2020年高考数学试卷（天津）（解析卷）

绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．参考公式：如果事件与事件互斥，那么．如果事件与事件相互独立，那么．球的表面积公式，其中表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数的图象大致为（ ）A. B. 第 1 页 | 共 26 页 C. D. 4.从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位：），将所得数据分为 9 组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 6.设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 7.设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为 ．若的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 第 2 页 | 共 26 页 8.已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9.已知函数若函数恰有 4 个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共 11 小题，共 105 分．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给3 分，全部答对的给 5 分．10. 是虚数单位，复数_________．11.在的展开式中，的系数是_________．12.已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．第 3 页 | 共 26 页 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知，且，则的最小值为_________．15.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．17.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．第 4 页 | 共 26 页 （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．18.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．19.已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；第 5 页 | 共 26 页 （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．20.已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至...