二年级补习资料

二年级补习资料（精选7篇）

二年级补习资料 第1篇

表示处境危险的成语

迫在眉睫盲人瞎马危在旦夕四面楚歌千钧一发火烧眉毛危急存亡 岌岌可危危机四伏兵临城下

黄鹤楼送孟浩然之广陵 【唐】李 白

故人西辞黄鹤楼, 烟花三月下扬州。孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。

（①黄鹤楼：楼名，在今湖北武汉。②之：去，到。③故人：指老朋友。④烟花：形容花开得繁茂。）

译文：老朋友从西边辞别黄鹤楼，在百花盛开的三月去繁华的扬州。孤独的帆船远去的影子在蔚蓝的天空里消失了，只看到长江水向天边奔流。

到底还剩几只鸟

有一回，我（代·带）学生（坐·座）车到（踪·综）合实践基地——“绿色营”。车上有两个活泼好动的男孩（提·题）议玩“脑筋急转弯”。

他们先出题题目是学生证掉了怎么办我说那就再办一个嘛错了掉了捡起来不就好了

然后换我出题，想起我在10岁时，被问过一个脑筋急转弯的问题，那时被大家嘲笑了一番，现在我可以问学生了。“树上有10只鸟，猎人开枪打中了一只，还剩几只？”

“当然——一只——也——没——有！”

这真是说到我心里的痛。我当时回答还剩九只，大家都笑我太笨了。答案应该是：另外九只听到枪声都飞走了，尽管我认为有可能有耳聋的鸟，但是没人理我。

如今我的学生比我当年聪明。可为何思维也如此单一？为什么“脑筋急转弯”有标准的答案？如果有标准的答案，还能称为脑筋急转弯吗？孩子的创造力与幽默感让我担忧啊！

于是我说：“我没错，可以还剩下九只。因为——它的爸爸，妈妈，哥哥，姐姐，妹妹，弟弟和许多朋友都很疼爱它，他们舍不得飞走，都留下来直到它的葬礼完了才走。”

经我这么一说，学生思路大开，争先恐后地说出自己的答案。

“树上还有八只，因为有一只是聋子，听不见枪声。”

“树上还有一只，因为打中的一只正好挂在树丫上了。”

“树上还有十五只，因为那十只原来是个和睦的家庭。被打中的是鸟爸爸，当全家正在悲痛时，来了六只鸟声称是鸟爸爸的骨肉，要来分遗产。”

“树上还有二十只鸟，因为打中的是一只母鸟，留下六只幼鸟成了孤儿，又引来了11只鸟要抚养它们。”

“树上还有30十只鸟，因为被打中的是一只悪鸟，又来了21只鸟表示庆贺。”

“树上还有49只鸟，因为树上原有5对恩爱的鸟，猎人打中的是一只雄鸟，使得一只最美丽，歌声最好听的雌鸟成了寡妇，又有40只雄鸟来追求它。”“树上还有若干鸟，因为许多鸟都来抗议猎人的行为。”

``````

听到孩子们的回答，我感慨万分！

1.划去第一自然段括号里不恰当的字。

2。给第二自然段补上空缺的标点。

3.文中的我开始担忧什么？后来又感慨什么？

4。读了这篇文章你有什么感受呢？联系实际来谈谈。

5.像文中的学生一样，你也说两种可能情况。

（1）树上还有只鸟，因为

（2）树上还有只鸟，因为

二年级补习资料 第2篇

解数学题很关键的一步是审题.如果把题目看错了，或是把题意理解错了，那样解题肯定是得不出正确的答案来的.什么叫审题？扼要地讲，审题就是要弄清楚：未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？

有一种类型的数学题叫“机智题”.在这一讲要通过解这种题体会如何审题.例1 ①树上有5只小鸟，飞起了1只，还剩几只？

②树上有5只小鸟，“叭”地一声，猎人用枪打下来1只，树上还剩几只？

解：①5-1=4（只），树上还剩4只小鸟.②对这一问，如果你还像上面那样算就错了.正确地算法应该是：5-1-4=0（只）

为什么呢？听到“叭”地一声响，其他4只会被吓飞的，这叫“隐含的条件”，在题目中虽没有明确地说出来，解题时却要考虑到.例2 要把一个篮子里的5个苹果分给5个孩子，使每人得到1个苹果，但篮子里还要留下一个苹果，你能分吗？

解：能.最后一个苹果留在篮子里不拿出来，把它们一同送给一个孩子.这是因为“篮子里留下一个苹果和每个孩子分得一个苹果”这两个条件并不矛盾（见图12—3）.例3 两个父亲和两个儿子一起上山捕猎，每人都捉到了一只野兔.拿回去后数一数一共有兔3只.为什么？

解：“两个父亲和两个儿子”实际上只是3个人：爷爷、爸爸和孩子.“爸爸”这个人既是父亲又是儿子.再数有几个爸爸几个儿子时，把他算了两次.这是数数与计数时必须注意的（见图12—4）.例4 一个小岛上住着说谎的和说真话的两种人.说谎人句句谎话，说真话的人句句是实话.假想某一天你去小岛探险，碰到了岛上的三个人A、B和C.互相交谈中，有这样一段对话：

A说：B和C两人都说谎；

B说：我没有说谎；

C说：B确实在说谎.小朋友，你能知道他们三个人中，有几个人说谎，有几个人说真话吗？

解：这是并不难的一道逻辑推理问题.怎样解答这个问题呢？有的人一定会列成下面形式的表格，想由此把所有的可能情况都判断出来，认为这样就可以得到答案了.人 说谎 说真话

A _____ _____

B _____ _____

C _____ _____

但是，如果你也真的这样做的话，你是无论如果得不出答案的，因为从这道题目所给出的条件中根本无法判断出某一个人是说谎还是说真话.你这样解题，说明你把解题的目标（未知数）改变了.请你再看一下，题目问的是什么？题目并没有问“谁说谎，谁说真话”？而是在问“几个人说谎，几个人说真话？”正确的答案是不难得到的：因为B和C两人说的话正好相反，所以一定有一个人说谎，另一个人说真话；由此又可知道，他们两人不可能都说谎，所以A必定说谎.于是可知3个人有2个人说谎，有一个人说真话.例5 如图12—5，三根火柴棍可以组成一个等边三角形，再加三根火柴棍，请你组成同样大小的四个等边三角形.解：请你先不要继续往下看，自己想一想能不能用六根火柴棍组成四个同样大小的等边三角形？

通常，很多人在解这题时，往往自己给自己多加了一个限制条件：“在平面上组成等边三角形”.但是，仔细看看，原题并没有限制你在平面上解题.由于给自己多加了一个条件，他们的思想就会被限制在平面上解题，那就无论如何也解不出来.这也是把题意理解错了的一种情况.但是，如图12—6所示，只要把思维从平面扩大到立体空间，你就能轻而易举找到问题的答案.例6 一笔画出由四条线段连接而成的折线把九个点串起来，你能做到吗？（见图12—7）.解：先不要往下看，你先画画试试.你可能会画出类似于下面的各种各样的折线来，但你很快会发现，它们都不是符合题目要求的答案（见图12—8）.总结一下画过的折线的特点，显然这些线段都没有超出这9个点所决定的正方形.再仔细看看已知条件，问题里并没有这一条限制，画线段的时候没有不让你超出这个正方形.明白了这点，就不难得到正确的答案了（见图12—9）.回想一下开始的想法也是属于把题意理解错了的情况，但是这种错误是很不容易被自己发现的.只有在解题的过程中，通过对自己的失败的解法加以总结，再与题目中所给出的已知条件加以对照，才有可能发现自己“不自觉”的错误想法.仔细审题习题

1.①一个学生花2角钱买了2个练习本，花5角钱能买几个练习本？

②在上学的路上2个学生拾到了2角钱，问5个学生捡到多少钱？

2.桌上放着一堆糖果，两个母亲和两个女儿，还有一个外祖母和一个外孙女，每人拿了一块，这堆糖果就被拿完了，而这堆糖只有3块.这是为什么？

3.天上飞着几只大雁：两只在后，一只在前；一只在后，两只在前；一只在两只中间，三只排成一条线.请你猜猜看，天上共有几只雁？

4.小强带了5元钱上街，他到书店买了3本书，应付一元五角钱，可是售货员找给他五角钱，你说售货员一定错了吗？

5.一栋大楼内有60盏灯，关掉其中的一半后，还剩下多少盏灯？

6.大海中有一个小岛，小岛上住着的100名妇女中有一半人只戴一只耳环.余下的妇女中一半人戴两只耳环，另一半人不戴耳环.问这100名妇女共戴有多少只耳环？

7.有一人一天读20页书，第三天因病没读，其他日子都按计划读了书.问第十二天他读了多少页书？

8.一家文具店卖某种文具，文具的价钱是：五个是2元，五十个是3元，而五百个、五千个、五万个都是3元.问五十万个是几元？

9.王老师有一个孩子，李老师也有一个孩子，两位老师共有多少个孩子？

10.一个长方形，剪掉一个角时，剩下的部分还有几个角？ 11.图中12—10正方体形的纸盒六个面的正中都有一个洞口，旁边放着三根圆木棍，洞口的直径能容棍子通过去.请你将三根木棍从三个洞口穿到另外三个洞口，而且每根棍子穿好后就不再拔出来，你能做得到吗？

12.一家冷饮店规定，喝完汽水后，用4个空汽水瓶可以换1瓶汽水.老师带着32个学生进店后，他只买了24瓶汽水.问每个学生能喝到一瓶汽水吗？

13.两条直线垂直相交，可以组成4个直角，如图12—11所示，那么三根直线相交时最多能组成多少个直角呢？

14.图12—12有12个点.请你用一笔画出由五条线段连接成的折线，把12个点串起来.15.图12—13有16个点，请你用一笔画出由六条线段连接成的折线，把16个点串起来.仔细审题习题答案

1.解：①花5角钱买5个练习本.②无法回答.因为在路上捡钱是偶然的，人数多不一定能多捡到钱.这和多花钱就能多买练习本不是同样的问题.2.解：因为只有三个人：外祖母、母亲和女孩（人物关系见图12—14）.3.解：天上只有3只大雁（见图12—15）.4.解：不能说售货员找错了钱.很可能是小强买东西时给售货员的钱是2元一张的，所以售货员给小强找回五角钱，售货员找的钱是对的.5.解：60盏灯.60-0=0.关掉灯后灯还在大楼里.6.解： 100只耳环.因为50+50=100（只）.7.解：20页.“第三天因病没读书”并不影响第十二天仍按计划读书.8.解：“五十万个”是4元（一个字一元钱）.对这道题进行审题时，很可能被以往的经验和知识影响，把“五个”、“五十个”等作为数量词，为了得出价钱，总想

猜测后面的名词是什么，从而得出问的文具的价钱.实际上这家商店卖的是刻有“五”、“十”、“百”、“千”、“万”等字的字模.心理学上，把这种情况叫做“负迁移”规律干扰人们准确地审题.［注］：一个人掌握了某些知识后，当他用这些知识以某种智力活动方式去解决某一问题时，这个应用过程就是心理学上所说的“迁移”.迁移就是已经学得的东西在新情景中的应用.在审题中，也就是已有知识、经验对解题的影响.如果影响是积极的、起促进作用的，就叫“正迁移”；如果影响是消极的，起干扰作用的，就叫“负迁移”.9.解：可能是1个，也可能是2个.当王老师和李老师是一对夫妻时，只有一个孩子当王老师和李老师不是一家人时，共有2个孩子.10.解：可能是5个角，也可能是4个角，也可能是3个角.如图12—16所示：

11.解：能.见图12—17.如果只想把棍子穿两个对面的洞口，穿进一根棍子后，另两根棍子就会因为被挡住而无法再穿进去，仔细看题目，并没有要求小棍穿“对面”洞口的条件.只有把小棍穿过相邻的两个洞口，方可能解决问题.12.解：能够使每个学生都喝到一瓶汽水.因为用4个空瓶可换1瓶汽水，写成算式就是：

1瓶汽水=4个空瓶

因为 汽水=1瓶中的汽水+1个空瓶

得 1瓶中的汽水=3个空瓶

所以 24+24÷3=24+8=32汽水

二年级补习资料 第3篇

教育补习是指学生在主流学校教育之外自行参加的、针对学术学科 (主要通过考试方式进行评定) 进行的、以提高学业成绩为目的的教育活动。在教育补习活动中, 学生的补习行为更多地是家长意志的表现, 学生往往处于被动的地位。因此, 笔者认为从家长的视角来看待补习行为, 可以深刻地认识家长让学生参加教育补习的动机 (以下简称“家长动机”) 。教育补习的效果, 一直都是学者们致力研究的重要问题, 普遍的做法都把这个问题转化为教育补习和学生学业成绩之间的关系问题。但即便使用了像路径分析这样的高级统计方法, 也很难单独分离出教育补习对于学生学业成绩的影响。因此很难通过这种途径获得支持或者反对教育补习活动的确凿证据。据经验观察, 笔者发现家长往往是根据自己的主观感受来对教育补习的效果进行评价, 并据此做出相关的决策。因而, 笔者认为可以把家长对于教育补习效果的评价 (以下简称“家长评价”) , 作为教育补习效果的测量指标。本文的目的在于通过家长的视角来描述广州市小学生教育补习活动的基本情况, 分析家长动机和家长评价, 同时探讨影响家长评价的因素。

二、研究方法

本研究以初一学生的家长为研究对象, 调查其小孩在小学六年级时的补习情况。[1]笔者采取分层随机抽样的方法, 从广州市的所有初级中学之中抽取了8所学校, 包括4所私立学校、4所公立学校 (含1所国家级示范中学) , 每所学校抽取两个班级。本研究采用自编《小学六年级阶段学生补习情况调查问卷》进行调查。此次调查共发放问卷800份, 回收646份, 回收率为80.8%;其中有效问卷515份, 有效率为80.0%。本研究所得问卷数据处理全部采用SPSS软件进行处理。

三、教育补习基本情况

(一) 班级排名

此次调查的学生之中有329人参加了教育补习, 占总人数的63.9%, (1) 186人未参加补习。在参加补习的学生当中, 班级排名在中等以下的学生只占19.7%, 不到五分之一。班级排名在中等以上的学生共185名, 占56.2%, 超过参加补习人数一半 (见表1) 。这说明, 参加教育补习的学生主要是班级排名中等以上、学习成绩优良的学生。

(二) 补习强度

补习强度的指标分为补习科目和补习时间。从补习科目数量上看, 在参加补习的学生中, 参与三科和两科补习的学生所占比例最多, 分别为30.70%和30.09%, 两者之和超过了学生总数的五分之三。补习单科的学生占四分之一, 补习四科和五科的学生最少, 分别为8.81%和4.56%。其中在具体补习科目方面, 参加语文、英语和数学补习的人数最多, 几乎都在一半以上 (见表2) 。

从补习时间上看, 通过分析可得知学生平均每周补习时间为5小时 (均值为5.17, 标准差为2.95) 。这个结果和已有的研究相比, 只处于中等水平。 (2) 74.2%的学生每周补习时间在6小时以内, 其余近四分之一的学生每周的补习时间超过了6小时, 其中8.5%的学生每周补习时间超过了9小时。

(三) 教育补习支出

37.7%的家庭每月仅为小孩承担500元以下的补习费用, 500~800元的为29.5%, 800~1100元的占15.8% (见表3) 。即有超过八成的家庭每月会为孩子参加教育补习支出不超过1100元的费用。

四、家长动机

(一) 家长动机与补习科目

家长动机对于学生参加补习的科目有重要的影响, 分析结果如下表:

由表4可以得出, 家长动机类型不同的学生在参加语文补习 (p>0.05) 和英语补习 (p>0.05) 上没有显著差别, 而且比例都很高。家长动机类型不同的学生参加数学补习 (p<0.05) 和奥数补习 (p<0.05) 的情况有显著差别。补差 (被迫) 型动机的学生参加数学补习的比例为67.1%, 参加奥数补习的比例为22.8%;而培优型动机的学生参加奥数补习的比例为54.0%, 参加数学补习的比例为50.8%。家长动机类型不同的学生参加奥英补习的比例都比较低, 而且不存在显著差异 (p>0.05) 。

(二) 班级排名与补习科目、班级排名与补习动机

班级排名是影响学生是否参加补习的重要因素, 它们之间的关系分析结果如下表:

学生的班级排名和他是否参加语文补习不相关 (p<0.05) 。随着学生班级排名的提高, 参加英语和数学补习的比例越低, 但是参加奥数和奥英补习的比例越高。随着班级排名的提高, 家长动机为培优型的学生逐渐增多 (见表6) 。家长动机为补差 (被迫) 型的学生成绩多处于中等偏下的位置, 而且人数只占总人数的24.0%。这与已有的研究结论一致, 即参加补习的学生大多是学习成绩好的学生, 其动机主要是通过参加补习增加自己的竞争优势。 (3)

五、家长评价的影响因素分析

本文试图通过家长评价来分析学生参加教育补习的效果。经分析, 家长评价 (M=23.34, SD=4.69) 基本处于中等水平。因此可以建立多元回归模型来探讨家长评价的影响因素。模型如下:

Y=f (O, NC, M, T, F, C, TC)

Y表示家长评价;O表示班级排名;NC表示补习科目数量;M表示家长动机;T表示补习时间;F表示补习频率;C表示补习费用;TC表示补习科目类型。

回归模型通过了ANOVA检验, F (7, 321) =5.67, p<0.01。补习科目数量、补习时间、补习频率和补习科目类型对于家长评价的影响不显著。学生的班级排名 (β=0.23, p<0.01) 、家长动机 (β=0.16, p<0.01) 、补习费用 (β=0.14, p<0.05) 是影响家长评价的主要因素。在三个主要影响因素之中, 按解释力由大到小依次为:班级排名 (β=0.23) 、家长动机 (β=0.16) 、补习费用 (β=0.14) 。即学生的班级排名越靠前, 家长评价越高。家长动机对于家长评价的影响在一定程度上体现的是学习成绩对于家长评价的影响。随着家长动机从补差型到培优型依次变化, 家长评价依次提高。补习费用越高, 家长评价越高, 主要是因为竞赛类补习的费用高于常规类补习费用, 而参加竞赛类科目意味着更好的学习成绩。

在没有参加补习的学生之中, 有25.8% (48名) 的学生认为成绩已经很好, 没有必要参加补习, 还有23.7% (44名) 的学生由于以前参加过补习, 觉得效果不大也没有参加补习。笔者比较了这部分学生和以参加培优科目为主的学生之间学习成绩的差异, 结果见表8。

以上数据表明这两类学生在学习成绩上没有显著的差异。未参加补习的学生对于补习的看法至少在一定程度上反映了补习对于成绩优秀的学生的影响并没有预期的大。也许正是由于这个原因, 学者们一直没有找到明确的证据来证明教育补习和学业成绩之间的关系。

六、讨论

以上分析显示, 学生的班级排名在整个教育补习活动中扮演了重要的角色。在调查过的学生当中, 班级排名越靠前, 学生越倾向于参加教育补习, 越倾向于参加奥数和奥英这些竞赛性科目的补习。家长让学习成绩好的学生参加补习, 是为了让学生成绩更加优异, 排名更加靠前。补习提高了学生的班级排名, 家长评价则越高。反过来又促使学生进一步参加教育补习。这似乎是一个非常合理的良性循环。但是换一个角度看, 问题就出现了。

对于班级排名靠前的学生而言, 似乎在一开始就决定了很高的家长评价。即使教育补习不会对学生的学业成绩产生积极影响, 学生原本优异的班级排名也会导致很高的家长评价。所谓的良性循环可能仅仅取决于学生原来的班级排名, 而不是补习的实际效果。

大部分学生参加补习的目的就是希望能够通过补习增加竞争优势, 获得更大的进入精英学校的机会。在参加教育补习的学生数量比较少时, 教育补习或许可以帮助一个学生获得竞争优势。但是如果所有学生都参加教育补习, 则教育补习就不再具有这种功能。当参加教育补习成为一种普遍现象的时候, 不参加补习就相当于失去了一部分机会, 在此参加教育补习不再能够帮助学生获得更多的竞争优势, 而是转变为一种保护性需要, 参加的目的也变为避免使自己处于不利的竞争地位。就目前广州的情况而言, 参加教育补习是否已经变为一种保护性的需要, 还是一个值得进一步思考的问题。

摘要：本文通过对广州市初中一年级学生家长的问卷调查, 了解学生在六年级时参加教育补习的情况。结果发现, 班级排名中等以上的学生参加补习的比例更大;家长让班级排名靠前的学生参加补习是为了增加他们的竞争优势, 因而这些学生更倾向于选择竞赛类科目补习;班级排名、家长动机和补习费用是影响家长对教育补习效果主观评价的重要因素;对于班级排名靠前的学生而言, 教育补习并不会对他们的排名产生明显的影响。

关键词：六年级学生,教育补习,家长视角,调查

注释

1 唐静丽对于深圳、武汉的调查结果显示, 小学生参加教育补习的比例为71 .1% (唐丽静.城市义务教育阶段学生参加课外补习机率的影响因素分析——基于武汉、深圳的调查[D].华中师范大学, 2009. (16) 。薛海平, 丁小浩的研究结果显示, 中国城镇学生在小学阶段参见教育补习的比例最高, 为73 .18% (薛海平, 丁小浩.中国城镇学生教育补习研究[J].教育研究, 2009, (1) :39 ~48.) 。顾琰等对江苏省的调查结果显示, 小学生参加教育补习的比例为71 .29% (顾琰, 范亚男, 朱莎莎.江苏省小学生课外学习现状调研及对策[J].基础教育2009 (1) 55 ~57.) 。澎湃对于武汉市洪山区的调查结果显示, 小学生参加教育补习的比例为66 .2% (彭湃.城市义务教育阶段教育补习的实证研究——基于武汉洪山区的调查与分析[D].华中师范大学, 2008:18) 。

2 唐静丽的研究表明, 武汉、深圳两地小学生平均每周补习时间为4.33小时 (唐丽静.城市义务教育阶段学生参加课外补习机率的影响因素分析——基于武汉、深圳的调查[D].华中师范大学, 2009:19) 。澎湃的研究表明, 小学生每周参加补习的时间为4.2小时 (彭湃.城市义务教育阶段教育补习的实证研究——基于武汉洪山区的调查与分析[D].华中师范大学, 2008:20) 。

二战后美日交易细菌部队资料真相 第4篇

日本交给美国数据资料 近藤说，为顺利实现对日本的战后统治，美国需要维持日本的天皇制。在不追究天皇战争责任这一点上，日美利益达成一致。同时，出于对抗苏联的需要，美国不希望看到731部队的研究资料落入苏联手中。石井四郎（731部队创立者）趁机向美国提出协商，这一幕后交易最终成立：日本将所有731部队数据资料交给美国，而美国则没有追究昭和天皇和石井等人的责任。

“我曾亲自同参与远东国际军事法庭审判的美国检察官谈过。据他说，在抵达东京之前，他的上司季南就告知他不会追究天皇责任。美国从一开始就已决定要维持天皇制，”近藤说。

美日幕后交易掩盖事实 近藤说，当时设在中国东北的俘虏收容所里曾收容过一批美军士兵俘虏，他们也成为731部队军医的试验对象，有人因此死亡，有人留下后遗症。战后这些被释放的美军士兵曾向美国政府控诉了这段经历，但由于美国与日本进行的幕后交易遭到掩盖。

“如果事件暴露，世人知道美国在明知本国士兵遭受731部队迫害，却对此进行掩盖、进行幕后交易的话，结果可想而知。对美国政府来说，这不是一件好事。”近藤说，“虽然现阶段还只是推测，但731部队对日本和美国来说都是不愿公开的秘密。将过去的密约延续至今并约定双方今后都不公开相关史料。”

近藤指出，细菌和毒气战等生化武器经济实惠，较之枪炮杀伤力大、致死率高，对于自然资源匮乏的日本具有很大的吸引力。当时，虽然国际社会已经约定禁止使用细菌武器、毒气战，但日本并没有遵守。

二年级补习资料 第5篇

从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律．

例1 数一数，下面图形中有多少个点？

解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图．

点的总数是：

5+5+5+5=5×4．

方法2：从左至右一列一列地数，见下图．

点的总数是：4+4+4+4+4=4×5．

因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：

5×4=4×5

从这个等式中，我们不难发现这样的事实：

两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变．

这就是乘法交换律．

正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变．

如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．

方法3：分成两块数，见右图．

前一块4行，每行3个点，共3×4个点．

后一块4行，每行2个点，共2×4个点．

两块的总点数=3×4+2×4．

因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：

3×4+2×4=5×4．

仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：

3+2=5

所以上面的等式可以写成：

3×4+2×4=（3+2）×4

也可以把这个等式调过头来写成：

（3+2）×4=3×4+2×4．

这就是乘法对加法的分配律．

如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式：

（a+b）×c=a×c+b×c

分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和．

进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢？请看下面的例子：

计算（3-2）×4和3×4-2×4．

解：（3-2）×4=1×4=3×4-2×4=12-8=4．

两式的计算结果都是4，从而可知：

（3-2）×4=3×4-2×4

这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个数相乘的情况．

如果用字母a、b、c（假设a>b）表示三个数，那么上述事实可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．

正因为这个分配律对括号中的“+”和“-”号都成立，于是，通常人们就简称它为乘法分配律．

例2 数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？

解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图．

第一层 4×2个

第二层 4×2个

第三层 4×2个

三层小长方体的总个数（4×2）×3个．

方法2：从左至右一排一排地数，见下图．

第一排 2×3个

第二排 2×3个

第三排 2×3个

第四排 2×3个

四排小长方体的总个数为（2×3）×4．

若把括号中的2×3看成是一个因数，就可以运用乘法交换律，写成下面的形式：4×（2×3）．

因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．把两种方法连起来看，应有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．

这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相同．

或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律．

如果用字母a、b、c表示三个数，那么乘法结合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．

巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、迅速．

从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式．

例3 数一数，下图中有多少个点？

解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．

总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．

方法2：补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立（见下图）：

三角形点数=长方形点数÷因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9

而长方形点数=10×9=（1+9）×9

代入上面的文字公式可得：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

=（1+9）×9÷2=45．

进一步把两种方法联系起来看：

方法1是老老实实地直接数数．

方法2可以叫做“拼补法”．经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了．

即1+2+3+4+5+6+7+8+9

=（1+9）×9÷2．

这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了．这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了．

再进一步，若脱离开图形（点群）的背景，纯粹从数的方面找规律，不难发现下述事实：

这个等式的左边就是从1开始的连续自然数相加之和，第一个数1又叫首项，最后一个数9叫末项，共有9个数又可以说成共有9项，这样，等式的含义就可以用下面的语言来表述：

从1开始的连续自然数前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半．或是写成下面的文字式：

和=（首项+末项）×项数÷2

这个文字式通常又叫做等差数列求和公式．

例4 数一数，下图中有多少个点？

解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图：

总点数=2+3+4+5+6=20．

方法2：补上一个同样的梯形点群，但要上下颠倒放置，和原图一起拼成一个长方形点群如下图所示：

由图可见，有下列等式成立：

梯形点数=长方形点数÷2．

因为梯形点数=2+3+4+5+6 而长方形点数=8×5=（2+6）×代入上面的文字式，可得：

2+3+4+5+6=（2+6）×5÷2

与例1类似，我们用拼补法得到了一个计算梯形点群总点数的较为简单的公式．

再进一步，若脱离开图形（点群）的背景纯粹从数的方面找找规律，不难发现下述事实：

这个等式的左边就是一个等差数列的求和式，它的首项是2，末项是6，公差是1，项数是5．这样这个等式的含义就可以用下面的语言来表述：

等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半．

写成下面较简化的文字式：

和=（首项+末项）×项数÷2

这就是等差数列的求和公式．

例5 数一数，下图中有多少个小三角形？

解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．

小三角形总数=1+3+5+7=16个．

方法2：补上一个同样的图形，但要上下颠倒放置、和原来的一起拼成一个大平行四边形如下图所示．

显然平行四边形包含的小三角形个数等于原图中的大三角形所包含的小三角形个数的两倍，即下式成立．

大三角形中所含=平行四边形所含÷2

平行四边形所含=8×4=（1+7）×4（个）

大三角形中所含=1+3+5+7=16

代入上述文字式：

1+3+5+7＝（1+7）×4÷2

这样，我们就得到了一个公式：

小三角形个数=（第一层的数+最末层的数）×层数÷2

脱离开图形的背景，纯粹从数的方面进行考察，找找规律，不难发现下述事实：

等式左边就表示一个等差数列的前几项的和，它的首项是1，末项是7，公差是2，项数是4．这样这个等式的含义也就可以用下面的语言来表述：

等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数之积的一半．

写成较简单的文字式：

和=（首项+末项）×项数÷2． 这就是等差数列的求和公式

数数与计数习题

下列各题至少用两种方法数数与计数．

1．数一数，下图中有多少个点？

2．数一数，下图中的三角形点群有多少个点？

3．数一数，下图中有多少个小正方形？

4．数一数，下图中共有多少个小三角形？

数数与计数习题解答

1．解：方法1：从上至下一行一行地数，共4行每行5个点，得5×4=20．

方法2：分成两个三角形后再数，见下图．得：

（1+2+3+4）×2=20．

发现一个等式：

1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．

2．解：方法1：从上至下一行一行地数，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．

方法2：用拼补法，如图所示：

11×10÷2=55．

发现一个等式：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．

3．解：方法1：从上至下一层一层地数，得：5×4=20．

方法2：做阶梯形切割，分两部分数，见右图．

（1+2+3+4）×2=20．

发现一个等式：

1+2+3+4=（1+4）×4÷2．

4：解：方法1：从上至下一层一层地数（图略）得：20×10=200．

方法2：分成两个三角形来数：

（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2

=200．

发现一个等式：

二年级补习资料 第6篇

我们在已经学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形，正方形及数综合图形来进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.一、数长方形

例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？

分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：

4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：

（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中长方形个数为：

（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中长方形个数为：

（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：

（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2 如右图数一数图中长方形的个数.解：AB边上分成的线段有：

5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：

3+2+1=6.所以共有长方形：

（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.二、数正方形

例3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）

分析 图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：

2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：

1×1=1（个）.所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）；

边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；

边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）.所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）.图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有：

4×4=16（个）；

边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；

边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；

边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）；

所以，正方形的总数为：

1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）.图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有：

5×5=25（个）；

边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；

边长为3个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；

边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；

边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.所有正方形个数为：

1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）.小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）.例4 如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有：

6×5=30（个）.②以二条基本线段为边的正方形个数共有：

5×4=20（个）.③以三条基本线段为边的正方形个数共有：

4×3=12（个）.④以四条基本线段为边的正方形个数共有：

3×2=6（个）.⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：

2×1=2（个）.所以，正方形总数为：

6×5+5×4+4×3+3×2+2×1

=30+20+12+6+2=70（个）.小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1

显然例4是结论的特殊情况.例5 如下图，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成4×4的正方形钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形.分析 这个问题与前面数正方形的个数是不同的，因为正方形的边不是先画好的，而是要我们去确定的，所以如何确定正方形的边长及顶点，这是我们首先要思考的问题.很明显，我们能围成上图Ⅰ那样正向正方形14个，除此之外我们还能围出图Ⅱ那样斜向正方形4个，图Ⅲ那样斜向正方形2个.但我们不可能再围出比它们更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6个，总共可以围出正方形有：14+6=20（个）.我们把上述结果列表分析可知，对于n×n个顶点，可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1）×（n-1）个顶点时的所有正方形的总数.三、数三角形

例6 如右图，数一数图中三角形的个数.分析 这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：

W①上=1+2+3+4=10（个）.②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：

W①下=1+2+3=6（个）.Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：

W②上=1+2+3=6（个）.②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：

①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：

W③上=1+2=3（个）.②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：

W④上=1（个）.所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数，即按尖朝上与尖朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种：

W①下=1+2+3+4=10

W②上=1+2+3=6

W③上=1+2=3

W④上=1

所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种：

W①下=1+2+3=6

W②下=1

W③下=0

W④下=0

则尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（个）

所以，尖朝上与尖朝下的三角形一共有：

20+7=27（个）.小结：尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.例7 页图数一数图中有多少个三角形.解：参考例6所总结的规律把图中三角形分成尖朝上和尖朝下的两类：

Ⅰ.尖朝上的三角形有五种：

（1）W①上=8+7+6+5+4=30

（2）W②上=7+6+5+4=22

（3）W③上=6+5+4=15

（4）W④上=5+4=9

（5）W⑤上=4

∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形有四种：

（1）W①下=3+4+5+6+7=25

（2）W②下=2+3+4+5=14

（3）W③下=1+2+3=6

（4）W④下=1

尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46（个）.∴所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有

80+46=126（个）.四、数综合图形

前面我们已对较基本、简单的图形的数法作了较系统的研究，寻找到了一般规律.而对于较复杂的图形即综合图形的数法，我们仍需遵循不重复、不遗漏的原则，采用能按规律数的，按规律数，能按分类数的就按分类数，或者两者结合起来就一定能把图形数清楚了.例7 页图，数一数图中一共有多少个三角形.分析图中有若干个大小不同、形状各异但有规律的三角形.因此适合分类来数.首先要找出三角形的不同的种类？每种相同的三角形各有多少个？

解：根据图中三角形的形状和大小分为六类：

Ⅰ.与△ABE相同的三角形共有5个；

Ⅱ.与△ABP相同的三角形共有10个；

Ⅲ.与△ABF相同的三角形共有5个；

Ⅳ.与△AFP相同的三角形共有5个；

Ⅴ.与△ACD相同的三角形共有5个；

Ⅵ.与△AGD相同的三角形共有5个.所以图中共有三角形为5+10+5+5+5+5=35（个）.例8 图，数一数图中一共有多少个三角形？

分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：

第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.解：Ⅰ.在小矩形AEOH中：

①由一个三角形构成的有8个.②由两个三角形构成的三角形有5个.③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内有17个三角形.Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中，如△ABC，共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是：

（8+5+5+5+2）×=25×4=100（个）.习题

1.下图中有多少个正方形？

2.下图中有多少个三角形？

3.下图中有多少个长方形？

4.下图（1）、（2）中各有多少个三角形？

5.下图中有多少个三角形？

6.下图中有多少个三角形？

7.下图中有多少个正方形？

8.下图中有多少个长方体？

习题答案

二年级数学小报资料 第7篇

这一课一共讲5种计算的方法。

第一种方法是“凑十法”。就是计算时把能凑成十的数字都凑成十，这样计算的速度就能提高。比如1+2+3+4+5+6+7+8+9+10这道题，计算的时候可以把1和9凑成十，2和8凑成十，以此类推，最后剩下一个5，再把前面的五个十加起来，很容易就得出计算的结果为55。

第二种方法是“凑整法”。比如1+3+5+7+9+11+13+15+17+19这道题，把1和19凑成20，3和17凑成20，5和15凑成20，7和13凑成20，9和11凑成20，再把这五个20加起来就得出计算的结果等于100。

第三种方法叫“用以知求未知”的方法。比如在计算题目时1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20时，先计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100，再计算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110，然后再用100加上110就得出计算结果为210。

第四种方法叫“改变运算顺序”的方法，比如在计算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1这道题时，先把这个算式的运算顺序改变一下，改成(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)，这时括号里的数字算出来结果是1+1+1+1+1=5，这就是这道题最终的答案!你们说好不好算呀?

最后一种方法叫“带着+、-好搬家”的方法，比如在计算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11这道题时，1减2不够减，所以我们可以把算是改成1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10，然后再算1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+(11-10)。这样，就非常容易的得出最后的结果是1+1+1+1+1+1=6。