专题 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）（学生卷）- 十年（专题-专题）高考真题数学分项汇编（全国通用）

专题 25 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点 1 数列新定义（10 年 10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷 2020·江苏卷2019·江苏卷、2018·江苏卷、2017·北京卷2017·江苏卷、2016·江苏卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力;以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。压轴题命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式多角度的提问，考查学生的数学能力，新定义题型的特点是;通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。考点 2 函数新定义（10 年 4 考）2024·上海、2020·江苏、2018·江苏2015·湖北、2015·福建考点 3 集合新定义（10 年 3 考）2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山东卷、2015·浙江卷考点 4 其他新定义（10 年 2 考）2020·北京卷、2016·四川卷考点 01 数列新定义一、小题1．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数，其中，记．则（ ）A．B．C．D．2．（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题）0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的 0-1 序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足的序列是（ ）A．B．C．D．二、大题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设 m 为正整数，数列是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中一次任取两个数 和，记数列是可分数列的概率为，证明：．2．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加 1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加 1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列和序列，写出；(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．3．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为 m，且的前 n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集 M 中最大的数. (1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)证明：存在，满足 使得．4．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数 m，若对任意的，在 Q 中存在，使得，则称 Q 为连续可表数列．(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；(2)若为连续可表数列，求证：k 的最小值为 4；(3)若为连续可表数列，且，求证：．5．（2021·北京·高考真题）设 p 为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ①，且；②；③，．（1）如果数列的前 4 项为 2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；（2）若数列是数列，求；（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的 p；如果不存在，说明理由．6．（2020·北京·高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使；②对于中任意项，在中都存在两项．使得．( )Ⅰ 若，判断数列是否满足...