复数的几何意义及应用

复数的几何意义及应用（精选8篇）

复数的几何意义及应用 第1篇

复数的几何意义及应用

(一)问题探索

问题1：复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z= a+bi（a，b∈R），连结OZ，则点Z，复数z= a+bi（a，b∈R）之间具有一一对应关系。

直角坐标系中的点Z(a,b)

复数z=a+bi一一对应 一一对应 向量O Z

问题2：∣z∣的几何意义？若复数z= a+bi（a，b∈R）对应的向量是，则向量是22的模叫做复数z= a+bi（a，b∈R）的模，ab（a，b∈R）。

问题3：∣z1-z2∣的几何意义？两个复数的差z1z2z所对应的向量就是连结Z1Z2并且方向指向（被减数向量）的向量,dz1z2(x1x2)2(y1y2)

2(二)探索研究

根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：

1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

设Z(x,y)以Z0(x0,y0)为圆心，r(r0)为半径的圆上任意一点,则ZZ0r(r0)

（1）该圆向量形式的方程是什么?r(r0)

（2）该圆复数形式的方程是什么?zz0r(r0)

（3）该圆代数形式的方程是什么?(xx0)2(yy0)2r2(r0)

12．椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于Z1Z2)的点的集合(轨迹)

设Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点, 则ZZ1ZZ22a(2aZ1Z2)

（1）该椭圆向量形式的方程是什么

? 2a(2aZ1Z2)

（2）该椭圆复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2aZ1Z2)变式:以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为端点的线段

（1）向量形式的方程是什么

? 2a(2aZ1Z2)

（2）复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2aZ1Z2)

3．双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于

常数(小于Z1Z2)的点的集合(轨迹)

设Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为焦点，2a为实轴长的双曲线的上

任意一点, 则ZZ1ZZ22a(2aZ1Z2)

（1）该双曲线向量形式的方程是什么

? 2a(2aZ1Z2)

（2）该椭圆复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2aZ1Z2)变式:射线

（1）向量形式的方程是什么?

2a(2aZ1Z2)

（2）复数形式的方程是什么?zz1zz22a(2aZ1Z2)

变式：以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为端点的线段的垂直平分线

（1）该线段向量形式的方程是什么

? 2a(2a

0)（2）该线段复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2a0)即

zz1zz2

（三）应用举例

例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（）

（A）双曲线（B）双曲线的右支

（C）线段（D）射线

答案：（D）一条射线

变式探究：

（1）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是两条射线，复数 z 应满足什么条件？

（2）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段，复数 z 应满足什么条件？

（3）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线的右支，复数 z 应满足什么条件？

（4）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线，复数 z 应满足什么条件？

（5）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是椭圆，复数 z 应满足什么条件？

（6）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段的垂直平分线，复数 z 应满足什么条件？ 例2．若复数z满足条件z1，求z2i的最值。

解法1：（数形结合法）由z1可知，z对应于单位圆上的点Z；

z2i表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。

由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时，z2imin1,此时z=i；

当点Z运动到B（0，-1）点时，z2imax3, 此时z=-i。

解法2：（不等式法）z1z2z1z2z1z2

z2iz2iz2i

z1,2i2，1z2i

3解法3：（代数法）设zxyi(x,yR)，则x2y21

z2ixyi2ix2(y2)24yy1，即1y1

当y1，即zi时，z2imin1；

当y1，即zi时，z2imax3=3,解法4：（性质法）z2i2(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)zz2(zz)i454yi y1，即1y1

当y1，即zi时，z2imin1；

当y1，即zi时，z2imax3,变式探究：

（1）zimin，zimax；0；2

（2）z1113izi；, 222min2max

（3z22iminz22imax21;221

（4z1i

min12111z1i2;2 222max

例3．已知z1、z2∈C，且z11，若z1z22i，则z1z2的最大值是（）

（A）６（B）５（C）４（D）３

解法1：z1z2z1(2iz1)2z1i z1imax2z1z2的最大值是4

解法2：z1z22i,z12iz2

z112iz21,即z22i1z11表示以原点为圆心，以1为半径的圆；z22i1表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。z1z2的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。

(四)反馈演练：

1． 复数z满足条件∣z+i∣+∣z-i∣=２，则∣z+i-1∣的最大值是________

最小值是__________.1

2． 复数z满足条件∣z-2∣+∣z+i∣=5，则∣z∣的取值范围是（B）252,,2(A)5(B)5

(C)1,(D)1,2



xy503． 已知实数x,y满足条件xy0，zxyi(i为虚数单位），x3

则|z12i| 的最大值和最小值分别是．226,2

复数的几何意义及应用 第2篇

教学目标

1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．

2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力． 3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）． 教学重点和难点 重点：复数减法法则．

难点：对复数减法几何意义理解和应用． 教学过程设计

（一）引入新课

师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．

（板书课题：复数减法及其几何意义）

（二）复数减法

师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板书）1．复数减法法则

（1）规定：复数减法是加法逆运算；

（2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推导这个法则呢？

生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（学生口述，教师板书）

（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 师：说一下这样推导的想法和依据是什么？

生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则．

师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题． 生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．（学生口述，教师板书）

推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得

故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 师：这样推导每一步都有合理依据．

我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？ 生：仍是复数．

师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？ 生：不会． 师：这说明什么？

生：两个复数的差是唯一确定的复数．

师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．

（三）复数减法几何意义

师：我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？（板书：2．复数减法几何意义）生：用向量表示两个做减法的复数．（学生口述，教师板书）设z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），对应向量分别

师：我们应该如何认识这个方程？（学生困惑，教师引导）

师：我们先看方程左式，右式分别表示什么？

生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模． 师：有什么几何意义吗？

生：是动点Z与定点（1，1）间的距离．（学生活跃起来，纷纷举手回答）

生：方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．（2）|z+i|+|z-i|=4；（学生议论后，举手回答）

生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．

师：这个动点轨迹是什么曲线呢？（学生稍有迟疑，有些同学小声议论）生：是椭圆吧．

师：似乎回答的不够肯定，不妨回忆一下椭圆的定义．

（学生在教师的提示下一起回答）生：在平面内，与两个定点F1，F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆． 师：满足这个方程的动点轨迹是不是椭圆呢？

生：是．因为点Z到两个定点的距离和是常数4，并且大于两点（0，-1），（0，1）间的距离2，所以满足方程的动点轨迹是椭圆．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（学生议论后，举手回答）

生：这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线． 师：说的再准确些． 生：是双曲线右支．

师：很好．由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．

例4 设动点Z与复数z=x+yi对应，定点P与复数p=a+bi对应．求（1）复平面内圆的方程；（学生口述，教师板书）

解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．

师：利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．

（五）小结

师：我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．

（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9． 课堂教学设计说明

1．复数加法法则是规定的，而复数减法法则需要推导．推导过程要求每一步都要有合理依据，渗透转化思想，培养学生严谨思维品质．复数减法几何意义是教学难点，主要由于学生对复数及其几何表示还不很熟悉，在复数加法几何意义学习基础上，引导学生自己得到复数减法几何意义，有利于学生对复数几何意义以及复数减法几何意义理解． 2．对复数减法几何意义应分三个层次．

例1主要训练学生对复数减法几何意义应用，并通过此例题使学生对复数减法几何意义有具体认识，进一步使学生理解向量与向量终点表示复数的区别与联系，并体会两个相等向量表示两个复数差的各自方便之处．

例2是对复平面内两点间距离公式的推导，这既是对复数减法几何意义再次应用，同时也为对复数方程的认识打下基础．

平面向量几何意义的应用 第3篇

【例1】 已知非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$满足$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\cdot \overrightarrow{BC}=0$且$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})=\frac{1}{2}$, 则△ABC为 ( ) .

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形

分析:本题可先由条件的几何意义得出AB=AC, 再求得$A=\frac{\text{π}}{3}$, 即可得出答案.

解:因为非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$满足$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\cdot \overrightarrow{BC}=0$,

所以∠BAC的平分线垂直于BC, 所以AB=AC.

又因为$\cos \angle BAC=(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})=\frac{1}{2}$,

所以$\angle BAC=\frac{\text{π}}{3}.$

所以△ABC为等边三角形, 故选D.

【例2】 平面上的两个向量$\overrightarrow{{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}B}$满足$|\overrightarrow{{\rm O}A}|=a‚|\overrightarrow{{\rm O}B}|=b$, 且$\overrightarrow{{\rm O}A}\perp \overrightarrow{{\rm O}B}‚a{}^2+b{}^2=4$, 向量$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}=x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B}(x,y\in \mathbf{R})$且$a{}^2(x-\frac{1}{2}){}^2+b{}^2(y-\frac{1}{2}){}^2=1.$

(1) 如果点M为线段AB的中点, 求证:$\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}=(x-\frac{1}{2})\overrightarrow{{\rm O}A}+(y-\frac{1}{2})\overrightarrow{{\rm O}B}$;

(2) 求$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}$的最大值, 并求此时四边形OAPB面积的最大值.

分析:对第 (1) 问, 可先求$\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}$, 在由条件即可得出结论.对第 (2) 问, 先设点M为AB的中点, 进而利用 (1) 的结论并由条件确定P, O, A, B四点共圆, 结论即可得到.

解: (1) 因为点M是AB的中点,

所以$\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\rm O}A}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{\rm O}B}.$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}=\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}\\ =(x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B})-(\frac{1}{2}\overrightarrow{{\rm O}A}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{\rm O}B})\\ =(x-\frac{1}{2})\overrightarrow{{\rm O}A}+(y-\frac{1}{2})\overrightarrow{{\rm O}B}.\end{array}$

(2) 设点M是AB的中点,

则由$\overrightarrow{{\rm O}A}\perp \overrightarrow{{\rm O}B}$知

$|\overrightarrow{{\rm M}A}|=|\overrightarrow{{\rm M}B}|=|\overrightarrow{{\rm M}{\rm O}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=1.$

又由 (1) 及$a{}^2(x-\frac{1}{2}){}^2+b{}^2(y-\frac{1}{2}){}^2=1$得

$\begin{array}{l}|\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}|{}^2=|\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}|{}^2\\ =(x-\frac{1}{2}){}^2|\overrightarrow{{\rm O}A}|{}^2+(y-\frac{1}{2}){}^2|\overrightarrow{{\rm O}B}|{}^2\\ =a{}^2(x-\frac{1}{2}){}^2+b{}^2(y-\frac{1}{2}){}^2\\ =1.\\ |\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}|=|\overrightarrow{{\rm M}A}|=|\overrightarrow{{\rm M}B}|=|\overrightarrow{{\rm M}{\rm O}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=1.\end{array}$

故P, O, A, B四点都在以M为圆心, 1为半径的圆上,

所以当且仅当OP为圆M的直径时, $|\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}|{}_{\max }=2.$

此时四边形OAPB为矩形,

则$S{}_{\text{四}\text{边}\text{形}{\rm O}A{\rm P}B}=|\overrightarrow{{\rm O}A}||\overrightarrow{{\rm O}B}|=ab\le \frac{a{}^2+b{}^2}{2}=2,$

复数的几何意义及应用 第4篇

图1

设复数z1=a+bi，z2=c+di在复平面上所对应的向量分别为OZ1，OZ2，则OZ1，OZ2的坐标形式分别为(a，b)，(c，d).以OZ1，OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则其第四个顶点对应的向量OZ=OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，即复平面上的向量OZ对应的复数z＝(a+c)+(b+d)i=z1+z2.

复数的减法是其加法的逆运算，设z-z1=z2，则z2+z1=z.由复数加法几何意义，知以OZ为一条对角线，OZ1为一条边作平行四边形OZ1ZZ2，那么这个平行四边形的第四个顶点Z2对应的向量OZ2就与复数z2，即z-z1相对应.

又由于OZ2=Z1Z，所以两个复数的差z-z1与连结这两个复数所对应向量的终点并指向被减数所对应向量的终点的向量相对应.

总之，复数加、减法的几何意义就是向量的加、减法.

二、 一个有用的推论

利用向量加、减法的几何意义，以及对角线相等的平行四边形是矩形，可得两个非零复数z1，z2在复平面上所对应的向量OZ1，OZ2满足OZ1⊥OZ2充要条件是|z1+z2|=|z1-z2|.

注

不难发现，类似地，还有结论：（OZ1+OZ2）⊥Z1Z2（Z1Z2≠0）|z1|=|z2|(z1≠z2).请同学们想一想这是为什么.

其实，两个非零复数z1,z2在复平面上所对应的向量OZ1，OZ2满足OZ1⊥OZ2还有一个充要条件，就是z1z2=λi，其中λ∈R且λ≠0.

这个结论实际上是向量乘、除法的几何意义的推论，不是必须掌握的，但有兴趣的同学可作些探究.

三、 应用举例

例1 已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A，B，求向量AB对应的复数z，并指出z在复平面内对应的点在第几象限？

解 z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i，

所以z的实部a=-1＜0，虚部b=1＞0，

所以z在复平面内对应的点在第二象限内.

点评 任何向量所对应的复数都是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数而得的差.即AB所对应的复数是zB-zA，而BA所对应的复数是zA-zB.切不可把被减数与减数搞混.向量a的位置可以变化，但只要它的终点与始点所对应的复数的差不变，那么向量a所对应的复数就不变，因此我们将复平面上的向量称为自由向量，即它只与方向和长度有关，而与位置无关.

例2 复数z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i，它们在复平面上对应的点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

分析一 利用AD=BC来求点D对应的复数.

图2

解法一 设复数z1,z2,z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi

(x，y∈R)，

则向量AD对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i;

向量BC对应的复数为(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.

因为AD=BC，所以(x-1)+(y-2)i=1-3i，

所以x-1=1,y-2=-3,解得x=2,y=-1.

故点D对应的复数为2-i.

分析二 不难发现，原点O正好是题中正方形的中心.

由此便可很容易地求得第四个顶点D对应的复数.

解法二 与解法一同设.

因为z1+z3=1+2i-1-2i=0,所以点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，故点B与点D也关于O对称，于是(-2+i)+(x+yi)=0，所以x=2，y=-1.

故点D对应的复数为2-i.

点评 根据图形得到的结论不能代替论证，然而观察图形往往能启迪解题思路.

例3 设z1，z2是两个非零复数，且|z1+z2|=|z1-z2|，求证：z1z22是负数.

证明 由前面的推论，可知满足题设条件的复数z1，z2在复平面内所对应的向量OZ1和OZ2互相垂

直，则有z1z2=λi(λ∈R且λ≠0)，从而z1z22=λ2i2=-λ2＜0，即z1z22是负数.

点评 本题中，实际上有z1z2=±|z1||z2|i.

巩 固 练 习

1. 已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量OZ1,OZ2（O为原点），若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值.



2. 已知复平面上的一个正方形的三个顶点分别是A（1，2）,B（-2，1）,C（-1，-2），求它的第四个顶点D对应的复数.

3. 设z为虚数且|z|=1，求证：z-1z+1是纯虚数.（提示 利用本文中的推论.）

(参考答案见第43页)

复数的几何意义及应用 第5篇

第4课时 复数的几何意义

Ⅰ.问题情境

讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

Ⅱ.建构数学

1.复数的几何意义、复平面、实轴、虚轴

2.复数的向量形式

3.复数的模

4.复数的加法、减法的几何意义

Ⅲ.数学应用

例1：在复平面内描出复数4,2i,i,13i,32i分别对应的点.练习：在复平面内描出复数23i,42i,13i,4i,30i分别对应的点.例2：在复平面内画出4,2i,i,13i,32i所对应的向量.练习：在复平面内画出23i,42i,13i,4i,30i所对应的向量.例3：设zC，满足下列条件的点z的集合是什么图形.（1）z2；（2）2z

3练习：设zC，满足下列条件的点z的集合是什么图形.（1）z3；（2）1z

5Ⅳ.课时小结: Ⅴ.课堂检测 Ⅵ.课后作业

书本P70 习题1，2，3 教学目标：

1.理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的； 2.能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.教学重点：

理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量 教学难点：

根据复数的代数形式描出其对应的点及向量 教学过程：

1.分别写出下列各复数所对应的点的坐标，并求出它们的模： 23i,84i,80i,6,i,29i21,7i,0.3

复数与几何教案 第6篇

教学目标

1．掌握复平面、向量等有关概念；弄清复数集C与复平面内所有的点组成的集合之间一一对应关系，以及复数与从原点出发的向量之间的一一对应关系；弄清复数模的几何意义．

2．通过数形结合研究复数，提高学生的数形结合能力，突出比较与类比的研究方法．

3．感受到为真理执着追求的精神．进行辩证唯物主义教育． 教学重点与难点

重点：复数与点与向量的对应关系以及复数的模．

难点：自由向量与位置向量的区别，以及它们与复数的对应关系． 教学过程设计

师：我们已经学习了复数的概念．什么是复数？ 生：形如a＋bi的数叫复数．（学生有不同意见，小声议论）师：谁有补充？

生：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数．（教师给予肯定）

师：a，b∈R的条件很重要，实际上我们是用实数来定义的复数，虽然我们知道了复数的定义，但是复数对于我们来说，总感到摸不着抓不住，不像实数，任何一个实数，都可以在数轴上找到一个点与它对应，那么复数到底在哪里呢？我们能不能像实数那样来表示复数呢？

生：数轴上的点不能表示虚数，只能表示实数．

师：那么用什么可以表示复数呢？注意复数是由a，b两个实数决定的，可以大胆设想一下，我们可以利用什么来表示复数？

生：可以用直角坐标系里的点来表示吗？ 师：××提出了一个想法，用直角坐标系内的点来表示复数．这种想法行不行呢？

（在黑板上画出直角坐标系，任取一点（a，b））师：能不能用点来表示复数呢？

生：可以．因为有一个复数a＋bi（a，b∈R），就有一个点（a，b），而有一个点（a，b），就有一个复数a＋bi．

师：他刚才所说的实际想说明一点复数集与坐标系中的点构成的集合是一一对应的．的确，由复数相等的概念，我们知道一个复数a＋bi由一个有序实数对（a，b）唯一确定，而有序实数对与直角坐标系中的点是一一对应的．因此我们完全可以建立复数集与点集之间的一一对应．看来，用点来表示复数是完全可以的．为了区别表示复数的点与其它的点，我们把这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．那么在这个坐标系中x轴上的点与y轴上的点所表示的复数分别具有什么特点呢？

生：x轴上的点的纵坐标为0，即复数的虚部为0，因此x轴上的点代表实数．

师：既然x轴上的点代表了所有实数，我们就把复平面中的x轴叫实轴．那么y轴上的点代表什么样的复数呢？

生：由于y轴上的点的横坐标都是零，因此y轴上的点表示的是纯虚数． 师：同学们认为他说得对吗？

（大多数同学认为他说得对，少数人有疑惑）

生：原点也在y轴上，但0不是纯虚数，而是实数．所以y轴上的点除原点外表示的都是纯虚数．

师：他说得很对．y轴上只有这个原点捣乱，不然就可以表示所有的纯虚数．因此，我们把去掉原点后的y轴叫虚轴．这样虚轴上所有的点都表示纯虚数．那么，直角坐标平面与复平面有什么区别？

生：直角坐标平面中的x轴与y轴交于原点，而复平面中的实轴与虚轴没有交点．

师：我们通过建立复平面，将复数集与复平面上的点建立了一一对应的关系，这样复数对我们来说，也就不显得那样遥远了．但对于复数的认可，在19世纪可没那么简单．第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”，几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位．后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了它．看来复数从发现到最终被人们承认，的确经过了一个漫长坎坷的过程，可最终使人们接受他的还是它的几何表示，用点表示复数后，人们才觉得复数的存在．

（学生对数学史方面的知识很感兴趣，因为他们感到数学的发展是那样神秘，可以凭空造出数来，学生听得聚精会神，当最后得知是用点来表示复数这一理论使复数得以被人承认后，甚至还有些成就感）

师：用点表示复数后，我们还要介绍一种表示复数的方法，连接坐标原点O与点Z，得到一个具有长度且有方向的线段，这种既有大小又有方向的线段叫有向线段，而有向线段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？

生：既有大小又有方向的量叫向量． 师：能不能举出一些向量的例子？

生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它们都是向量．

师：现在的问题是我们能不能用向量来表示复数？我们一般将起点为O，终点为Z的向量记作

．

生：当然可以．因为有一个向量就对应一个点，而有一个点就对应一个向量，而点与复数有一一对应的关系，因此可用向量表示复数．

（学生议论纷纷，看起来有不同意见）生：那我在复平面内任意画一个有向线段（大家在思考）

师：这个问题提得很好．实际上，大家可以想一想，刚才××同学说一个向量对应一个点，一个点对应一个向量，对不对？怎么样改一下就对了？ 生：应改为起点为原点的向量对应一个点，也就是起点为原点的向量与点构成一一对应．

师：既然这样，我们就知道，起点为原点的向量与复数是一一对应的．那其它向量怎么办？它们对应什么复数？能不能将他们移到原点来？，这个向量表示哪个复数呢？

生：只要它们的长度和方向与合的位置上．

相同，就可以平移到起点为原点，与 重师：实际上，我们把长度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其实，我们只要规定相等的向量对应同一个复数，我们就可以用向量来表示复数了．对那些起点不在原点的向量，我们只要怎么做就可以知道它所对应的复数了呢？ 生：只要将它们平移到起点与原点重合，这时向量终点所确定的复数就是那些起点不在原点的向量所表示的复数．

（教师给予肯定）

师：在这个正六边形中有多少对向量相等，它们分别对应着哪些复数？

师：这样我们完成了今天我们要讨论的第二个问题：复数与向量．我们弄清楚了向量可以来表示复数，相等的向量对应着同一个复数．一个复数所对应的向量唯一吗？

生：一个复数实际上可以对应无数个长度相等、方向相同的向量，只是这些向量的位置不同．

师：现在我们知道复数可以用点和向量来表示，它们之间的对应关系可以用下图来表示．

有了这种一一对应关系后，我们常把复数z=a＋bi说成点Z（a，b），或说成向量 ．

师：在用有向线段表示向量时，有向线段的长度我们定义为向量的模，即线段OZ的长度为向量 的模．那么

可以表示复数z=a＋bi，那么 的模可以表示复数的哪个量呢？在实数集中，一个数的绝对值的几何意义就是数轴上的点到原点的距离．在复数集中呢？

生：向量 的模就是复数的绝对值．

师：他的意思说出来了，但在复数中，我们一般不叫绝对值，叫复数的模．因此 的模就叫复数的模，只有复数为实数时，我们叫绝对值．那么复数的模具有什么样的几何意义？

生：复数的模的几何意义是表示复数的点到原点的距离．

（教师给予肯定，并指出复数模的几何意义与实数的绝对值的几何意义是统一的．）

师：复数的模用什么表示呢？

生：用实数集中绝对值的符号表示，z的模，记作|z|． 师：复数z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？

（学生板演）

师：我们知道复数一般不能比较大小，而复数的模是实数，可以比较大小．（将z1，z2所表示的点画在复平面上，再将它们所表示的向量画出来，强调这三者的转化）

例2 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|＜4． 生：（1）表示到原点距离为4的点． 师：这样的点构成一个什么图形？ 生：是原点为圆心，半径为4的圆． 师：是圆面还是只有边界的圆？为什么？

生：应该是表示只有边界的圆．因为与复数z对应的点Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即点Z到原点的距离为4．所以z表示的点Z构成一个半径为4的圆． 生：（2）表示一个圆环．由于|z|的几何意义是点Z到原点的距离，所以2≤|z|＜4表示到原点距离大于等于2，小于4的点所构成的图形．

师：准确地说这个图形应当是半径为2与半径为4的圆构成的圆环内容及内边界．包不包括边界，主要是由原不等式中的等与不等决定的．

例3 用复数表示下图中的阴影部分．

生甲：|z|＜3且虚部＜-1．由于图中所示的点在半径为3的圆中，且纵坐标小于-1．

师：这种表示是否正确？（学生小声议论）

生：是两条直线．

师：夹在这两条直线中间又满足|z|＜3的点显然不仅仅是阴影部

（学生到黑板画出图）

师：因此刚才乙同学的想法是好在不满足于用一种方法表示，肯思考，但这个题无法用实部来表示．

（下面提问第2小题）生：|z|≥3，且实部≤-1．

生：不对．

师：看来用实部还是虚部表示，一定要全盘考虑，表示出来后，还要反过来检查一下是否符合题设条件．

（教师小结）

师：这节课我们共同探寻了复数的几何表示方法以及复数模的几何意义．要特别重视数与点与向量之间的对应关系，在研究的过程中要特别注意与实数的联系与区别．

补充作业

1．判断下列命题的真假，并说明理由：

2．已知|x+yi|=2，求表示复数x+yi的点的轨迹．

4．设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）|z|=3；（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）实部＞0，虚部＞0且|z|＜4．

作业答案或提示

1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×． 2．x2+y2=4．3．略．

4．（1）以原点为圆心，半径为3的圆；

（2）以原点为圆心，半径为3的圆面，不包括边界；

（3）以原点为圆心，半径为3和5的圆构成的圆环内部，包括外边界；（4）以原点为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分，不包括边界． 课堂教学设计说明

本节课是一节内容较为简单的概念课，但所涉及的知识内容，非常重要，它是学习复数的重要一环．

反例函数中k的几何意义及其应用 第7篇

反例函数中k的几何意义及其应用

过反比例函数y=k/x(k≠0)的图像上任取一点P,过点P分别作x轴和y轴的垂线PM、PN,则矩形PMON的`面积S=PM・PN,|y|・|x|=|xy|,由y=k/x可得xy=k,故S=|k|.

作 者：刘相书  作者单位：清镇市第三中学 刊 名：初中生辅导 英文刊名：ASSIST AND GUIDE FOR JUNIOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS 年，卷(期)： “”(11) 分类号： 关键词： 

复数的几何意义及应用 第8篇

拉格朗日中值定理在数学分析中有着十分重要的地位.而对于拉格朗日中值定理的研究, 从分析方面看已经是很完备的了, 所以本文就从拉格朗日定理的几何角度来进一步挖掘此定理的价值, 即将数学分析与空间解析几何两大学科的思维方法有机结合在一起来解决研究中的实际问题.这样不仅拓展了解决问题的思维方法, 更进一步地完善了拉格朗日定理的理论体系.

2.拉格朗日定理及其几何意义

拉格朗日定理是罗尔定理的推广形式, 用分析的语言可叙述为下列形式.

拉格朗日 (Lagrange) 定理:若函数f (x) 满足下列条件:

(1) 在闭区间[a, b]连续, (2) 在开区间 (a, b) 可导.

则在 (a, b) 内至少存在一点c, 使undefined

当f (a) =f (b) 成立时, 拉格朗日定理即变成了罗尔定理.

下面我们来看一下这个定理的几何意义.

拉格朗日定理的几何意义:若闭区间[a, b]上有一条连续曲线y=f (x) , 曲线上每一点都存在切线, 则曲线上至少有一点M (c, f (c) ) , 过M点的切线平行于割线AB (如图1) .

下面我们从拉格朗日定理的几何意义入手来看这个定理.定理中的函数f (x) 的图像是一条光滑曲线, 它比罗尔曲线少了一个条件, 拉格朗日定理的结论是说在曲线上某一点处的切线斜率与起点A和终点B连接的线段平行 (如图1) .我们把曲线undefined变成罗尔曲线undefined, 同时把直线AB变到横轴上, 那么罗尔曲线undefined上有一点处M1的切线与横轴平行, 只要这种变换保持曲线的光滑性就可以得出拉格朗日定理的结论.

事实上, 直线AB的方程为undefined

把undefined和AB直线相减得出一条新的曲线undefined, 它的方程为undefined

记为undefined

则这条曲线undefined的方程为y=F (x) , 易知它是罗尔曲线.由罗尔曲线的结论得知在 (a, b) 内必存在一点c, 使

undefined

从而证明了拉格朗日定理, 而且说明了引进的辅助函数undefined

3.几何意义的应用弦线法

由拉格朗日定理知, 若函数f (x) 在闭区间[a, b]连续, 在开区间 (a, b) 内可导,

则∀x1, x2∈[a, b], ∃ξ在x1, x2之间, 使得

undefined

即是说:曲线上任意两点的弦, 必与二点间某点的切线平行.我们正是可以利用这种几何意义进行思考解题.

例 设f (x) 是可微函数, 导函数f′ (x) 严格单调递增.若f (a) =f (b) (a

证明 任意取一点x∈ (a, b) , 要证f (x)

如图2, 作弦线AC, BC.

应用拉格朗日定理的几何意义, ∃ξ∈ (a, x) , η∈ (x, b) , 使得导数f′ (ξ) , f′ (η) 分别等于AC, BC弦的斜率.

但因f′ (x) 严格单调递增, 所以f′ (ξ)

这就得到了 (AC弦的斜率) < (BC弦的斜率) :

undefined

这便得到关于函数值的不等式.