专题 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）（教师卷）- 十年（专题-专题）高考真题数学分项汇编（全国通用）_专题专题专题_专题

专题 25 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点 1 数列新定义（10 年 10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷 2020·江苏卷2019·江苏卷、2018·江苏卷、2017·北京卷2017·江苏卷、2016·江苏卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力;以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。压轴题命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式多角度的提问，考查学生的数学能力，新定义题型的特点是;通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。考点 2 函数新定义（10 年 4 考）2024·上海、2020·江苏、2018·江苏2015·湖北、2015·福建考点 3 集合新定义（10 年 3 考）2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山东卷、2015·浙江卷考点 4 其他新定义（10 年 2 考）2020·北京卷、2016·四川卷考点 01 数列新定义一、小题1．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数，其中，记．则（ ）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】利用的定义可判断 ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断 B 选项的正误.【详解】对于 A 选项，，，所以，，A 选项正确；对于 B 选项，取，，，而，则，即，B 选项错误；对于 C 选项，，所以，，，所以，，因此，，C 选项正确；对于 D 选项，，故，D 选项正确.故选：ACD.2．（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题）0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的 0-1 序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足的序列是（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据新定义，逐一检验即可【详解】由知，序列的周期为 m，由已知，，对于选项 A，，不满足；对于选项 B，，不满足；对于选项 D，，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、大题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设 m 为正整数，数列是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中一次任取两个数 和，记数列是可分数列的概率为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可；（2）根据可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义.【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形，得到新数列，然后对进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第 1 小问相当于从中取出两个数 和，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列：①，共 组；②，共组.（如果，则忽略②）故数列是可分数列.（3）定义集合，.下面证明，对，如果下面两个...