专题 函数解答题（理科）（解析版）- 十年（-）高考数学真题分项汇编（全国通用）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数解答题目录题型一：函数概念及其性质............................................1题型二：函数的零点问题..............................................9题型三：函数的应用.................................................14题型一：函数概念及其性质1．(2020 江苏高考·第 19 题)已知关于的函数与在区间上恒有．(1)若，求的表达式；(2)若，求的取值范围；(3)若求证：．【答案】(1)；(2)；(3)证明详见解析【解析】(1)由题设有对任意的恒成立．令，则，所以．因此即对任意的恒成立，所以，因此．故．(2)令，．又．若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意．当时，，符合题意．当时， 在上递减，在上递增，则，即，符合题意．综上所述，．由当，即时，在为增函数，因为，故存在，使，不符合题意．当，即时，，符合题意．当，即时，则需，解得．综上所述，的取值范围是．(3)因为对任意恒成立，对任意恒成立，等价于对任意恒成立．故对任意恒成立.令，当，，此时，当，，但对任意的恒成立． 等价于对任意的恒成立．的两根为，则，所以．令，则．构造函数，，所以时，，递减，．所以，即．2．(2014 高考数学上海理科·第 20 题)设常数，函数．(1)若，求函数的反函数；(2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．【答案】解析：(1)因为，所以，……3 分得或，且．因此，所求反函数为，或．……6 分(2)当时，，定义域为 R，故函数是偶函数；……8 分当时，，定义域为，，故函数是奇函数；……11 分当且时，定义域关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数．……14 分3．(2014 高考数学广东理科·第 21 题)设函数，其中，(1)求函数的定义域；(用区间表示)(2)讨论在上的单调性；(3)若，求上满足条件的的集合(用区间表示)．【答案】解：(1)依题意有故均有两根记为 注 意 到， 故 不 等 式的 解 集 为 ，即(2)令则令，注意到，故方程有两个不相等的实数根记为，且注意到结合图像可知在区间上，单调递增在区间上，单调递减故在区间上单调递减，在区间上单调递增．(3)在区间上，令，即，即方程的判别式，故此方程有 4 个不相等的实数根，记为注意到，故，，故，故故结合和函数的图像可得的解集为 附：的大致图像为x3x5x1-1x2x6x4的大致图像为x10x3x1x8x9x2x4x114．(2015 高考数学浙江理科·第 18 题)(本题满分 15 分)已知函数，记是在区间上的最大值．(1)证明：当时，；(2)当，满足，求的最大值．【答案】(1)详见解析；(2)．解析：(1)分析题意可知在上单调，从而可知，分类讨论的取值范围即可求解．；(2)分析题意可知，再由可得，，即可得证．解析：(1)由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，∴，当时，由，得，即，当时，由，得，即，综上，当时，；(2)由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为．．5．(2015 高考数学上海理科·第 23 题) 对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为，设单调递增，，； (1)验证是以为余弦周期的余弦周期函数；(2)设，证明对任意，存在，使得；(3)证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；解析：(1)证明：，所以是以为余弦周期的余弦周期函数；(2)当或者时，由于单调递增，所以存在或使得成立；当，构造函数，则，，从而，所以存在，使得，即存在，使得成立，证毕．(3)先证必要性为方程在上的解，即，由可得，由于函数是 以为 余 弦 周 期 的 余 弦 周 期 函 数 ， 所 以， 即为 方 程在上的解；再证充分性为方程在上的解，即，由可得，由于函数是以为余弦周期的余弦周期函数，所以，即为方程在上的解；下证：对任意都有．由于函数是以为余弦周期的余弦周期函数，所以，即有，所以，即或所以或①若，由，，可得．所以，这与函数为增函数矛盾，舍去；②若，由，，可得，所以，即．由此，对任意都有．6．(...