对称性在数学中的应用

对称性在数学中的应用（精选14篇）

对称性在数学中的应用 第1篇

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对称性在中学数学教学中的应用

作者：陈艳

来源：《中学时代》2013年第02期

数学中存在着丰富的美：简洁美、奇异美、对称美、统一美。因此，在中学数学的教学过程中，我们老师可以充分挖掘数学美的因素，并通过各种有效途径传授给学生，会对数学教学产生积极的影响。中学数学中的对称美就是最好的教材。

对称性在数学中的应用 第2篇

信息不对称理论在科技期刊编辑中的应用 作者：段春波

来源：《编辑之友》2012年第05期

摘要：本文以应用信息不对称理论为依据，分析科技期刊在编辑工作中信息不对称的表现、原因以及危害，并给出相应的调控措施。

关键词：科技期刊 编辑 信息不对称

信息不对称理论是近20年微观经济学研究的前沿。1970年美国经济学家Akedof提出了信息不对称论，认为在日常经济活动当中，某些参与人拥有其他参与人所不拥有的信息，一方处于信息优势，一方处于信息劣势，由此造成的在不对称信息下进行交易关系和契约安排的经济理论。

在专业编辑出版行为中的信息主体主要包括编辑、审稿专家、作者、读者等，由于科技期刊出版编辑行为中社会分工不同，造成每个信息主体都拥有一定的信息量和自己独特的信息结构。同样，在科技期刊中，专业期刊、综合性期刊、不同语种期刊和不同出版载体以及不同出版周期导致期刊的信息刊载也不一致，所以科技期刊的编辑出版中，存在着诸多方面信息分布的不对称是情理中的事。

一、科技期刊编辑工作中的信息不对称

（一）专业信息不对称

随着科学技术的发展，专业分工越来越细；同时，学科模式的转变，使新的、交叉和边缘学科不断出现。无论是专业工作者还是科技期刊的编辑，从事的职业和工作都相对固定，使专业工作者的专业知识有一定的局限性，编辑的决策受到限制。因此，导致在出版业内不同的期刊所获得的信息也不一致，同类期刊的状况也不一致，业内的信息不对称在各个编辑部也非常明显。此外，大量新的信息也对科技期刊编辑的学识提出了新的挑战。

（二）与作者之间的信息不对称

1.专业知识不对称。编辑与作者之间的信息不对称是普遍存在的，突出表现在二者专业知识不对称。科技期刊的作者对相关专业、相关领域研究均有相当深的认识和临床实践，相对而言，编辑则处于信息劣势。编辑在编校过程中如果对作者文章所涉及的内容认识多停留于文字和自身的理解，那么将无法辨别作者所提供信息中的真伪，无法完全把握稿件信息，在评判或加工稿件时容易出现偏差。从文稿来说，作者对研究的认知表现在某些具体点上，而编辑表现在宏观面上，注重条理性、层次性和严密性。但对于一种科技期刊来说，有其独特的办刊风格，选题、择录稿件的重点，修改稿件的标准，对稿件的要求等，有些却是不为作者所知的。

编辑与作者间存在的信息不对称，可造成编辑和作者之间的相互不理解甚至误解，会导致资源的浪费，对科研和出版都产生不利的影响。

2.作者署名。作者署名不仅是一种荣誉，而且表示对文章所作贡献的多少，对文章内容负责。科技论文的发表，涉及第一作者署名争议的并不罕见，常见的有研究的主要执行者和主要负责者、指导者，非主要执行者与主要执行者之间的争议等。某些作者为了提高发表的可能性，甚至将并未参加研究的专家属上名字。李文慧等进行的医学论文作者署名问题的调查结果显示，2000年《中华神经科杂志》《中华医学杂志》英文版和《中华儿科杂志》上刊登论著的作者，按照ICMJB和AMA最新标准，只有1/3左右的作者符合作者署名标准。为了保证科学的真实性，应要求作者公开在研究中所起的作用，加强作者署名知识的教育。

3.一稿两投。某些作者为了提高稿件录用几率，加快发表速度，无视著作权法，没有遵守双方的约定，一稿两投、多投造成一稿两登或几登，引起版权纠纷，使刊物造成经济损失，这是信息不对称所涉及的道德问题的表现。科技期刊一稿两投现象也很普遍，王菊香等调查结果显示，58.7%的投稿者有一稿多投行为。编辑无法预料这种行为，这种行为不但占用刊物宝贵的版面，而且使刊物的声誉受到损害。

4.伦理学问题。科技期刊作为传播最新研究成果的重要载体与相关学科研究中伦理问题密切相关。这方面信息不对称也存在于编辑和作者间：（1）科研人员对科研伦理委员会了解较少，有些单位无此机构，科研人员不了解审批程序；（2）通过审批后，实验方案进行了重要修改却不再次报批；（3）缺乏标准和规范的知情同意书。如每一个医学研究都必须遵从、符合伦理原则，但医学研究中的伦理问题多种多样，在论文中的表现也各不相同，不同专业有不同特点，有些专业的编辑对此也并不熟悉。

5.非一次文献。根据文献内容、性质和加工情况可将文献区分为一次文献、二次文献、三次文献。一次文献指以作者本人的研究成果为依据而创作的原始文献，如期刊论文、研究报告、专利说明书、会议论文等。二次文献是对一次文献进行加工整理后产生的一类文献，如书目、题录、简介、文摘等检索工具。三次文献是在一、二次文献的基础上，经过综合分析而编写出来的文献，人们常把这类文献称为“情报研究”的成果，如综述、专题述评、学科年度总结、进展报告、数据手册等。

期刊编辑要求作者尽可能引用一次文献，因为经过加工的二、三次文献往往带有加工者的主观倾向，可靠性大大降低。而受查找资料权限的影响，某些文章可能无法直接获取，作者往往采取引用二次、三次文献的方式进行，信息不全面，可能导致观点错误误导作者，而编辑同样处于信息不对称的另一方，监察非常困难。

6.统计学处理信息。科技论文的质量和水平取决于该研究的创新性、科学性和实用性，而其科学性与统计学在研究设计和成果表达上的正确应用密切相关。编辑处理稿件过程中，发现统计学问题往往普遍存在，包括研究设计缺陷，方法选择不当、图表错误、表述不清楚、严谨

性差。作者常不清楚需要表达的内容，而编辑又往往无法确认作者的数据的真实性及统计学处理结果的真实性和正确与否。

（三）与读者之间的信息不对称

科学技术的迅猛发展带来信息膨胀，使科技期刊的种类和传播媒介的手段迅速增多，读者拥有更多的选择机会的同时，分散了搜集期刊信息的努力，读者的需求相对于编辑所能了解到的需求存在着明显不对称。而读者信息在市场经济条件下具有重要的作用，读者的阅读兴趣、阅读倾向是期刊编辑努力的方向。

信息化社会带来服务新浪潮，新媒体的出现对纸质出版物的出版发行带来了很大的冲击，编辑不仅要了解读者的阅读兴趣还要紧跟读者的阅读习惯。以往进图书馆查阅书籍期刊已逐渐被检索数据库所替代，期刊必须随着社会发展、读者需求的变化而作相应的变更，以便时时明确其读者定位、风格定位和市场定位。

（四）与审稿人之间的信息不对称

1.编辑与审稿人之间的信息不对称。编辑了解审稿人的信息有助于为稿件寻找合适的审稿专家，提高稿件的编审效率，严格把握稿件质量。审稿人信息包括其审稿专业方向、专业背景、性格特征、审稿习惯，还有隐藏的动态信息，包括其学术活动情况、身体状况、工作繁忙程度和工作变迁等状况。

2.审稿专家与期刊编辑部间的信息不对称。审稿专家对期刊的熟悉程度会影响其对稿件的处理意见。期刊的类别、性质、学术水平、栏目设置、风格、定位等信息决定了其对稿件的要求，如果审稿专家对这些信息不够了解，那么可能会对编辑部稿件取舍造成困惑。

3.审稿专家与作者问的信息不对称。作者本身的信息对于审稿专家在评审稿件时有辅助作用，通过对作者科研背景的了解可以帮助判断文章信息真伪，但同时也可能因为一些“名人效应”而干扰了专家对稿件的正确判断。学术观点的不同也可能导致一些审稿意见有失偏颇。审稿专家与作者信息不对称扭曲了信息的本质，直接影响着信息的开发和利用。

二、信息不对称的调控

1.完善科技期刊编辑的知识结构

信息是一个没有边界的新的地理学空间，它的特征是技术和变化，科技期刊的办刊目的是在科学实践中发现新事实、提供新方法和构建新理论。要及时了解和掌握相关学科研究的动态和发展趋势，重视各学科的前沿问题、重大现象理论问题及新兴学科、交叉学科、边缘学科中的问题，透过纷繁复杂的各种外部现象洞悉各种基础研究和临床研究的真正价值和实质。只有完整合理的知识结构才能保持编辑对学科信息的敏感性、反应力和吸收能力，在编校稿件时严

格把关作者信息、署名、科研伦理和统计问题等，减少编辑与作者、读者、审稿专家及业内编辑部之间的信息不对称，保证期刊的学术价值，办出刊物的特色。

2.加强与读者、作者、审稿专家的沟通

办刊信息可以通过不同方式向外界传递。在期刊上刊登各种信息积极宣传刊物，对读者来说，包括办刊特色信息如文章导读、下期要目简介以及文献检索信息、会议信息等，对作者来说，包括征稿启事、稿约、对某些方法学描述的规范化说明、某种格式的规范化说明等。另外还应开辟专门栏目，及时刊登作者与读者的反馈意见以及编者的答复和反应等。国外很多著名期刊都有读者来信、对话等栏目，国内许多期刊也开辟了类似：“读者·作者·编者”栏目。信息反馈可获得广泛的学科发展与科研动态，了解读者、作者对信息的把握情况，促进编辑工作中的自我认识、自我提高，同时又可协调和加强编辑与读者之间的联系。

在作者投稿时，提示作者出具规范的单位介绍信，对科研的真实性、保密性和作者排名次序负责，不能出具者，第一作者负全部责任。为基金资助项目的，须提供批准件的复印件。研究生稿件需经导师推荐。涉及伦理问题的，须得到相应级别伦理委员会审核监督证明。同时编辑部和科研管理部门可联手举办伦理、统计等知识的学习班，提高科研人员知识的整体水平。在编辑部举办的学术会议上，可以对参会人员进行短期的专业论文写作讲座，免费赠送刊物，加大期刊宣传力度，同时也增加了作者、读者对刊物的了解。

浅谈数学中的对称美及其应用 第3篇

关键词：对称美,几何,代数,发散性思维

对称,是指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一的对应关系,其最直观的表现就是图形的部分重叠或重合[1].对称性在数学中有非常普遍的应用,利用对称的思想来解决数学问题可以起到事半功倍的效果,对称美更是数学美中不可忽视的一部分.

一、数学中对称美的基本内容及表现形式

对称性在数学中也是普遍存在的,数学美是现实空间自然美的一种体现,是一种特殊的美,也具有其他科学不具有的抽象美,更是一种科学美[2].

数学的美是一种天生的、协调的美,也是一种抽象的、严谨的美.这些数学美的特征:奇偶性、单调性、奇异性等等,体现在数学语言,数学理论知识,数学的定理公理公式,数学的方法技巧,以及数学在生活实际中的作用和应用.其中对称美,却是最简洁、最能给予人美感的一种体现形式,它展现了数学中的部分与部分、部分与整体之间的联系和统一,把各种数学概念和理论联系起来.对称性在数学中的具体表现为:数字的对称,图形的对称,形式或结构的对称等等.因而,对称美成为数学美中必不可少的一部分,对称性更是数学中的一种重要思想和方法,所以对称美普遍存在于数学科学中,甚至在其他自然科学及人文科学中也处处蕴含着对称的美及对称的重要作用.

数学中的对称美的主要表现形式体现在图形的对称美,数字的对称美,公式的对称美,以及形式或结构的对称等方面.如果一个整数,它的每一位数字都是关于左右对称的,那么称这个数是对称数,也可以称这个数为回文数.比如121,12321,1234321等等;由于图形的对称美,代数学才得以发展和进步,更是成为一门学科.若一个图形的对称轴越多,那么这个图形就越完整,越完美;在一些数学公式中,对称美也是无处不在的.比如,加法和乘法的交换律、分配律,a+b=b+a,ab=ba,(a+b)c=a×c+b×c等.代数中的平方差公式a2-b2=(a-b)(a+b),完全平方和公式(a+b)2=a2+2ab+b2等;且有结构的对称美,如二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn及杨辉三角形,是二次项系数在三角形中的一种几何排列.

二、对称性在数学中的应用

对称不仅给人以美感,且在数学各学科中有更广泛地应用,在代数学、方程、几何及微积分解题过程中运用对称的思想,可以使问题化繁为简[3].

如解方程就是运用了对称的方法,即给等式的两边同时加上一个数或者式子,等式还是相等的,这就是对称的思想;对称性在数学几何中的体现最为直观,例如圆,球,抛物线,双曲线,都是有着很直观的对称性,运用对称的思想更是可以直观地得出结论或者结果;对称在微积分解题过程中的应用,通过具体的问题来说明.

(一)对称性在微分学中的应用

(二)对称性在积分学中的应用

三、结论

对称不仅给人以直观美的享受,更是一种重要的数学思想,数学思维模式和方法[4].在数学解题过程中利用对称关系,也是常用的一种解题技巧.用对称的思想和思维解题,可以使问题简单、明了化,可以将抽象问题具体化,从而降低解题的难度,达到事半功倍的效果,更重要的是可以培养学生的发散性思维,展现数学中的自然美,加深学生对数学对称方法和应用技巧的理解,提高学生的数学思维和数学应用能力.

参考文献

[1]夏向阳.数学的对称观及其在教学中的应用[J].数学学报,2010(8):75-77.

[2]陈攀.浅论数学中的美[J].数学理论与应用,2009(5):9-13.

[3]吴振奎,刘舒强.数学中的美—数学美学初探[M].天津:天津教育出版社,1997:35-48.

对称性在数学中的应用 第4篇

关键词：对称美；数学研究；中学数学

一、对称性起源

世界万物都是对立统一的，都包含有矛盾的两个方面，这两个方面是对立的.同一种包含有对立和对称的性质反映在数学上就是对称性.

早在远古时期，人们已经认识到了对称性，注意到的是普遍存在于自然界的空间对称，例如，镜像对称、中心对称等.随着人力文明的发展，对称性渐渐地融入人类生活的方方面面.在建筑、音乐、文学等领域都得到了充分体现，建筑方面：北京紫禁城、古罗马斗兽场等；音乐中的交响曲；文学中的众多古诗词，如“明月松间照，清泉石上流.”对称性正式进入科学领域大约是在古希腊时期：化学中的分子对称；物理学中的对称性；数学中的几何对称、函数对称等.

二、对称的概念

所谓对称，是指组成某种事物或对象的两部分的对等性，是统一性的特殊表现.当然，这里所讲的对称主要包含两个方面的内容，一是视角情况下的图形，这集中体现了一些函数的坐标变量关系，这种图形比较直观；另外是关于数学概念与定理方面的对称思想.在数学中，用自同构对应笼统的来解释对称性.一般的，设集合S有一个到自身的变换f，S的元素之间定义了某种关系“*”，a，b∈S在变换f之下的像a′、b′∈S，如果a、b之间具有关系“*”，则a′、b′之间仍保持关系“*”，即a′*b′就称变换f是集合S关于关系“*”的一个自同构对应.设S是一个给定的集合，P是S的一个子集，如果S有一个自同构对应f，使得对p的任意元素x，仍有f（x）∈P，则称集合P是对称的.在几何学中，对称是图形的一种性质或指两个合同图形间一种特殊位置关系，包括中心对称、轴对称、平面对称三种.

三、数学对称性主要内容

七年级数学生活中的轴对称教案 第5篇

第一节

生活中的轴对称

轴对称现象

教学目标：

1、在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特征等活动，进一步建立轴对称的概念。

2、能够识别简单的轴对称图形及其对称轴。

3、能设计简单的轴对称图形及深刻体会轴对称在生活中的广泛存在及运用价值。

教学重点：轴对称的概念。

教学难点：通过活动，归纳轴对称图形的特征。

教学建议：

1、创设轴对称的情境，可以在教室内布置一些轴对称的挂图,展示一些轴对称的图形或放一些彩色的轴对称图形的幻灯片,使学生沉浸在轴对称的环境中。

2、学生初步感受轴对称图形的特点，并猜猜这节课研究的主题是什么?

3、归纳图形的特点,可以开展小组讨论,代表发言.并列举生活中的一些轴对称图形。

4、由感性认识→实践尝试(布置以小组为单位，设计满足以上特点的图形)→设计完毕，小组发言，如此设计的理由，此举不但得到了多种设计方法，如:针尖扎、墨水印、剪刀剪、镜子照等等。而且更重要的是实现了感性到理性的过渡，加深了学生对特征的理解。

5、识别、列举生活中的轴对称图形，并指出它的对称轴。如果一些图形不成轴对称，世界将会如何？展开讨论。

活动小结：

1、感受轴对称图形。

2、理解轴对称图形的特征。

3、体验轴对称的广泛存在及价值。

第二节

简单的轴对称图形(一)

教学目标：

1、经历探索简单的轴对称性的过程；进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。

2、探索并了解角的平分线，线段垂直平分线的有关性质；掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。

3、通过活动培养学生研究轴对称图形的思想方法。

教学重点：探索并了解角的平分线，线段垂直平分线的有关性质。教学难点：通过操作，理解结论产生的过程。

教学建议：

1、创设问题情境，演示实物，学生进行有目的的思考。

2、实际问题数学化，建立数学模型，画出几何图形,你能以上面的例子为例，在角的内部找一个点，使它到角的两边距离相等吗？(培养学生的创新精神，产生多种找法)。

3、课本上采用折纸的方法找一点到角的两边距离相等的方法，建议不要正面介绍，可以先让学生思考，产生多种的找法,否则会束缚学生的思维。

4、怎样找到线段两个端点距离相等的点？让学生亲自操作，并产生多种答案。

5、把线段和角合起来组成一个三角形，怎样找一个同时满足到角两边距离相等又到线段两端点距离相等的点呢？当成为等腰三角形时，能找到这样的点吗？由此你发现了等腰三角形有哪些性质呢？探索等腰三角形的有关性质,一般三角形呢?

6、小组合作，设计一些轴对称图形，并找一个点到角的两边，到线段两端点距离相等的点。

活动小结：

1、角的平分线，线段垂直平分线的有关性质。

2、学会探索研究简单的轴对称图形的思想方法。

第三节

简单的轴对称图形(二)教学目标：

1、通过操作或思考理解等腰三角形是轴对称图形。

2、操作实践和分析推理相结合，归纳等腰三解形的特征。

教学重点：等腰三解形轴对称的特征。

教学难点：在操作中归纳等腰三角形轴对称的特征。

教学建议：

1、创设问题情境，出示许多含有等腰三角形的例子，建立深刻的等腰三角形的印象，并设计开放的话题，说说它有哪些特点呢。

2、利用折纸的方法，在三角形内找一点既到角的两边距离相等又到角的对边两端点距离相等的点，可以先按一般三角形后等腰三角形的顺序进行探究，有条件的话，可以利用课件进行演示。让学生动手操作，沿着等腰三角形的顶角平分线对折，让学生在操作的过程中，领会等腰三角形的有关特征，并加以归纳小结。

3、当等腰三角形特殊化成等边三角形时，它的性质如何呢？

4、利用等腰三角形的轴对称性，解决一系列有关边、角计算的问题，并能加以解释一些实际生活中的例子。

5、由等腰三角形迁移到另外轴对称图形，并讨论它们的性质。

活动小结：

1、等腰三角形的轴对称性。

2、等腰三角形中的有关计算问题。

3、学会运用本节的思想方法探究另外的轴对称图形。

第四节

探索轴对称的性质

教学目标：

1、掌握探索的方法。

2、能理解轴对称图形的性质。

教学重点：轴对称图形的性质。教学难点：轴对称性质的理解。

教学建议：

1、回顾：简单的轴对称图形(角、线段、等腰三角形)的性质，在此基础上你能识别所有轴对称图形的共性吗？组织一次开放性讨论。

2、采用讨论的方法得到轴对称图形的共性，有利于培养学生良好的学习习惯、思维品质、学习方法，并加以说明(“扎字”前面已有基础)还有另外的方法吗？

3、你能设计成轴对称的两个图形吗？你为什么这样设计，说明理由。

4、动手做一做，巩固轴对称图形的性质，并在实践中加深理解。

5、判断各种各样的图形，并找出其中的轴对称图形。

6、应用轴对称图形解释，解决实际生活中的一些例子。

活动小结：

1、轴对称图形的性质。

2、运用性质解决实际问题。

第五节

利用轴对称设计图案

教学目标：

1、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。

2、体验轴对称在现实生活中的应用，并能运用轴对称的性质设计图案。

教学重点：利用轴对称的性质画图案。教学难点：利用轴对称的性质设计图案。

教学建议：

1、小组活动，设计一个轴对称图形，并阐述理由，复习巩固。

2、画一些简单图形的对称图形，建议可以采用由点→线→面的程序来画。

3、任给一个较复杂的平面图形，你能画它的轴对称图形吗？

4、适当练习加以巩固，并说明为什么？

5、自由设计漂亮的图案利用性质。

活动小结：

1、掌握利用性质画图案的方法。

2、利用性质设计漂亮图案。

第六节

镜子改变了什么

教学目标：

1、结合生活实际，了解镜面对称，发展空间想象能力。

2、能归纳镜面对称的特点

教学重点：镜面对称

教学难点：镜面对称的特点归纳

教学建议：

1、创设情境，本节课有条件的学校建议在舞蹈房上课（至少要有一面大镜子）。

2、让学生面对镜子，做游戏判断身后实物的方位，初步建立镜面对称的概念。

3、给出一些实物让学生猜猜他的图像将会如何？然后加以以验证。给出一列数，首先猜猜哪些数在镜中与原数完全一样，哪些不一样？展开讨论。

4、活动：把数字平放在镜子前检验，有可能与猜测不一致，有可能一致？为

什么有些数变了，有些数不变呢？变的数与不变的数各有何特点呢？归纳规律。

5、列举几个数，验证归纳的结论。

6、学生小组活动：列举数字、验证结论。

7、把数字改成“字母”.几何图形呢？由此你能归纳出什么样的几何图形在镜中的对称图形变，什么样的图形不变吗？

活动小结：

1、归纳镜面对称的特点

2、判断数字、图形镜面对称的图形。

第七节

镶边与剪纸

教学目标：

1、在操作过程中进一步理解轴对称及其性质，发展空间观念

2、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值。

教学重点：运用轴对称的性质，进行镶边与剪纸的操作，并能设计出其它漂亮的图案。教学难点：性质的应用及理解。

教学建议：

1、创设情境，激发学生想设计图案的强烈欲望（先学习后操作比赛）。

2、选择一个进行设计，可由学生先试一试，然后由小组发言，介绍方法,加以推广。

3、观察课本做一做中的图案，你发现了什么？你能剪出这样的图案吗？它有何特点？

4、改变折纸方案，照同样的方法剪纸，发现图案与不同的折法有关，有什么关系呢？（对称轴与对折次数有关）。

5、知识应用。尝试不同的折正方形的方法，然后归纳其中的规律。

6、你能用折纸、剪纸的方法设计出漂亮的图案吗？

活动小结：

对称性在数学中的应用 第6篇

荔枝小学：杨艳

一、教学目标

（一）知识与技能

通过欣赏、折叠等活动，认识轴对称图形的共同特征，能识别简单的轴对称图形及对称轴，通过实践操作，理解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系。

（二）过程与方法

经历折、画、制作图案等活动，发展学生的形象思维和空间观念，积累数学活动的经验，在动手实践中学会与人合作、彼此交流。

（三）情感态度与价值观

初步获得动手的乐趣和成就感，欣赏并体会对称美，培养学生热爱生活的情感。

二、教学重点

掌握轴对称图形与成轴对称的概念，识别轴对称图形和对称轴。

三、教学难点

理解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系。

四、教学过程

(一)创设情境，顺势导学。

师：自从走进数学世界以来，我们就一直体会数学带来的 美和乐趣，今天，我们将欣赏并探求一种新的数学美——对称美。（揭示课题，播放千手观音视频）

（二）探索新知 1.演示导学，形成概念

在引入的基础上，由多媒体展示轴对称图形，引起学生探究的欲望。让学生边观察边思考：这些图形有什么共同特征？在学生总结的基础上最后教师完善定义，加深理解。

2.联系生活，突出重点

（1）明确定义之后，设计活动一：首先请学生列举一些轴对称图形，再让学生在矩形纸上剪出一个轴对称图形。

（2）练习

下面路标有多少个是轴对称图形？

（3）动手操作、巩固提高

活动二：拿出准备好的图片找出那些是轴对称图形并通过折、叠、画的方式找出图形的对称轴，你会发现什么？

生：自述总结。

师总结：a.轴对称图形有的有一条对称轴，有的有两条，有的有无数条。由此可见轴对称图形的对称轴可能不止一条对称轴；b.轴对称图形的对称轴要画成虚线。

3、类比观察，形成概念

活动三：动手制作墨水画。老师利用墨水画得出成轴对称图形的概念。

4、轴对称图形和成轴对称图形的区别与联系。(生自我总结然后老师小结)

（三）课堂练习

采用游戏闯关的形式呈现，加深对本节内容的理解，提高学生的思维水平。

（四）课堂小结

师：今天你学到了什么知识？（由生总结）

板书设计：

生活中的轴对称

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数学分析在中学数学中的应用 第7篇

曾几何时，对于每一个步入大学的新生来说，都有过这样的疑问，真的不大明白数分的实际应用，而且说要两个学期学完两本书？它真的有这么重要吗？面对诸多的质疑，下面我就从数学分析与中学数学的联系入手，通过对一些具体的实例分析，论述了极限、积分学、微分学在解决中学数学中有关于不等式与恒等式的证明、函数极值、方程根的讨论、函数的性态、几何问题等方面问题中应用.数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。我们都知道，数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！正因为如此，我们更应该深刻地认识到基础的重要性。

例如：一元微分学在中学数学解题中的应用，可用于不等式与恒等式的证明、求函数的极值、切线与单调区间问题、方程根的讨论以及函数的变化性态及作图中，其中在函数做图中，函数的图像可以其直观性有着别的工具所不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图像.中学教材在介绍二次函数、指数函数及三角函数等函数时，通常用描点法作出函数的图像.这种图像一般是粗糙的，不一定能准确地反映曲线在一些点和区间上的性态.利用导数作为工具，可以有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图像.又如：积分法原理和方法在中学数学解题中的应用，积分学在中学数学中的应用，最明显体现在几何问题的应用中.在初等几何中，一些公式没有证明（如圆的面积公式），一些公式虽然给出了证明，但比较麻烦，如果应用积分的思想和方法，他们可以迎刃而解.再如：不定积分的应用，可由原函数转化为直接积分法和基本积分法，其中直接积分法可直接用相关积分法知识求解，如：第一换元法及分部积分等等；在定积分的应用中，定积分由相关条件、定理转化应用到牛顿-莱布尼茨公式从而求解定积分，如求解平面图形的面积、由平行截面面积求体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积等等解法都与数学分析息息相关。

所以，作为一名数学专业的学生来说，对于积分学，定理虽易记诵，但对于理解的要求甚高，所以许多同学在学习数学分析的过程存在着这样的问题：上课能听懂，课后解题却不知所措。这一问题的产生主要是由于一方面对基本概念、基本定理理解得不够深入，对定理的条件、结论理解得不够贴切，对各部分知识之间的联系区别不甚清楚所导致的。所以我们更应该加强对实际应用知识的学习，更多关注学科的变化，培养对问题的思考，领略到积分的魅力。

对称性在多元函数积分中的应用 第8篇

本文主要探讨对称性在多元函数积分中的应用。多元函数积分包括多重积分,曲线积分和曲面积分等,概念众多,计算繁琐且方法多变,是微积分学中的重点和难点。特别地,当积分区域和被积函数具有某种对称性时可以利用对称性简化积分过程和计算复杂度。这点在很多文献中都有介绍。尽管如此,就我们所知,目前已有文献在介绍积分学中对称性方法时,都是针对某种积分类型以及特定的对称性分别进行归纳总结[1,2],导致学生关于对称性运用方法的认识不深,知识存在割裂,难于系统化且不易掌握。

为了解决这一问题,本文在分析积分计算中对称性本质的基础上提出了使用对称性的统一框架,并在统一框架下通过具体的实例描述了如何利用对称性完成多重积分、曲面积分、曲线积分的简化计算过程。

1积分中应用对称性的统一框架

微积分中讲述了诸多的积分概念,包括定积分、多重积分、曲线积分、曲面积分等,这些积分概念都可以统一为黎曼和的极限:

其中,D是积分区域,可以是区间,线段,曲面和平面区域,分别对应定积分、曲线积分和曲面积分;Pi是D中的点,ΔWi是点Pi的尺度,根据积分类型可以是面积或弧长等。所谓积分对称性,本质上就是看对于D上任意的点Pi能否在D上找到另一个不同的点Pj使得

这主要涉及三方面,包括被积函数、积分区域和符号。注意,这里并没有特指是何种积分,关于上述三个方面的讨论和拓展对所有的积分类型都成立。从这三个方面入手,本文提出了积分计算中利用对称性的统一框架,分三个步骤:

1.1考虑积分区域:给定Pi=(x1,x2,…,xm)属于D,测试Pj=((-1)x1k1,(-1)x2k2,…,(-1)kmxm)是否也在D上,其中k1,k2,…,km取值为1或者2。如果成立说明积分区域D具有某种对称性。此时,在不考虑符号情况下这两点的尺度将相等,即|ΔWi|=|ΔWj|。

1.2考虑被积函数:在区域满足某种对称性情况下,将步骤1中得到的Pi和Pj点代入被积函数中,测试f(Pi)=f(Pj)或者f(Pi)=-f(Pj)是否成立。

1.3考虑符号:当积分区域具有方向时,需要考虑符号。在满足步骤1基础上,判断步骤1中得到的点Pi和Pj对应的方向是否一致,如果一致有ΔWi=ΔWj,否则ΔWi=-ΔWj。

最后,按照积分的统一定义可得:如果f(Pi)ΔWi=-f(Pj)ΔWj成立,那么积分值为0;如果f(Pi)ΔWi=f(Pj)ΔWj成立,那么积分值为对称子区域积分值的两倍。

2统一框架下的计算实例

下面通过实例说明如何在上述统一框架下,对任意类型积分利用对称性进行简化计算。

注:本题是统一框架在重积分中的简单应用,验证积分区域对称性的基础上,验证了被积函数的对称性,无需真正计算即可得到结果。

其中L1是L在第一象限的部分。

注:本题虽然是第一类曲线积分,但是因为应用了本文提出的统一框架,计算过程与例1重积分的计算并没有很大区别,也仅是在验证积分区域对称性的基础上,验证被积函数的对称性,进而得知只需对第一象限内的部分曲线进行积分。

注:本题是第一类曲面积分,应用了本文提出的统一框架可以得到与前两例类似的计算过程,不同之处仅在于积分区域换成了曲面。

因此I=I1+I2=0。

注:因为第二类曲线积分带方向,本题在运用对称性解题过程中验证了统一框架下的第三条。此外从本题的计算过程可以看到,同样的积分区域可能有多种对称形式,选择恰当的对称形式有利于简化计算。

其中,S1是前半球面,Dyz是前半球面在坐标平面yoz上投影。

注:第二类曲面积分带方向,本题依次验证了统一框架下的三条,将计算简化至前半球面。

结束语

恰当应用对称性可以简化一些特定积分的计算过程。然而,因为积分类型和对称形式的多样性,这块内容通常不易被掌握和精通。针对这一问题,本文提出了积分计算中应用对称性的统一框架,有助于系统的学习和掌握这块内容。

参考文献

[1]曹斌,孙艳.对称性在积分计算中的应用[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2012,8(3):125-128.

椭圆的对称性在解题中的应用 第9篇

例1已知直线y=3x+2被椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（填上直线的代号）

①y=3x-2；②y=3x+1；③y=-3x-2；④y=-3x+2；⑤y=-3x.

分析用弦长公式解决这个问题费时费力，完全没有认清问题的本质.作出椭圆和有关直线（图略），由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而①③④中的直线与直线y=3x+2或关于坐标轴对称，或关于原点对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，又从图中看出，②⑤中的直线被椭圆截得的弦长都大于8，故应选①③④.2利用椭圆的对称性求最值

数学思想方法在数学教学中的应用 第10篇

数学思想方法在数学教学中的应用

姓名：高

媛 单位：四群中学

数学思想方法在数学教学中的应用

数学做为一门基础性学科，在日常生活和各个领域都有着较为广泛地应用。而数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它贯穿于我们的整个数学教学过程中。在教学工作中数学思想方法不仅是对课本知识简单传授，更要注重对学生数学思想方法的渗透和培养，把数学思想方法和数学知识、技能综合起来，不断提高学生的思维能力、解题能力，从而解决生活中的实际问题。下面就几种常用的数学思维方法及其在数学教学中的应用，谈一些看法和体会。

一、符号与变元思想方法

用符号化语言和在其中引进变元，它能够使数学研究的对象更加准确、具体、形象简明，更易于揭示对象的本质。一套形式化的数学语言极大地简化加速思维过程，例如：将文字化的数学题用代数式表示，就会是题又繁琐变得一目了然；有如：平方差公式公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2就是采用符号化语方来表述，当a、b代的任意数、单项式、多项式等代数式都成立，这样的字母表示“变元”，初中教材中的公式、法则、运算律等绝大多数都是用含有变元及符号组合，来表示某一般规律和规则的，这种用符号表达的过程，反映了思维的概括性和简洁

二、数形结合思想方法

“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。又如如用线段图解应用题的思想，有关解直角三角形的知识的题型，数形结合可使思维更快。

三、化归思想方法

在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。在我们的教学和学习中也经常用到化归思想，如把有理数的减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算，最后转化为算术数的运算；把一元一次方程转化为最简方程；把异分母转化为同分母；将多元方程转化为一元方程；将高次方程化为低次方程；将分式方程化为整式方程；将无理方程化为有理方程；把求 负数立方根问题转化为求正数立方根的问题；把多边形转化为三角形或特殊四边形等等。例如一元二次的根与系数关系的应用就是化未知为已知的转化思想的应用。

四、.分类讨论思想方法

当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。数学分类须满足两点要求：①相称性，即保证分类对象既不重复又不遗漏。②同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。（注意同一数学对象，也可有不同的分类标准）在教材中有许多处体现分类思想方法如在概念的形成中有：有理数的概念、绝对值的概念等；在几何证明中有：已知同园中两条平行弦，求两线之间的距离；圆周角定理的证明、弦切角定理的证明等；在运算的法则中有：一元一次不等式（组）的解法、一元二次方程根的判别等，在图形（像）的性质中有：点、直线、圆之间的位置关系、函数图像的性质等，这些命题都要分类。可见，分类思想在初中数学中占有重要的地位。分类思想对培养学生思维的条理性、缜密性及提高学生分面、周密地分析问题和解决问题能力都有着重要的作用。

五、函数与方程思想方法

方程思想是指运用适当的数学语言，从数学问题的数量关系出发，将此问题中的条件转化为各种数学模型（可以是方程，可以式不等式，或者是方程和不等式的混合），然后运用方程或不等式的解答方式求解。而函数思想是指构造函数的性质去处理问题，整理出函数解析式和利用函数的特点解决。同时，函数的研究不能离开方程，函数和方程可以使问题变得简洁、清晰，可以化繁为简，变难为易。例如对于函数y=f(x)(其中f(x)为x的一元一次或一元二次式)，当y=0时，就转变为方程f(x=0)，也可以把函数式f(x)看做二元方程y-f(x)=0。利用函数方法解答方程，运用方程公式解答函数，方程与函数的思想在数学解题中有着广泛的应用。

六、整体变换思想方法

数学工具在小学数学教学中的应用 第11篇

一、价值结合一节课堂教学实例，分析数学工具在小学数学教学中的价值及使用策略.1、直观形象

数学工具可以把抽象的数学知识、概念直观形象的展现在学生面前，使学生初步建立对某一数学知识印象，促进学生对某一数学知识的理解和掌握。

2、帮助和激励学生进行思考

数学是一门处处需要进行思考，散发着智慧火花的学科。而数学工具在教学过程中其着桥梁的重要作用，帮助学生从形象思维到抽象思维的过渡，特别是小学生对很多数学知识还是一片空白，没有数学工具帮助学生，他们将无处下手，无从思考。而数学工具的分步演示，再加上教师的引导，让学生对某一数学知识从无到有，逐步形成和建立。学习数学知识的过程也分步有序的进行，思维过程也由开始的迷茫、复杂变的简单、清晰。从而达到激发学生的学习兴趣，帮助和激励学生进行思考的目的。

二、使用策略（例：六年级数学圆的面积）

1、复习回顾

（1）复习的内容长方形的面积计算，平行四边形的面积计算公式的推导。其中把平行四边行分割、再添补、最后变形成为一个长方形。

（2）复习目的是为了让学生熟悉长方形的计算方法，应用知识的迁移把学习习近平行四边面积的方法再用到圆的面积中来。

2、数学工具：一个把圆分割变形成为长方形的教具。

3、教师应用数学工具分步演示变形过程。

4、学生观察思考

（1）变形得到的长方形的长=圆的什么？

（2）变形得到的长方形的宽=圆的什么？

5、学生发现总结

（1）变形得到的长方形的长=圆的周长的一半=πr。

（2）变形得到的长方形的宽=圆的半径=r。

（3）因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r=πr2。

浅析数学建模在高等数学中的应用 第12篇

浅析数学建模在高等数学中的应用

介绍了数学建模的概念、思想内涵,重点介绍了教学建模在高等数学中的应用,从而有利于学生更好的理解和学习数学知识.

作 者：姚轲 作者单位：河南工程学院,河南,郑州,451191刊 名：黑龙江科技信息英文刊名：HEILONGJIANG SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：“”(7)分类号：G64关键词：数学建模 高等数学 应用

对称性在重积分计算中的应用 第13篇

对称性意味着在某种变换下的不变性或组元的构形在其自同构变换群下所具有的不变性。事实上, 数学中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。一方面, 对称性在数学上的表现是普遍的, 如几何图形中的轴对称、中心对称、镜像对称、正弦曲线等无不呈现出对称性;另一方面, 数学思想与方法是解决问题的灵魂。

在复杂的微积分计算和证明过程中, 特别是涉及三元及三元以上的多元微积分问题, 用常规的方法解决十分困难。若能注意并充分利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性以及积分变量的轮换对称性探求多元函数微积分的简化途径, 利用其结果计算, 可以简化计算过程, 提高解题效率。对于有些原本并不具有对称性的问题, 我们要善于根据问题的特点构造对称性, 从而达到简化问题的目的。本文将把重点放在研究对称性在重积分的应用, 归纳总结出利用平面区域的对称性来简化积分计算的相关结论。

2 重积分有关对称性的性质

2.1性质

2.1.1二重积分性质

2.1.2三重积分性质

积分区域Ω上的三重积分有类似于二重积分的性质

性质5若Ω关于坐标面x=0对称, 则有

2.2 计算示例

3 结论

用对称性解题的同时我们要注意另一个问题, 防止滥用对称性。应用对称性计算积分时应注意必须兼顾被积函数和积分区域两个方面, 只有当两个方面都具有某种对称性时才能利用。如果只有积分区域具有某种对称性, 这时需根据具体情况, 我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性, 再考虑利用相关性质。

参考文献

[1]孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用[J].阜师范大学学报, 2008, 29:9-10.

[2]张仁华.二重积分计算中的若干技巧[J].湖南冶金职业技术学院学报, 2012, 8 (2) :102-104.

[3]郑兆顺.谈二重积分的计算[J].河南教育学院学报, 2007, 16 (2) :69-70.

[4]凌明伟.对称法求积分高等数学研究[J].2010, 6 (1) :35-38.

[5]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2009:220-229.

对称性在曲面积分计算中的应用 第14篇

关键词 曲面积分 轮换对称性 奇对称 偶对称

中图分类号：GO172.2 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.05.022

Abstract This paper introduces several common methods of how to sue symmetry to simplify the calculation of integral process in Surface Integral， these applications are illustrated by typical examples.

Key words surface integral； rotation symmetry； odd symmetry； even symmetry

在计算曲面积分的运算过程中，通常是将曲面积分转化为重积分，再利用坐标变换来进行，有时候这一过程会很复杂。如果运用对称性，则可简化曲面积分的计算，本文将通过举例进行比较来说明对称性在曲面积分运算中的优势。

1第一类曲面积分中的对称性应用

定理1：设 （）在分片光滑的曲面上连续，若关于面对称，则

其中为在平面上方的部分；若关于平面（或平面）对称， （）关于（或）为奇函数或偶函数也有类似结论。

定理2：若积分曲面关于具有轮换对称性，则

（） = （） = （）

= [ （） + （） + （）]

定理3：设有光滑曲面： = （），（）。 （）为上的连续函数，则 （） = （（）） 。

例1：计算（ + + ），其中为球面 + + = 被平面 = （0<<）所截的顶部。

解：方法一（利用定理1）：

已知曲面方程为 = ，且曲面关于平面和平面对称，则： = = 0

定义域为圆域 = {（）∣ + ≤}，由 = ，则：（ + + ） = = · = （）

方法二（利用定理3）：

曲面的方程为 = ，定义域为圆域{（）∣ + ≤}，又由 = ，则：

（ + + ） = （ + + ）

再利用极坐标变换，，且在极坐标变换下，平面上有界闭域与平面上区域€HU对应，则：

例2：计算曲面积分，其中是球面 + + = 。

解：方法一（利用定理2）：

积分曲面关于具有轮换性，所以： = = ，从而 = （ + + ） = = ·4 =

方法二（利用定理3）：

= （），定义域为圆域： + ≤，又由于 = ，关于平面对称，则：

= 2（）

= 2· =

= · =

2第二类曲面积分中的对称性应用

利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号。现以曲面积分（ + + ）为例来讨论。当曲面指定侧上动点的法线与轴正向成锐角（钝角）时，面积元素在面上的投影为正（负）。一般地，有如下定理：

定理4：设分片光滑的有向曲面关于平面对称，在平面上方部分记为（方程为 = （），（）），下方部分记为，又设 （）在上连续，则：

若关于平面（或平面）对称， （）关于（或）为奇函数或偶函数有类似的结论。

定理5：若积分曲面关于具有轮换对称性，则：

（） = （） = （）

= [ （）+ （）+ （）]

定理6：设是定义在光滑曲面： = （），（）上的连续函数，则的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有： （） = （（））

定理7：设、、是定义在光滑曲面： = （），（），上的连续函数，以的上侧为正侧，

（） + （） +（）

= [（（））（）+ （（））（）+ （（））]

例3：计算曲面积分，其中是球面 + + = 1在≥0，≥0部分并取球面外侧。

解：方法一（利用定理4）：

曲面在第一、五卦限部分的方程分别为

： = ，： = 。

因为曲面关于平面对称，定义域为{（）∣ + ≤1， ≥0， ≥0}，由定理4，则：

= 2 = 2

= 2 =

方法二（利用定理6）：

曲面在第一、五卦限部分的方程分别为

： = ，： =

它们在平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分，即{（）∣ + ≤1， ≥0， ≥0}，依题意，积分是沿的上侧和的下侧进行，所以：

= +

= （）

= 2

= 2 =

例4：计算曲面积分 + + ，其中是球面 + + = ，并取外侧为正向。

解：方法一（利用定理5）：

球面 + + = 关于具有轮换对称性，所以：

= =

计算应分别考虑前半球面及后半球面上的曲面积分，的方程为 = ，它在平面上的投影域为为圆域{（）∣ + ≤}，用表示前半球面的外侧，的方程为 = ，它在平面上的投影域为为圆域{（）∣ + ≤}，用表示后半球面的外侧，则由第二型曲面积分的性质，则有：

= + = = 0

则： + + = 3 = 0

方法二（利用定理7）：

由题意可知： + + = （（） + （） + ） = （ + + ）。

再利用极坐标变换，

且在极坐标变换下，平面上有界闭域与平面上区域€HU对应，则：

而： + + = （（） + （） + ） =

所以： + + = + + + + + = 0

参考文献

[1] 陈文灯，袁一圃，俞元洪.高等数学复习指导[M].北京：北京理工大学出版社，1992.

[2] 吉林大学数学系.数学分析（第一版）[M].北京：人民教育出版社，1979.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010：293-304.