切线)平分。(即为椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。)

课后探究：阅读数学选修2-1P75阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用，了解双曲线、抛物线的光学性质。

练习1：已知为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任一点，过焦点向作垂线，垂足为，则点的轨迹是_____________，轨迹方程是_______________。

解：(1)直观判断：作轨迹

(2)严谨证明：圆的定义

由此得到：

性质2：是椭圆的两个焦点，是长轴的两个端点，过椭圆上异于的任一点的切线，过做切线的垂线，垂足分别为，则在以长轴为直径的圆上。

练习2：已知为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任一点，直线与椭圆相切与点，且到的垂线长分别为，求证：为定值。

解：(1)直观判断：作图

(2)严谨证明：利用性质2及圆的相交弦性质，

由此得到：

性质3：已知椭圆为，则焦点到椭圆任一切线的垂线长乘积等于。

课后探究2：已知为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任一点，直线过点，且到的垂线长分别为，则

①当时，直线与椭圆的位置关系;(相交)

②当时，直线与椭圆的位置关系。(相离)

(类比直线与圆位置关系的几何法，此为直线与椭圆位置关系的几何法)

高中数学概念课型及其教学设计 第3篇

一、数列极限概念的本质

教科书中给出的数列极限的概念是:一般地, 如果当项数n无限增大时, 无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a (即|an-a|无限地接近于0) , 那么就说数列{an}以a为极限, 或者说a是数列{an}的极限.这个定义是描述性的, 便于高中生理解, 极限含有“无限逼近”的意思.数列极限的概念实质上是回答在什么条件下常数a可以称为无穷数列{an}的极限, 答案就是必须要满足这样的条件:项数n无限大, 数列的项an就无限接近常数a.这里须要注意的是, an无限接近a是项数n无限大的结果, a是n无限增大这个变化过程的终极目标.定义中只强调了“an无限趋近a”, 但是并不对趋近的方式有要求.即an趋近a的方式可以有很多种:an可以一直大于a, 也可以一直小于a, 或者是一会儿大于a, 一会儿小于a, 只要是满足在不断地“趋近a”这个条件就可以了.数列极限的概念包含了由有限退至无限的, 再用有限来刻画无限的思想, 具有极强的辩证思想过程无限, 结果却有限.

二、数列极限概念教学探究

1. 建立与原有认知的联系

数学概念的学习同其他一切学习一样是将外在学习材料内化的过程.如果新概念与学生的原有认知有联系, 则应该想办法建立这个联系, 使学生的认知结构同化;否则教师需要用形象化的语言或直观展示准备好相类似的结构.数列极限概念的教学首先应该找到其与学生原有认知的联系.在上述探讨中我们知道, 学生在生活经验上接触过“极限”, 在数学经验上接触过“数列”和“极限思想”, 所以教学中教师应该注意建立这些原有认知与数列极限概念之间的联系.

实际教学中可从以下三条途径建立联系. (1) 由数列出发建立联系与学生的数学学习最为贴切, 比较具有数学味道, 不容易让学生漫天想象, 但是正因为数学味道浓, 所以相对来说趣味性就不高了. (2) 由极限思想出发建立联系, 如果是用一些有趣的数学史故事来操作, 自然趣味性就比较高, 也容易吸引大部分学生的注意力, 培养学生的数学文化素养, 但是如果控制不好容易使部分学生走神.比如以《庄子天下篇》中的名句“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”引入, 有的学生就会联想到谁是庄子、他的故事是什么等一系列与数学无关的问题.如果是用数学归纳法等含有数学思想的知识来操作, 对学生的思维要求就比较高, 因为它涉及了无限的问题, 而且“极限思想”到目前为止从来没有被提到过. (3) 由学生的生活经验出发建立联系, 与实际问题最为贴近, 能够拉近数学与生活的距离, 引起学生的兴趣, 但是设置生活中的极限问题对教师来说是一个难点.因为这样的问题要既与生活联系又与数列极限联系, 而且要激发学生的探索欲.

2. 建立准确的数列极限概念

在进行数列极限概念的教学时, 学生往往将生活经验中的极限与数学中的极限概念混淆.生活经验中的“极限”指的是量的最大值, 而数学中的“极限”指的是运动过程的无限逼近值;生活经验中的“极限”对量的变化设定了一个范围, 即变化过程必须在“极限”的某一侧, 而数学中的“极限”则没有对变化的范围做要求.因此教师只要能将这两点区别让学生明白, 数列极限概念的教学就算是成功的了.怎样让学生明白呢?采取什么样的方法对数列极限概念进行诠释更容易让学生接受呢?

首先, 建立数列极限概念的直观感知.在建立了数列极限概念与学生原有认知的联系之后, 数列极限概念的教学便有了基础, 接下来便是要想办法让学生逐步理解什么是数列极限了.对于每一个概念的形成, 首先是从具体的事物中得到感性认识, 再提取出同一类事物的共同属性, 抽象出具体的概念.根据概念形成的这一过程, 我们首先建立学生对数列极限的直观感知.完成这一任务的方法便是向学生展示多种不同的数列, 让学生加以区分它们的区别与共性, 形成初步的感性认知后, 教师便可以向学生明确指出, 无限数列可以根据它们是否能趋近某个唯一的常数作为标准来分类, 这个常数就叫作这个数列的极限.这样, 学生初步形成了数列极限的概念.

其次, 得出数列极限概念的描述性定义.《标准》对极限概念的教学目标要求仅为:了解其概念.结合教学目标分析, 高中的数列极限概念教学选择描述性的定义就可以了.这样既能让学生“了解”数列极限的概念, 又可以降低学习的难度.定义的得出可以先让学生用自己的语言归纳概括出数列极限的概念, 再由教师引导得出比较准确的概念.

高中数学概念课型及其教学设计 第4篇

【关键词】概念课型 核心任务 教学定位

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0130-02

1.概念课型的界定

数学概念课型是以“事实学习”为中心内容的课型。该课型体现学生的学习活动是在进行“代表学习”和“概念学习”。通过“概念学习”，把作为新知识中的概念，正确地初步地转化为学生自身认知结构的概念体系里的概念。通过“代表学习”，对概念的文字、语言叙述或概念的定义能初步理解，掌握这些数学概念所对应的数学符号及这些符号的书写、使用方法。初步了解由这些数学符号组成的语言含义，并能初步把它转译成一般语言。

2.高中数学概念课的核心任务与教学定位

2.1高中数学概念课的核心任务

高中数学概念课教学的核心任务是对数学对象的抽象概括。

正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。但在这之前，有一个通过实例、练习及口头描述来理解的阶段。比如，儿童对自然数，对运算结果——和、差、积、商的理解，就是如此。到小学高年级，开始出现以文字表达一个数学概念，即定义的方式，如分数、比例等。有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、极限等。定义是准确地表达数学概念的方式。

许多数学概念需要用数学符号来表示。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义就是用数学符号来表达，从而增强了科学性。

许多数学概念还需要用图形来表示。有些数学概念本身就是图形，如平行四边形、棱锥、双曲线等。有些数学概念可以用图形来表示，比如基本初等函数的图像等。有些数学概念具有几何意义，如函数的导数。数形结合是表达数学概念的又一独特方式，它把数学概念形象化、数量化了。

总之，数学概念是在人类历史发展过程中，逐步形成和发展的。学生对数学概念的学习，应有一个抽象概括的过程，从文字语言、符号语言及图形语言等不同角度抽取概念本质属性，在准确把握概念外延的基础上，形成清晰的学习数学知识结构的认识。

2.2高中数学概念课的教学定位

数学概念课的教学中应引导学生经历从具体实例抽象概括出数学概念的过程，经历对实际背景的感知与抽象、概括的过程。

（1）对每一个数学概念，都应该准确地给它下定义。对一些基本（原始）概念，不宜定义的也应给予清晰准确的“描述”。通过给概念下定义的教学，让学生从定义的表达形式及逻辑思维中去领会该事物与其它事物的根本区别。并注意对同一概念的下定义的不同方案，从而深化对概念的理解。

（2）对概念（定义）的理解必须克服形式主义。课内应通过大量的正、反实例，变式等，反复地让学生进行分析、比较、鉴别、归纳，使之与邻近概念不至混淆，并要解决好新旧概念的相互干扰。

（3）概念教学还必须认真解决“语言文字”与“数学符号、式子”之间的互译问题，为以后在数、式运算中应用数学概念指导运算打下基础。使学生把代表某一概念的数学符号与概念内涵直接挂钩。

（4）克服学生普遍存在的“学数学只管计算，何必花时间学概念”之类的错误认识。重视概念课教学的启发性和艺术性，重视创设情境，激发学习兴趣，引导学生对概念学习的高度重视。同时应采用多种形式的训练（如选择答案、填空、变式等），从多个侧面去加深对概念的理解与应用。

3.高中数学概念课课型分析

课型1：从整体背景到局部知识的结构教学（以《集合的含义与表示》为例）

（1）背景引入——介绍数学对象的相关背景。

介绍集合论及其发展过程的相关背景。

（2）材料感知——借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念。

问题1：我们学习过哪些集合？

问题2：你能再举出一些集合的例子吗？

教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价。

（3）分类辨析——以实例为载体分析关键词的含义（使用反例，鼓励学生大量举例）。

问题3：你能说出你所举例子的特点吗？

教师引导学生独立思考，举出一些能够构成集合及不能构成集合的例子，概括所举例子的特点。如果学生仍不能有效地提炼出集合的三个基本特征，教师可以作如下的提示：“请所有的男同学站起来；请所有的高个子站起来”，以此来帮助学生理解集合的“确定性”。

（4）提炼本质——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征。

问题4：你能概括出所举例子所具有的共同特征吗？

师生共同概括所举例子的特征，得出结论。

（5）抽象命名——概念的明确与表示：下定义，给出准确的数学语言描述，即把实际问题数学化（文字的、符号的）。

引导学生抽象概括出集合的含义及集合中元素的特征——确定性、互异性、无序性。

（6）巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。

问题5：我们可以从哪些角度来研究集合？

学生阅读教科书，自己尝试整理相关的知识内容，归纳出元素与集合的关系，常用数集的记号以及表示集合的三种方法：自然语言、集合语言（列举法或描述法）及图形语言。

（7）概念的“精致”——纳入概念系统，建立与相关概念的联系。

课本例1与例2；课本第5页练习1，2。

学生独立思考，解决问题，全班交流讨论，教师析疑。

除集合外，以上教学流程适用于一般数学对象的抽象概括，如命题、向量、数（复数）、数列（包括等差数列、等比数列）、角、事件等，它们具有相同的学习“基本套路”，即按“背景——概念——表示——分类——性质（关系及运算）——应用”展开。

课型2：从上位概念到下位概念的结构教学（以《不等关系与不等式》为例）

（1）背景引入——提供一些学生感兴趣和富有时代感的素材。

问题1：如图抛物线中，试找出相关的不等关系。

（2）概念形成——让学生自己举例或提供大量材料，引导学生对这些材料进行辨析，学会透过表面现象发现它们的本质特点，形成上位概念。

问题2：数学和日常生活中存在大量不等关系，你能举出一些含有不等关系的例子吗？

学生每人至少各举一个数学及日常生活中的例子并在小组交流，独立归纳概括出不等式（组）的概念。

（3）辨析比较——教师要注意引导学生在比较中辨析和体会哪种分类更合理、更准确，并注意特殊情况的研究和思考。

问题3：你能对以上所举例子进行分类吗？

第一层次：独立进行分类，并以小组为单位对不同分类标准的合理性进行讨论。

第二层次：全班进行交流和讨论。

教师引导学生在比较中辨析和体会哪个分类更合理、更准确，并注意特殊情况的研究和思考。

（4）抽象命名——引导学生根据各种分类结果的本质特点，对各种关系进行命名，从而得到下位概念的各种类型。

提炼出不等式的概念，并对不等式进行分类。

根据字母所在位置进行分类：整式不等式，分式不等式，无理不等式，……

在整式不等式中，根据字母的个数进行分类：一元不等式，二元不等式，……；根据字母的次数进行分类：一次不等式，二次不等式，……

在此基础上，学生说出一元一次不等式、一元二次不等式及二元一次不等式的概念及形式，以及不等式组的概念，并能举例加以说明。

（5）巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。

问题探究（课本素材）

（6）整体认识——从整体上认识与概念相关知识内容及研究套路。

教师引导学生回顾之前学习过的方程（等式）的知识内容，如等式的性质，一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程等，梳理相关知识结构。

类比方程（等式）的相关内容，构建不等式的知识网络。

课型3：探索数学对象运动变化的规律（以《函数的概念》为例）

（1）概念的引入——通过复习回顾或日常生活中的实例引入概念，学生经历材料感知的基础上初步认识概念。

问题1：函数的概念是什么？我们已经学习过哪些函数？

提出问题引导学生思考，通过对一些基本初等函数，如正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数等的认识，揭示函数是用于描述变量之间依赖关系的模型。

（2）概念的形成——引导学生从数学活动或数学实例中概括出概念的本质。

问题2：y=1是函数吗？y=x与y=■是同一个函数吗？

展示课本三个实例并提问：

问题3：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例变量之间有什么共同点？

（3）概括概念——学生尝试给概念下定义，在小组交流、全班研讨中不断完善对概念的精确描述。

问题4：你还能举出一些相关的例子吗？你能归纳概括出一般结论吗？

除了课本中的三个实例，让学生大量举例（可以是已经学习过的基本初等函数），通过聚类分析提炼抽象本质属性，获得函数概念。

（4）理解概念——从概念的内涵与处延、概念的要素理解概念。

问题5：我们可以从哪些方面理解函数的定义？

引导学生明确以下几点：①函数的要素：定义域、值域和对应关系。②函数的表示法：解析式、图象、表格。③函数记号y=f（x）的内涵。

（5）应用概念——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。

问题6：初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？

提出问题，引导学生思考，启发学生利用表格对一次函数、二次函数、反比例函数的要素进行归纳与类比，并可利用信息技术工具（几何画板）画出函数的图像帮助理解上述函数的三个要素。

（6）形成认知——归纳总结概念的形成过程，概括应用概念解决问题的方法步骤。

问题7：你对“函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型”这句话有什么体会？构成函数的要素有哪些？你能举出生活中一些函数的例子吗？

举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。

问题8：我们在初中学习的基础上，运用集合和对应的语言刻画了函数概念，并引进了符号y=f（x），明确了函数的构成要素。比较初中函数与本节课函数的定义，你对函数有什么新的认识？

高中数学概念教学设计教案 第5篇

新课程理念下的高中数学概念教学设计

《普通高中数学课程标准（试验）》（以下简称新课标）强调：数学教学的最终目的是培养学生的数学能力，数学教学应当使学生对数学概念本质达到理性认识。同时《高中数学教学大纲》指出：正确理解数学概念是掌握基础知识的前提。高中数学概念是高中数学知识基础的核心，是学生学好数学知识和培养数学能力的基础，是学生解题的出发点和突破口，所以数学概念也应该成为教学的着眼点和落脚点。

同时，教师在进行教学设计时，要充分考虑学生的真实感受，真正实现以学生为主体，激发学生的学习热情，让他们主动去探索，篇二：高中数学概念课型及其教学设计

高中数学概念课型及其教学设计

谭国华

【专题名称】高中数学教与学

【专 题 号】g312 【复印期号】2014年02期

【原文出处】《中学数学研究》(广州)2013年6上期第4～8页

【作者简介】谭国华，广州市教育局教研室（510030）.在我国高中数学教学中，有按课型特点设计和组织教学的传统.但是，对于如何划分课型以及如何认识每一类课的一般结构特点等问题，一直以来都未得到很好的解决.究其原因，主要是我们过去对高中数学课型的研究基本上是依据广大教师的教学实践经验，对课型结构特点的归纳总结，或者只是泛泛而谈，提出一些基本原则，缺乏可操作性；或者因人而异，不同人的观点有很大的不同.因此，原有的课型理论对课堂教学的指导作用有限.在过去，由于受教育心理学特别是教学心理学发展所限，要想用心理学的研究成果来指导中小学课堂教学的研究也是心有余而力不足，更别说是用来指导课型的研究.但现在的情况大不相同了.从1980年代以来，教育心理学与中小学课堂教学的关系越来越紧密，对中小学课堂教学的指导作用越来越直接而有力.近几年，我们借助教育心理学的研究成果，特别是学习心理学和教学心理学的研究成果指导课型的研究，取得较为可喜的成效.具体做法是，一方面使高中数学课型的理论保持我国传统课型理论中课型的整体性与综合性特点，以方便操作；同时，融入现代学习理论关于学习分类的观点，对每一种课型中涉及的主要知识的类型及其学习的过程、有效学习的条件进行深入的分析，以此为高中数学教学设计奠定坚实的科学基础.本文仅对有关高中数学概念课型及其教学设计的研究成果作简要介绍.一、高中数学概念课型的基本特点

我国传统的课型概念有两种含义：一是指课的类型，它是按某种分类基准（或方法）对各种课进行分类的基础上产生的.例如，《中国大百科全书。教育卷》（1985年版）中关于课的类型，是指根据不同的教学任务或按一节课主要采用的教学方法来划分课的类别.二是指课的模型，它是在对各种类型的课在教学观、教学策略、教材、教法等方面的共同特征进行抽象、概括的基础上形成的模型、模式.在这种意义下，课型可以看作是微观的课堂教学模式.本文所指的课型主要是指课的类型，是根据一节课（有时是连续的两节或三节课）承担的主要教学任务来划分的，但是同时它也兼具课的模型的含义.这是因为根据教学心理学的有关理论，不同的教学任务分属不同的知识类型，而不同类型知识的学习过程与学习所需的内、外部条件是不同的，这就导致了不同的课堂教学结构.具有某种特点的课堂教学结构实际上就是微观的课堂教学模式，也即是课的模型.在高中数学教学中，数学概念可以划分为原始概念和定义性概念.原始概念一般是通过对一系列的例证直接观察和归纳而习得，这类概念一般不需单独设课讲授，只需结合其他概念或规则的学习附带进行即可习得.而定义性概念中的那些次要的和易学的数学概念往往也不单独设课讲授.但是，在高中数学概念中，有许多重要的定义性概念往往是要单独设课讲授的，这一类课是具有共同的课堂教学结构特点的，于是，我们将这一类需要单独设课讲授的、重要的定义性概念课统称为高中数学概念课型.1.教学任务分析

高中数学概念课型的主要教学任务是使学生掌握概念所反映的一类事物的共同本质属性，以及运用概念去办事，去解决问题.因此，高中数学概念学习主要应作为程序性知识学习.根据学习心理学关于定义性概念的学习过程与条件的分析，高中数学概念教学有三项内容：一是要明确数学概念是什么，也就是要帮助学生习得概念，这将涉及前面提到的四个方面即概念的名称、定义、属性和例证的分析；二是要运用概念去办事，即将习得的数学概念运用到各种具体情境中去解决相应的问题；三是要辨明相关概念间的关系，形成概念系统.其中前两项内容完全属于高中数学概念课型的教学任务，第三项内容中一般只有部分内容属于概念课型的教学任务，形成完整的概念系统则属于高中数学复习课型的教学任务，我们将在复习课型中进行讨论.2.学与教的过程和条件

高中数学概念学与教的一般过程可以以我国教育心理学家皮连生创立的“六步三段两分支”教学模型为线索进行分析.（具体内容请参见参考文献[1]）

第一阶段：习得阶段

主要教学任务是帮助学生习得数学概念，明确数学概念是什么，重点是促进学生对所学数学概念的理解.教学中，帮助学生习得数学概念一般需要做好下面四件事情.首先，揭示概念所反映的一类事物的本质属性，给概念下定义.其次，辨别概念的正例和反例，并结合定义给予恰当的说明.再次，用不同的语言形式对概念加以解释，如将概念的定义由文字语言表述转换为用符号语言或图形语言表述.最后，对概念做深入分析，着重在以下四点：

①辨明所学数学概念与原有相关数学概念之间的关系；

②分析所学数学概念的其他一些重要属性或特征；

③分析所学数学概念及其形成过程中蕴含的数学思想方法；

④分析所学数学概念及其形成过程中蕴含的情感教育内容.当然，并非每一个数学概念的教学都要完成所有这些事情.对于一些简单的、次要的数学概念，有时只需完成前三件事情就可以了.习得概念的基本形式有两种：一种叫概念形成，另一种叫概念同化.①概念形成这是一种从辨别概念的例证出发，逐渐归纳概括出概念的本质属性的学习方式，其心理机制可用奥苏贝尔的上位学习模式来解释.（具体内容见参考文献[1]）学与教的基本过程：

知觉辨别（提供概念的正例，引导学生分析概念例证的特征）→提出假设（对概念例证的共同本质特征作出假设）→检验假设，使假设精确化→概括（给概念下定义）→辨别概念的正例、反例（正例应有助于证实概念的本质属性，反例应有助于剔除概念的非本质属性）→用不同的语言形式对概念加以解释→对概念做深入分析（分析与相关数学概念之间的关系，揭示概念的其他一些重要属性或特征）.学习的内部条件（即学生自身应具备的条件）：

学生必须能够辨别正、反例证.学习的外部条件（即教学应提供的条件）：

第一，必须为学生提供概念的正、反例，正例应有两个或两个以上，正例的无关特征应有变化，以帮助学生更好地辨别概念的本质属性和非本质属性；正例应连续呈现，最好能同时 让学生意识到，以帮助学生形成概括.第二，学生必须能从外界获得反馈信息，以检验其所做的假设是否正确.第三，提供适当的练习，并给予矫正性反馈.采用概念形成的学习方式涉及如何给概念下定义的问题.明确概念的定义方式，对于教师更好地分析概念以及促进学生形成概括是有帮助的.在高中数学中，对于一些重要的数学概念大多数采用属加种差的定义方式.这里的属是指属概念，种是指种概念.属概念和种概念是指具有包含关系的两个概念，即如果概念a的外延真包含概念b的外延，则称概念a为概念b的属概念，而概念b即为概念a的种概念.通常，也称概念a为概念b的上位概念，而概念b即为概念a的下位概念.可用公式表示：

被定义概念=种差+最邻近的属概念.公式中，最邻近的属概念是指在被定义概念的所有上位概念中外延最小的上位概念（属概念），种差就是被定义概念在它的最邻近的属概念里区别于其他种概念的那些本质属性.例如，一元二次不等式的定义是：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.这个定义中，被定义概念是一元二次不等式；最邻近的属概念是不等式；种差是“只含有一个未知数且未知数的最高次数是2”，这是一元二次不等式独有的而且能够将一元二次不等式与其他不等式区别开来的本质属性.②概念同化概念同化是通过直接下定义来揭示一类事物的共同本质属性，从而习得概念的一种学习方式，其心理机制可用奥苏伯尔的下位学习模式来解释.学与教的基本过程：

呈现概念的定义

→分析定义，包括揭示概念的本质属性和构成定义的各部分的关系→辨别概念的正例、反例（正例应有助于证实概念的本质属性，反例应有助于剔除概念的非本质属性）→用不同的语言形式对概念加以解释→对概念做深入分析（分析与相关数学概念之间的关系，揭示概念的其他一些重要属性或特征）.学习的内部条件：

学生的原有认知结构中应具有同化新概念的适当的上位概念（或结构），而且这一上位概念（或结构）越巩固、越清晰就越有利于同化新的下位概念.学习的外部条件：

第一，言语指导，以帮助学生更好地理解概念的本质属性.第二，提供符合概念定义的正例和不符合概念定义的反例.第三，提供适当的练习，并给以矫正性反馈.第二阶段：转化阶段

第一阶段习得的概念仍属于概念的陈述性形式.若要运用概念对外办事，则还需将它转化为程序性形式，也就是转化为办事的技能.这是本阶段的主要教学任务，重点是要明确运用概念办事的情境和程序，并在一些典型的情境中尝试运用概念.转化的关键条件是要提供变式练习.运用数学概念办事大致可分两种情况：一种是为数学概念自己办事，解决与数学概念本身有关的问题；另一种是运用概念的本质属性和一些重要的非本质属性去解决有关数学运算、推理、证明问题以及解决实际问题.例如，函数概念的运用，一种是为函数自己办事，如求函数的解析式、函数值、定义域、值域，作函数的图象，判定函数的单调性和奇偶性，求函数的最值等；另一种是运用函数的概念、图象、性质等解决与方程、数列、不等式等相关问题，或建立函数模型解决实际问题.函数概念教学及变式练习的重点就在于熟练掌握每一种情境中办事的程序和步骤.第三阶段：迁移与应用阶段

这是第二阶段的延伸.通过变式练习，学生已能在一些典型的情境中运用概念，已初步形成运用概念对外办事的技能.本阶段是要进一步提供概念应用的新情境，以促进迁移，其关键条件是提供综合练习.综合练习中问题的类型或情境应多样化，和第二阶段相比有类似的，也有新的呈现，以有效地帮助学生在不同情境中独立运用概念解决问题.这一阶段既可在课内完成，也可在课外完成，但通常都要反复多次才能完成.3.高中数学概念课教学的基本程序

根据上面的分析，结合广义知识学与教的“六步三段两分支”教学模型，我们可以将高中数学概念课型教学的基本程序简要归纳为：

第一阶段：习得阶段（习得数学概念）

（1）引起注意与告知目标，使学生对学习新概念产生一定的预期，从而激发学生的学习动机.（2）提示学生回忆原有知识，以便为同化新概念做好准备.（3）引入概念，使学生初步感知概念的本质属性.这里，既要从学生接触过的具体内容引入，也要注意从数学内部提出问题.（4）采用概念形成或概念同化的形式帮助学生习得概念的陈述性形式，即理解概念.第二阶段：转化阶段（将习得的概念转化为办事的技能）

（5）通过变式练习促进学生将习得的陈述性形式的概念转化为程序性形式，即转化为办事的技能.第三阶段：迁移与应用阶段（运用概念对外办事）

（6）通过课外作业、复习、间隔练习和在后续课程内容中应用概念等多种形式，为学生提供概念应用的情境，促进保持与迁移.根据高中数学教学的特点，第一、二两个阶段的5步通常是在课内完成.第三阶段即第6步为概念的巩固、迁移和应用阶段，通常是在课外和后续的课程中完成.对于以学案自学为主的教学则需考察其学案编写以及教师课堂上提供的帮助是否有助于学生完成学习的三个阶段.二、高中数学概念课型教学设计举例

下面以《对数函数及其性质》（具体内容见参考文献[2]第2.2.2节）的教学过程分析为例，具体说明高中数学概念课型的教学设计过程.1.教学任务分析

本节教材有两项学习内容：

（1）对数函数的概念；

（2）反函数的概念.第（1）项内容属于定义性概念学习，需达到掌握水平.对对数函数概念的学习需采用数形结合方法从数和形两个方面展开.第（2）项内容也属于定义性概念学习.高中数学课程标准对反函数的学习要求已经降低.本课学习反函数的概念，主要为了帮助学生明确对数函数和指数函数间的关系，从而深化对数函数概念的理解.因此，本节教材主要是对数函数概念的学习，反函数概念的学习只需达到了解水平即可.本节教材的主要教学任务是对数函数概念的教学，属于概念课型，需按高中数学概念课的课型特点来设计整个教学过程.具体教学要做到三点：

第一，要帮助学生明确对数函数概念是什么，包括四个方面：对数函数的定义、名称、例 证和属性.根据函数的特点，对对数函数属性的讨论应包括形和数两个方面.第二，要运用对数函数概念去办事，教材主要要求能解决三方面问题：求对数型函数的定义域，比较两个对数值的大小，解决简单的实际问题.第三，要明确对数函数与指数函数及函数的关系.其中，辨明对数函数概念与指数函数概念的关系需要先介绍反函数概念.本节教材一般应安排2课时.第1课时学习对数函数的概念、图象与性质.第2课时学习运用对数函数解决简单的两数大小比较、运用对数函数模型解决简单实际问题和反函数概念.为了帮助学生形成运用对数函数概念去办事的能力，需要补充适量的变式练习题.2.教学的基本过程

第一阶段：习得阶段.习得对数函数的概念.第一步 引起注意与告知目标.通过本课的学习，学生应能做到：

（1）初步掌握对数函数的概念.包括：

①能陈述对数函数的定义，并能列举正例、反例加以说明；

②能用描点法画出具体对数函数的图象，并能用自己的话描述一般对数函数的图象特征和基本性质；

③能根据对数函数的单调性比较两个对数值的大小.（2）了解反函数的概念，进一步明确对数函数和指数函数之间的关系.（3）通过对实际问题的分析，能初步认识到对数函数模型与现实生活以及与其他学科的密切联系和应用价值，提高数学应用的意识.第二步 复习原有知识.对本课学习影响较大的原有知识，一是函数概念和指数函数概念，二是描点法画函数的图象.对数函数的定义是属加种差的定义方式，函数是其上位概念，也是其最邻近的属概念.因此，在学习新课之前，应帮助学生回忆函数和指数函数的定义，以及函数图象的画法.第三步 采用概念同化方式习得对数函数的定义.习得对数函数的定义可以采用概念形成的方式，也可以采用概念同化的方式.如采用概念形成方式则需列举两至三个正例.我们这里是采用概念同化方式.（1）引入概念

教材提供了一个引例：通过碳14的含量测量出土文物的年代.这个引例能起两方面的作用：一是使学生初步感知对数函数的概念；二是使学生认识对数函数的应用价值，激发学生的学习动机.教师应引导学生观察教材中给出的t和p的取值的对应表，体会“对每一个碳14的含量p的取值，通过对应关系的函数.（2）呈现并分析定义

根据对数函数的定义方式，分析时要讲清两点：一是最邻近的属概念，二是种差.在对数函数的定义中，最邻近的属概念是函数，函数与对数函数构成了上下位关系，即对数函数是一种函数；种差是指两个变量间的对应关系为（a＞0，且a≠1），种差也就是对数函数，都有唯一的生物死亡年数t与之对应”，从而说明t是p区别于其他函数的本质属性，即对数函数是一类特殊的函数.分析定义的目的是为了帮助学生形成对定义的深入理解.教师可以提出一些问题供学生思 篇三：高一数学集合的概念教学设计

课 题：1.1集合－集合的概念

教学目的：

（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法

（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

1．集合是中学数学的一个重要的基本概念，在小学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集，至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用。基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些知识可以帮助认识学习本章的意义,也是本章学习的基础。

把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑

本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。

高中数学概念课型及其教学设计 第6篇

(江苏省句容市实验高级中学，212400)

摘要：概念图是一种组织和表征知识的工具，主要包括节点、连线、连接词、层次4个基本要素。将概念图引入生物教学中，可以帮助学生辨析概念之间的关系，有效地建构知识网络。其教学价值主要体现在：建立知识间的内在联系，补充传统的测评方式。制作概念图时，要精选所链接的概念，慎重考虑连接词，概念框中要避免用句子。

关键词：概念图 制作方法 教学价值

高中生物学习中有很多需要识记和理解的基本概念，课堂提问和相互讨论是常用的教学方式，如何帮助学生清楚地表达和交流观点，比较不同观点之间的差异，顺利地解决问题?如何帮助学生辨析概念之间的关系，有效地构建知识网络?概念图也许是一个可以选择的工具。

一、什么是概念图

概念图是一种组织和表征知识的工具，是一种用节点代表概念、用连线表示概念间关系的图示法。它通常是将某一主题下不同级别的概念或命题置于方框或圆圈中，再以各种连线将相关的概念和命题连接起来，形成关于该主题的概念或命题网络。这种把概念之间的意义联系以科学命题的形式有机地联系起来的空间网络结构图，就称为“概念图”。

例如，“叶绿素吸收光能”就是一个有意义的命题，其中“叶绿素”、“光能”是两个不同的概念，“吸收”则标在两个概念之间的连接线段上，说明叶绿素与光能的关系。这个连接线段应标示方向(成为射线)，指出此命题中的主从关系。由此，即可构成其概念图(如图1)。

二、制作概念图的一般方法

概念图主要包括节点、连线、连接词、层次4个基本要素：节点是置于圆圈或方框中的概念;连线表示节点概念间的意义关系;连接词是置于连线上的两个概念之间的意义联系词;层次是用来显示概念之间的等级关系的，关键概念置于顶层，一般概念位于其次，依此类推。对于一些综合性的概念图，有时很难比较其抽象程度，其制作形式(包括箭头方向的一致性、概念层次关系等)一般不作硬性规定。图2所示就是一个概念图。

下面以人教版高中生物《细胞质的结构和功能》一节内容为例，介绍构建概念图的流程。

第一步，选取熟悉的`某一知识领域，包含词汇和事件。概念图的结构跟其所将要运用的情境关系很大，最好选出课文中重要的概念(包含词汇和事件)，以此创设一种情境，以便于确定概念图的层级结构。《细胞质的结构和功能》一节的重要概念如表1所示。

第二步，描述上述词汇和事件的基本概念，确定关键概念和概念等级。(生物教学论文 )《细胞质的结l构和功能》一节的概念层次如表2所示。

第三步，寻找连接词，使两个概念形成有意义的句子。例如，“线粒体是活细胞进行有氧呼吸的主要场所”，“核糖体是细胞内合成蛋白质的场所”，“高尔基体可以对蛋白质进行加工”，等等。

第四步，制作“前概念图”，包含概念层次(不含连接词)。把每一对相关的概念用连线联结，注意主次关系。

第五步，在连接线上增加连接词，标明概念间的关系。这样，同一领域及不同领域中的知识通过某一相关概念而链接起来。至此，各级概念及其关系基本清晰了，完成的概念图如图3所示。

构建概念图时，需要注意以下几点：(1)从某种程度上讲，任何概念之间都有关系，所以一定要精选出所链接的概念，且要慎重考虑连接词。(2)概念框中要避免用句子，否则会使人误认为整个概念图的下级结构可能是根据这一陈述建立的，而不是另一层概念群。

三、概念图的教学价值

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(一)建立知识间的内在联系

以概念图代替知识框架图进行复习，有利于学生更好地实现知识的归纳和迁移。比如，“种群和群落”和“生态系统及其稳定性”是生态学的核心内容，是高中生物学习的重点内容之一。这部分内容出现了一系列的概念，如个体、种群、群落、生态系统、种内关系、种间关系、种内斗争、竞争，等等。它们之间的层数从属关系很容易混淆。在复习过程中，不妨先让学生尝试构建概念图，接着让学生对自己构建的概念图进行补充、调整，然后师生共同讨论，对概念图作进一步的补充、完善，最后形成较为完善的概念图(见图4)。

(二)补充传统的测评方式

传统的评价方法常常只能考查学生的离散知识，而概念图却可以检测学生对概念的整体把握，可以检测学生的知识结构以及对知识间相互关系的理解程度，还可以检测学生对新知识的领悟和归纳等能力，有效地评价学生的学习水平――或提供一个核心概念，以任务驱动，要求学生自己绘制概念图;或在阶段性或终结性试题中出示概念图，让学生分析、解决问题。例如，人教版高中生物必修3《稳态与环境》第115页的“自我检测”第3题：

将以下概念之间的关系用概念图的形式表示出来：生态系统、食物链、食物网、生产者、消费者、分解者、生物群落、初级消费者、次级消费者、三级消费者、第一营养级、第二营养级、第三营养级、第四营养级。

答案如图5所示。

又如，江苏高考生物卷第37题：

人和动物体内糖类、脂类和蛋白质的代谢是一个相互联系、相互制约的协调统一过程。某学生将体内营养物质代谢的部分途径归纳如图6所示。据图回答下列问题：

(1)图中不可能发生的途径是和_____。(填出序号)

(2)在途径⑦和⑨的代谢过程中，都能产生的物质是_____和ATP;细胞内，途径⑦发生的场所是_____，而途径⑨发生的主要场所是_____。

(3)在途径13、14中，氨基酸必须经过

作用才能转化为葡萄糖或脂肪。

这样的题目不仅可以考查学生对概念的整体把握，扩大对知识的考查面，还可以考查学生对概念之间有机联系的理解程度，考查学生的理解能力和归纳能力。

总之，概念图作为“学”的策略，能促进学生的意义学习、合作学习和创造性学习，最终使学生学会学习;作为“教”的策略，能有效地改变学生的认知方式，切实提高教学效果。因此，在平时的教学中，应有的放矢地训练学生构建概念图，并适当将题目与相应的概念图联系起来。

参考文献：

[1]施群毅，刘成权，对概念图教学的几点思考[J].生物学教学，(5)

[2]徐洪林，刘恩山，生物教学中引入概念图策略实验研究[J].生物学通报，(3)