函数综合论文范文
函数综合论文范文（精选11篇）
函数综合论文 第1篇
一、考查函数与不等式交汇问题
例1设0
(A)(-∞,0)(B)(0,+∞)
(C)(-∞,loga3)(D)(loga3,+∞)
解析:因为0
所以ax>3,得x
评注:这里考查的就是对数函数、指数函数的单调性和不等式相结合的问题,体现了知识的融合与交汇.
二、考查反函数、单调性与不等式交汇问题
例2设f-1(x)是函数(a>1)的反函数,则使f-1(x)>1成立的x的取值范围为()
解析:反函数y=f-1(x)>1,求x范围,即在原函数中x>1,求y的范围.考虑到f(x)是R上的增函数,
所以,故选(A).
评注:上述解题中利用反函数性质和单调性,避免了求反函数,使解题过程简明扼要.
三、考查函数与方程交汇问题
例3 f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()
(A)2 (B)3 (C)4 (D) 5
解析:由f(2)=0,T=3,所以f(-1)=f(5)=0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,f(1)=-f(-1)=0,
所以f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0,故选(D).
评注:本题考查的是函数周期性、奇偶性和方程根的综合问题.
四、考查函数性质的挖掘与延伸
例4在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中,当0
(A)0 (B) 1 (C)2 (D)3
解析:如图1,满足性质的是上凸函数,分别作出这四个函数的图象,在(0,1)上为凸函数的有y=log2x.而y=2x,y=x2为(0,1)上的凹函数,y=cos2x在(0,]上为凸函数,在[,1)上为凹函数.故选(B).
评注:函数的凸凹性是函数的一个基本性质,是近年高考常涉及到的一个性质.
五、考查函数相关的新定义新情境问题
例5对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),规定:函数
(1)若函数,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;
(2)求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
解析:(1)h(x)=
(2)当x≠1时,.
①若x>1时,则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立;②若x<1时,则h(x)0,其中等号当x=0时成立.
综上,函数h(x)的值域是[-∞,0]∪{1}∪[4,+∞).
(3)令,
则g(x)=f(x+α)
于是h(x)=f(x)f(x+α)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x.
评注:这是一个新定义和新情境问题,需要有较强的阅读理解能力、猜想能力和创新能力.
六、考查函数类型的应用题
例6某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨;每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.(1)多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少;(2)若面粉公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠,问该厂是否考虑利用此优惠条件?说明理由.
解析:(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉,其购买量为6x吨,由题意知面粉的保管等其他费用为
3[6x+6(x-1)++62+61]=9x(x+1)(元).
设平均每天所支付的总费用为y1元,则
当且仅当,即x=10时取等号.
即该厂应每隔10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少.
(2)若该厂利用此优惠条件,则至少每隔35天购买一次面粉,平均每天所支付的总费用为y2元,则
令(x≥35),设35x1
因为35x1
所以f(x1)
即当x≥35时,为增函数,所以当x=35时,f(x)有最小值,此时y2≈10069.7<10989.
所以该厂应该接受此优惠条件.
评注:本题主要考查函数的基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.
七、考查函数的极值、切线问题
例7f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(2)过点A(0,6)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.
解析:(1)f'(x)=3ax2+2bx-3,
依题意f'(1)=f'(-1)=0,
即解得
所以f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3.
令f'(x)=0,解得x=-1,x=1.
若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-1)上是增函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数.若x∈(-1,1),则f'(x)<0,故f(x)在(-1,1)上是减函数.
所以f(-1)=2是极大值,f(1)=-2是极小值.
(2)曲线方程为y=x3-3x,点A(0,16)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则M的坐标满足y0.
因为,故切线方程为
又点A(0,16)在切线,有
化简为4=-8,解得x0=-2,
所以切点为M(-2,-2),切线方程为9xy+16=0.
评注:本题主要考查函数的极值和曲线的切线方程,进而考查了学生运用导数研究函数性质,运用导数及函数求切线的知识,从而更进一步考查了学生的抽象思维能力及分析问题解决问题的能力.这类问题的难度设置比较灵活,而且具有内容新、背景新和方法新等特点.
八、考查向量切入的问题
例8设平面向量,若存在不同时为零的两个整数s、t及实数k,使x=a+(t2-k)b,y=-sa+tb,且x⊥y.(1)求函数关系式s=f(t);(2)若函数s=f(t)在[1,+∞)上是单调函数,求k的取值范围.
解析:(1)因为,
所以|a|=|b|=1,ab=0.
又x⊥y,知xy=0,
(2)f'(t)=3t2-k,因为f(t)在[1,+∞)上是单调函数,所以在[1,+∞)上恒有f'(t)≥0或恒有f'(t)0.
因为3t2在[1,+∞)上是增函数且无上界,所以不存在k,使k≥3t2在[1,+∞)上恒成立.
综上,k的取值范围是(-∞,3].
二次函数综合题 第2篇
如图所示，在直角坐标系中，A(-1，0),B(3,0),C(0，3)
1.用三种方法求出经过A B C三点的抛物线解析式
2.抛物线的顶点坐标为D（）3.求△ABC的面积，求四边形ACDB的面积，求△DCB的面积
4.证明△DCB是直角三角形（两种方法）
5.证明：△DCB∽△AOC
6.在直线BC的下方是否存在一点G，使得△GCB的面积等于△ACB的面积
7.在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△ACP的周长最小，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由。
8.设Q为抛物线第一象限内一点，是否存在点Q使得△BCQ的面积最大，若存在，求出Q点的坐标及最大面积，若不存在，请说明理由。
9.设Q为抛物线第一象限内一点，过 Q向x轴引垂线交BC于I。若抛物线对称轴与直线BC交于点E,是否存在点Q,使得以点D,Q,I,E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。
10.求△ABC外接圆圆心O’的坐标
11.抛物线上是否寻在点M，使得CM垂直于CA，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。
12.在对称轴上是否存在点N，使得△CDN是直角三角形，请求出所有符合条件的N点的坐标
函数与导数的综合性问题 第3篇
例1 已知f (x) =x3+bx2+cx+d在 (-∞, 0) 上是增函数, 在[0, 2]上是减函数, 且函数y=f (x) 有三个零点, 它们分别是x1, 2, x2. (1) 求c的值; (2) 求证:f (1) ≥2; (3) 求|x1-x2|的取值范围.
解 (1) 根据题意, 得
∵函数在 (-∞, 0) 上单调递增, 在[0, 2]上单调递减,
∴x=0是函数的极大值点, ∴f′ (0) =0.
又 ∵f′ (x) =3x2+2bx+c, ∴c=0.
(2) ∵2是函数y=f (x) 的零点, ∴f (2) =8+4b+2c+d=0.
又 c=0, ∴d=-4 (b+2) .
∵f′ (x) =3x2+2bx=0, 得undefined
∵f (x) 在[0, 2]上是减函数, undefined,
即b-3, ∴f (1) =1+b+d=-7-3b≥2.
(3) ∵x1, 2, x2是y=f (x) 的三个零点, 即f (x) =0的三个根分别为x1, 2, x2, 可设f (x) = (x-x1) (x-2) (x-x2) ,
∴f (x) =x3- (2+x1+x2) x2+ (2x1+2x2+x1x2) x-2x1x2=x3+bx2+cx+d, 即
undefined
小结 本题主要考查了导数在函数中的应用、函数的零点的概念、函数单调性等知识, 导数作为解决函数问题的工具, 常用于求函数的单调性、最值等等, 解题时要把握好导数与函数的单调性的关系.
例2 已知函数f (x) =xlnx, g (x) =x3-ax2-9x.
(1) 如果函数g (x) 的单调递减区间为 (-1, 3) , 求函数g (x) 的解析式.
(2) 在 (1) 的条件下, 求函数y=g (x) 的图像在点 (-2, -2) 处的切线方程.
(3) 若不等式2f (x) g (x) +10的解集为P, 且 (0, +∞) ⊆P, 求实数a的取值范围.
解 (1) g′ (x) =3x2-2ax-9.
由题意, 得3x2-2ax-9<0的解集为 (-1, 3) .
即3x2-2ax-9=0的两根为
undefined
(2) 由 (1) 知, g′ (x) =3x2-6x-9, ∴g′ (-2) =15.
∴点P (-2, -2) 处的切线斜率k=g′ (-2) =15.
∴函数y=g (x) 的图像在点P (-2, -2) 处的切线方程为y+2=15 (x+2) , 即15x-y+28=0.
(3) ∵ (0, +∞) ⊆P, ∴2f (x) g′ (x) +10的解集为P,
即2xlnx3x2-2ax+1对x∈ (0, +∞) 恒成立.
可得undefined,
即undefined对x∈ (0, +∞) 恒成立.
设undefined,
则undefined
令h′ (x) =0, 得x=1或undefined (舍去) .
当0
∴当x=1时, h (x) 取最小值, h (x) min=h (1) =2, ∴a2.
∴a的取值范围是a2.
小结 本题主要是理解题意, 将函数g (x) 的单调递减区间为 (-1, 3) 转化为g′ (x) =3x2-2ax-9<0的解集为 (-1, 3) 来解决问题.
例3 设函数f (x) =2x3+3ax2+3bx在x=1及x=2时取极值. (1) 求函数f (x) 的解析式; (2) 求证:对于区间[1, 2]上任意两个自变量的值x1, x2, 都有|f (x1) -f (x2) |1; (3) 若过点A (1, m) (m≠5) 可作曲线y=f (x) 的三条切线, 求m的取值范围.
解 (1) f′ (x) =6x2+6ax+3b, ∴得
undefined
当1x2时, f′ (x) 0, ∴f (x) 在区间[1, 2]上单调递减.
∴在区间[1, 2]上f (x) max=f (1) =5, f (x) min=f (2) =4.
∴对于区间[1, 2]上任意两个自变量的值x1, x2, |f (x1) -f (x2) ||f (x) max-f (x) min|5-4=1, ∴原不等式得证.
(3) 由题知, f′ (x) =6 (x-1) (x-2) ,
曲线方程为f (x) =2x3-9x2+12x, 且点A (1, m) 不在曲线上.设切点为M (x0, y0) , 则点M的坐标满足
y0=2xundefined-9xundefined+12x0.
∵f′ (x0) =6 (x0-1) (x0-2) , ∴根据切线的斜率, 得
undefined,
整理, 得4xundefined-15xundefined+18x0-12+m=0.
∵过点A (1, m) (m≠5) 可作曲线y=f (x) 的三条切线,
∴关于x0的方程4xundefined-15xundefined+18x0-12+m=0有三个实根.设g (x0) =4xundefined-15xundefined+18x0-12+m,
则g′ (x0) =12xundefined-30x0+18.
令g′ (x0) =0, 可得x0=1或undefined
∴函数g (x0) =4xundefined-15xundefined+18x0-12+m的极值点为x0=1或undefined
∴关于x0的方程4xundefined-15xundefined+18x0-12+m=0有三个实根的充要条件是undefined,
即undefined, 解得undefined
∴所求实数m的取值范围是undefined
初中数学三角函数综合练习题 第4篇
一．选择题（共10小题）
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
A．2 B． C．
D．
2．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）
A． B． C．
D．
3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）
A．msin35° B．mcos35° C．
D．
4．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）
第1页（共26页）
A． B． C． D．
5．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）
A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米
6．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）
A．米 2B．米
2C．（4+）米 D．（4+4tanθ）米
227．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）
A．160m B．120m C．300m D．160
m 8．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）
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A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 9．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）
A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米
10．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（）
A．
二．解答题（共13小题）11．计算：（﹣）+（）
12．计算：
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0
﹣1B． C． D．
﹣|tan45°﹣|
．
13．计算：
sin45°+cos30°﹣
2+2sin60°．
14．计算：cos45°﹣
15．计算：
sin45°+2
+cot30°．
sin60°﹣2tan45°．
16．计算：cos45°+tan60°•cos30°﹣3cot60°．
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17．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）
18．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）
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19．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）
20．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
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21．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：
米的点D（点D与楼底C在同的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
22．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
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23．某型号飞机的机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和AB的长度（精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
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2016年12月23日三角函数综合练习题初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
A．2 B． C．
D．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：由勾股定理，得 AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B=故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
2．（2016•攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）=，第9页（共26页）
A． B． C．
D．
【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可． 【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连接CD，如图所示： ∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD=故选：D．
=．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
3．（2016•三明）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）
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A．msin35° B．mcos35° C． D．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案． 【解答】解：sin∠A=∵AB=m，∠A=35°，∴BC=msin35°，故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．
4．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（），A． B．
C．
D．
【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值． 【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．
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=，设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x． 在△BCE与△ABC中，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，（负值舍去），． 解得x=﹣2±2∴AE=﹣2+2在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA=故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．
5．（2016•南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）==
．
A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米
【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．
【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
第12页（共26页）
，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．
6．（2016•金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）
A．米 2B．米
2C．（4+）米 D．（4+4tanθ）米
22【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米）； 故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．
7．（2016•长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）
2A．160m B．120m C．300m D．160
m 【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×
=40=120
（m），（m），第13页（共26页）
∴BC=BD+CD=160故选A．（m）．
【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．
8．（2016•南通）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）
A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 【分析】设MN=xm，由题意可知△BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，则AN=16+x，在Rt△AMN中，利用30°角的正切列式求出x的值． 【解答】解：设MN=xm，在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中，tan∠MAN=∴tan30°=解得：x=8（=，+1），+1）m； 则建筑物MN的高度等于8（故选A．
第14页（共26页）
【点评】本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角；并与三角函数相结合求边的长．
9．（2016•重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）
A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米
【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果． 【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示： 则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x+（2.4x）=13，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米； 故选：A．
第15页（共26页）
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
10．（2016•广东模拟）如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（）
A． B． C．
D．
【分析】根据题意可得∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，然后由勾股定理求得AB的长，又由余弦的定义，即可求得答案．
【解答】解：如图，∵由6块长为
2、宽为1的长方形，∴∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，∴在Rt△ABD中，AB=∴cos∠ABC=故选D． =．
=5，【点评】此题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
二．解答题（共13小题）
11．（2016•成都模拟）计算：（﹣）+（）
0
﹣
1﹣|tan45°﹣|
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【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式=1+3×=1+2=﹣． +1
﹣︳1﹣
︳
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
12．（2016•顺义区二模）计算：
．
【分析】要根据负指数，绝对值的性质和三角函数值进行计算．注意：（）﹣1=3，|1﹣|=﹣1，cos45°=
．
=
=2． 【解答】解：原式=【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．
13．（2016•天门模拟）计算：
sin45°+cos30°﹣
2+2sin60°．
【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：原式==+﹣=1+． + •
+（）﹣
2+2×
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
14．（2016•黄浦区一模）计算：cos45°﹣
+cot30°．
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【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：原式=（）﹣
+（）
2=﹣+3 =．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
15．（2016•深圳校级模拟）计算：
sin45°+
sin60°﹣2tan45°．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算． 【解答】解：原式==+3﹣2 =．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°=； cos30°=sin45°=sin60°=
16．（2016•虹口区一模）计算：cos45°+tan60°•cos30°﹣3cot60°． 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】解：原式=（=1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
17．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．
第18页（共26页）
22×+2×﹣2×1
；tan30°=；
；cos45°=；tan45°=1；
． ；cos60°=； tan60°=）+
2×﹣3×（）
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）
【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=（2）利用Rt△AME中，cos22°=【解答】解：（1）如图，求出AE即可，求出即可；
过点E作EM⊥AB，垂足为M． 设AB为x．
Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=则，=，解得：x=20． 即教学楼的高20m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．
第19页（共26页）
在Rt△AME中，cos22°=∴AE=，．
即A、E之间的距离约为48m 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=
18．（2016•自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）
是解题关键
【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值． 【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．
在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°=所以AD==0.5，=2x．
Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°=解得：x≈3．
即生命迹象所在位置C的深度约为3米． =，第20页（共26页）
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．（2016•黄石）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）
【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；
（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可． 【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=∴CE=200•sin45°=100
≈141.4，，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．
答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写
第21页（共26页）
成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．
20．（2016•天水）如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
【分析】在直角△AOC中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=200米，∠CAO=60°，∴CO=AO•tan60°=200
（2）设PE=x米，∵tan∠PAB=∴AE=3x． 在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=200∵PF=CF，∴200+3x=200解得x=50（﹣x，﹣1）米．
米，所在位置点P的铅直高度是50（﹣1）米． ﹣x，PF=OA+AE=200+3x，=，（米）
答：电视塔OC的高度是200
第22页（共26页）
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．（2016•泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：
米的点D（点D的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题． 【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M． 在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：∴BN=15，DN=15，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=60
﹣1
5=45，在RT△ABM中，tan∠ABM=∴AM=60，．
=，∴AC=AM+CM=15+60
第23页（共26页）
【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
22．（2016•昆明）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H． 则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．
在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10
（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．
答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．
第24页（共26页）
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．（2016•丹东模拟）某型号飞机的机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和AB的长度（精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
【分析】在Rt△CAE中，∠ACE=45°，则△ACE是等腰直角三角形即可求得AC的长；在Rt△BFD中已知∠BDF与FB的长，进而得出AB的长． 【解答】解：在Rt△CAE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=5（m），∴AC=CE=5≈5×1.414≈7.1（m），在Rt△BFD中，∠BDF=30°，∴BF=FD•tan30° =5×≈5×
≈2.89（m），∵DC=EF=3.4（m），∴AF=1.6m，则AB=2.89﹣1.6=1.29≈1.3（m），答：AC约为7.1米，BA约为1.3米．
第25页（共26页）
【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
函数综合题的题型分析 第5篇
一、含绝对值的函数
例1 已知函数f(x)=|x－m|和函数g(x)=x|x－m|+m2－7m.
（1）若方程f(x)=|m|在［－4,+∞)上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x1∈(－∞,4］，均存在x2∈［3,+∞)，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数m的取值范围.
解：（1）方程f(x)=|m|，即|x－m|=|m|．此方程在x∈R时的解为：x=0和x=2m．要使方程|x－m|=|m|在x∈［-4,+∞)上有两个不同的解，则2m≥－4且2m≠0，所以m的取值范围是m≥－2且m≠0.
（2）原命题等价于：对任意x1∈(－∞,4］，存在x2∈［3,+∞)，均有f(x1)min>g(x2)min.而对于任意x1∈(－∞,4］，f(x)min=0(m≤4)m－4(m>4)；
对任意x2∈［3,+∞)，
g(x)min=m2－10m+9(m<3)m2－7m(m≥3)，
① 当m<3时，0>m2－10m+9，即1 ② 当3≤m≤4时，0>m2－7m，即3≤m≤4. ③ 当m>4时，m－4>m2－7m，即4 综上所述：1 点评：本题是融绝对值函数、最值、不等式、图像等知识为一体的一个探索性综合题，其解题思路是：根据函数定义域，确定函数的最小值，最后根据题目要求探索出满足条件的结论，并作论证.解答绝对值函数要注意：①各段解析式与定义域的对应关系；②要注意分类讨论思想的的应用，以免漏解；③函数单调性及图象应注意各段间的联结关系.对绝对值函数的考查已成为高考的一个新的亮点，复习中要引起足够的重视. 二、利用函数的性质和图象以及导数这个工具来解决函数综合题 例2 已知函数f(x)=xe－x(x∈R). (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明:当x>1时, f(x)>g(x)； (3)如果x1≠x2且f(x1)=f(x2),证明: x1+x2>2. 解: (1)f′(x)=(1－x)e-x,令f′(x)=0,解得x=1,列表如下: x(－∞,1)1(1,+∞) f′(x)+0— f(x)↗极大值↘ 所以f(x)的单调增区间为(－∞,1)，单调减区间为(1,+∞)，函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)=1e. (2)由题意可知g(x)=f(2－x),得g(x)=(2－x)ex－2.令F(x)=f(x)－g(x),即F(x)=xe－x+(x－2)ex－2,于是F′(x)=(x－1)(e2x－2－1)e－x.当x>1时, 2x－2>0,又e－x>0,所以F′(x)>0,从而函数F(x)在［1, +∞)是单调递增函数,且F(1)=e－1－e－1=0,故当x>1时,有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). (3)由(1)的结论及函数f(x)的图象可知:不妨设x1<1,x2>1,再有(2)的结论可知f(x2)>g(x2),且g(x2)=f(2－x2),所以f(x2)>f(2－x2),从而f(x1)>f(2－x2),因为x2>1,所以2－x2<1,又由(1)可知函数f(x)在区间(－∞,1)上是增函数,所以x1>2－x2,即x1+x2>2. 点评：导数进入高中数学教材后，给函数综合题的考查赋予了新的生机与活力，开辟了许多新的解题途径，拓宽了高考对函数综合题的命题空间.利用导数研究函数的单调性与极值、函数图象等知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法． 三、函数与数列、不等式等知识的综合题 例3 已知函数f(x)=1+lnxx． （1）若函数f(x)在区间(a,a+1)上有极值，求实数a的取值范围； （2）求证：当n∈N,n≥2时，nf(n)<2+12+13+…+1n－1. 解:（1）由f(x)=1+lnxx得f′(x)=－lnxx2，令f′(x)=0得x=1．则函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1,+∞)上单调递减，即f(x)在x=1处取得极大值，由题意得a<1 （2）∵nf(n)=1+lnn,即证：lnn<1+12+13…+1n－1，（n≥2, n∈N*） 令Tn=1+12+13+…+1n－1－lnn， 则Tn+1=1+12+13+…+1n－ln(n+1)， ∴ Tn+1－Tn=1n－ln(n+1)+lnn =1n－ln(1+1n)， 设1n=t，则t∈(0,12］，令函数g(t)=t－ln(1+t),t∈(0,12］， 有g′(t)=1－11+t>0在t∈(0,12］恒成立，所以g(t)>g(0)=0， 即有Tn+1>Tn成立，也就是数列｛Tn｝为单调递增数列， 所以Tn≥T2=1－ln2>0，即nf(n)<2+12+13+…+1n－1成立. 点评：数列是特殊的函数,函数的图象、性质能反映数列的规律特征,利用函数的图象、性质解数列问题,体现了数与形的结合,更能使复杂问题简单化． 四、以基本函数为依据构造新函数 例4 对于函数f1(x),f2(x),h(x)，如果存在a,b使得h(x)=af1(x)+bf2(x)，那么称h(x)为f1(x),f2(x)的生成函数. （1）下面给出一组函数，问h(x)是否分别为f1(x),f2(x)的生成函数？并说明理由. f1(x)=sinx, f2(x)=cosx, h(x)=sin(x+π3). (2)设f1(x)=log2x,f2(x)=log12x,a=2,b=1,生成函数h(x).若不等式h(4x)+t·h(2x)<0在x∈［2,4］上有解,求实数t的取值范围. (3)设f1(x)=x(x>0),f2(x)=1x(x>0),取a>0,b>0,生成函数h(x)图像的最低点坐标为(2,8).若对任意正实数x1,x2,x1+x2=1,问是否存在最大的常数m,使h1(x)h2(x)≥m恒成立?如果存在,求出这个m的值;如果不存在,请说明理由. 解: (1)设sin(x+π3)=asinx+bcosx，即12sinx+32cosx=asinx+bcosx，取a=12,b=32，所以h(x)是f1(x),f2(x)的生成函数. （2)h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log12x=log2x.由h(4x)+t·h(2x)<0，即log2(4x)+t·log2(2x)<0，即(2+log2x)+t(1+log2x)<0．因为x∈［2,4］，所以1+log2x∈［2,3］，则t<－2+log2x1+log2x=－1－11+log2x，函数y=－1－11+log2x在［2,4］上单调递增，所以ymax=－43，故t<－43. （3)由题意h(x)=ax+bx(x>0,a>0,b>0),则h(x)≥2ab,故2a+b2=82ab=8,解得a=2b=8,所以h(x)=2x+8x(x>0).假设存在最大的常数m,使得h1(x)h2(x)≥m恒成立,则设u=h1(x)h2(x)=4(x1+4x1)(x2+4x2)=4x1x2+64x1x2+16(x1x2+x2x1) = 4x1 x2 + 64x1 x2 + 16·x21 + x22 x1 x2 = 4x1 x2 + 64x1 x2 + 16·(x1 + x2 )2-2x1 x2 x1 x2 =4x1x2+80x1x2－32 设t=x1x2,则t=x1x2≤(x1+x22)2=14,即t∈(0,14］,则u=4t+80t－32,t∈(0,14］,因为u′(t)=4－80t2<0,t∈(0,14］,所以u=4t+80t－32在(0,14］上单调递减,从而u≥u(14)=289,故存在最大的常数m=289. 点评：本题以一道新定义型函数为背景，通过设置新情境，考查同学们阅读、理解、迁移新知识的能力，以及灵活运用函数知识求解问题能力.此类题型的解题思路是：理解定义，按定义进行转换，利用已有的函数等相关知识求解.由于此类创新性函数问题往往能将函数、方程、不等式、导数、解析几何等知识融为一体，极富有思考性和挑战性，能有效考查同学们的思维水平和综合能力.预计在今后的高考中将会设计出更加灵活，更能体现“能力立意”的命题，复习中要注意这种趋向. 综上所述，函数解答题往往立足于考查函数单调性、极值、切线、恒成立等问题，尤其是利用导数工具解决单调区间和极值问题的能力，同时要注重含参问题的分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想． 解题时还要注意以下几点：先仔细审题，确定解题方案，这就是所谓的“先想后动、多想少动”；求导要准，否则后面就会白费力气而不能得分；求极值和单调区间时别忘了定义域；极值不一定是最值，最值也不一定是极值，连续函数的最值有可能在边界或极值处取得；分类讨论时要讨论全面，避免遗漏；解决含参问题时要注意能否取等．最后一点，复习时别忘了重视用通法、通性解题． 1. 平面向量与三角函数的图像与性质的综合问题 以向量为载体, 运用向量的数量积等知识把向量问题转化为三角函数的问题, 经历三角恒等变形的过程, 进而研究三角函数的图像与性质, 是平面向量与三角函数综合问题中的基本模型之一, 也是高考中常见的基本问题, 解这类题应注重向量运算转化的准确性, 三角变形的合理性, 提升整体解题意识. 2. 平面向量与三角函数的化简、求值和证明的综合问题 运用向量的数量积、平行、垂直、模的运算等知识, 将向量问题转化为三角函数问题, 然后利用三角函数的诱导公式, 同角三角函数的基本关系式, 和、差、倍角公式及辅助角公式的综合应用进行化简求值或证明, 深化平面向量与三角函数相关基本知识的理解, 感受转化、数形结合等数学思想方法, 领悟整体解题意识, 提升综合运用数学方法解题的能力. 3. 平面向量与解三角形的综合问题 关键词：高考数学压轴题,高中函数问题,高等数学 近年来, 越来越多的高考数学压轴题与高等数学有着紧密的联系, 它们在语言描述、符号表述和知识背景上都趋近于高等数学, 以考查学生抽象分析和综合运用数学知识方法灵活处理问题的能力.在考查学生的同时就要求教师具备高观点的解题视野, 能利用高等数学的思想方法对某些综合问题进行处理, 从而找到解题的突破口, 应用初等数学的思想方法解决相应的问题. 函数相关问题是高考的必考点, 也占有较大的分值比例.下面把近年来高考数学中较常出现的与凸函数有关的问题放在高等数学的框架下进行研究, 与广大一线数学教师共商榷. 凸函数的定义:设函数f (x) 定义在区间I上, 若对任意x1, x2∈I, 以及任意正数λ1, λ12, λ1+λ2=1, 都有f (λ1x1+λ2x2) λ1f (x1) +λ2f (xx) , 则称f (x) 是I的下凸函数.当不等号改为“≥”时, 则称f (x) 是I的上凸函数.下凸函数的图像位于曲线的每一点切线的上方, 即图像是下凸的;上凸函数的图像位于曲线上每一点切线的下方, 即图像是上凸的. 而类似于这个图像的只有函数y=log2x. 本题虽没有点出所给出的定义名称是凸函数, 但考查的是凸函数的定义, 它利用定义对图形的理解, 考查学生的数形结合思想.在往年的高考题中出现多次, 在各地的高考模拟题中也经常出现, 为广大考生所熟悉, 但以三角函数为研究对象的出现得不多, 事实上, y=cos2x的图像在 (0, π/4) 内是凸函数, 在 (π/4, 1) 内是凹函数, 因此, 不恒成立.故选B. 例2: (2006四川22) :已知函数f (x) =x2+2/x+alnx (x>0) , f (x) 的导数是f′ (x) .对任意两个不等的正数x1, x2证明: 比较两种方法, 显然高等数学的解法更为简洁明了.当然, 我们不能与学生探讨高等数学的解法, 这里主要是分析高等数学思想方法对初等数学教学的指导作用.高等数学对于初等数学的指导作用就是运用高等数学的思想、方法从更高的视角重新认识初等数学中的重要概念、理论实质及其背景, 做到高屋建瓴. 电力普遍服务具有网络外部性和规模经济特性,由于市场机制失灵,仅靠市场本身不能解决电力普遍服务的有效提供问题,需要政府行使公共管理职能,促进电力普遍服务有效实施。电力普遍服务由政府主导,电力企业承担,居民直接受益,对电力普遍服务综合效用考察需要充分考虑三方利益,任何一方的利益受损都会造成电力普遍服务的实施缺陷。对政府而言,电力普遍服务的主旨在于提高社会综合福利水平,促进偏远地区经济发展,与此同时,应当在公平前提下提高效率,使财政投入发挥最大价值;居民是电力普遍服务的直接受益主体,需要衡量其满意程度以及生活改善程度;企业的生产经营活动是为了获得利润,其承担电力普遍服务要考虑自身成本以及利润回报。 效用问题是电力普遍服务的研究重点,研究电力普遍服务的综合效用是为了给决策部门新一轮电力普遍服务规划提供借鉴,以进一步提高规划的合理性。近年来,国内学者在完善电力普遍服务的评价指标方面做了一些探索,文献[1]运用数据包络分析(DEA)方法对电力普遍服务实施效率进行评价;文献[2]运用条件价值评估法,采用问卷的方式模拟市场行为推导出人们的支付意愿,最终获得公共物品总经济价值;文献[3]在调研的基础上,全面把握农网建设项目社会效益,建立了社会效益评价指标体系;文献[4]从电力普遍服务的可获得性、可承受性和非歧视性等3个方面构建了电力普遍服务效益评价指标体系。 纵观国外文献的相关研究,文献[5]运用非参数DEA方法,对印度电力普遍服务的26项性能进行了综合效用评价;文献[6]采用模糊集和层次分析方法(AHP),对传统化石燃料和新能源供热进行了比较和评价;文献[7]从环境影响、经济效益和社会目标3个方面,对芬兰新能源政策进行了综合评价;文献[8]研究了土耳其的风能现状,从风能特性、辅助服务、市场机制和需求侧管理等角度,对土耳其风电的短期和长期效益进行了评估和预测。 由于综合效用评价的多维性以及消费者偏好的差异性,如何客观衡量和准确评估电力普遍服务综合效用一直是个难题。基于国内外相关研究成果,本文将效用理论和协调度合成模型相结合,从社会、居民和企业3个方面构建电力普遍服务综合效用评价体系,对电力普遍服务在拉动地方经济、满足居民电力需求和激励企业承担实施主体责任等方面的效用进行综合评价。 1 效用函数及其综合评价法 1.1 效用理论 效用理论是进行决策方案选择的一种理论,福利是对效用的一种货币上的度量。效用概念最早由Bernoulli提出,他认为人们在拥有不同财富的条件下,增加相等的财富给人们带来的效用值是不同的。效用具有主观和客观两重特性,更多是一种心理感受,很大程度上受人们的价值观、信仰、人生理想以及个人性格等的影响,要准确计量非常困难,仍会以决策者的现状为基础。效用函数是用来计算不同指标值对应评价目标的效用值。运用效用函数之前,需要对评价指标进行无量纲化处理,其表达式为: 式中:yi为第i个指标的标准化值,yi∈[0,1];i=1,2,,n;xi为第i个指标的实际值;xmax和xmin分别为x的最大值和最小值。 如前所述,效用函数内涵了个体的主观感应(价值判断),不同个体对某产品的需求欲望存在差异性,有的是风险偏好型,有的是风险规避型,因此本文选用分段效用函数模型[9,10],如表1所示。 在效用函数模型中,考虑到效用值在取值区间内的分布特征,借鉴标准分布函数,设ε为折算标准;由标准分布函数,当某变量对应最大效用值与最小效用值出现概率均为0.5时的效用为0.5。当ε<0.5时,为风险规避,对损失反应比较敏感;当ε>0.5时,为风险偏好,对利益反应比较敏感;当ε=0.5时,为风险中立,即益损值的效用大小与益损值本身成正比。U为评价指标对应的效用值,系数b和c的值可通过特殊点求得。 如图1所示,ε<0.5与ε>0.5的效用函数是对称的;当ε<0.5时,效用函数为一条上凸曲线;当ε>0.5时,效用函数为一条上凹曲线;当ε=0.5时,效用函数为一条直线。 1.2 效用函数综合评价法 效用函数综合评价法就是借助效用函数求得无量纲化评价指标的效用值,然后采用合成模型进行加权合成,得出总评价值[10]。效用函数综合评价法是一种多指标评价方法,其数学模型为: 式中:f为进行无量纲化后第i项评价指标yi的效用函数;i=1,2,,n;Ui为无量纲化评价指标yi的效用函数评价值;ξ为合成模型;wi为yi的重要性权重;F为效用评价的综合得分。 2 电力普遍服务综合效用评价指标体系 2.1 指标体系总体构想 基于引言所述三方利益,本文以政府公共管理提高社会福利为价值目标,用总效用作为电力普遍服务的评价域,综合衡量电力普遍服务对社会经济提升、居民幸福感形成以及企业承担社会责任的激励程度。考虑到电力普遍服务多主体利益关系的复杂性,本文选取了最具代表性的指标,来衡量电力普遍服务的综合效用,评价指标体系如表2所示。 2.2 社会效用评价指标 电力普遍服务的社会影响主要考察对偏远地区无电用户数量的影响,解决居民用不上电的问题。电力普遍服务针对偏远、经济不发达地区,鉴于恩格尔系数,能够衡量当地经济发展水平。因此,本文认为其社会影响中蕴含电力普遍服务对提高居民生活质量的影响。相关财政支出反映了政府促进电力普遍服务的社会成本。在公平前提下为了提高电力普遍服务的效率,需要考察政府的财政负担。 2.3 居民效用评价指标 电力普遍服务应立足于提高偏远落后地区的居民生活水平,保证居民无论生活在什么地方,都能以可以接受的价格消费电能。因此,电力普遍服务的居民效用评价应当充分考虑居民的需求是否得到了满足。在对电力普遍服务的居民效用评价指标进行选择时,人均用电量可以直接衡量电力普遍服务对居民使用电能的影响;公众满意度反映了受助群体对电力普遍服务的认可程度;人均收入水平可以反映居民生活水平的提高。 2.4 企业效用评价指标 电力普遍服务主要由电力企业承担,电力普遍服务的综合效用评价要考虑到生产者投资建设的成本回收问题,因此,本文选取电力普遍服务的供电成本作为影响因素。此外,企业以利润最大化为目标,因此,电力企业的利润率水平也应纳入企业效用评价指标中。 3 电力普遍服务综合效用评价流程和方法 3.1 评价指标效用赋值 电力普遍服务的公众满意度采用专家咨询打分和社会抽样调查方法确定,把定性的评价指标定量化。其他评价指标根据式(1)中的标准化模型进行数据处理,将各评价指标标准化赋值后,借助表1中的分段效用函数模型,求得各评价指标对应的效用值。 3.2 确定评价指标权重 指标的权重反映了某一指标在体系中所起到作用的大小,对指标权重的确定分为主观赋权和客观赋权2类,本文所选特征值法通过逐个两两比较指标的办法得到各对指标比较后的判断矩阵,然后求解其判断矩阵的最大特征根和对应的特征向量,特征向量的各分量即为各指标相对某一目标的权重。特征值法确定指标权重,实现定性与定量相结合,通过比较矩阵并进行一致性检验,评价指标之间的相对重要性得到合理体现。 3.3 综合效用评价合成模型 本文选择协调度模型作为合成加权模型,将各项评价指标的效用值和权重合成总评价值。该模型的特点是只有当各指标的效用均同时达到最优水平时,总效用才能达到完满值,其中任何一个或者一部分指标效用单独达到最高水平,都不能够使总效用达到完满值。某部分指标效用处于最低水平时,总体效用取最低水平,且不为0。模型指标符合电力普遍服务综合效用评价特征,可以全面、均衡地衡量电力普遍服务的综合效用,协调度合成模型表达式为: F值越高,说明电力普遍服务的实施效果越好。 4 实例研究 云南省位于中国西南边陲,山地约占全省面积的84%,资源储量丰富,经济发展潜力很大。随着云南经济步入快速、健康发展的轨道,电力普遍服务顺利开展,城乡居民生活水平不断提高,社会全面进步。按照上述方法,选择云南“十一五”期间数据,对云南省电力普遍服务综合效用进行评价。 4.1 数据处理 指标上限值选取云南省2000年的数据,指标下限值选择云南省2012年的规划数据。为方便起见,取该省份各评价指标的平均标准化值作为折算标准,通过取特殊效用点,求得效用函数系数b和c的值[11]分别为1.6和-0.2。云南省2000年至2010年评价指标赋值情况如表3所示。 注:数据来源于《中国统计年鉴》和《云南省电力统计年鉴》。 4.2 判断矩阵 本文选取主客观相结合的方法确定指标权重,决策分析者逐个两两比较指标,根据各指标的主观重视程度赋权得出每对指标比较后的判断矩阵,然后求解判断矩阵的最大特征根和它所对应的特征向量,特征向量的各分量即为各指标相对于某一目标的权重。表4表7为各项评价指标及评价要素的特征值。 由表4得出:判断矩阵的最大特征根λmax=3.303 85;判断矩阵的一致性指标值CI为0.019 2。由文献[12]可知,当CI小于0.1时,即认为判断矩阵具有满意的一致性。由表5得出:λmax=3.303 85;CI为0.019 2。由表6得出:λmax=3.303 85;CI为0.019 2。由表7得出:λmax=2;CI为0。 以上判断矩阵求得的评价指标及评价要素的特征值加权合成即可得到各项评价要素的指标权重,如表8所示。 4.3 结果分析 一般来说,效用值分为5个等级,即F∈[0,0.2)时,效用评价很差;F∈[0.2,0.4)时,效用评价较差;F∈[0.4,0.6)时,效用评价一般;F∈[0.6,0.8)时,效用评价较好;F∈[0.8,1.0]时,效用评价很好[13,14,15,16,17]。由表3中各指标的效用值可以看出,社会效用中的财政支持对电力普遍服务的实施、开展起到重要作用。居民效用中人均用电量和人均收入水平效用值都有显著上升。根据式(3)中的协调度加权合成模型,计算出云南省电力普遍服务综合效用评价值为F=0.654 1,电力普遍服务成效显著,综合效用评价较好。 与此同时,由于电力普遍服务的高成本低效益特性,电力企业承担电力普遍服务任务的动力不足,表3中企业效用值相对较低。因此,应当为电力企业设计合理的激励补偿机制,促使电力企业更好地为偏远地区提供安全、稳定、充足的电能。 5 结语 电力普遍服务综合效用评价体系分为三大部分,各部分的指标可根据电力普遍服务评价目的不同进行适当的调整,评价方法具有很强的适用性。电力普遍服务综合效用评价体系的建立对以往的评价方法进行了完善和补充,充分考虑了电力普遍服务对社会、居民和企业的影响,均衡各方利益,对电力普遍服务做出了更全面和客观的综合评价。效用函数的运用,充分考虑了效用特性,将人们的主观偏好判断与客观指标数据结合在一起,实现了对消费者偏好的定量刻画。将不同量纲和性质的评价指标通过效用函数标准规格化,达到定性与定量相结合的效用评价。协调度合成模型的运用能够协调各个影响因素的作用,合理均衡各方效用,科学、全面衡量各指标的综合作用,符合电力普遍服务的综合效用评价实际。 初中数学动态几何与函数综合性问题(以下简称为“动函综合问题”),是以几何图形—点、线、面(三角形、四边形、圆),以及函数图像为载体;以图形变换—平移、放缩、旋转、对称为主线,以初等函数—一次、二次、反比例函数为背景;集众多知识点于一体、融多种思想方法于一题的大纵深、宽覆盖、高难度的经典问题。它是初中数学代数、几何、三角函数知识的交汇点,是导学的重难点,是检验学生掌握与应用基础知识、基本技能、思想方法的试金石。 动函综合问题,按认知水平可划分为:七年级--坐标与平移,八年级--一次函数与平移、放缩、对称,九年级--一次函数、二次函数、反比例函数与平移、旋转、放缩、对称;按变换对象可划分为:动点、动线、动面与一次、二次、反比例函数综合问题;按运动形式可划分为:平移、旋转、放缩、对称与一次、二次、反比例函数综合问题。 按照解题目标,笔者将动函综合问题大致分为以下三类: 1)求解几何量—角度、长度、面积的数(式)与动点位置、运动时间的对应关系。 2)探索几何量的定值、最值、和差倍分的成立条件。 3)求作、求解图形(图像)符合限制条件时,对应运动时间或几何量的数(式)。 限于篇幅,笔者略举一例,简要说明解决动函综合问题的思想方法、解题策略。 (1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值; (2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围; (3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由。 【解析】(1)求解动态边恰好经过静态点的运动时间。 【看图找点】当边FG恰好经过点C时,如图(1)。静态点(参考点):B、C、P(A、O、D),动态点(肇事点):F(E、G)。当点C恰好落在边FG上时,静态点B、C与动点F构成瞬时静态Rt△CBF,且∠CFB=60°。 【见形想式】图形是画下来的公式,公式是写下来图形。几何图形直观而清晰地反映出几何量的计算方法。 【数形结合,建立模型】位置(坐标)与图形(图像)结合、动态与静态结合,从图形变换中寻找变化量与不变量的对应关系,建立以静态不变量为参考标准表示动态变化量的数学模型,把要解的题转化为已解过的题。根据上述分析,建立模型如下: (2)求解动态多边形重叠面积与运动时间的函数关系。 由解题经验知,动态多边形的重叠面积S是一个关于时间t的分段函数,需要分类讨论。 1 寻找E、F两点共同运动时间t(s)的取值范围。 【看图找点】化面为线,化线为点—化△EFG的运动为三条线段EF、FG、EG的运动,化线段EF、FG、EG的运动为三点E、F、G的运动。 动态点E、F、G中,动点F仅沿射线PA运动,即P→B→O→A,tPO=tPB+tBO=6(s);动点E作O→A→O的折返运动,因tOA=tAO=3(s),且E、F两点同时开始运动且相遇时同时停止。 ∴tPO=tPB+tBO=tOA+tAO=6(S),即E、F两点同时停止在点O处。由于t=6时,△EFG变为一个点,不符合题意,舍去。整个过程运动时间为0≤t<6。 (2)确定运动时间t(s)的分界点(算法改变点)。 (i)t=3是运动时间的一个分界点。 理由:t=3的前与后,如图(2)(1)(3)(4)。 在0≤t<6的整个过程中,点G先做3秒时间的向左平移运动,如图(2)(1)(3),再做3秒时间的向下平移运动,如图(4)。 当0≤t≤3时,动态线段EF=6保持不变,从而使动态等边△EFG保持形状和大小都不改变地沿射线PA平移3个单位长度(其中边FG会在t=1时相遇点C);当3<t<6时,动态线段EF的两个端点分别从A、B开始以相反的方向、相同的速度--1个单位/秒相遇至点O,即动态等边△EFG先保持形状不变但大小渐缩至为点O;∴t=3是运动时间的一个分界点。 (ii)t=1是运动时间的一个分界点。 理由:静态点:C、A、B、O、P(D),动态点:E、F、G。当静态点C在动态边FG的左侧与右侧(即t<1与t>1)时,如图(2)(3)。设EG交CD于点M,FG交DC(或延长线)于点N、交CB于点Q。 由前述可知,t=1时边FG恰好经过点C。当t<1至t>1,即由图(2)渐变至图(3)时,重叠面由直角梯形MEBC变为五边形MEBQN。∴t=1是运动时间的一个分界点。那么,0≤t≤3被分解为 0≤t≤1与1<t≤3两个区间讨论。 (iii)t=4是运动时间的一个分界点。 当动点G在CD上方与下方(即t<4与t>4)时,重叠面由等腰梯形MEBN变为等边△EFG。∴t=4是运动时间t的一个分界点。 那么,3<t<6被分解为3<t≤4与4<t<6两个区间讨论。整个运动时间0≤t<6分解为:0≤t≤1,1<t≤3,3<t≤4,4<t<6四种情况讨论。 3分类讨论,求S(t)的解析式。 【见形想式】图形是画下来的公式,公式是写下来的图形。几何图形直观而清晰地反映出几何量的计算方法。 当0≤t≤1时,如图(2),过点M作MR⊥AB于点R。易求RE=2,BE=3+t,MC=RB=BE-RE=3+t-2=t+1。 【数形结合,建立模型】位置(坐标)与图形(图像)结合、动态与静态结合,从图形变换中寻找变化量与不变量的对应关系,建立以静态不变量为参考标准来表示动态变化量的数学模型,把要解的题转化为已解过的题。 此时,重叠部分为直角梯形MEBC。 同理可得, 当1<t≤3时,如图(3)。重叠面为五边形MEBQN。在Rt△QBF中, (3)求作等腰三角形存在的条件。 解决存在性问题的思路:先假设结论存在,再分类寻求存在的条件,最后合理取舍各类条件而得出正确结论。 1 分类求作几何模型。 【看图找点】等腰△AOH中,定点:A、O, 动点:H。 当已知“一边或两点”求作等腰三角形示意图时,一般分为“两种类型、三种情况”操作: i.已知边AO为腰时,分别以已知点A、O为 圆心,AO为半径画弧交AC于点H,如图(5)(6); ii.已知边AO为底时,作AO的垂直平分线 交AC于点H,如图(7)。 2 分类建立代数模型。 ∴∠CAB=30°。因此,在整个运动过程中,始终有∠HEO=60°。 ∴∠H A E=∠A H E=3 0°,而使AE=HE。 当点E由O→A运动,即0≤t≤3时,HE=AE=3-t; 当点E折返由A→O运动,即3<t<6时,HE=AE=t-3。 如图(6),在等腰△AOH中,顶点为O,两腰AO=HO,则∠OHA=∠OAH=30°, ∴∠HOB=60°=∠HEB,∴点E与点O重合,AE=AO=3; 如图(7),在等腰△AOH中,AH=OH,则∠HAO=∠HOA=30°,且∠HEO=60°, ∴∠OHE=90°,∴OE=2HE=2AE。 【数形结合,建立模型】如图(5),当AH=AO=3时, 如图(6),当AO=HO时,3-t=3或t-3=3,解得t=6(舍去)或t=0; 如图(7),当AH=OH时,OA=OE+AE=3AE=3,∴AE=1,即3-t=1或t-3=1, 解得t=2或t=4。 〔反思提炼〕数学思考、探索发现、提炼升华是数学教学活动之必要过程。 1.解决动函综合问题的核心思想:转化。“化大为小”--对多解或复杂问题分类讨论;“化动为静”--化瞬时动态为瞬时静态、静中求解;“化繁为简”--化动面为动线,化动线为动点;“化生为熟”--解数学题的本质是把要解的题转化为已解过的题。 2. 解决动函综合问题的基本策略:“看图找点”--静态点(参考点)、动态点(肇事点)、分界点(算法改变点);“见形想式”--图形是画下来的公式,公式是写下来图形;“数形结合”--位置(坐标)与图形(图像)结合、动态与静态结合,从图形变换中寻找变化量与不变量的对应关系,以静态不变量为参考标准表示动态变化量;“建立模型”--代数模型:建立数量之间相依、相等、不等关系,即函数关系式、方程式、不等式;几何模型:求作探索过程中符合题意的几何图形(函数图像)的示意图。 3. 解决动函综合问题的立足点:“动面、动线、动点”的源头是“动点”。 从教材中“点动成线、线动成面、面动成体”,悟出一些道理: (1)动点问题,大致分为一个动点与多个动点两类; (2)动线问题,实质是一个或两个动点的运动。函数图像的变换,最多可以用三个动点来描述。所以,一般化动线问题为动点问题--“化线为点”; (3)动面问题,实质是线动成面。所以,先化动面为动线,再化动线为动点--“化面为线、化线为点”。 问渠哪得清如许,为有源头活水来。动函综合问题的活水源头--“动点与函数综合问题”。 4. 突破动函综合问题的制约瓶颈:“分界点”的本质为“算法改变点”。 分界点是动函综合问题的“导航仪”,寻找分界点可谓解题之瓶颈。由于学生缺乏判断标准和空间想象能力,使其所求分界点个数不完全、分区不正确,导致下笔千言、离题万里。笔者与学生一起总结了一种简易判定方法:若图形变换过程中,1点遇点(两点重合),2点遇线(点在线上或线经过点),3线遇线(两线相交或重合)的前与后两种状态下,所指定图形的几何量的计算模型也随之改变,则此时刻或此位置就是自变量的分界点。因此,分界点又称算法改变点。 笔者很赞赏德国教育学家第斯多惠的观点:“数学的艺术不在于传授本领,而在于激励、唤醒和鼓舞”。动函综合问题,试题风格优雅灵动——动静相伴、数形相随;解题方法儒雅清新——数学思想方法应有尽有;育人功能游刃有余——从知识、技能、数学思维来讲,它能全面考察学生“两基”应用能力,实践操作能力,空间想象能力和探索创新能力;从情感、态度、价值观来讲,它是激发学生挑战自我、完善自我、超越自我的经典素材。 参考文献 摘 要：通过对5个番茄的生物学性状、品质、产量进行鉴定评价，并进行隶属函数分析。结果表明：番茄津钻801综合表现最好，博雅、津杂213也是比较有潜力的品种，津粉207因为果皮硬度、果肉硬度低造成其隶属函数值偏低。果皮硬度、果肉硬度最大为凯德198，果皮韧性、果肉粘性最大为津粉207，小区产量最大为博雅。 关键词：番茄；隶属函数；鉴定评价 中图分类号：S641.2 文献标识码：A DOI 编码：10.3969/j.issn.1006-6500.2016.09.029 Abstract： The biological characters， quality and yield of 5 tomato were identified and evaluated， and analyzed by membership function. The results showed that tomato Jinzuan 801 had the best comprehensive performance of the varieties， Boya， Jinza 213 were potential varieties， Jinfen 207 had the lowest membership function value because of the lower pericarp hardness and hardness of pulp， Kaide 198 had the maximum pericarp firmness and fruit hardness， Jinfen 207 had maximum pericarp toughness and pulp viscosity， Jinfen 207 had the maximum area yield. Key words： tomato；membership function；evaluation 无土栽培技术普遍应用于蔬菜、花卉和水果的生产，在欧盟国家温室蔬菜、水果和花卉中有近80%的面积应用无土栽培方式[1]。固体基质栽培简称基质培，因其设施简单，管理技术与常规土壤栽培相似，操作简单[2]，近些年在我国北方硬水区（如北京、天津）无土栽培上得到广泛应用。硬水区不适宜水培的推广，主要原因是水中含有较多的钙镁离子，pH值偏高，通常在8以上[3]。基质培因为一次性投入较高，适宜种植经济效益较高的茄果类及瓜果类蔬菜，其中番茄应用最为普遍。长期以来笔者在番茄新品种的引进利用和育种方面做了大量工作，涌现出大批番茄品种并应用在生产实践中。然而，究竟哪些品种适合基质培，必须对其性状进行综合评价。本研究对5份基质培番茄品种，应用隶属函数分析法对其综合性状进行分析，以期筛选出优良的品种以应用于生产，并为番茄基质培的综合评价提供一定的研究方法和实践依据。 1 材料和方法 1.1 试验材料 从国内外引进5份番茄品种，具体见表1。试验于2015年7月—2016年5月在天津市设施农业研究所蔬菜栽培研究室的日光温室内进行。番茄品种于2015年8月24日播种，育苗于草炭∶蛭石∶珍珠岩=3∶2∶1的基质中，9月21日定植于栽培袋中，栽培基质（草炭∶蛭石∶珍珠岩=3∶2∶1）体积为100 L。移栽后开始浇灌施嘉多大量元素水溶肥料（12-8-30+TE），其成分如下：总氮（N）12%，铵态氮（NH4-N）6.6%，硝态氮肥（NO3-N）5.4% 酰胺态氮（NH2-N）0%，磷（P2O5）8%，钾（K2O）30%，硫（S）9.5%。用量3 kg·hm-2，间隔1 d施1次。 试验用栽培袋（1 m×0.6 m×0.15 m）栽培，每袋栽2株番茄，1个栽培小区共栽28株（7 m×1.4 m =9.8 m2），1个栽培小区即为1次重复，共3次重复，随机区组排列，每株番茄每次施用500 mL营养液，每隔1 d随水滴灌。每株番茄留5穗果，每穗留4个果，其他栽培技术同一般生产管理。1月29日开始采收，4月25日—5月10日拉秧。 1.2 测定项目及方法 在每处理中选取长势一致的番茄，每重复选取6株测定株高、茎粗和叶片数，果实开始采收时记录总产量及果实个数。其中茎粗测量点为茎基部子叶上部 2 cm处。 在番茄第 2 穗和第 3 穗果实成熟后，取各处理成熟度一致的10 个果实，进行果实品质指标的测定[4]。果实弹性、果皮硬度、果皮韧性、果肉硬度、果肉粘性等用TA.XT.Plus型质构仪测定，得出测定参数。每个果测1次，每次取样测6个果，取平均值。 试验数据处理及作图应用EXCEL完成，测定结果均采用统计分析软件SAS （Statistical Analysis System ）进行方差分析[5-6]。 2 结果与分析 2.1 不同番茄品种叶、茎、花和果的性状表现 从表2可看出，单果质量最大的为津钻801，最小的为凯德198；果实横径最大的为津钻801，最小的为凯德198；果高最大为津杂213，最小为博雅；茎粗最大为凯德198，最小为津杂213；叶片数最多为津粉207，最少为津钻801；最大叶长最大为凯德198，最小为津杂213；最大叶宽最大为津粉207，最少为津杂213；株高最大为津粉207，最小为津杂213；始花节位最大为津杂213，最小为津钻801。 2.2 不同番茄品种果实品质表现 从表3可看出，弹性最大为博雅，最小为津钻801；果皮硬度最大为凯德198，最小为津粉207；果皮韧性最大为津粉207，最小为津钻801；果肉硬度最大为凯德198，最小为津粉207；果肉粘性最大为津粉207，最小为凯德198；小区产量最大的为博雅，最小的为凯德198。 2.3 不同番茄品种的隶属函数法综合评价 对于不同的测定指标来说，有的指标变化的最大值与最小值之间差异非常大，因而该指标的绝对值在参与整个评价过程中所占的比重就比较大，对评价结果影响也就比较大[7]；而有的指标品系间差异比较小，则该指标的绝对值在综合评价过程中的贡献就可能比较小。这样就可能错误扩大或缩小某一个性状与品种品质的相关性。根据刘学义等采用的模糊数学中隶属函数的方法，对各品种各个指标求其隶属值并累加，综合比较各个品种，可消除因绝对值大小不同而可能造成的对正确评价材料优劣所作的贡献的不同[8]。 分别对所测的指标用下式求出每个材料各指标的具体隶属函数值： 隶属函数值=（ X-XMIN）/（ XMAX-XMIN）×100% 式中：X为某材料的某一指标测定值，XMAXQ为所有待鉴定材料某一指标测定值的最大值，XMIN为所有待鉴定材料某一指标测定值的最小值。将各个待评价品种的各个指标的具体特性隶属值进行累加，并求取平均数，平均数越大，其品种优良性越强[9-10]。 在试验中，对单果质量、果皮硬度、果皮韧性、果肉硬度、果肉粘性、小区产量等指标进行了隶属函数分析，得到的平均隶属函数数值如表4所示。 从表4中可以看出，平均隶属函数最高的品种为津钻801、最低的为凯德198，分别为60.92%，40.48%，其他材料按照从高到低的顺序为：博雅、津杂213、津粉207。 3 结论与讨论 对5个番茄品种进行比较和分析发现，番茄津钻801综合表现最好、综合表现最差的为凯德198，博雅、津杂213也是比较有潜力的品种。津粉207因为果皮硬度、果肉硬度低造成其隶属函数值偏低，但其果皮韧性、果肉粘性较好，可作为较好品质品种应用。 参考文献： [1]夏树让.国内外无土栽培的应用及发展方向[J].农产品加工（创新版），2009（3）：35-37. [2]毛妮妮，翁忙玲，姜卫兵.固体栽培基质对园艺植物生长发育及生理生化影响研究进展[J].内蒙古农业大学学报（自然科学版），2007，28（3）：283-287. [3]段彦丹，樊力强，吴志刚，等.蔬菜无土栽培现状及发展前景[J].北方园艺，2008（8）：63-65. [4]宁秀娟，余宏军，蒋卫杰，等.不同钾水平对温室番茄生长、产量和品质的影响[J].中国土壤与肥料，2011（6）：35-38. [5]马洪英.适合藏东地区栽培的瓜类新品种引进和筛选[J].天津农业科学，2007，13（4）：23-25. [6]马洪英，王隆清，李洪安，等.黄樱桃番茄“金旺369”基质无公害高产栽培技术[J].天津农业科学，2005，11（4）：32-34. [7]马洪英，张远芳，张晓磊，等.运用隶属函数综合评价七份番茄种质资源[J].北方园艺，2011（1）：13-15. [8]马洪英，靳力争.黑汁缘微生物肥料在番茄上的应用[J].天津农业科学，2015，21（12）：54-57， 60. [9]华明艳，宋兰芳，崔少杰，等.以色列草莓品种在天津地区引种与Fuzzy评判筛选[J].天津农业科学，2015，21（12）：98-101. 赋值法是一种特殊的解题方法, 一般说来, 如果题目中关于某个未知数对于等式或不等式在其取值范围内的任意值都成立, 常常可利用赋值法将某些字母赋予恰当的数值或代数式, 通过运算推理, 从而达到解决问题的目的.赋值法所体现的是一种从一般到特殊的转化思想, 在高考题中屡见不鲜.本文想通过几道精彩的高考和模拟考试题说明赋值法在函数、数列综合题中的巧妙应用, 不妥之处请大家指正! 1 利用函数单调性等性质直接赋值证明结论 例1 (2008年深圳一模第20题) 已知 (Ⅰ) 求直线l的方程及m的值; (Ⅱ) 若h (x) =f (x+1) -g′ (x) (其中g′ (x) 是g (x) 的导函数) , 求函数h (x) 的最大值; (Ⅲ) 当0<b<a时, 求证: 分析 (Ⅲ) 中, 由于左边式子 解 (Ⅰ) 依题意知:直线l是函数f (x) =ln x在点 (1, 0) 处的切线, 故其斜率 得 Δ= (m-1) 2-9=0 ⇒m=-2 (m=4不合题意, 舍去) . (Ⅱ) 因为 h (x) =f (x+1) -g′ (x) =ln (x+1) -x+2 (x>-1) , 所以 当-1<x<0时, h′ (x) >0;当x>0时, h′ (x) <0. 因此, h (x) 在 (-1, 0) 上单调递增, 在 (0, +∞) 上单调递减. 因此, 当x=0时, h (x) 取得最大值h (0) =2. (Ⅲ) 由 (Ⅱ) , 当-1<x<0时, ln (x+1) -x+2<h (0) =2, 即 ln (1+x) <x. 当0<b<a时, 因此, 有 类似的题如:2007年山东省高考数学 (理科) 第22题第3问等. 2 类比观察, 赋予恰当的数值或代数式, 通过运算、推理证明结论 例2 (2007年湖北省高考数学 (理科) 第21题) 已知m, n为正整数. (Ⅰ) 用数学归纳法证明:当x>-1时, (1+x) m≥1+mx. (Ⅱ) 对于n≥6, 已知 (Ⅲ) 求出满足等式3n+4n++ (n+2) n= (n+3) m的所有正整数n. 分析 本题的 (Ⅰ) 较简单这里就不多说.对于 (Ⅱ) , 问题解决的关键是能不能从要求证的结论中, 发现与 (Ⅰ) 的联系, 即发现第一个 证明 (Ⅰ) 用数学归纳法证明. (ⅰ) 当m=1时, 原不等式成立; 当m=2时, 左边=1+2x+x2, 右边=1+2x, 因为x2≥0, 所以左边≥右边, 原不等式成立; (ⅱ) 假设当m=k时, 不等式成立, 即 (1+x) k≥1+kx, 则当m=k+1时, 由x>-1, 得1+x>0, 于是在不等式 (1+x) k≥1+kx两边同乘以1+x, 得 (1+x) k (1+x) ≥ (1+kx) (1+x) =1+ (k+1) x+kx2≥1+ (k+1) x, 即 (1+x) k+1≥1+ (k+1) x. 亦即当m=k+1时, 不等式成立. 综合 (ⅰ) (ⅱ) 知, 对一切正整数m, 不等式都成立. (Ⅱ) 当n≥6, mn时, 由 (Ⅰ) 得 其中m=1, 2, , n. (Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知, 当n≥6时, 即 3n+4n++ (n+2) n< (n+3) n. 亦即当n≥6时, 不存在满足该等式的正整数n. 故只需要讨论n=1, 2, 3, 4, 5的情形: 当n=1时, 3≠4, 等式不成立; 当n=2时, 32+42=52, 等式成立; 当n=3时, 33+43+53=63, 等式成立; 当n=4时, 34+44+54+64为偶数, 而74为奇数, 故34+44+54+64≠74, 等式不成立; 当n=5时, 同n=4的情形可分析出, 等式不成立. 综上, 所求的n只有n=2, 3. 3 研究数列特征, 发现规律, 选择恰当的赋值证明结论 例3 (2008年广州一模考试 (理科) 第20题) 已知函数f (x) =ex-x (e为自然对数的底数) . (Ⅰ) 求函数f (x) 的最小值; (Ⅱ) 若n∈N*, 证明: 分析 本题的 (Ⅰ) 是一个容易解答的问题, 但 (Ⅱ) 几乎每一个学生都估计到要利用 (Ⅰ) 的结论来解题, 但如何利用一个漂亮的结论:1+xex!大家都感到力不从心, 由于大家理不出它的思路, 绝大多数同学只能是望题兴叹.其主要原因是对老师讲的基本思路如对 (Ⅱ) 左边的式子没有注意联系:第一要研究它的通项, 解 (Ⅰ) f (x) =ex-x, f′ (x) =ex-1. 令f′ (x) =0, 得x=0. 当x>0时, f′ (x) >0;当x<0时, f′ (x) <0. 所以函数f (x) =ex-x在区间 (-∞, 0) 上单调递减, 在区间 (0, +∞) 上单调递增. 故当x=0时, f (x) 有最小值1. (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, 对任意实数x均有ex-x≥1, 即 1+xex. 令 即 又 即 通过对以上典型例题的学习, 利用函数的单调性, 利用赋值思想, 不等式思想, 我们还可以编出不少类似的精彩题, 通过对这些题目的学习, 可以极大地培养学生学习数学的热情, 培养学生的创新精神和实践能力.例如我们可以将1+xex变为lnxx-1, 令x=n2 (n∈N*) 得到lnn2n2-1, 得到进而可证 等一些新的结论.平面向量与三角函数综合问题探析 第6篇
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