二次函数的实际应用

二次函数的实际应用（精选12篇）

二次函数的实际应用 第1篇

1.定义与定义表达式

一般地, 自变量x和因变量y之间存在如下关系:

为常数, a≠0, 且a决定函数的开口方向, a>0时, 开口方向向上, a<0时, 开口方向向下, |a|还可以决定开口大小, |a|越大开口就越小, |a|越小开口就越大。)

则称y为x的二次函数。

一般式:为常数, a≠0) [已知过三点的坐标时]

顶点式:[已知抛物线的顶点P (h, k) ]

交点式:[仅限于与x轴有交点和的抛物线]

3.二次函数的图像的性质

a.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线。

b.抛物线有一个顶点P, 坐标为。

c.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时, 抛物线向上开口;当a<0时, 抛物线向下开口。

|a|越大, 则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时 (即) , 对称轴在y轴左;

当a与b异号时 (即) , 对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于 (0, c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ>0时, 抛物线与x轴有2个交点。Δ=0时, 抛物线与x轴有1个交点。

Δ<0时, 抛物线与x轴没有交点。

7.二次函数与一元二次方程

特别地, 二次函数当y=0时, 二次函数为关于x的一元二次方程 (以下称方程) , 此时, 函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

二、理论联系实际

1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫, 每日最高产量为40只且每日产出的产品全部售出, 已知生产x只玩具熊猫的成本为R元, 售价每只为P (元) , 且R, P与x的关系式分别为R=500+30x, P=170-2x。

(1) 每日产量为多少时, 每日获得的利润为1750元?

(2) 每日产量为多少时, 可获得的最大利润?最大利润是多少?

解 (1) ;根据题意得

整理得,

∴x1=25, x2=45 (不合题意, 舍去) , 由题已知, 利润为,

∴当x=35时, 最大利润为1950。

答 (1) 当日产量为25只时, 利润为1950。

(2) 当日产量为35只时, 最大利润为1950。

2.改革开放以来, 某镇通过多种途径发展地方经济, 1995年该镇年国民生产总值为2亿元, 根据测算, 该镇国民生产总产值为5亿元时, 可达到小康水平。

(1) 若从1996年开始, 该镇国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元, 该镇通过几年可达到小康水平?

(2) 设以2001年为第一年, 该镇第x年的国民生产总值为y亿元, y与x之间的关系是该镇哪一年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番 (即达到1995年的年国民生产总值的4倍) ?

解: (1) 设该镇通过x年达到小康水平, 根据题意得2+0.6x=5

解得x=5

(2) 设第x年的年国民生产总值为2×4=8亿元,

∴解得x1=3 x2=-9 (不合题意舍去)

答: (1) 设该镇通过5年达到小康水平。

: (2) 2003年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番。

摘要：在中学二次函数是一种不可缺少的数学工具, 是初中数学的重点也是教学的难点, 是数学中数形思想的一个基础点。本文就其含义和实际的运用, 做了深入浅出、通俗易懂的分析与阐解。

二次函数的实际应用 第2篇

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题． 教学重点

求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值． 教学难点

将实际问题转化成二次函数问题． 教学过程

一、导入新课

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．从这节课开始，我们就共同解决这几个问题．

二、新课教学

问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．

然后让学生计算当t＝

1、t＝

2、t＝

3、t＝

4、t＝

5、t＝6时，h的值是多少？

再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．

教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题． 当t＝3时，h有最大值＝45．

答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．

问题2 如何求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？ 学生根据问题1归纳总结：当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．

三、巩固练习

探究1 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值．

解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长（－l）m．场地的面积S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l（0＜l＜30）．

因此，当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225．也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大．

四、课堂小结

利用二次函数解决实际问题的过程是什么？

找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．

五、布置作业

习题22.3 第1、4题．

22.3.1实际问题与二次函数说课稿

教材分析

本节课中关键的问题就是如何使学生 把实际问题转化为数学问题，商品销售问题何时获得最大利润这正是我们研究的二次函数的范畴，二次函数化为顶点式后，很容易求出最大至于最小值，从而把数学知识运用于实践，即时否把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。学生分析

学生活泼好动有大但好奇好胜的特点，本节课对于学生之间的相互合作交流，共同探索，培养和提高学生全新的思维能力，探索规律的能力。设计理念 在探索规律的活动中，鼓励学生，提高教学质量，强化解决问题的意识，从而把更多的精力投入到现实的探索性，创造性的数学活动中去。教学目标 知识技能：

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2.通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。过程与方法：

1、通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学建模的思想。

2、通过对“矩形面积”的学习和探究，渗透转化及分类的数学思想方法。

3、通过对生活中实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题。情感态度价值观：

1、通过“二次函数的最大值“的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣。

2、体会到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。重点难点 重点：

让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法，会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值． 难点： 运用二次函数的知识解决实际问题。关键: 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数知识求出实际问题中最大（小）值，发展解决问题的能力。教学方法

在教师的指导下自主学习法 教学过程

1.创设情境，引入主题

[问题1] 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．

然后让学生计算当t＝

1、t＝

2、t＝

3、t＝

4、t＝

5、t＝6时，h的值是多少？

再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．

教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题． 当t＝3时，h有最大值＝45．

答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．

[问题2 ]如何求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？ 学生根据问题1归纳总结：当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．

2.[探究1]现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，（1）若矩形的长为10米，它的面积是多少？（2）若矩形的长为15米，20米，30米时，它的面积有多大？（3）从上两问，同学们发现了什么？教师提出问题，学生独立回答，通过几个简单的问题，让学生体会两个变量之间的关系 在活动中，教师应重点关注： 学生是否发现了两个变量。学生是否发现了矩形长的取值范围。通过矩形的面积的探究，激发学习欲望。自主阅读，合作交流

创设自主学习情景 教师引导学生分析与矩形面积有关的量，教 师要深入小组参与讨论。在活动中，教师应重点关注：(1）学生是否能准确的建立函数关系

（2）学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积。（3）学生是否能准确讨论出自变量的取值范围。通过这种设计，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考察问题的完善性。

小组评价，问题生成

(1)创设问题探究性情境有矩形面积问题，你有哪些收获？学生思考回答，师生共同归纳得到：（1）二次函数是现实生活中的模型，可以用来解决实际问题。(2)利用函数的观点来认识问题，解决问题。通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。综合问题，引发思考 归纳，总结

本节课你后哪些收获？有哪些新的问题？和同伴交流交流。教学反思

因此在本节课的设计上突出了引导学生观察、分析、思考、归纳、猜想、判断的过程，充分注意了让学生去经历初步用数学的思维方式进行观察、分析判断的体验过程。这一教学过程实质上是课程标准中要求我们达到的目标—不是培养学生“学新知识”而是去“生长知识”，也为培养学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的数学知识以及数学思想方法和应用技能，打下良好的基础。

函数在实际问题中的应用 第3篇

关键词：函数 函数思想 分段函数 化归 导数

1.数学来源于生活，那么就可以利用数学来解决生活中的某些问题，函数是数学中的重要部分，而它在实际生活中的应用也非常广泛.但对于实际问题与数学问题之间又有一些小的差别，所以解决函数型应用问题就有所不同，应该注意.

（2）在实际问题中的最大值或最小值时，一般是先求出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内有一驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值.这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.

3.解决函数型应用问题的主要步骤

①阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义.

②根据各个量的关系，进行数学化设计，即建立目标函数，将实际问题转化为数学问题.

③进行标准化设计，即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决.

综上所述，函数概念在现代数学和科学技术领域有着广泛的应用，众多数学家从几何代数直至对应集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，然后利用函数思想分析问题和解决问题，而复杂的问题是由简单的问题构成的。因此，解决复杂问题的思路就是把它转化为简单的或易于解决的问题，对于函数问题而言，就是利用函数的基本性质，把复杂的问题转化为易于解答或简单的函数问题，最终解决问题.

参考文献：

[1]人民教育出版社中学数学室.代数上册.人民教育出版社，1995.

[2]华东师范大学数学系.数学分析上册.高等教育出版社，1980.

二次函数的实际应用 第4篇

解设每件涨价x元, 每星期售出商品的利润为y元.

根据题意得,

y= (60+x) (300-10x) -40 (300-10x) = (20+x) (300-10x) (0x30) .

当y=0时, 20+x=0, 300-10x=0,

x1=-20, x2=30.

∵a=-10<0,

ymax= (20+5) (300-105) =6250.

答:定价65元利润最大, 最大利润是6250元.

那么, 什么形式的二次函数用这种方法求解简单呢?

形如:y= (mx+n) (px+q) , (mp≠0) ,

当y=0时, mx+n=0, px+q=0,

∵mp≠0, ∴m≠0, p≠0.

时, y有最值.它的计算方法是只要把对称轴x的值代入即可.

试着做下面的几道中考题

1. 种植能手小李的实验田可种植A种作物或B种作物 (A, B两种作物不能同时种植) , 原来的种植情况如表.

通过参加农业科技培训, 小李提高了种植技术.现准备在原有的基础上增种, 以提高总产量.但根据科学种植的经验, 每增种1棵A种或B种作物, 都会导致单棵作物平均产量减少0.2千克, 而且每种作物的增种数量都不能超过原有数量的80%.设A种作物增种m棵, 总产量为yA千克;B种作物增种n棵, 总产量为yB千克.

(1) A种作物增种m棵后, 单棵平均产量为__千克;B种作物增种n棵后, 单棵平均产量为__千克;

(2) 求yA与m之间的函数关系式及yB与n之间的函数关系式;

(3) 求提高种植技术后, 小李增种何种作物可获得最大总产量?最大总产量是多少千克?

解 (1) (30-0.2m) ; (26-0.2n) .

(2) yA= (50+m) (30-0.2m) , 即yA=-0.2m2+20m+1500yB= (60+n) (26-0.2n) , 即yB=-0.2n2+14n+1560.

(3) 由 (2) 得y=0时, m1=-50, m2=150.

∵-0.2<0, ∴当m=时, yA有最大值, 但m5080%, 即m40.

∴当m=40时, yA的最大值为1980.

∵-0.2<0, ∴当n=35时, yB有最大值, 并且n6080%, 即n48.

∴当n=35时, yB的最大值为1805.

又∵1980>1805,

∴小李增种A种作物可获得最大产量, 最大产量是1980千克.

2.

某商品的进价为每件40元, 售价为每件50元, 每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元, 则每个月少卖10件 (每件售价不能高于65元) .设每件商品的售价上涨x元 (x为正整数) , 每个月的销售利润为y元.

(1) 求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;

(2) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

(3) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月的利润恰为2200元?根据以上结论, 请你直接写出售价在什么范围时, 每个月的利润不低于2200元?

解 (1) y= (210-10x) (50+x-40) , 或y=-10x2+110x+2100 (0

(2) y=0时, x1=21, x2=-10.

∵a=-10<0, ∴当时, y有最大值2402.5.

∵0

当x=5时, 50+x=55, y=2400 (元) , 当x=6时, 50+x=56, y=2400 (元) .

∴当售价定为每件55元或56元时, 每个月的利润最大, 最大的月利润是2400元.

(3) 当y=2200时, -10x2+110x+2100=2200,

解得x1=1, x2=10.

∴当x=1时, 50+x=51, 当x=10时, 50+x=60.

∴当售价定为每件51元或60元时, 每个月的利润为2200元.

当售价为51元或60元时, 每个月的利润为2200元.

《实际问题与二次函数》教学反思 第5篇

《实际问题与二次函数》教学反思

刚刚上完了《实际问题与二次函数》，自我感到满意的地方是，通过探究“矩形面积”“销售利润”问题，激发学生的学习欲望，渗透转化及分类的数学思想方法，把知识回归于生活，又从生活走出来。我是这样设置问题： 现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长分别为10米、15米、20米、30米时，它的面积分别是多少？你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗？让学生能准确的建立函数关系并利用已学的函数知识求出最大面积。又设置问题：我班某同学的父母开了一个小服装店，出售一种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件。该同学对父母的服装店很感兴趣，因此，他对市场作了如下的调查：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件。请问同学们，该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？该同学又进行了调查：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则此时该如何定价，才能使一星期获得的利润最大？通过这样层层设问，由易到难，符合学生的认知水平，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。但感到不足的地方是，由于题目设计比较多，在处理起来比较仓促，时间上前松后紧，在今后的教学中要注意这一点。还要尽可能地让每一个学生参与到学习中，提高学生学习数学的积极性。

浅谈二次函数在高中阶段的应用 第6篇

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知?（x）= 2x2+x+2，求?（x+1），这里不能把?（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。类型Ⅱ：设?（x+1）=x2-4x+1，求?（x），这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。?（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得?（x）=x2-6x+6.（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而?（x）= x2-6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，-b2a ]及[-b2a ，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2+2|x-1|-1（2）y=|x2-1|（3）= x2+2|x|-1這里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ设?（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并画出 y=g（t）的图象.解：?（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2

当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2，当t>1时，g（t）=?（t）=t2-2t-1，当t<0时，g（t）=?（t+1）=t2-2

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ：设二次函数?（x）=ax2+bx+c（a>0）方程?（x）-x=0的两个根x1，x2满足0

（Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明X

解题思路：本题要证明的是x

（Ⅰ）先证明x0，又a>0，因此?（x）>0，即?（x）-x>0.至此，证得x?（0），所以当x∈（0，x1）时?（x）0）.函数?（x）的图象的对称轴为直线x=- b2a ，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b2a ，因为x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-b-1a ，∵x2-1a <0，∴x0=-b2a =12 （x1+x2-1a ）

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

直击中考——二次函数的应用 第7篇

一、二次函数的几何型应用

【考点】等边三角形、二次函数.

【总结】题中的点C满足两个条件,若先设点A的坐标,根据等边三角形的线段关系得出点C的坐标,再代入抛物线的解析式中,此种做法显得繁琐且方程难以解出,因此解题时如若遇到这种情况,不妨换种思路,先利用点C在抛物线上的条件设出点C的坐标,再结合等边三角形的知识列出方程,你会发现“柳暗花明又一村”.

二、二次函数的代数型应用

例2(2016·江苏扬州)某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为_________.

【考点】利润问题、二次函数.

【分析】根据题意可以先列出第t天缴纳电商平台推广费用后的利润关于天数t的函数,再根据利润随天数的增大而增大的条件,结合二次函数的图像与性质、天数t的范围,列出关于a的不等式,求出a的取值范围.

解:由题意,第t天缴纳电商平台推广费用后一件时装的利润为(70-a-t)元,第t天时装的销量为(20+4t)件,设第t天获得的利润为y元,则y=(70-a-t)(20+4t)=-4t2+(260-4a)t+1400-20a.

∵此二次函数图像——抛物线的开口向下,且当0≤t≤30时,y随t的增大而增大,∴抛物线顶点的横坐标应大于或等于30,

∵a>0,∴a的取值范围是:0<a≤5.

【总结】此题有两大关键,一是正确列出利润y关于天数t的函数,二是结合图像及性质确定抛物线对称轴的范围.突破此两大难点,需要对知识点的熟练掌握和一定的分析问题的能力.

三、二次函数的综合型应用

(1)求点P的坐标;

【考点】三角函数、二次函数.

【分析】(1)根据三角函数的意义,过点P作OA的垂线段PB,设PB为x,用x表示OB、AB,由OA=4,列出方程求出x,写出点P的坐标.

(2)根据抛物线经过点O、A、P,求出抛物线的解析式,当纵坐标为1时,求出相应的两个横坐标,从而求出水面的宽度.

解:(1)如图,过点P作PB⊥OA,垂足为B.

答:水面宽度约为2.8m.

【总结】本题结合抛物线经过原点解析式的特征,运用待定系数法来求解,当然也可以用交点式(双根式)或一般式求解.其次把实际问题抽象到数学问题,把求水面的宽度转化为求点的坐标,再利用抛物线上点的坐标与距离之间的关系求出水面的宽度.此类题目若能顺利转化为数学问题,求解过程一般不会太难.

二次函数在高中阶段的应用举例 第8篇

对于这部分知识的复习, 不能简单地识记, 可以结合二次函数的图像来深入研究其性质, 以便灵活地应用这些相关性质.

一、从函数概念本身来深入了解二次函数的意义

初中阶段已经介绍了函数的定义, 进入高中后在学习了映射的基础上, 接着重新学习了函数概念, 主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是以二次函数为例来加以更深认识函数的概念. 二次函数是从一个集合A ( 定义域) 到集合B ( 值域) 上的映射f: AB, 使得集合B中的元素y = ax2+ bx + c ( a≠0) 与集合A中的元素x对应, 记为f ( x) = ax2+ bx + c ( a≠0) . 这里y =ax2+ bx + c表示对应法则, 又表示定义域中的元素x在值域中的像. 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识, 在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理如下问题:

( 1) 已知f ( x) = 2x2+ x + 2, 求f ( x + 3) .

这里不能把f ( x + 3) 理解为x = x + 3时的函数值, 只能理解为自变量为x + 1的对应函数值.

( 2) 设 f ( x + 1) = x2- 4x + 1, 求 f ( x) .

这个问题理解为, 已知对应法则f下, 定义域中的元素x + 1的像是x2- 4x + 1, 求定义域中元素x的像, 其本质是求对应法则.

二、利用二次函数的图像解一元二次不等式

掌握一元二次不等式的解法是对高中学生最基本的运算要求. 对于这部分知识的讲解, 利用二次函数的图像最直观、最清晰, 学生也容易从图像中发现一元二次不等式和二次函数的区别与联系, 易于掌握, 便于理解.

高中阶段涉及一元二次不等式的解法的应用很多, 例如:

( 1) 在区间[- 1, 4]上随机取一个数x, 求 ( x + 2) ( x 1) 0的概率.

( 2) 求函数的定义域

( 3) 求函数f ( x) = x3- 3x2- 10的单调区间.

三、利用二次函数的单调性求值域及最值

在学习函数的单调性时, 必须让学生对二次函数y =ax2+ bx + c在区间) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图像的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.

例如: 画出下列 函数的图 像, 并通过图 像研究其 单调性.

( 1) y = x2+ 2 | x - 1 | - 1.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系, 掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像.

( 2) 设f ( x) = x2- 2x - 1在区间[t, t + 1]上的最小值是g ( t) . 求g ( t) 并画出y = g ( t) 的图像.

解f ( x) = x2- 2x - 1 = ( x - 1) 2- 2, 在x = 1时取最小值 - 2.

四、二次函数知识的综合运用

例如: 设二次函数f ( x) = ax2+ bx + c ( a > 0 ) , 方程f ( x) - x = 0的两个根x1, x2满足0 < x1< x2<1/a.

( 1) 当x∈ ( 0, x1) 时, 证明x < f ( x) < x1.

( 2) 设函数f ( x) 的图像关于直线x = x0对称, 证明x0

解题思路本题要证明的是x < f ( x) , f ( x) < x1和x0

二次函数在高中数学中的应用 第9篇

一、深入理解函数概念

用映射观点来阐明函数。二次函数是一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射f:AB, 使集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素x对应, 记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) .ax2+bx+c既表示对应法则, 又表示定义域中的元素x在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。在学生掌握函数值的记号后, 让学生解答如下问题:

例1:已知f (x) =x2-2x-3, 求f (x+1) .

分析:这里不能把f (x+1) 理解为x=x+1时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的函数值。

例2:设f (x+1) =x2-4, 求f (x) .

分析:这个问题理解为:已知对应法则f下定义域x+1的象是x2-4, 求定义域中元素x的象, 其本质是求对应法则, 一般有两种方法:

(1) 把所给的表达式表示成x+1的多项式。

f (x+1) = (x+1) 2-2 (x+1) -3, 再用x代x+1得f (x) =x2-2x-3.

(2) 变量代换:它适应性强, 对一般函数都可适用。

令x+1=t, 则x=t-1,

从而f (x) =x2-2x-3.

二、二次函数的最值, 图像与单调性

二次函数0时为单调减区间, a<0时为单调增区间;区间为在a>0时为单调增区间, 在a<0时为单调减区间。教学时充分利用图像的直观性, 采用数形结合的思想方法, 让学生对函数的性质从感性上升到理性。

例3:作出函数图像, 并通过图像研究其单调性。

分析:这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像。

例4:设f (x) =x2-2x-1, 在区间 (t, t+1) 上的最小值是g (t) , 求:g (t) 并画出y=g (t) 的图像。

分析:f (x) = (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2

当1∈ (t, t+1) 即0t1, g (t) =-2

当t>1时, g (t) =f (t) =t2-2t-1

当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2

首先要让学生弄清题意, 一般一个函数在实数集R上或只有最大值或只有最小值, 但当定义域发生变化时, 最值也随之变化, 因此, 需要灵活把握。

三、利用二次函数巧解一元二次方程和一元二次不等式

二次函数的图像上既写有一元二次方程的根, 也写有一元二次不等式的解集, 这就是在检验我们的识图能力。

例5:已知f (x) =x2-x-6, 试问:

(1) x取何值时, y=0

(2) x取何值时, y>0, x取何值时, y<0

分析:

(1) 计算判别式:△=25>0, x1=-2, x2=3.

(2) 画简图:开口向上, 与x轴交于点

(3) 得结论:当x∈ (-∞, -2) ∪ (3, +∞) 时, y>0;当x∈ (-2, 3) 时, y<0.

一元二次方程和一元二次不等式与二次函数有着密切的关系, 方程的解就是图像与x轴交点的横坐标。不等式ax2+bx+c>0 (或ax2+bx+c<0) 的解集就是使二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的函数值大于0 (或小于0) 的自变量的取值区间。

浅谈二次函数在高中阶段的应用 第10篇

一、函数概念的理解需要进一步加深

初中阶段已经讲述了函数的定义, 进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射, 接着重新学习函数概念, 主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射f:AB, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素X对应, 记为f (x) = ax2+ bx+c (a≠0) 这里ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素X在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识, 在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理如下问题:

类型I:已知f (x) = 2x2+x+2, 求f (x+1)

这里不能把f (x+1) 理解为x=x+1时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ:设f (x+1) =x2-4x+1, 求f (x)

这个问题理解为, 已知对应法则?下, 定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1, 求定义域中元素X的象, 其本质是求对应法则。

一般有两种方法:

(1) 把所给表达式表示成x+1的多项式。

f (x+1) =x2-4x+1= (x+1) 2-6 (x+1) +6, 再用x代x+1得f (x) =x2-6x+6

(2) 变量代换:它的适应性强, 对一般函数都可适用。

令t=x+1, 则x=t-1

∴ (t) = (t-1) 2-4 (t-1) +1=t2-6t+6

从而f (x) = x2-6x+6

二、二次函数的单调性, 最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间undefined及undefined上的单调性的结论用定义进行严格的论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图象的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ:画出下列函数的图象, 并通过图象研究其单调性。

(1) y=x2+2|x-1|-1

(2) y=|x2-1|

(3) = x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图象。

类型Ⅳ设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) 。

求:g (t) 并画出 y=g (t) 的图象

解:f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2

当1∈[t, t+1]即0t1, g (t) =-2

当t>1时, g (t) =f (t) =t2-2t-1

undefined

首先要使学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之变化, 为了巩固和熟悉这方面知识, 可以再给学生补充一些练习。

如:y=3x2-5x+6 (-3x-1) , 求该函数的值域。

三、二次函数的知识, 可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ:设二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) 方程f (x) -x=0的两个根x1, x2满足undefined。

(Ⅰ) 当X∈ (0, x1) 时, 证明X

(Ⅱ) 设函数f (x) 的图象关于直线x=x0对称, 证明undefined。

解题思路:

本题要证明的是x

(Ⅰ) 先证明x

因为00, 又a>0, 因此f (x) >0, 即f (x) -x>0.至此, 证得x

undefined

又c=f (0) ,

∴f (0) f (0) , 所以当x∈ (0, x1) 时f (x)

undefined

函数f (x) 的图象的对称轴为直线undefined, 且是唯一的一条对称轴, 因此, 依题意, 得undefined, 因为x1, x2是二次方程ax2+ (b-1) x+c=0的根, 根据违达定理得,

undefined

二次函数, 它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题, 考查学生的数学基础知识和综合数学素质, 特别是能从解答的深入程度中, 区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数图象在解题中的应用 第11篇

一、基本理论1

根据对称性知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则f（x0-t）=f（x0+t）（其中t为常数）.

推论：对于f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则

（1）当a>0时，若|t1-t0|>|t2-x0|，则f（t1）>f（t2）；

（2）当a<0时，若|t1-x0|>|t2-x0|，则f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a与b的关系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函数f（x）=3x2+2x+b，试比较5+b与b+1的大小关系.

解：由题意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的对称轴为x=-213，

显然有|1-213|<|-1-213|.

故由理论可知f（1）

二、基本理论2

若f（x）为[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）<0，则必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推论：若f（x）=0为一元二次方程，且x=x1根的范围是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的两根满足条件：较小的根小于1，较大的根在1和3之间，求a的取值范围.

解：设f（x）=ax2-2x+1，则f（x）在（-∞，+∞）上连续，当然在（-∞，1），及（1，3）上也连续，由基本理论2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

评析：本题的解法避免了用判别式的繁杂计算，使解题过程大大简化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的两根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求m的集合.

分析：由上述理论可知，应有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函数图象的对称性特征还可求一些可化为二次函数型的函数的值域

【例5】求函数y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，则y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可求值域.

解：令cosx=t，则-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可利用图象求值域.

由前述理论可知，当t=-1时，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

当t=213时，ymin=-113.

∴函数y=3cos2x-4cosx+1的值域为[-113，8].

评析：对于定义域不全为全体实数集的二次函数，若用配方法求值域，尚需分类讨论，显然不如用图象来得简便.

（责任编辑金铃）

二次函数是一种重要的函数，它有很多重要的性质，其中对称性和根的存在性就是其中的两个重要的性质.本文基于这两个重要的性质得出两个推论，旨在抛砖引玉，引起大家对二次函数图象的探究.

一、基本理论1

根据对称性知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则f（x0-t）=f（x0+t）（其中t为常数）.

推论：对于f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则

（1）当a>0时，若|t1-t0|>|t2-x0|，则f（t1）>f（t2）；

（2）当a<0时，若|t1-x0|>|t2-x0|，则f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a与b的关系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函数f（x）=3x2+2x+b，试比较5+b与b+1的大小关系.

解：由题意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的对称轴为x=-213，

显然有|1-213|<|-1-213|.

故由理论可知f（1）

二、基本理论2

若f（x）为[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）<0，则必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推论：若f（x）=0为一元二次方程，且x=x1根的范围是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的两根满足条件：较小的根小于1，较大的根在1和3之间，求a的取值范围.

解：设f（x）=ax2-2x+1，则f（x）在（-∞，+∞）上连续，当然在（-∞，1），及（1，3）上也连续，由基本理论2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

评析：本题的解法避免了用判别式的繁杂计算，使解题过程大大简化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的两根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求m的集合.

分析：由上述理论可知，应有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函数图象的对称性特征还可求一些可化为二次函数型的函数的值域

【例5】求函数y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，则y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可求值域.

解：令cosx=t，则-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可利用图象求值域.

由前述理论可知，当t=-1时，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

当t=213时，ymin=-113.

∴函数y=3cos2x-4cosx+1的值域为[-113，8].

评析：对于定义域不全为全体实数集的二次函数，若用配方法求值域，尚需分类讨论，显然不如用图象来得简便.

（责任编辑金铃）

二次函数是一种重要的函数，它有很多重要的性质，其中对称性和根的存在性就是其中的两个重要的性质.本文基于这两个重要的性质得出两个推论，旨在抛砖引玉，引起大家对二次函数图象的探究.

一、基本理论1

根据对称性知二次函数f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则f（x0-t）=f（x0+t）（其中t为常数）.

推论：对于f（x）=ax2+bx+c，若对称轴为x=x0，则

（1）当a>0时，若|t1-t0|>|t2-x0|，则f（t1）>f（t2）；

（2）当a<0时，若|t1-x0|>|t2-x0|，则f（t1）

【例1】已知f（x）=ax2+bx+c，且f（-3）=f（2），求a与b的关系.

解：∵f（-3）=f（2），

∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

∴b12a=-3+212.

∴b1a=-1，即b=-a.

【例2】已知函数f（x）=3x2+2x+b，试比较5+b与b+1的大小关系.

解：由题意可知5+b=f（1），b+1=f（-1）.

又∵f（x）=3x2+2x+b的对称轴为x=-213，

显然有|1-213|<|-1-213|.

故由理论可知f（1）

二、基本理论2

若f（x）为[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）<0，则必存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0.

推论：若f（x）=0为一元二次方程，且x=x1根的范围是a

【例3】若方程ax2-2x+1=0的两根满足条件：较小的根小于1，较大的根在1和3之间，求a的取值范围.

解：设f（x）=ax2-2x+1，则f（x）在（-∞，+∞）上连续，当然在（-∞，1），及（1，3）上也连续，由基本理论2知，必有f（1）·f（3）<0，即（a-1）（9a-5）<0，∴519

评析：本题的解法避免了用判别式的繁杂计算，使解题过程大大简化.

【例4】若方程x2-mx-m+3=0的两根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求m的集合.

分析：由上述理论可知，应有f（0）·f（1）<0，

f（1）·f（2）<0，

即（3-m）·（4-2m）<0，

（4-2m）·（7-3m）<0，

解得2

三、利用二次函数图象的对称性特征还可求一些可化为二次函数型的函数的值域

【例5】求函数y=3cos2x-4cosx+1的值域.

分析：若令cosx=t，则y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可求值域.

解：令cosx=t，则-1≤x≤1，y=3t2-4t+1，这是一个关于t的二次函数，从而可利用图象求值域.

由前述理论可知，当t=-1时，ymax=3×（-1）2-4×（-1）+1=8；

当t=213时，ymin=-113.

∴函数y=3cos2x-4cosx+1的值域为[-113，8].

评析：对于定义域不全为全体实数集的二次函数，若用配方法求值域，尚需分类讨论，显然不如用图象来得简便.

浅谈二次函数在高中阶段的应用 第12篇

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义, 进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射, 接着重新学习函数概念, 主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念.二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射f:AB, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素x对应, 记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) , 这里ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素x在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识, 在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理如下问题:

类型一已知f (x) =2x2+x+2, 求f (x+1) .

这里不能把f (x+1) 理解为x=x+1时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的函数值.故f (x+1) =2 (x+1) 2+ (x+1) +2=2x2+5x+5.

类型二设f (x+1) =x2-4x+1, 求f (x) .

这个问题理解为, 已知对应法则f下, 定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1, 求定义域中元素x的象, 其本质是求对应法则.

二、二次函数的图像、单调性与最值

在高中阶段学习单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c的单调性的结论用定义进行严格地论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图像的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.

类型三画出下列函数的图像, 并通过图像研究其单调性.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值符号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像.

类型四利用函数图像研究最值.

1.已知y=3x2-5x+6, 求在下列区间上该函数的值域.

研究函数最值, 离不开定义域.首先要使学生弄清楚题意, 作出在不同区间上抛物线的图像, 图像最高点的纵坐标即为函数的最大值, 最低点的纵坐标即为函数的最小值.一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大值或最小值的情况也随之变化, 要充分借助图像, 数形结合求解.

2.设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) .求g (t) 并画出y=g (t) 的图像.

解f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2.

本题中区间为动区间, 而对称轴为定轴, 故需根据对称轴与区间位置关系加以分类讨论.若区间确定, 而对称轴在变动, 解法的基本思想类似, 如:f (x) =x2+ax+3在区间[-1, 1]上的最小值g (a) .

三、二次函数的知识可以准确反映学生的数学思维

类型五已知二次函数f (x) =x2-2mx+1, 其图像与x轴的两个交点在 (1, 0) 两旁, 求m的取值范围.

解题思路根据题中所提供的信息可以联想到: (1) 抛物线与x轴交点的横坐标为对应一元二次方程的根; (2) 若方程f (x) =0的两根为x1, x2, 即可得到x1>1, x2<1.因此解题思路明显有两条: (1) 利用一元二次方程根与系数关系. (2) 图像法.

方法一代数法

方法二几何法

根据二次函数的性质, y=f (x) 是开口向上的抛物线, 画出简图, 由图可知抛物线与x轴的两个交点在 (1, 0) 两侧的充要条件是f (1) <0, 从而解得m>1.该方法有效地利用了二次函数的图像, 结合图像的位置和函数值的符号解决问题, 数形结合无处不在, 大大提高了解题效率.

一元二次函数, 它有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题, 考查学生的数学基础知识和综合数学素质, 特别是能从解答的深入程度中, 区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力.