二次函数闭区间最值

二次函数闭区间最值（精选11篇）

二次函数闭区间最值 第1篇

二次函数的最值的教学设计

一、教学内容分析

二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

二、教学目标设计

知识与技能

1、掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值

2、会利用转化化规思想求解含参数不等式中参数的范围。

过程与方法

1、经历从轴定区间动到轴动区间定的类比推理，培养学生类比推理能力。

2、结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高

学生的综合能力

情态与价值

1、有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养了学生良好的思维习惯。

2、了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。

三、教学重点与难点

重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值

难点：求解含参数的一元二次函数不等式中参数的范围

四、教学方法：类比推理法，讲授发现法

五、教学过程（典型例题分析）

（1）轴定，区间定

方法：可以对其二次函数配方处理或者是结合二次函数图形求解，例1若实数x,y满足2x26xy20，则x2y22x的最大值是 26x2x022解：由y6x2x得2 2222xy2xx6x2x2x8xx

问题转化为求f(x)8xx2，当x[0,3]中的最大值，易的f(x)maxf(3)15.1设计意图：利用消元思想将问题简化，但是其中必须注意的是消元之后的自变量的取值范围，进而转化为二次函数在闭区间上的最值。

例2 设x1,x2是方程2x24mx(5m29m12)0的两实根，求x1x2的最值.分析：二次方程有实根，则必须△0,由此先解出m的范围.2

2x12x22(x1x2)22x1x2，利用韦达定理将x12x22表示成关于m的二次函数.4m25m29m12m29m12f(m)解：由韦达定理知xx2()2222

由2x24mx(5m29m12)0有两实根可得它的0

即(4m)242(5m29m12)24m272m960，解得1m

4,时]的最值，易的问题转化为求f(m)m29m12，当m[1m

f(m)maxf(4)32，f(m)minf(1)2.设计意图:结合韦达定理转化成为有关m的二次函数，但是其中的隐含条件：二次方程有实根，从而确定m的取值范围。

（2）轴定，区间变

方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系：① 轴在区间右边②轴在区间左边③轴在区间内

例3 已知f(x)x22x2在x[t,t1]上的最大、最小值分别为M(t)、m(t)，求M(t)、m(t)的解析式.活动：师生一起合作求解函数的最小值m(t)的表达式，并作小结，再让学生板书求解函数的最大值M(t)的表达式，和下面例题4的最小值g(t)的表达式设计意图:（1）通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论，做到不遗漏不重复，同时怎样结合图像求解函数的最值，并且引导学生注意解题的规范性

（2）学生求解例3函数中最大值的表达式中讨论轴在区间内的可能遇到阻碍，讲解过程中启发学生结合函数的图像和性质：如果我们俩个自变量的值到对称轴的距离相等，则我们的函数值也相等，离对称轴的距离越远，我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式

（3）根据物理中动、静（定）的相对原理，那么例题4的轴变区间定的题型可以类比成轴定区间动的这种题型求解，培养学生的发散思维和类比能力解：对称轴为x1，分4种情况讨论（另解：最大值可以分2种情况，最小值可以分3种情况）：

22（1）t11，即t0时，M(t)f(t)t-2t

2、m(t)f(t1)t

1（2）t1时，M(t)f(t1)t2

1、m(t)f(t)t2-2t

2，且1-tt1-1，即（3）0t11t1时，2

M(t)f(t1)t2

1、m(t)f(1)

1，且1-tt1-1，即1t（4）0t11时，2M(t)f(t)t22t

2、m(t)f(1)1 12t21(t0)t2t2(t)2综上，M(t)，m(t)1(0t1)1t21(t)t22t2(t1)

2（3）轴变，区间定

方法: 与情形2一样.例4已知f(x)x22tx2在x[0,1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式.解：对称轴xt，分三种情况讨论

（1）t0时，g(t)f(0)0

2（2）0t1时，g(t)f(t)2t

（3）1t时，g(t)f(1)32t

2(t0)2综上，g(t)2t(0t1)

32t(t1)

例5 设f(x)x2ax3，当x[2,2]时恒有f(x)a，求a的范围.变式一：若将f(x)a改为f(x)a时，其它条件不变，求a的范围

变式二：若将f(x)a改为f(x)a时，其它条件不变，求a的范围

变式三：若将x[2,2]改为x(2,2)时，其它条件不变，求a的范围

设计意图：通过讲解例题5和变式一，让学生体会解不等式中的一种转化思想并一起总结归纳：若f(x)af(x)mina;f(x)af(x)maxa，通过变式二、三和原题的思考对比让学生体会相似题型的解法的相同点和不同点

分析：f(x)a恒成立f(x)mina

a解：对称轴为x，分三种情况讨论

2aa42（1）27 a3fmaxf(2)2a7a

a224a44a42(2)4a2 222ff(a)aa3aa4a1206a2

min242

aa42（3）27a4 a7fminf(2)2a7a

综上，7a2，即a的值域为a[7,2]

（4）轴变，区间变

例6已知y24a(xa)(a0)，求u(x3)2y2的最小值。

分析：将y24a(xa)代入u中，得

u(x3)24a(xa)[x(32a)]212a8a2，x[a，)

分①32aa、②32aa讨论

解：将y24a(xa)代入u中，得

u(x3)24a(xa)[x(32a)]212a8a

2由y24a(xa)0得xa

u[x(32a)]212a8a2的对称轴为x32a，分两种情况

①32aa0时，即0a1时，fminf(32a)8a212a

②32aa时，即a1时，fminf(a)a26a9

综上，f(x)min2(0a1)12a8a 2(a1)(a3)

（5）二次函数的逆向最值问题

3例7已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间[，2]上的最大值为3，求实2

数a的值。

分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a0与a0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到f(x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。

解：（1）令f(2a11)3，得a 22a

32] 此时抛物线开口向下，对称轴为x2，且2[，2

1故a不合题意； 2

（2）令f(2)3，得a

称轴远些，故a1，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对21符合题意； 2

32（3）若f()3，得a，经检验，符合题意。32

综上，a21或a 32

评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。

六、课后小结：本教学设计几乎涵盖了二次函数在闭区间上的最值中出现的所有可能性，不论是正向型还是逆向型，设计中主要体现在它们总体解题思路是根据对称轴和区间的三种位置关系：（1）轴在区间右边；（2）轴在区间左边；（3）轴在区间内，根据这三种位置关系一一分类讨论并且结合二次函数图像及性质求解。本教学设计最主要还是向同学灌输了分类讨论、数形结合、转化化规三种重要的数学思想方法，让学生的数学思维得到不断延伸，提升他们的综合能力。我感觉课堂给他们的时间可能比较少，课堂内容比较大，需要课后不断巩固。

二次函数闭区间最值 第2篇

1.课件的教学设计要点

⑴ 教材的知识脉络和学生原有的知识经验分析

二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。但学生受一次函数的最值求法的影响，总是把边界值代进函数就可以得出最大或最小值了，为了让学生掌握二次函数在闭区间上的最值问题，必须经过其主动的探究，体会探究过程的每个环节，才能对问题有深刻地认识，只有充分的调动学生的认知准备，特别是对数形结合的思想方法的学习，更需要学生自己在探究过程中深刻体会，以学生的亲身体验主动建构新知识，才能使其使用这一思想方法成为一种自觉的行为，这种学习才是有效的。所以，本堂课更加注重学生运用数形结合数学思想方法的体验，情感目标是通过学生自己的探索解决问题，增强其学习数学的兴趣和信心。

学生已经了解一元二次函数的性质（图像），要让学生先了解给定具体区间（不含参数）的最值问题知识之后，勇于自己尝试对含参数的此类问题的研究解答。从运动的观点来体会参数值的变化导致图象的变化，从而引起函数单调性的变化，才使得函数的最值有不同的情况。

⑵ 教学策略和方法设计

复习提问，让学生探究例1完成后，然后把区间改变，既探究例2，然后用多媒体课件的动态演示，让学生有更直观的体会，对基础教差学生的理解起到的积极的辅助作用，由原来的知识掌握，确定为让学生加深运用数形结合的数学思想方法的体验。然后再研究例题3，以运动的观点来体会参数值的变化导致图象的变化，从而引起函数单调性的变化，才使得函数的最值有不同的情况。例题的难度作了梯度变更（由易到难），制作课件等。2.课件设计的技术要点

⑴设计问题情境及技术要点：

我们已学习了哪些一元二次函数的性质？学生再回顾一元二次函数的性质（图像），在闭区间的最值是怎样的呢？完成例题1；研究例2，然后反问，为什么要这样做，这样做的依据是什么，为什么必须这样做。然后再提问参数对图象分别有什么影响？ 技术要点：

① 建立“复习引入”页面，把复习引入的文本和新课说明复制到该页面中，并用【显示/隐藏】按钮控制。

② 建立“具体二次函数最值”页面，利用自动吸附网格功能，快速制作二次函数图象，动态变化区间[a，b]，用多媒体课件的动态演示，让学生有更直观的体会。

③ 建立“含参数二次函数最值”页面，利用自动吸附网格功能，制作二次函数的图象，在利用a、b、c三个参量分别变化，引起函数

谈二次函数在闭区间上的最值估计 第3篇

命题1：如果二次函数

证明：(用反证法证明)假设结论不成立，即

因为f0 (x) 的对称轴为

(1)当，即|m|>2时，f0 (x)在闭区间[-1, 1]上为单调函数，

(2)当|-2m|1，即|m|2时，f0 (x)在闭区间[-1，-2m]上为单调递减函数，在闭区间[-2m, 1]上为单调递增函数，则有

综上所述

命题2:如果二次函数f0 (x) =x2+mx+n, m、n∈R, |f0 (x) |在[-1, 1]上的最大值为M0, 且

证明:因为f0 (x) 的对称轴为

(1) 当, 即m>2时, f0 (x) 在闭区间[-1, 1]上为单调递增函数 (如图1) ,

则有, 此与m>2无公共元素, 所以无解.

(2) 当上为单调递增函数 (如图2) ,

则有, 此与0

(3)当上为单调递增函数(如图3),

(4) 当, 即m<-2时, f0 (x) 在闭区间[-1, 1]上为单调递减函数 (如图4) ,

综上所述, 成立.

推论1:二次函数f (x) =ax2+bx+c, |f (x) |在[-1, 1]上的最大值为M, 那么

证明:

从而有:|f (x) |的最大值M就是|af0 (x) |=|a||f0 (x) |的最大值.

由命题1知

推论2:二次函数f (x) =ax2+bx+c, |f (x) |在[-1, 1]上的最大值为M, 且

证明:另

从而有:|f (x) |的最大值M就是|af0 (x) |=|a||f0 (x) |的最大值.

闭区间上二次函数求最值探讨 第4篇

【关键词】初中数学；闭区间；二次函数；最值

苏科版初中数学九年级下册第六章学习的是二次函数的图像和性质，这部分内容不仅是整个初中数学内容的重难点问题，它还是同学们以后继续学习数学函数问题的基础。在闭区间上求二次函数的最值问题更是这部分内容重点中的重点问题了，它需要学生对二次函数的性质和应用有熟悉的了解和掌握。这部分内容也常常成为同学们头疼的问题，但是又往往是考试的重要出题点。一般地，对于一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)，当x=-■时，二次函数就有最值f(-■)。这时候当a>0时，可以取得最小值；当a<0时，可以取得最大值，这样的题目还是比较简单的。而所谓闭区间上二次函数求最值就是给变量x取值范围，它不再是一个确定的值，而是属于一个闭区间，如x∈[a,b],这时候求最值就比较麻烦了。那么，这时候二次函数的值一般要分几种情况来考虑。所以，数学教师在教这部分内容，要结合二次函数的性质和图像采取一定的步骤，把最值问题按不同的情况进行分类，帮助学生理清思路，帮助学生记忆。以下是我根据自己的教学实际，把此问题分为三种不同的情况，浅谈一下在闭区间上二次函数求最值的问题。

一、定轴动区间

所谓的定轴动区间就是说这时候二次函数的对称轴是可以确定的，而闭区间不确定，有一定的变量存在，是不确定的。二次函数在闭区间上的最值受制于对称轴与区间的相对位置关系，特别是含参数的两类“定区间动轴、定轴动区间”的最值问题，要考察区间与对称轴的相对位置关系，分类讨论常成为解题的通法，这些问题其实仔细思考就很容易解决。通过二次函数的性质和图像，我们不难观察到：二次函数在闭区间上的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。

例1.求f(x)=－x2+2x-2在闭区间[t,t+1]上最大值和最小值是多少。

分析：根据二次函数最值出现的可能：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。在这个例题中，这个二次函数是开口向下的，在闭区间上，它的最大值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最小值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

解：由二次函数f(x)=－x2+2x-2，可以很简单的得出二次函数的对称轴是x=1。

（1）求二次函数的最大值f(x)max

当t+1<1,即t<0时，f(x)max=f(t+1)=-t2-1

当t<1≤t+1,即t<0时，f(x)max=f(t+1)=-t2-1

当t≥1时，f(x)max=f(t)=-t2+2t-2

（2）求二次函数的最小值f(x)min

当■<1时，t<■，f(x)min= f(t)=-t2+2t-2

当■≥1时，t≥■，f(x)min= f(t+1)=-t2-1

这样，这道题的最值就由分别讨论得出来了，这就是定轴动区间的情况，求最大值的时候主要考察对称轴有没有在区间里，因为当图像开口向下的时候，区间两端点和对称轴上都有取得最大值的可能性，而最小值的取值不可能在图像顶点，只可能是区间两端点，所以只分两种情况就可以了。

二、定区间动轴

所谓的定区间动轴是和定轴动区间正好相反的一种情况，这种情况是区间固定，而图像的对称轴是不固定的情况。这种情况下，想要求得二次函数的最值也是要分情况讨论而定，这种分类其实本质上和定轴动区间的情况一样。

例2.求f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最小值和最大值是多少？

分析：从这个二次函数来讲，其图像的开口向上，其最小值有可能在顶点和区间两端出现，这就需要考查对称轴是否在区间内部；最大值只能出现区间的两端点。

解：由二次函数f(x)=x2+2ax+1，可得对称轴方程为：x=-a.

（1）求二次函数的最小值f(x)min

当-a<-1,即a>1时，f(x)min=f(-1)=-2a+2;

当-1≤-a<2即-2

当-a≥2，即a≤-2时，f(x)min=f(2)=4a+5;

（2）求二次函数的最大值f(x)max

当-a<■即a>-■时，f(x)max= f(2)=4a+5;

当-a≥■即a≤-■时，f(x)min=f(-1)=-2a+2;

三、逆向求值问题

所谓逆向求值问题就是已知了一个二次函数在某一段区间上的最值，而求二次函数系数上的某个变量的值的运算，实质上是二次函数求最值的逆向运算，是二次函数求最值运算的一种变化的题型，这种题型在考试中也是经常出现的。

例3.已知二次函数f(x)=ax2+(2a-1)x+1在区间[-■,2]上的最大值为3，求实数a的值是多少？

分析：这个问题，若从求最值入手，需分a>0与a<0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。

解：（1）当最大值在图像的顶点处的时候，即令f(-■)=3，得到a=-■;此时抛物线的开口向下，对称轴x=-2，不在区间[-■,2]上，所以a=-■是不符合题意的。

（2）令f(2)=3,得到a=■，此时抛物线的开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，所以a=■是符合题意的。

（3）令f(-■)=3,得到a=-■，此时抛物线的开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，所以a=-■是符合题意的。

综上所述，a=■或者a=-■都是符合题意的。

总之，二次函数在闭区间上求最值一直是教师和同学感到棘手的问题，其实只要分析清楚题目，看清题目是属于哪一个类型，然后再分类解决就可以了。在平时学习中，同学们一定做好知识的梳理工作，勤于思考，学会融会贯通，举一反三。

【参考文献】

[1]陈玉华.关于初中数学函数教学设计的几点思考[J].数理化学习,2009(11)

[2]谢华.在初中数学教学中如何培养学生的学习兴趣[J].考试周刊,2009(25)

（作者单位：江苏省靖江市靖城中学）

二次函数闭区间最值 第5篇

设计意图: 同学们学习了二次函数以后，有一类问题就是讨论二次函数在闭区间上的最值问题，同学们可能感觉不太好做。这节课就这样一类问题进行讨论。教学目标：

希望通过这节课的讨论，同学们能够对这一类问题有一个清晰的认识，以后再碰到类似的问题会思考，从而会解题。教学重难点：

让学生通过仔细观察二次函数图像，体会和理解二次函数在闭区间上最值问题的解法，并逐步培养对参数进行讨论的意识和习惯。教学方法：

借助多媒体进行教学。

二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f(x)axbxc(a0)，求f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。2b4acb2b分析：将f(x)配方，得顶点为、对称轴为 x，2a4a2a 当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f(x)的最值：

bm，n时，f(x)的最小值是（1）当2a2b4acbf，f(x)的最大值是2a4af(m)、f(n)中的较大者。

bm，n时 2abm，由f(x)在m，n上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)若2ab若n，由f(x)在m，n上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

2a

当a0时，可类比得结论。（2）当例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下三种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定。

1.轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定

第1页（共4页）区间上的最值”。

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

分析：画出函数图像如下不难求出最值。2图1 练习.已知2x3x，求函数f(x)xx1的最值。

22图2

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

2图1图2图8 2f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 练习.已知

二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

第2页（共4页）

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图3)b12af(m)，(mn)(如图1)bb2a2f(x)minf()，mn(如图4)

b12a2af(n)，(mn)(如图2)b2a2f(m)，m(如图5)2a

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图6)b12af(m)，(mn)(如图9)2a2bb f()，mn(如图7)f(x)minb12a2af(n)，(mn)(如图10)b2a2f(m)，m(如图8)2a

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例3.已知x1，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知对称轴x22a1即可得最值。2

图3 练习.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。

2第3页（共4页）二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例4.已知函数f(x)ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。分析：分三种情况：最大值是在-3,2，还是在顶点处取得，求出a，然后再检验即可。

练习.已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间3求实数,2上的最大值为3，2a的值。

三．作业

21．函数yxx1在[1,1]上的最小值和最大值分别是

（）

(A)1 ,3

(B)2311 ,3

（C） ,3

（D）, 3

424

2已知函数yx2x3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________3．设f(x)x24x4,x[t,t1](tR),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。

4．已知f(x)xax

小结与反思：

这节课学习了二次函数在闭区间上的最值得求法。课后了解到并没有达到预期的目的。这样设计的优点是：这类问题讨论得比较全面。不足是：内容太多，讲解不够仔细，学生并不能掌握。如何改进：我想针对以上不足，可以把以上内容分两个课时来上，或者选择例题更简单些，让学生易于接受，同时，如果借助多媒体教学，会更直观形象一些，效果可能会更好一些。

二次函数在区间上的最值 第6篇

教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数 在区间的最值；

2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.教学重点：二次函数在区间上的最值问题 教学难点：含参问题的讨论.教学过程：

一、复习引入

1.二次函数的概念和性质； 2.单调函数的概念.二、例题 例1.求函数y3x212x15当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值.（1）xR;(2)0x3;(3)1x1.例2.求函数yx22x3在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.例3关于x的方程x2(k2)xk23k50有两个实根α，β，求α2+β2的最值.例4.已知函数2x22ax3在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的表达式；(2)求g(a)的最大值.三、作业

1.函数yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.112.关于x的不等式9x26axa22a60在[,]上恒成立，求实数a

33的取值范围.3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；

写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；

（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

二次函数闭区间最值 第7篇

(1)(最值定理)闭区间上的连续函数必取得最大值，最小值。

(2)(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的`函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使得.

(3)(零点定理)闭区间上的连续函数如果两个端点函数值异号，则至少存在一点的函数值为0.

二次函数闭区间最值 第8篇

一、求定二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴都确定时, 要将函数式配方, 再根据对称轴和区间的关系, 结合函数在区间上的单调性, 求其最值.

【例1】 已知2x2≤3x, 求函数f (x) =x2-x+1的最值.

解:由已知2x2≤3x, 可得$0\le x\le \frac{3}{2}$, 即函数f (x) 是定义在区间$[0,\frac{3}{2}]$上的二次函数, 将二次函数配方得$f(x)=(x-\frac{1}{2}){}^2+\frac{3}{4}$, 其图象开口向上, 且对称轴方程$x=\frac{1}{2}\in [0,\frac{3}{2}]$, 故$f(x){}_{\max }=f(\frac{3}{2})=\frac{7}{4}‚f(x){}_{\min }=f(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}.$

二、求动二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间确定而对称轴变化时, 应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论, 再利用二次函数的示意图, 结合其单调性求解.

【例2】 已知二次函数f (x) =ax2+4ax+a2-1在区间[-4, 1]上的最大值是5, 求实数a的值.

解:将二次函数配方得f (x) =a (x+2) 2+a2-4a-1, 其对称轴方程为x=-2, 顶点坐标为 (-2, a2-4a-1) , 图象开口方向由a决定, 很明显, 其顶点横坐标在区间[-4, 1]上.若a<0, 则函数图象开口向下, 当x=-2时, 函数取得最大值5, 即f (-2) =a2-4a-1=5, 解得$a=2-\sqrt{10}(a=2+\sqrt{10}$舍去) ;若a>0, 则函数图象开口向上, 当x=1时, 函数取得最大值5, 即f (1) =5a+a2-1=5, 解得a=1 (a=-6舍去) .综上讨论, 函数f (x) 在区间[-4, 1]上取得最大值5时, $a=2-\sqrt{10}$或a=1.

三、求定二次函数在动区间上的最值

当二次函数的对称轴确定而区间在变化时, 只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论.

【例3】 已知函数f (x) =-x2+8x, 求f (x) 在区间[t, t+1]上的最大值g (t) .

解:函数f (x) =-x2+8x=- (x-4) 2+16, 其对称轴方程为x=4, 顶点坐标为 (4, 16) , 其图象开口向下.

(1) 当顶点横坐标在区间[t, t+1]右侧时, 有t+1<4, 即t<3, 当x=t+1时, g (t) =f (t+1) =- (t+1) 2+8 (t+1) =-t2+6t+7.

(2) 当顶点横坐标在区间[t, t+1]上时, 有t≤4≤t+1, 即3≤t≤4, 当x=4时, g (t) =f (4) =16.

(3) 当顶点横坐标在区间[t, t+1]左侧时, 有t>4, 当x=t时, g (t) =f (t) =-t2+8t.

综上,

四、求动二次函数在动区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴均在变化时, 亦可根据对称轴在区间的左、右两侧及穿过区间三种情况讨论, 并结合其图形和单调性处理.

【例4】 已知y2=4a (x-a) (a>0) , 且当x≥a时, S= (x-3) 2+y2的最小值为4, 求参数a的值.

解:将y2=4a (x-a) 代入S的表达式得S= (x-3) 2+4a (x-a) =[x- (3-2a) ]2+12a-8a2.

S是关于x的二次函数, 其定义域为x∈[a, +∞) , 对称轴方程为x=3-2a, 顶点坐标为 (3-2a, 12a-8a2) , 图象开口向上.若3-2a≥a, 即0<a≤1, 则当x=3-2a时, Smin=12a-8a2=4, 此时a=1或$a=\frac{1}{2}$.若3-2a<a, 即a>1, 则当x=a时, Smin=[a- (3-2a) ]2+12a-8a2=4, 此时a=5 (a=1舍去) .

二次函数在闭区间上的最值问题 第9篇

类型1定轴定区间

例1已知函数[f(x)=x2-2x]，求[f(x)]的最小值.

解[f(x)=x2-2x=(x-1)2-1]，

由图1可知，当[x=1]时，[f(x)min=-1].

变式1已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[2,4]]，求[f(x)]的最小值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[2,4]]为增函数，

[∴f(x)min=f(2)=0.]

变式2已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[0,3]]，求[f(x)]的最大值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[0,1]]上递减，在[[1,3]]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离.

[∴f(x)max=f(3)=3.]

例2已知二次函数[f(x)=ax2+4ax+a2-1]在区间[-4，1]上的最大值为5，求实数[a]的值.

解将二次函数配方得[f(x)=a(x+2)2+a2-][4a-1]，函数图象对称轴方程为[x=-2]，顶点坐标为[(-2，a2-4a-1)]，图象开口方向由[a]决定.很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]内.

①若[a<0]，函数图象开口向下，如下图2所示.当[x=-2]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(-2)=a2-4a-1=5]，解得[a=2±10].

故[a=2-10(a=2+10舍去)].

②若[a>0]，函数图象开口向上，如上图3所示，当[x=1]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(1)=5a+a2-1=5]，解得[a=1或a=-6]，故[a=1(a=-6舍去)].

综上可知：函数[f(x)]在区间[-4，1]上取得最大值5时，[a=2-10或a=1].

点拨求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图象，然后结合其图象研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置.在例1中，二次函数图象的开口、对称轴和区间都是固定的. 需注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小.在例2中，二次函数图象的对称轴和区间是固定的，但图象开口方向是随参数[a]变化的，要注意讨论.二次函数[f(x)=a(x-k)2+h][(a>0)]在区间[[m,n]]最值问题：

①若[k∈[m,n]]，则[f(x)min=f(k)=h]，[f(x)max=max{f(m),f(n)}].

②若[k∉[m,n]]，当[k

当[k>n]时，[f(x)min=f(n)]，[f(x)max=f(m)].

类型2定轴动区间

例3已知函数[y=x2-2x,x∈[-2,a]]，求函数的最小值[g(a).]

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类讨论，即①对称轴在区间[[-2,a]]内，②对称轴在区间[[-2,a]]右侧.

解[∵]函数[y=x2-2x=(x-1)2-1],

①当[-2

②当[a≥1]时，函数在[[-2,1]]上单调递减，在[[1,a]]上单调递增，则当[x=1]时，[ymin=-1].

综上可知[g(a)=a2-2a,-2

例4已知函数[f(x)=-x22+x+6]在区间[[m,n]]上的值域是[[2m-2,2n-2]]，求[m、n]的值.

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类讨论，即①对称轴在区间右侧，②对称轴在区间内，③对称轴在区间左側.

解[∵f(x)=-x22+x+6=-12(x-1)2+132,]

①若[m

②若[m<1

故[2n-2=132]，得[n=174.]

由于[2m-2<0,f(n)=-12(174-1)2+132=3932>0,]

故[f(x)]在[x=m]处取最小值[2m-2.]

即[-12(m-1)2+132=2m-2]，解得[m=-1-17].

③若[1≤m

解得[m=2,n=4.]

综上可知[m=-1-17n=174]或[m=2n=4].

点拨当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论.

类型3动轴定区间

例5求[f(x)=x2-2ax-1]在区间[[0,2]]上的最大值和最小值.

分析因为有自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图象，作二次函数图象时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图象对称轴[x=a.]位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论.

解[f(x)=(x-a)2-1-a2]，对称轴为[x=a.]

①当[a<0]时，由图4可知，[f(x)min=f(0)=-1]，[f(x)max=f(2)=3-4a.]

②当[0≤a<1]时，由图5可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(2)=3-4a.]

③当[1≤a≤2]时，由图6可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(0)=-1.]

④当[a>2]时，由图7可知，[f(x)min=f(2)=3-4a,][f(x)max=f(0)=-1.]

例6已知二次函数[f(x)=-x2+2ax+1-a]在[[0，1]]上有最大值2，求[a]的值．

解[f(x)=-(x-a)2+a2-a+1]．

①当[a<0]时，[f(x)max=f(0)=2，]得[a=-1]．

②当[0≤a≤1]时，[f(x)max=f(a)=2]，解得[a=1±52∉[0，1]]，故该方程在[[0，1]]上无解．

③当[a>1]时，[f(x)max=f(1)=2]，得[a=2]．

综上可知：[a=-1]或[a=2]．

点拨当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图象需分两种或三种情况讨论.

类型4动轴动区间

例7设[a]是正实数，[ax+y=2][(x≥0,y≥0).]若[y+3x-12x2]的最大值是[M(a).]求[M(a)]的表达式.

分析该题是二元函数求最大值，应先由[ax+y=2]解出[y]代入，消元，转化为关于[x]的二次函数，再求最大值.

解设[f(x)=y+3x-12x2]，由[ax+y=2]得[y=2-ax].

[∴f(x)=(2-ax)+3x-12x2=-12[x-(3-a)]2+12(3-a)2+2.]

[∵y≥0]，[∴2-ax≥0].

又[a>0,x≥0]，[∴x∈[0,2a].]

（1）当[0<3-a<2a(a>0)]即[0

（2）当[3-a≥2a(a>0)]即[1≤a≤2]时，[M(a)=][f(2a)=-2a2+6a].

（3）当[3-a≤0]即[a≥3]时，[M(a)=f(0)=2].

[∴M(a)=12(3-a)2+2-2a2+6a2][(0

点拨当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论.通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得.

例8已知函数[f(x)=ax2+(2a-1)x-3][(a≠0)]在区间[[-32,2]]上最大值为1，求实数[a]的值.

分析若按常规方法从求函数最大值直接入手，则需作如下分类讨论：

①当[a<0]时，分三种情况讨论最大值；

②当[a>0]时，分两种情况讨论最大值.

一共有五种情形，过程繁琐.若从整体角度分析，注意到函数[f(x)]的最大值只可能产生在二次函数的顶点或端点处，这样可以先求函数[f(x)]在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可.

解函数[f(x)]的最大值只能在[x1=-32]，或[x2=2]，或[x3=1-2a2a]处取得．

①令[f(-32)=1]，解得[a=-103]，此时[x0=1-2a2a=-2320∈-32，2]．故[f(x)]的最大值不可能在[x1]处取得．（[a=-103]，抛物线开口向下）

②令[f(2)=1]，解得[a=34]，此时[x0=1-2a2a=-13<-32+22]．故[f(x)max=f(2)]，得[a=34]，符合题意．

③令[f1-2a2a=1]，解得[a=-3±222]．要使[f(x)]在[x0=1-2a2a]处取得最大值，必须且只须[a<0]且[x0∈[-32,2]]，经检验，只有[a=-3+222]合题意．

综上可知：[a=34]或[a=-3+222]

点拨本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法.

求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”.“三点”即区间端点与区间中点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论.

[【练习】]

1．已知函数[y=x2-2x+3 , x∈[0,m]]上有最大值3，最小值2，则[m]的取值范围是（ ）

A. [  [1,+∞) ]B. [ [0,2]]

C. [ [1,2]]D. [(-∞,2]]

2．已知函数[f(x)=x2－2x＋2]的定义域和值域均为[[1，b]]，则[b＝].

3．已知定义在区间[0,3]上的函数[f(x)＝kx2－2kx]的最大值為3，那么实数[k]的取值范围为．

4．若函数[f(x)=-12x2+132]在区间[[a,b]]上的最大值为[2b]，最小值为[2a]，求区间[[a,b]].

[【参考答案】]

1. C 2. 23. {1，－3}

二次函数闭区间最值 第10篇

1、掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；

2、熟练掌握零点定理及其应用。【教学重点】

1、介值性定理及其应用；

2、零点定理及其应用。【教学难点】

介值性定理及其应用

§1 10 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值与最小值

最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于任一xI都有

f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）

例如 函数f(x)1sin x在区间[0 2]上有最大值2和最小值0 又如 函数f(x)sgn x 在区间( )内有最大值 1和最小值1 在开区间(0 )内 sgn x的最大值和最小值都是1 但函数f(x)x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

定理1说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么至少有一点1[a b] 使f(1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点 2[a b] 使f( 2)是f(x)在[a b]上的最小值

注意 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

例 在开区间(a b)考察函数yx

又如 如图所示的函数在闭区间[0 2]上无最大值和最小值

x1 0x1yf(x)1 x1

x3 1x

2定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界

二、零点定理与介值定理

零点 如果x0 使f(x0)0 则x0 称为函数f(x)的零点

定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少有一点使f()0

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且在这区间的端点取不同的函数值

f(a)A及f(b)B 那么 对于A与B之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点  使得

f()C 

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点  使得

f()C 

证 设(x)f(x)C 则(x)在闭区间[a b]上连续 且(a)AC与(b)BC异号 根据零点定理 在开区间(a b)内至少有一点 使得

()0(a<

但()f()C 因此由上式即得

f()C(a<

定理4 的几何意义 连续曲线弧yf(x)与水平直线yC至少交于一点

推论

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

例1 证明方程x 34x 210在区间（0 1）内至少有一个根

证

函数f(x) x 34x 21在闭区间[0 1]上连续 又f(0)1>0

f(1)2<0

根据零点定理 在(0 1)内至少有一点  使得f()0 即

 34 210(0<<1)

二次函数的最值教案 第11篇

一、教学目标

（一）知识与技能

1、会通过配方或公式求出二次函数的最大或最小值；

2、在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值；

（二）过程与方法

通过实例的学习，培养学生尝试解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生用数学的意识。

（三）情感态度价值观

1、使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心；

2、通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。

四、教学重点与难点

1、教学重点：实际问题中的二次函数最值问题。

2、教学难点：自变量有范围限制的最值问题。

二、课堂教学设计过程

（一）复习导入 以旧带新

1、二次函数的一般形式是什么？并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。

2、二次函数y=－x²+4x－3的图象顶点坐标是（）

当x

时，y有最

值，是______。

3、二次函数y=x²+2x-4的图象顶点坐标是（）当x

时，y有最

值，是______。

分析：由于函数的自变量的取值范围是全体实数，所以只要确定他们的图像有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值。

设计意图：复习与本节课有关的知识，可充分调动学生思维的积极性，又为新课做好准备。

（二）创设情境，导入新课

1、试一试：

1.有长为30米得篱笆，利用一面墙（墙的长度不超过10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于BC）的矩形花圃。设花圃的一边BC为x米，面积为y平方米。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）能否使所围矩形花圃的面积最大？如果能，求出最大的面积；如果不能，请说明理由。设计意图：让学生从已学的用配方法或公式法求二次函数的最值，在教学时，可让学生充分讨论、发言，培养学生的合作探究精神，可让学生感受到成功的喜悦。

2。直击中考：

例2.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么一个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在一个月内获得最大利润? 分析：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，求出自变量的取值范围，结合图像和二次函数的性质求w的最大值。

（四）课堂练习，见导学案

（五）课堂小结，回顾提升

本节课我们研究了二次函数的最值问题，主要分两种类型：

（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取最值；

（2）如果自变量的取值范围不是全体实数，要根据具体范围加以分析，结合函数图像的同时利用函数的增减性分析题意，求出函数的最大值或最小值。

另：当给出了函数的一般形式时，不管自变量是否受限制，常常要配方化为顶点式来求最值问题。