傅里叶光学范文

傅里叶光学范文（精选6篇）

傅里叶光学 第1篇

一、周期函数的傅里叶级数

在实际生活中, 不论是我们天天接触的电学还是物理中最重要的力学, 都不可避免的要与随时间变化的周期函数fT (t) 相联系。

1. 周期函数简介

我们将形如f (t+T) =f (t) 的函数f (t) 称作周期函数, 在本文我们记作fT (t) 。

其中T称作周期, 而1/T则表示单位时间内振动的次数, 单位时间一般取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹 (Herz, 或Hz) .

我们最熟悉而且最常见的一种周期函数是三角函数。而且人们通过大量的实践得知, 日常生活中所使用的大部分周期函数尤其是在工程中都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.这也就是傅里叶级数定义的最本质来源。

对于周期函数来说, 要想研究其性质实际上只需研究其中一个周期内的情况即可, 通常研究其在闭区间[-T/2, T/2]内函数变化的情况。

fT (t) 是以T为周期的周期函数, 在[-T/2, T/2]上满足Dirichlet条件:[1]

(1) (fTt) 连续或只有有限个间断点

(2) (fTt) 只有有限个极值点

则 (fTt) 可展开成傅里叶级数, 且在连续点t处成立:

其中, (n=0, 1, 2, )

引进复数形式:

级数化为:

令, , ,

则,

(n=1, 2, ) ()

合并为:

级数化为:

cn=F (nw) 表示f T (t) 的离散频谱;

|cn|表示f T (t) 的离散振幅频谱;

若以表示信号, 则可以刻画的特征频率。

二、一般函数 (即非周期函数) 的傅里叶级数

1. 对于任何函数f (t) 都可以看成是由某个周期函数当T时转化而来的。

作为周期为T的函数, 使其在[-T/2, T/2]之内等于f (t) , 在[-T/2, T/2]之外按周期T扩展到整个数轴上, 则T越大, 与f (t) 相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数便可转化为f (t) , 即有

2. 傅里叶积分及傅里叶积分存在定理

设为周期为T的函数, 在[-T/2, T/2]上满足Dirichlet条件, 则可展成傅里叶级数:

, ,

,

即

由

可得

当n取一切整数时, 所对应的点便均匀分布在整个数轴上。

令 (与n无关) ,

此时视为w (连续变量) 。

令

由定积分定义得

即为f (t) 傅氏积分公式

定理 (傅里叶积分存在定理) 若f (t) 在任何区间都满足Dirichlet条件, 且在 () 上绝对可积, 则

在 () 上绝对可积指的是收敛。

三、傅里叶变换的定义

已知, (实自变量的复值函数) 成为f (t) 的傅里叶变换, 记为F (w) =F[f (t) ]。

傅里叶积分存在的条件也就是傅里叶变换存在的一种充分条件。

F (w) 表示f (t) 的频谱密度函数;

|F (w) |表示f (t) 的振幅频谱;也简称为频谱。

四、结论

本文首先引进复数将周期函数的傅里叶级数表达式转化为, 然后令T就得到了一般函数的傅里叶级数表达式, 接着由定积分的定义得到了傅里叶积分, 最后为了方便, 将其中的一部分定义为傅里叶变换。

摘要：本文由我们熟知的周期函数的傅里叶级数通过极限的方法推出了一般函数即非周期函数的傅里叶级数, 进而给出了连续函数的傅里叶变换的定义, 简单易懂。

关键词：傅里叶级数极限,傅里叶变换定义

参考文献

傅里叶光学 第2篇

2、将后面的正弦函数展开：

于是得到：

那么如何计算an,bn,a0这些参数成为能否展开成为正余弦函数的关键。

上面的这些积分为0被称之为正余弦函数的正交性。这些证明很简单，可惜当初学习正余弦函数的时候可能遇到过，但是却不知道这些东西能干什么用。下面的处理手段凸显了大师的风范：

如果我们队原函数进行如下积分，得到很神奇的东西：

后面的积分很明显是0，于是我们求出了a0的值。

那么如何求出an,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。

利用三角函数的正交性，可以得到：

再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到bn,于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现A0/2而不是直接的A0的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁的美。

通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公式。

到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多，他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet的家伙证明出如下结论：

有兴趣的可以继续找书看，可惜我有兴趣没时间····

至此以2π为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函数我想应该不会这么凑巧是2π，于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2π周期函数的基础之上的。

也就是说如何让一个以2l为周期的函数变成一个以2π为周期的函数，于是乎可以使用z=2π*x/(2l),这样就z就是一个以2π为周期的函数了，于是乎得到如下公式：

傅里叶函数看起来其实还是比较复杂的，有没有一种更简单的表达形式来表示呢。既然提出这个问题，肯定是有的，我个人猜想肯定是复变函数大师在挖掘复变函数的时候，用复变函数去套用经典的傅里叶变换，偶然间发现的······

一个基本的欧拉公式eiθ=cosθ +i*sinθ,这个很容易可以从复数的几何意义上得知，我们通过取两个互为相反数的θ可以得到两个式子，进而可以得到cos 和 sin 的复数

表达形式：



fT(t)c0



[cne

n1

jnt

cne

jnt

]

即：fT(t)



n

cne

辣椒疫病的傅里叶变换红外光谱研究 第3篇

关键词：傅里叶变换红外光谱；辣椒；疫病；相关性分析

中图分类号： O657.33文献标志码： A文章编号：1002-1302（2014）06-0113-03

收稿日期：2013-09-01

基金项目：云南省教育厅基金（编号：2013Y480）。

作者简介：杨春艳（1979—），女，云南祥云人，讲师，从事物理教学和光谱研究工作。Tel（0877）2053601；E-mail：ychyky@163.com。辣椒，又名番椒、海椒、辣子等，是茄科辣椒属一年生或多年生作物，果实营养价值丰富，在蔬菜生产中占有重要地位。辣椒疫病是由辣椒疫霉菌引起的一种全生育期均可发病的土传真菌病害[1-2]，可侵染辣椒的根、茎、叶和果实。美国最早于1918年开始报道该病，我国1940年在江苏省首次报道此病发生，现在全国各地普遍发生[3]。一般发病率为5%～65%，平均达24.4%，发生严重的可减产4.0%～7.0%，甚至绝收[4]，是辣椒生产上的一种世界性分布的毁灭性病害。国内外对辣椒疫病的发生、防治及疫霉菌的生物学特性和常规鉴定已进行过研究报道[5]，但这些研究都没有反应病菌的化学组成信息或病菌对染病植株化学组成信息的影响。

傅里叶变换红外光谱（FTIR）是一种能够提供分子化学结构信息的技术，利用FTIR技术可以对样品进行定性和定量无损分析，根据红外吸收光谱的谱峰位置可以鉴定多种有机化合物及官能团的存在，而利用光谱吸收强度可以定量地计算出各种化学组分在样品中的相对含量[6]。目前，FTIR技术已经应用于农作物病害的研究，如任先培等用FTIR研究病害烟叶[6]；刘飞等利用FTIR研究油菜根肿病[7]；欧全宏等用FTIR研究稻瘟病、玉米锈病和蚕豆锈病叶片[8]，但研究辣椒病害方面还未见报道。本研究用FTIR技术对成株期正常辣椒和疫病辣椒4个不同部位的红外光谱进行对比分析，探讨了正常辣椒和疫病辣椒同一部位所含化学信息的差异，以期为辣椒疫病的研究提供参考。

1材料与方法

1.1仪器设备和测试条件

所用仪器为PE公司生产的Frontier型傅里叶变换红外光谱仪，装备DTGS检测器，累加扫描次数为16次，扫描范围为4 000～400 cm-1，分辨率为4 cm-1，光谱数据用OMNIC 80软件处理。

1.2样品制备及光谱预处理

测试的所有样品均是辣椒成株期样品，正常辣椒植株和疫病辣椒植株均采自红塔区北城镇，并经农职技术人员鉴定。样品经自然晾干，除去根部泥土，保存待测。取样时叶片、茎、主根和须根均取相同或相近部位，将样品放入玛瑙研钵磨为细粉，再加入溴化钾搅磨均匀，然后压片测定光谱。所有光谱都已扣除背景光，并使用OMNIC 8.0 软件进行自动基线校正、平滑和归一化处理。

2结果与讨论

2.1正常植株与疫病植株叶的红外光谱图的比较分析

为正常植株和疫病植株叶片的红外光谱图，其中a是正常植株的叶片光谱，b和c分别是疫病植株叶片无病斑处和病斑处的光谱，谱图都以1 630 cm-1附近的吸收峰为参考进行了归一化处理。3 330 cm-1附近出现的宽峰属羟基O—H和氨基N—H伸缩振动，2 959 cm-1和2 927 cm-1附近峰分别归属亚甲基和甲基的C—H反对称伸缩振动。正常植株叶片光谱中，1 730 cm-1附近弱峰为酯羰基CO的伸缩振动峰，说明辣椒叶片中含有脂肪类化合物。1 648 cm-1附近的强峰主要是酰胺Ⅰ带吸收，归属CO的伸缩振动[9]，为光谱第二强峰，由于没有1 540 cm-1附近的吸收峰存在，所以可以判断辣椒叶片中含有的酰胺大多为叔酰胺[10]。1 445 cm-1 附近为甲基的C—H剪式振动，1 319 cm-1为芳香胺中C-N伸缩振动，1 261 cm-1附近为酰胺Ⅲ带C-N伸缩振动、N-H变形振动[10]，说明样品中含有蛋白质类物质。位于1 140、1 121、1 071cm-1的宽峰，主要是多糖类物质C—O和C—O—C的伸缩振动[11]，881 cm-1附近是纤维素中C—H振动吸收峰[10]，781 cm-1附近为C—O对称弯曲振动吸收[12]。叶片光谱的上述特征，表明叶片中的主要物质成分为蛋白质、多糖和脂类物质。

在疫病叶片（病斑处和病斑附近）的光谱中，反映酯羰基CO伸缩振动的吸收峰峰位与正常植株相同，但强度有所增强；在酰胺带吸收区，反映蛋白质酰胺Ⅰ带CO 伸缩振动吸收峰的相对强度明显超过正常植株，成为最强峰，反映酰胺Ⅲ带吸收的1 261 cm-1处峰的相对强度也明显增加，新增了反映酰胺Ⅱ带吸收的1 546 cm-1弱峰，说明疫病植株叶片中含有蛋白质类物质。在1 500～1 200 cm-1 区域，比正常植株叶片光谱增加了1 389 cm-1处吸收峰，同时1 445 cm-1附近峰由最强峰变为弱峰，这可能与疫病植株叶片光谱中增加的蛋白质类物质有关。在1 200～1 000 cm-1 区域，只显示了1 071 cm-1 处峰，且相对强度显著强于正常植株在该处的光谱，说明多糖类物质的组成或结构有变化。在1 000～700 cm-1 区域，只出現了781 cm-1附近峰，其相对强度比正常植株叶片光谱在该处的稍强。光谱特征表明，疫病植株叶片中的主要成分仍为蛋白质、多糖和脂类物质。光谱差异表明，疫病植株叶片中3类营养物质的含量比正常植株中的高，说明辣椒疫病影响了辣椒叶片中营养物质的含量，同时还影响蛋白质和多糖的组成和结构。

2.2正常植株与疫病植株茎的红外光谱图的比较分析

为正常植株与疫病植株茎的红外光谱图，其中a是正常植株茎的光谱，b和c分别是疫病植株茎部无病斑处和病斑处的光谱，谱图都以1 384 cm-1附近的吸收峰为参考进行了归一化处理。

，正常植株茎的光谱和疫病植株茎部无病斑处和病斑处的光谱整体非常相似。1 735 cm-1附近的吸收是纤维素中羰基CO的伸缩振动峰，1 645～1 626 cm-1宽峰为酰胺Ⅰ带和木质素中羰基CO伸缩振动吸收峰，1 250 cm-1 附近的吸收是木质素酚醚键C—O—C骨架振动峰[12]，且1 645～1 626 cm-1处吸收峰强度高于1 250 cm-1处强度，说明样品中含有蛋白质和木质素。1 384 cm-1附近吸收是纤维素中甲基的C—H对角振动，1 158 cm-1的吸收峰和1 106～1 060 cm-1附近的宽峰，主要是纤维素中多糖C—O和C—O—C的伸缩振动[13]，说明样品中含有纤维素。茎部光谱的上述特征，表明茎中的主要物质成分是纤维素、蛋白质和木质素。

为红外光谱图a、b和c中3类物质特征峰的相对强度（以1 384 cm-1附近的吸收峰为参考）。由表1可知，b、c中3类物质特征谱峰的相对强度比a中相应谱峰的相对强度强，表明疫病植株茎中蛋白质、纤维素和木质素等3类营养物质比正常植株茎中的稍高，说明辣椒疫病影响了辣椒茎中营养物质的含量。

正常植株和疫病植株茎中3类主要物质吸收峰的相对强度

谱线相对强度1 732

cm-11 645

cm-11 250

cm-11 158

cm-11 106

cm-11 060

cm-1a0.1580.490.1670.4140.341b0.2720.5490.2530.3260.4530.485c0.2980.6750.2980.3970.5760.603

2.3正常植株与疫病植株主根的红外光谱图的比较分析

正常植株和疫病植株主根的红外光谱图，其中a是正常植株的主根光谱，b是疫病植株的主根光谱，谱图都以1 630 cm-1附近的吸收峰为参考进行了归一化处理。

在正常植株的主根光谱中，1 740 cm-1附近是纤维素中羰基CO伸缩振动，1 642～1 628 cm-1的吸收峰主要是蛋白质酰胺Ⅰ带CO伸缩振动吸收，1 383 cm-1附近是纤维素中甲基C—H对称变角振动，1 252 cm-1附近弱峰为木质素酚醚键C—O—C骨架振动[12]。在1 149、1 106、1 058、1 031 cm-1 附近显示的4个阶梯增强的吸收峰，主要是纤维素中 C—O—C伸缩振动。在919、829、781 cm-1附近显示的多个弱吸收峰主要是纤维素、木质素中糖环振动产生的[14]。光谱特征表明，正常植株主根中的主要物质成分为蛋白质、纤维素和木质素。且由于表征纤维素中羰基吸收的吸收峰低于表征木质素吸收的吸收峰，说明纤维素的相对含量比木质素的低。

在疫病植株主根光谱中，反映纤维素和木质素C—O—C伸缩振动的吸收峰峰位与正常植株相同，正常植株在 1 738 cm-1 附近显示有弱吸收，而疫病植株在此位置未显示吸收峰，各阶梯增强峰的相对吸收强度明显低于正常植株，1 252 cm-1 处峰的相对强度比正常植株稍弱，说明纤维素相对含量比正常植株有所下降。在酰胺带的吸收区域显示了吸收峰1 649 cm-1和1 543 cm-1，其中1 649 cm-1附近吸收峰的相对强度与正常植株相同，而表征酰胺Ⅱ带吸收的 1 543 cm-1 处中等强度峰在正常主根光谱中未出现，说明疫病植株主根的蛋白质组分与正常植株相比发生了变化。在 1 000～700 cm-1 区域只显示了781 cm-1附近的吸收峰，且相对强度几乎为正常植株主根中的50%，减少了正常植株主根光谱中体现纤维素中C—H振动的吸收峰919 cm-1和体现木质素中C—H平面弯曲振动的829 cm-1[15]。光谱特征表明，疫病植株主根光谱中的主要成分仍为蛋白质、纤维素和木质素。2种主根光谱的差异表明，疫病植株中纤维素和木质素的相对含量明显比正常植株的低，疫病植株中出现了新的蛋白质类物质。

上述对主根光谱的分析，反映了辣椒主根受到疫病病菌侵蚀后，物质成分的变化情况，病菌降解了主根内的纤维素和木质素，染菌主根中出现了新的蛋白质类物质。

2.4正常植株与疫病植株须根的红外光谱图的比较分析

为正常植株和疫病植株须根的红外光谱图，其中a是正常植株的须根光谱，b是疫病植株的须根光谱，谱图都以1 034 cm-1附近的吸收峰为参考进行了归一化处理。

正常植株与疫病植株的须根光谱显示，须根主要成分是蛋白质、纤维素和木质素。它们的光谱差异主要体现在：（1）在2 927、1 735、1 650～1 628、1 383、1 322、1 258 cm-1附近的吸收峰，疫病植株的相對吸收强度都比正常植株的弱，特别在1 383 cm-1附近，吸收峰相对强度由正常植株的1.0下降至0.374；在1 585～1 482 cm-1区域内，疫病植株的吸收都比正常植株的强；疫病植株在1 428 cm-1附近显示有吸收，但正常植株在此位置未显示吸收。（2）在1 200～1 000 cm-1区域，正常植株的须根光谱显示的谱峰有1 149、1 101、1 037、916、826、780 cm-1，而疫病植株须根光谱显示的谱峰为 1 156、1 034、781 cm-1，其中1 034 cm-1为光谱最强峰。上述光谱差异表明，正常植株须根中纤维素和木质素的相对含量比疫病植株须根中的高，同时疫病植株须根光谱中出现了新蛋白质组分。

另外，在光谱的低波段出现了多个吸收峰，正常植株须根的光谱有669、617、528、470 cm-1，疫病植株须根的光谱有662、528、470 cm-1，这些都是无机化合物的吸收峰。这些吸收峰结合光谱中出现的1 034、917、781 cm-1等吸收峰，构成了高岭土的特征吸收[7，15]，说明样品中含有高岭土，这可能是须根表面附带的少量泥土引起的。

2.5正常植株与疫病植株4个部位红外光谱的相关分析

以上对辣椒正常植株和疫病植株4个不同部位红外光谱的对比分析，反应了疫病对成株期辣椒不同部位的影响，为了更直观地反映这种影响，利用统计分析软件SPSS 18.0对相同部位的辣椒光谱进行相关分析。对同一部位光谱的4 000～2 800 cm-1、1 800～1 200 cm-1、1 200～700 cm-1 3个范围进行相关性分析，2种植株同一部位光谱的相关系数见表2。

由表2 可知，2种植株4个部位的光谱在4 000～2 800 cm-1 范围内高度相关，相关系数都在0.984以上；在 1 200～700 cm-1 范围的相关性比4 000～2 800 cm-1有所下降，特别是叶片光谱相关系数降至0.839；在1 800～1 200 cm-1 范围内相关性较差，叶片、茎、主根和须根的相关系数依次为0.621、0.409、0.910、0.790，说明2种植株光谱的相关性不高，样品的相似程度差，表明疫病对辣椒叶片、茎、主根和须根均有影响，尤其对叶片和茎的影响较大。

正常植株和疫病植株相同部分间的相关系数

3结论

对成株期正常辣椒和疫病辣椒植株叶片、茎、主根和须根的光谱测试和分析，测试结果反映了疫病对辣椒不同部位的影响。病害植株因受病菌的侵染，改变了叶片、茎和根的物质成分和相对含量，不能较好地将营养物质输送到植株的其他部位，影响了辣椒植株的正常生长和辣椒的产量。研究结果表明，傅里叶变换红外光谱可以判断正常辣椒和疫病辣椒植株同一部位所含的化学信息差异，从分子水平上揭示疫病对辣椒植株不同部位的影响，有望为辣椒疫病的研究提供参考，具有方便、易行的优点。

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读《活着》有感：生命的傅里叶变换 第4篇

——读《活着》有感

最近读了余华的《活着》。这是一部读完让人心情沉重的作品。小说中的主人公福贵是民国时期的一个地主家的少爷，年轻时由于嗜赌放荡，输尽家财。父亲被气死后，福贵一家成为佃农，并很快被国军抓壮丁卷入国共内战。随着内战、三反五反，大跃进，“”等社会变革，他的人生和家庭也不断经受着苦难，所有亲人都先后离他而去，仅剩下年老的他和一头老牛相依为命。富贵的一生犹如坐滑梯，只不过是从云端滑到地面。

而在现在相对稳定、公平的社会环境下，大多数人是在爬滑梯，虽然最终只有少数人爬到云端，可只要努力，今天终归是比昨天站的高些。

看了一篇写傅里叶变换的文章：任何周期函数都可以看成不同振幅、不同相位正弦波的叠加，而正弦波就是一个圆周运动在直线上的投影。所以每个生命都可以看成不同领域(事业、家庭等)、不同关系(同事、亲朋等)的正弦波的叠加，而正弦波就是每个人在某一方面的生命投影(事业的波折、情感的经历等)。简单来说：想谱写好人生的周期函数就要在有限的生命长度里尽量拓展生命的宽度。

我在特别年幼时就爱看译制片，每到周末，一堆男女老少挤在学校一间十几平的小房子里，看一台小小的电视，每次我都能坚持到最后。说“特别年幼”是因为那时真的很小，小到不能理解那些外国电影的情节，但我记住了那些车水马龙、那些穿着连衣裙、踩着高跟鞋、拿着公事包的摩登女郎，心里好生羡慕，希寄有一天能成为其中一员。当我真的成为Office Lady又特别羡慕那些有事业、有家庭、有财富的Office Queen。看过一篇文章说：当平凡的你在一个场合看到气场强大的女王出现而心生羡慕时，还真的没有什么好办法一蹴而就，生活是努力、是磨炼，更是沉淀与积累。

就像见识了腾格里沙漠后就再也不会回味乌丹的玉龙沙漠一样，就像登过3500米贺兰山就不会再恐高1500米的泰山一样，就像跑完了10公里就再也不会抵触1000米一样，就像读了老舍就不再迷恋鲁迅一样，就像试了奶酪金砖就不在理睬提拉米苏一样，就像吃过切糕王子就不会再买三只松鼠一样，见识到更好的才不会做自大的夜郎。做一个懂生活、会生活的人，或者读书、或者健身、或者美食，尽可能尝试谱写不同的“正弦波”，并使其在你生命中留下不同的印记。不会的东西现在就学起来，毕竟每一天都是余生里的最年轻的一天。

傅里叶光学 第5篇

摘 要：信号与系统课程是一门专业基础课，电信、自动化、网络等专业的本科生在大二的时候都要学习这门课程。本文就其中相关离散傅里叶级数问题进行研究，以图文结合的形式对离散傅里叶级数的时域信号和频域信号的对应关系做了详细分析。

关键词：信号与系统；MATLAB；离散傅里叶级数

一、绪言

信号与系统课程是电子信息类专业的一门专业基础课，其内容涵盖了信号处理、系统分析的基本概念和基本方法，在整个专业学习中起着举足轻重的作用，它为今后进一步学习信号处理、网络理论、通信理论、控制理论等课程奠定基础。

鉴于信号与系统课程十分重要，多年来一线的教育工作者对其进行了一系列改革，使该课程从原先的纯理论性发展到理论和实践并重。理论和实践结合使得信号与系统课程不再那么乏味，尤其是实践的加入，使学生明确了学习方向和学习目的，开阔了学习思路。为了更灵活地应用信号与系统的理论知识指导实践，必须指导学生打牢理论知识的基本功。

二、信号与系统课程中有关离散傅里叶级数问题的研究

信号与系统的频域分析是信号与系统课程的重点部分，它既是一种分析方法，又具有自身的物理意义，在频域中可以看到信号在时域中看不到的一些特点。信号与系统的很多应用都是基于对频域的分析，如信号的调制解调、信号的滤波等。信号与系统的频域分析包括离散信号与离散系统的频域分析和连续信号与连续系统的频域分析，其中包括周期信号的傅里叶级数展开和非周期信号的傅里叶变换。下文就离散周期信号即周期序列的傅里叶级数展开进行讨论。

周期序列的傅里叶级数展开式及其傅里叶系数定义如下，其中N是序列的周期。

1.如何使用MATALAB正确计算离散傅里叶级数对

要想使用MATLAB正确计算出周期信号的离散傅里叶级数对，必须正确理解离散傅里叶级数对的含义，并且熟记巴塞瓦尔能量恒等定理。例如，要计算和显示如图1所示的周期序列的三个周期的傅里叶级数的频域特性及其逆变换，可以使用两种方法对其进行操作：第一种方法，先计算序列一个周期中傅里叶级数的幅值和相位及其逆变换，再显示三个周期的频域特性及其逆变换（结果见图2）；第二种方法，直接计算序列三个周期的傅里叶级数的幅值和相位及其逆变换，再显示（结果见图3）。

如表1的两个程序所示，第一种方法比较直观易懂，计算过程也不容易出错，只是每次在显示结果图的时候都要列写出三个周期；第二种方法只需要对信号进行一次三周期拓展，代码简单，但是计算傅里叶级数的过程不是很直观，学生在使用这种方法的时候容易出错。第二种方法是对信号的三个周期同时进行傅里叶级数展开的，求解逆变换的时候也是如此，为了保持能量守恒，在计算它的频谱和逆变换的时候一定要在原有公式的基础上除以3。

2.离散周期序列的重复周期对频谱特性的影响

图4为周期N=10的序列的不同重复周期对幅频特性的影响，由图可以看出当重复周期数越来越多时，频谱特性越来越集中到某些频率值上，并趋向于离散化。

如表2中程序所示，为了得到图4的正确结果，在计算频谱特性时要保持能量守恒，在原有公式的基础上必须除以序列的重复周期数。同理，在计算傅里叶级数的逆变换时，必须要乘以重复周期数以保证时域和频域的能量守恒，此处也是学生比较容易出错的地方。

三、结论

离散傅里叶级数是信号与系统频域分析的重要部分，离散傅里叶级数变换对的公式给出的仅仅只是一个周期的对应关系，我们要从本质上对它们进行透彻的理解以及挖掘隐藏在它们背后的能量守恒定理。通过MATLAB的计算和显示，有利于我们更直观地观察离散傅里叶级数变换对之间的关系，更好地掌握离散信号的傅里叶级数，在频域中更灵活地对离散信号和离散系统进行分析。

参考文献：

[1]诸葛霞，袁红星，孔中华，朱仁祥，何金保.信号与系统课程教学改革的思考与实践[J].网友世界，2013（Z4）：186-187.

[2]诸葛霞，袁红星，孔中华，朱仁祥，何金保.信号系统课程中数字图像处理教学案例研究[J].宁波工程学院学报，2014，26（4）：79-82.

[3]罗贤娟，诸葛霞，袁红星，邓菲，何金保，黄晶.信号与系统课程中使用Matlab的若干问题探讨[J].电子制作，2014（23）：84.

[4]诸葛霞，袁红星，李俊.信号与系统课程教学过程中若干问题的探讨[J].亚太教育，2015（7）：127，141.

傅里叶光学 第6篇

【关键词】二维信号 二维离散 傅里叶变换 傅里叶反变换 图像压缩 MATLAB

一、引言

对信号的分类，可以从不同的角度进行，通常可以分为时域信号、频域信号，一维信号、二维或多维信号，连续信号、离散信号等。将信号采用数学函数表达式表示，给信号的连续性、确定性的研究提供了必要的研究基础，而常见的一维或二维的信号，如连续的一维声音信号、连续的二维图像信号，它们在时域上离散表示时，通常采用相关的数据表示。本文研究的内容，主要是时域上离散的二维图像信号数据与其频域信号的变换、处理问题。

二、二值化离散

对于二维离散数据可以理解为：它们原先是时间函数在一定采样频率下离散的结果。对一张图像、一个指纹、一个汉字等二维平面上的信息采样，可得到二维离散数据。离散后的数据，一般为正实数内的数据，为简便起见，下面对一个汉字进行二维数据进行二值化离散，即非0即1的离散。

将汉字“王”字的二维二值化数据，可用如图1(a)所示的矩阵描述，在f(m，n)矩阵中，将汉字中的笔画上的点用“1”表示，无笔画的地方用“0”表示。图1(b)为将图1(a)中“0”去掉以后的情形，由此可见，图1(a)所示的矩阵能基本表示出“王”字的信息。当然，点阵数越多，所描述出的汉字信息也越多，准确性越好，失真越小。

图1 “王”字的16*16点阵矩阵

对二维连续信号的傅里叶变换，定义为

(1)

其中p、q为空间频率，通常f(m，n)为空间频率的复数值函数，它也有模值与相角，其模值为二维幅度谱(能量谱、密度谱)。由于式(1)可表示为

因此，对二维连续信号f(m，n)的傅里叶变换可视为先沿一个方向进行一维的傅里叶变换，再沿另一个方向进行一维的傅里叶变换。同理，对傅里叶反变换也可以两次按一维进行。

与一维连续傅里叶变换相似，式(1)为二维连续信号的傅里叶变换，要想用计算机处理，必须将其离散化，二维离散傅里叶变换为

(2)

式(2)中，离散矩阵f(m，n)的行与列为M行、N列，M与N可以不相等，但都为正整数。如在图1中M=N=16。

三、软件实现

在MATLAB软件中，对一维数组a进行傅里叶变换使用函数fft(a)进行，对二维数组c进行傅里叶变换，可以利用对一维数组进行傅里叶变换的函数，进行二维数组的傅里叶变换函数，其形式为：fft(fft(c).′).′，也可以直接利用对二维数组的傅里叶变换函数fft2(c)进行；对二维数组c的傅里叶反变换函数，其形式为ifft2(c)。下面的MATLAB程序实现对图1所示的二维离散数据的进行显示、傅里叶变换、能量谱的显示、频谱压缩、傅里叶反变换、还原显示等处理，程序行右边以“%”开头的是程序的注释。

imshow(f，'notruesize')%显示矩阵f点阵图，如图2所示。

a=input('aaaaa=')%等待从命令窗口输入任意数，目的是看清图2结果。

F = fft2(f)；%对矩阵f进行2维傅里叶变换，赋值到F中

F0=F；%将F保存到F0中，后续还要用到F

F1 = log(abs(F))；%对变换结果取模值，并取常用对数，数越大，幅度越强

imshow(F1，[-1 4]，'notruesize')；%以五种颜色显示频谱，

colormap(jet)； colorbar%结果如图3所示

a=input('bbbbb=') %等待从命令窗口输入任意数

由图3可知，频谱的中心部分对应图像的高频分量，其能量较低，它们在傅里叶变换反变换中作用较小，为此，可将中心部分的频谱去掉，清空为零，，然后进行傅里叶变换反变换，得到点阵图案。为此，可继续执行如下程序。

for i=8：1：10；%对第8到第10行

for j=6：1：12；%对第6到第12列

F( i，j )=0；%频谱的中间清空(为0)

end%列循环结束

end%行循环结束

f1=ifft2(F)%对中空的频谱做傅里叶反变换

f2=abs(f1)%对变换结果取绝对值，因为变换结果为有正、负的实数

imshow(f2，'notruesize') %将矩阵f2中的数据显示出来，结果与图2完全相同

a=input('cccccc=')%等待从命令窗口输入任意数，目的是看清图的结果

从中空的频谱的反变换所得到的点阵图像与原点阵图像相同这一点说明，二维数据的频谱从能量上看，主要分布在边缘部分，如果将原频谱F0的四角重新组织在一起，从16*16频谱矩阵F0生成一个新的8*8频谱矩阵F2。

这样处理，实际上就是实现了频谱压缩，将压缩的频谱进行傅里叶变换反变换，得到压缩一般的点阵图案，为此，可继续执行程序(程序略)。

由图4可见，这是一个非二值化的灰度图象，已基本上看不清是一个“王”字，因为在f4矩阵中的数据尽管是实数，但并非是非0即1的数据，为此，要进行二值化处理，将高于某个数值的认为是1，而低于某个数值的认为是0，这个数值即阈值。对阈值的选择，可取f4矩阵中的数据的平均值。

四、结论

通过程序执行发现，用平均值作阈值所得到的图像并不是十分理想，而当阈值y=2.53~2.71时，形成的压缩图像保持一致，如图6所示。比较图2原16*16点阵图与图6压缩8*8点阵图，压缩图笔画信息稍有失真。可见，还原阈值的选择十分重要。

以上例子显示了利用傅里叶变换与反变换函数，对二维图像信息的压缩处理与还原的具体应用，展示了傅里叶变换与反变换在信号的时域、频域处理方面的作用。

参考文献：

[1]程佩青.数字信号处理教程[M].北京：清华大学出版社，2001，8.