等差、等比数列的判断和证明

等差、等比数列的判断和证明（精选6篇）

等差、等比数列的判断和证明 第1篇

专题：等差（等比）数列的证明

1.已知数列{a}中，anan15且2an12n1（n2且nN*）.an1（Ⅰ）证明：数列2n为等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n

项和S.n

2.已知数列{a}中，an12且an1an2n30（n2且nN*）.证明：数列an2n为等差数列；

3.已知数列{a}中，an14且2an1an2n50（n2且nN*）.证明：数列an2n1为等比数列；

4．数列{an}满足a12,a25,an23an12an.（1）求证：数列{an1an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；

5.已知各项均为正数的数列an前n项和为

1a且n是和S2Sn，首项为a1，n的等差中项.求数列a的通项公式； n

6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列； 7.设数列an的各项都是正数，且对任意

nN*，都有

aaaaS

为数列的前n项和.3132333n2n，其中S

n

（I）求证：

a2Snan;

n

（II）求数列an的通项公式；

8.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；（2）.证明数列{n－2}

是等差数列

(3)设cn＝

9.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足 2Sn＝an＋1.求证：{an}是等差数列．

10.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a{cn}是等比数列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求证：数列{an}为等差数列,并求{an}的通项公式；

(2)求数列{的前n项和Tn，an·an+1

11.设Sn是数列{an}（nN*）的前n项和，已知a14，an1Sn3n，设bnSn3n.（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn

12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1，an＋2SnSn1＝0(n2)． 问：数列{1是否为等差数列？并证明你的结论；

Sn

2log2bn

n

2，求数列{cn}的前n项和Tn.bn

13.已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x214x450的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=

an·bn。求数列{an}，{bn}的通项公式；

1bn

(n∈N*),Cn=

14.已知数列{an}与{bn}满足

n1

3＋－1

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列

15.已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y－x＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其

中Tn是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列；

等差、等比数列的判断和证明 第2篇

高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？

证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法

10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：

an1and(常数)an是等差数列

a2n2a2nd(常数)a2n是等差数列

a3n3a3nd(常数)a3n是等差数列

20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：

anan1d(n2)an是等差数列

an1ananan1(n2)an是等差数列

30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

an1q(q0且为常数，a10)an为等比数列 an

40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

anq（n>2，q为常数且≠0）an为等比数列 an

1注意事项：用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别，前者必须加上“n≥2”，否则n1时a0无意义，等比中一样有：n≥2时，有（常数0）；②nN时，有an1． q（常数0）ananqan1

例1.设数列a1,a2,,an,中的每一项都不为0。

证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有

111n。a1a2a2a3anan1a1an1

证明：先证必要性

设{an}为等差数列，公差为d，则

当d=0时，显然命题成立 当d≠0时，∵

1111

 anan1danan1

∴

再证充分性：

∵

1n111

„„„① 

anan1a1an1a1a2a2a3a3a

411n1111

„„„② 

anan1an1an2a1an2a1a2a2a3a3a4

∴

②﹣①得：

1n1n 

an1an2a1an2a1an1

两边

anan1a1得：a1(n1)an1nan2 „„„③

同理：a1nan(n1)an1„„„④ ③—④得：2nan1n(anan2)

即：an2an1an1anan为等差数列

例2.设数列{an}的前n项和为Sn，试证{an}为等差数列的充要条件是

Sn

n(a1an),(nN*)。

2证：）若{an}为等差数列，则

a1ana2an1a3an2……，故

2Sn(a1an)(a2an2).......(ana1)

Sn(a1an)

n

（）当n≥2时，由题设，Sn1)(a1an1)n(a1an1



(2,Sn)

n2

所以a(a1a2)(n1)(a1an1)nSnSn1

n22

同理有a1)(a1an1)n(a1ann1

(n2)

从而a(n1)(a1an1)(n1)(a1an1an

2n(aan1)

1n)2

整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.例3.已知数列an是等比数列（q1），Sn是其前n项的和，Sk，S2kSk，S3kS2k，„，仍成等比数列。

证明一：

（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，Sa11qk1q2ka11q3kk

1q,S2k

a11q,S3k

1q

Sq2ka11qka1qk1qk2kSk

a111q



1q



1q 3kSa11q11q2ka1q2k1qk3kS2k

1q



a1q



1q

2kk2

S2

1q21qSa11qka1q2k1qka22k1q12kSk

a(1q)2

k(S3kS2k)1q1q

qk

(1q)2

∴S2

2kSk

=Sk(S3kS2k)

∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.则

证明二：S2k－Sk=(a1a2a3a2k)－(a1a2a3ak)=ak1ak2ak3a2k=qk(a1a2a3ak)=qkSk0 同理，S3k－S2k=a2k1a2k2a2k3a3k= q2kSk0 ∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。

二、中项法

(1).(充要条件)

若2an1anan2an是等差数列

(注：三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2bac)(充分条件)2an

an1an1(n2){an}是等差数列，（2）.(充要条件)

若 anan2an12(an0){an}是等比数列(充分条件)

2anan1an1（n≥1）

{an}是等比数列，注:

b(ac0)是a、b、c等比数列的充分不必要条件

b是a、b、c等比数列的必要不充分条件

.b(ac0)是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n项和法

1.通项公式法

（1）.若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列。(充要条件)

(2).若通项an能表示成ancqn(c，q均为不为0的常数，nN)的形式，则数列an是等比数列．(充要条件)

2.前n项和法

(1).若数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn(a，b为常数)的形式，则数列an是等差数列；(充要条件)

(2).若Sn能表示成SnAqnA(A，q均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列an是公比不为1的等比数列．(充要条件)

四、归纳—猜想---数学归纳证明法

先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。

这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“nk时命题成立”到“nk1时命题成立”要会过渡．

五、反证法

解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．

六、等差数列与等比数列的一些常规结论

若数列{an}是公比为q的等比数列，则

（1）数列{an}{an}（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；（2）若{bn}是公比为q的等比数列，则数列{anbn}是公比为qq的等比数列；（3）数列

11

是公比为的等比数列；

qan

（4）{an}是公比为q的等比数列；

（5）在数列{an}中，每隔k(kN)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍

为等比数列且公比为qk1；

（6）若m，n，p(m，n，pN)成等差数列时，am，an，ap成等比数列；（7）Sn，S2nSn，S3nS2n均不为零时，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列；（8）若{logban}是一个等差数列，则正项数列{an}是一个等比数列．

若数列{an}是公差为d等差数列，则

（1）{kanb}成等差数列，公差为kd（其中k0，k，b是实常数）；（2）{S(n1)kSkn}，（kN，k为常数），仍成等差数列，其公差为k2d；（3）若{an}{，bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，则{anbn}是等差数列，公差为d1d2；

（4）当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列；

等差、等比数列的判断和证明 第3篇

求证:(1)这个数列是等比数列;

(2)这个数列中任意一项是它后面第5项的1/10;

(3)这个数列中任意两项之积仍然在这个数列中.

教完这个例题后,很容易提出下面的问题,是否任意一个等比数列都具有性质:数列中的任二项之积仍是这个数列中的项?

经过思考,大多数学生都能举出反例.如在等比数列{an}中,a1=3,q=2,或a1=2,q=-1/2,等.这就说明不是任意一个等比数列都具有这一性质.

那么,怎样的等比数列才具有所述性质呢?

注意到开头所提列题中a1=1,经过思考,有的学生提出命题:“若等比数列{an}中,a1=1而公比q为任意非零实数,则{an}中任二项之积仍是这个数列中的项.”并很容易地给出了证明.

至此,问题并未彻底解决“.a1=1,q为非零实数”仅是等比数列{an}具有性质“数列中任二项之积仍是这个数列中的项”的充分条件,而非必要条件.如在等比数列{an}中,取a1=8,q=2,则此数列也具有上述性质.

笔者经过研究,提出一个等比数列具有上述性质的充要条件.

命题1:一个公比为q的等比数列{an}中任二项之积仍是这个数列中的项的充要条件是:存在非负整数m,使得a1=qm.

证完命题1后,考虑到等差数列与等比数列在结构上的某种类似,容易猜想出关于等差数列的性质。

命题2一个公差为d的等差数列{an}中,任二项之和仍是这个数列中的项的充要条件是:存在非负整数m,使得a1=md

浅析等差数列的两个前 项和公式 第4篇

关键词：等差数列； 前 项和公式； 思想

许多国内外有名的数学教育家都指出：“无论从历史的发生还是系统的角度看， 数的序列都是数学的基石. 可以说，没有数的序列就没有数学”. 所以， 数列在数学中有着极其重要的地位， 我们更需要进一步的了解数学. 高中的新课标也指出， “研究数列问题的文化背景， 可以增强学生对数学学科与人类社会发展之间的相互作用的认识， 让学生体会到数学的科学价值、应用价值、文化价值开阔学生的视野， 从而提高学生的文化素养， 同时也能够激发学生的创新意识”.

如何使用这两个公式解决问题呢？下面我们通过举例来探析.

一、具有函数方程思想的公式一

在高中数学新课程标准指出， 数学教材内容的编写是按照“螺旋上升”式原则编制的， 因此， 人教版新课标数学必修5 第二章《数列》的安排并不是突然的. 由于在数列的概念和表示方法中提到“按照一定顺序排列的一组数称为数列”， 我们可知在小学和初中的时候学生都已经接触过类似题目， 但在此之前学生没有系统的学习这一类的知识， 所以对它感觉比较陌生. 高中数学的必修5第二章中数列以单独的形式体现出来可以看到它的重要性， 还在选修的4-3中再次出现， 更加说明他在中学教材的地位 .

（一）方程思想

在数学思想方法方面， 数列这部分内容中涉及到了函数与方程、等价转化、分类讨论、递推、归纳类比、整体代入、猜想、数学建模等重要的数学思想方法. 故我们可运用方程思想， 将题目条件用前 项和公式表为关于首项 和公差 的二元方程组来解决问题.

总结：

在新课标的教材中，虽然只是简单的介绍了数列的基本概念和通项以及前 项和，但在数学题目中它常结合实际问题，还与函数、不等式、解析几何、导数等的灵活结合，使它在高考中的地位在不断的上升. 因此， 求数列的通项公式与求和将成为高考对数列知识主要的考点.

对于新课标下的数列教学，我们不仅要满足最基本的课本知识传输，更要让学生对这些知识产生兴趣，而不是机械般的接受教师强制给予，更要变成学生主动去获数列的知识， 并且培养学生独立思考的能力和研究精神，这样有助于学生更好的学习 .

参考文献

[1]中学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书数学必修5[M]. 北京： 人民教育出版， 2015.

[2]任志鸿. 十年高考分类解析与应试策略[M]. 北京： 知识出版社， 2016.

[3]陈刚， 尹光霞. 新高考要求下数列教学之我见[J]. 考试， 2009： 7-8.

等差、等比数列证明的几种情况 第5篇

在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d，则这个数列叫等差数列，常数d称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q，则这个数列叫等比数列，常数q称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。

1、简单的证明

例 ：已知数列前n项和snn22n，求通项公式an，并说明这个

数列是否为等差数列。

解：n1时，a1s1123；

n2时，ansnsn1n22nn122n1

2n

1因为n1时，a1211

3所以an2n1

因为n2时，anan12为常数，所以an为等差数列。

2、数列的通项经过适当的变形后的证明

例： 设数列an的前n项的和为Sn，且a11,Sn14an2,nN*。

（1）设bnan12an，求证：数列bn是等比数列；

（2）设cnan，求证：数列cn是等差数列； 2n

证明：（1）n2时

an1Sn1Sn4an4an1，an12an2an2an1，bn2bn

1又b1a22a1S23a1a12

3bn是首项为3，公比为2的等比数列。

（2）bn32n1,an12an32n1,cn1cnan1an113n1a2a32, n1n42n12n2n12n1

又c1a11，2

213cn是首项为，公差为的等差数列。243、证明一个数列的部分是等差（等比）数列

例3：设数列an的前n项的和Snn22n4,nN，⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3；

⑵证明：数列an除去首项后所成的数列a2,a3,a4是等差数列。

S1(n1)解：⑴由sn与an的关系an得到 SS(n2)n1n

a1S1122147

a2S2S1222247

5a3S3S232234757

⑵当n2时，anSnSn1n22n4n12n142n1 2

an1an2n112n12,对于任意n2都成立，从而数列a2,a3,a4是等差数列。

注：由于a2a12，故an1an2不对任意nN成立，因此，数列an不是等差数列。

4、跟椐定义需要另外加以补充的等差（等比）数列的证明。例4：设数列an的首项a11，前n项和sn满足关系3tsn2t3sn13t，求证an为等比数列。

（错证）由题意：3tsn2t3sn13t

3tsn12t3sn23t

两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20

即：3tan2t3an10

所以：an2t3为定值，所以an为等比数列。an13t

由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了n的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。

正确的证明如下：n3时：

3tsn2t3sn13t

3tsn12t3sn23t

两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20

即：3tan2t3an10 所以：an2t3 an13t

（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要

对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）

又因为n2时：

3ts22t3s13t

即3ta1a22t3a13t

又因为a11，所以3t3ta2(2t3)3t

所以a2

所以2t3 3ta22t3 a13t

an2t3为定值，所以an为等比数列。an13t所以对任意n2都有

总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标n的取值范围，不管是anan1aan还是an1an2;n1

an2an1

等差数列证明[推荐] 第6篇

解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n－1）d（n∈N*）①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.②假设当n=k（k∈N，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d 由题设，有Sk

k(a1ak)(k1)(a1ak1),Sk1，22

(k1)(a1ak1)k(a1ak)

+ak+1

又Sk+1=Sk+ak+1，所以

将ak=a1+（k－1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1时等式成立.由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：当n≥2时，由题设，Sn1

(n1)(a1an1)n(a1an),Sn

所以anSnSn1

n(a1a2)(n1)(a1an1)

 22

(n1)(a1an1)n(a1an)

同理有an1

从而an1an

(n1)(a1an1)(n1)(a1an1)

n(a1an)