函数的零点问题

函数的零点问题（精选12篇）

函数的零点问题 第1篇

一、要点解读

1. 函数的零点概念

对于函数f (x) , 我们把使f (x) =0的实数x叫做函数f (x) 的零点.注意零点是一个实数, 是y=f (x) 与x轴交点的横坐标, 而不是一个点.

2. 函数的零点与方程根的关系

函数F (x) =f (x) -g (x) 的零点就是方程f (x) =g (x) 的根, 即函数y=f (x) 的图象与函数y=g (x) 的图象交点的横坐标.

3. 零点存在性定理

如果函数y=f (x) 在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线, 且有f (a) f (b) <0, 那么, 函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内有零点, 即存在c∈ (a, b) 使得f (c) =0, 这个c也就是方程f (x) =0的根.

4. 函数零点的判定

(1) 若f (a) f (b) <0, 函数f (x) 在[a, b]上连续且单调, 则函数y=f (x) 在 (a, b) 内只有一个零点;

(2) 若f (a) f (b) >0, 函数f (x) 在[a, b]上连续且单调, 则函数y=f (x) 在 (a, b) 内一定没有零点;

(3) 若f (a) f (b) >0, 函数f (x) 在[a, b]上不单调, 则零点情况不确定;

(4) 若f (a) f (b) =0, 则a或b是零点;

(5) 若知y=f (x) 在 (a, b) 内有零点, 但f (a) f (b) 符号不定.

函数的零点问题是一个极其灵活与知识面覆盖较为广泛的问题, 其中一些常用的方法值得掌握.

二、函数零点的求解及零点所在的范围

函数f (x) 的零点对应着方程f (x) =0的根, 方程的问题可以利用它对应的函数的性质来解决, 而函数的许多问题则需要利用方程来解决, 函数思想是从变量出发研究整体的性质, 而方方程程思思想想则则是是从未知数的角度出发, 研究函数在某于状态下的性质, 函数问题和方程问题可以相互转化.

例1若函数f (x) =ax-b (b≠0) 有一个零点3, 那么函数g (x) =bx2+3ax的零点是 () .

(A) 0 (B) -1

(C) 0, -1 (D) 0, 1

解析:由于f (x) =ax-b (b≠0) 有一个零点为3,

所以3a-b=0, 即3a=b.

令g (x) =0得bx2+3ax=0, 即bx2+bx=0, bx (x+1) =0,

所以x=0或x=-1,

所以g (x) 的零点为0或-1.

【评注】把求解函数零点问题转化为方程的实数解问题, 求方程的实数解.

例2设函数f (x) =4sin (2x+1) -x, 则在下列区间中函数f (x) 不存在零点的是 () .

(A) [-4, -2]

(B) [-2, 0]

(C) [0, 2]

(D) [2, 4]

解析:由数形结合的思想, 画出函数f (x) =4sin (2x+1) 与y=x的图象, 观察可知答案选A.

通过数形结合思想的渗透, 培养学生主动应用数学思想的意识.

例3设函数y=x3与y=x-2的图象的交点为 (x0, y0) , 则x0所在的区间是 () .

(A) (0, 1) (B) (1, 2)

(C) (2, 3) (D) (3, 4)

解析:设f (x) =x3-x-2, 则f (1) =-1, f (2) =7,

所以f (1) f (2) <0, 所以x0∈ (1, 2) , 故B.

【说明】函数的零点是函数的一个重要知识点.本题考查了函数零点的概念、零点存在的判定方法, 并通过化归与转化思想的引导, 培养学生从已有认知结构出发, 寻求解决问题方法的习惯.

三、函数零点个数的判断

一些方程的根的个数问题, 也即函数f (x) 的零点的个数问题, 可直接转化为两个基本初等函数的图象的交点的个数, 这些我们经常可以用数形结合的思想方法求解.

(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 3

解析:当x0时,

由f (x) =x2-2x-3=0, 得x1=1 (舍去) , x2=-3;

当x>0时,

由f (x) =-2+ln x=0, 得x=e2,

所以函数f (x) 的零点个数为2, 故选C.

例5已知f (x) 是定义域为R的奇函数, 且在 (0, +∞) 内的零点有1 005个, 则f (x) 的零点的个数为 () .

(A) 1 006 (B) 2010

(C) 2 011 (D) 2 012

解析:因为f (x) 是奇函数, 则f (0) =0, 且在 (0, +∞) 内的零点有1 005个, 所以f (x) 在 (-∞, 0) 内的零点有1 005个.

因此f (x) 的零点共有1 005+1 005+1=2 011个.故选C.

例6函数f (x) =x3-x2+6x-a, 有且只有一个零点, 求实数a的取值范围.

解析:由已知可得f′ (x) =3 (x-1) (x-2) ,

当x<1或x>2时, f′ (x) >0;

当10;

故当x=1时, f (x) 取到极大值, 且

当x=2时, f (x) 取到极小值, 且f (2) =2-a.

由f (2) >0或f (1) <0时, 即a<2或时, 函数f (x) 仅有一个零点.

【说明】一般地对于一元三次函数, 如果最高次系数为正, 则当极大值大于零且极小值小于零时有三个零点;当极大值小于零, 或极小值大于零时有一个零点;当极大值或极小值恰好有一个为零时, 函数有两个零点.

四、根据函数的零点求参数的范围

近些年在高考中出现的有关零点的综合问题, 想要快速准确地解决, 需要扎实的基础, 清楚的思路, 准确的方法.要特别注意, 在使用零点存在定理时, 如果区间端点值异号, 必有零点;但如果区间端点值同号, 则无法判断, 这时可借助导数研究函数的单调性和极值, 或者利用零点交点转化原理, 转化为交点问题用图象解决.

例7 (2009山东) 若函数f (x) =ax-x-a (a>0, 且a≠1) 有两个零点, 则实数a的取值范围是________.

解析:函数f (x) =ax-x-a (a>0, 且a≠1) 有两个零点, 即函数y=ax (a>0, 且a≠1) 和函数y=x+a有两个交点, 由图象可知当01时, 因为函数y=ax (a>1) 的图象过点 (0, 1) , 而直线y=x+a所过的点一定在点 (0, 1) 的上方, 所以一定有两个交点, 所以实数a的取值范围是a>1.

例8已知a是实数, 函数f (x) =2ax2+2x-3-a, 如果函数y=f (x) 在区间[-1, 1]上有零点, 求a的取值范围.

解析:若a=0, f (x) =2x-3, 显然在[-1, 1]上没有零点, 所以a≠0.

(2) 当f (-1) f (1) = (a-1) (a-5) <0, 即1

(3) 当y=f (x) 在[-1, 1]上有两个零点时, 则

综上, 所求实数a的取值范围是a≥1或

【评注】由函数y=f (x) 在某一区间上有零点, 确定参数的取值范围时, 也可采用分离变量的方法, 把问题化归为求函数的值域.如本题可转化为来求解.

函数的零点的教学反思 第2篇

函数的零点的教学反思

在课堂教学中，我发现当将常识问题类推函数图象与x轴交点存在所需条件时，学生有些茫然。反思除了学生对这种抽象方式不太习惯以外，我感到其中的过渡有问题。教学中，将小溪类比成x轴，将前后的位置类比成函数中的两个点。课后我觉得将前后的位置类比成函数中的两个点不确切，而且不能引起学生的思考，因为两者最相似之处是行程路线与函数图象，应该将行程路线类比成函数图象更佳。要清楚学生的认知状况。在课堂中，学生在分析定理其中一个条件“不连续”时，举了反比例函数的例子。我只是在黑板上比划了一下，没有画出来。主要的考虑是认为反比例函数在[a，b]上并不都有意义与定理中的条件违背，我想回避掉，然后用自己的分段函数来代替。课后，我重新反思这个细节，学生头脑中的.不连续最深刻的就是反比例函数应该将它画出来，不应该只因定理中这个细节去“较真”，然后让学生再思考是否还有其它的不连续函数，相信学生能从高中阶段的函数模型找到分段函数的不连续的图象，从而对不连续有更深刻的认识。从学生的认知实际出发，通过学习学生才能同化新的知识，形成新的知识结构。学生注意力的控制。在课堂中学生的注意力是不可能长时间的集中。如何控制和分配学生的注意力，我认为很重要。存在性定理的研究是本节课的重点。当展示这个推理的实例时，学生的注意力开始调动起来，而我得到需要的两个结果后，马上转移了学生的注意力，使得这个“趁热打铁”的机会失去。学生正出于活跃的思维之中，如果能进一步激发他们的思维，那么对定理的分析将会更深入。

也谈函数的零点问题及解法 第3篇

1 水尽疑无路

笔者根据题型一的解法求解题1（2011年山东卷理16题）：

已知函数f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1），当2<a<3<b<4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*.则n= .

解答明显是“小题大做”，且计算过程繁琐;题解过程也不显有优势.顿生疑惑：为何不能顺利解决？

2 花明又一村

探究发现，利用零点的存在性定理解决该类问题，特别是零点所存在区间的这类开放性问题时，应适当辅以数形结合思想，如此才能使区间的确定更直观自然、快捷准确.

题1可以如下分析：将问题转化为方程logax=-x+b的根所在区间问题，若令g（x）=logax，h（x）=-x+b，从而就可以转化为函数y=g（x）与y=h（x）图像交点问题.简图如图1：

图1

由图可知零点在（1，3）中，另得f（1）<0，f（2）<0，f（3）>0;故可得函数的零点x0∈（2，3），即n=2.

简评 针对这类函数零点存在的区间问题，利用数形结合思想将函数对应的方程进行恰当变形，构造出相对简单的两个常见函数.然后绘出两端的函数图像，通过这两个函数交点的情况来判断，使得复杂的零点存在区间问题简单化.

另反思文[1]中题型五根据零点求参数，采用分离变量的常规处理方法，将含参的复杂函数f（x）的零点问题，巧妙借零点与根之间的关系等价转化.

文中例5：（2011年辽宁卷文第16题）已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是 .

解题思路是：f（x）=ex-2x+a的零点可以转化为ex-2x+a=0的根的问题，从而最终等价转化为a=-ex+2x的存在性问题.

若借鉴题1的解法，函数f（x）=ex-2x+a有零点方程ex-2x+a=0有实根函数y=ex与y=2x-a图像有交点.借图2：

图2

分析可得：若直线l：y=2x-a0与y=ex相切于P（x0，y0），利用导数可求其切点P的坐标，不难求得是（ln2，2）;此时-a0=2-2ln2，得a0=-2+2ln2.

根据图2可以判断只要在y轴上的截距-a≥-a0，就可得两函数图像必然有公共点;即a≤2ln2-2为所求.

类似文[2]中二次函数在有限开区间内的零点问题，高考常有所考查;也可以利用上述的思路解答.有兴趣的读者可以研究2009年全国高等学校招生统一考试数学浙江卷理科第22题第（Ⅰ）问的具体的解题过程，在此不作赘述.

3 更上一层楼

零点问题是高考的热点问题，常出现于涉及利用函数的导数研究单调性的问题中;是每年的必考知识点.要确定区间上导函数的正负，则导函数的零点是关键.而有时导函数对应的方程是一个超越方程，高中生的知识能力水平，非常规方程的根求而不得;这种“隐零点”问题，可以单独作为一种重要的函数零点的问题类型.“隐零点”问题常规的处理方式是：一阶求导求不到，借高阶研究;或者是设而不求，适时回代.笔者选例2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学理21题（Ⅱ）问：已知函数f（x）=ex-ln（x+m），（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0.

解答如下：当m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2）.故只需证明当m=2时，f（x）>0.

当m=2时，函数f′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上单调递增;又f′（-1）<0，f′（0）>0，故f′（x）=0在（-2，+∞）有唯一实根x0∈（-1，0）.

当x∈（-2，x0）时，f′（x）<0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）>0;从而当x=x0时f（x）取得最小值.

由此得ex0=1x0+2ln（x0+2）=-x0，故f（x）≥f（x0）=1x0+2+（x0+2）-2≥0

综上可证明：当m≤2时，f（x）>0.

简评 导函数存在零点即方程存在实根，但是无法求解出;故先暂且设而不求，等到求最值时，代入替换达到预期的证明效果.

零点是函数部分的常考知识点，厘清问题类型，针对性突破，使解题有的放矢;但也不可思维定势，限制了学生数学思维的灵活性.高考注重对学生数学思维能力的综合考查，学生只有通过解题后反思、探究、总结，才能对知识点理解透彻、方法掌握灵活、解题融会贯通、智能获得提升;从而获得处理问题的数学思想，提高思维的严密性、灵活性和创造性.

参考文献

[1] 梁建.零点问题的类型及解决方法[J].中学数学（上），2014（3）：45-46.

[2] 杨华.二次函数在有限开的区间内有零点的条件[J].中学数学教学参考（上旬），2013（6）：44-45.

证明函数零点问题的研究 第4篇

证明一个函数有且仅有一个零点的问题,常出现在高等数学微分中值定理的内容之中,这类题型隐含了两层意思:一、证明零点的存在性;二、证明零点的唯一性。

因此,证明一般需要这两方面的知识,即用闭区间上连续函数的四个性质证明存在性,再由微分中值定理或函数的单调性证明零点的唯一性。

证明过程可分为以下三步:

(1)根据函数构造方程;

(2)构造满足条件的闭区间,然后利用闭区间上连续函数的介值定理或零点定理证明方程根的存在性;

(3)由微分中值定理或函数单调性证明根的唯一性。

1 例证

例题:

例1:设函数f(x)=x5+x-1在[0,+∞)内只有一个零点。

Step1:构造方程x5+x-1=0

Step2:在[0,+∞)内构造区间[0,1],函数在[0,1]区间上连续,且f(0)=-1<0,f(1)=1>0,由零点定理:函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0),那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。

可以推出,至少存在一点ξ∈(0,1),使得f(ξ)=0,即方程x5+x-1=0在(0,1)内至少有一正根。下证唯一性:

Step3:反证法

假设f(x)在(0,+∞)内有两个零点ξ1,ξ2(ξ1≠ξ2),即f(ξ1)=f(ξ2)=0,则由Rolle定理:如果函数f(x)在闭区间上连续,开区间内可导,且区间两个端点函数值相等,则在区间内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=0。

f(x)在区间(ξ1,ξ2)上满足Rolle定理,所以可推出,至少存在一点η∈(ξ1,ξ2),使得f′(η)=0,这与f′(η)=5η4+1≥0矛盾,故假设不成立,所以f(x)在(0,+∞)内只能有一个零点,也即方程x5+x-1=0有且只有一个正根,证毕。

例2:f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且0〈f(x)〈1,f′(x)≠1证明函数f(x)=x在(0,1)内有且只有一个零点。

证明:step1:构造方程g(x)=f(x)-x=0,即证方程在(0,1)内有且仅有一个实根。

Step2:g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=f(0),g(1)=f(1)-1,由条件知0〈f(x)〈1,故g(0)·g(1)=f(0)·[f(1)-1]<0,由介值定理,在(0,1)内至少有一点ξ,使得g(ξ)=f(ξ)-ξ=0,即ξ使方程f(x)=x在(0,1)内的一个实根。

Step3:假设方程f(x)=x在(0,1)内有两个实根x1,x2,所以x1,x2是函数g(x)=f(x)-x在(0,1)内的两个零点;g(x)在区间[x1,x2]上满足Rolle定理条件,所以在(x1,x2)内也即在(0,1)内至少存在一点,使得g′(x)=f′(x)-1=0

这与已知条件f′(x)≠1矛盾,所以方程f(x)-x=0在(0,1)内有且仅有一个实根,即函数f(x)=x在(0,1)内有且只有一个零点,证毕。

根的唯一性也可利用函数的单调性来判断,比如:

例3:判断函数f(x)=ex-|x+2|在(-∞,-2]内有且只有一个零点。

显然,f(x)在(-∞,-2]上连续,f(-2)=e-2>0,f(x)→-∞(x→-∞),∴f(x)在(-∞,-2)内至少存在一个零点;而当x<-2时,f′(x)=ex+1>0,由函数单调性的判别法,知f(x)在(-∞,-2]上单增,故f(x)在(-∞,-2)内只能有一个零点,证毕。

2 结论

有关证明函数有且仅有一个零点(或方程有且只有一个实根)的问题,均可通过上述几个步骤加以证明。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2004.

方程的根与函数的零点教案 第5篇

1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义;

2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系;

3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所 在区间的方法.

过程与方法

1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯;

2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识;

3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法;

4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力.

情感、态度与价值观

1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值;

2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯;

3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感.

教学重点与难点

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定.

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.

教学的方法与手段

函数的零点与函数的不动点的关系 第6篇

A. 3B. 4C. 5D. 6

解析 由1与2的平均数为32,不妨设零点x0在1,32内;由1与32的平均数为54,不妨设零点在1,54内;由1与54的平均数为98,不妨设零点在1,98内;由1与98的平均数为1716,不妨设零点在1,1716内.而1716-1<0.1,所以需要将区间(1,2)对分的次数为4,选B.

评注 通过每次把f(x)的零点所在的区间收缩一半的方法,使区间的两个端点逐步逼近f(x)的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法.

例2 对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).

(1) 当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;

(2) 若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围.

解析 (1) 根据函数不动点的定义,当a=1,b=-2时,令f(x)=x,有x2-x-3=x,得x2-2x-3=0,解得f(x)的不动点为-1和3.

(2) 令g(x)=f(x)-x,则由题设知对任意实数b,方程g(x)=0恒有两个不等的实根,

即ax2+(b+1)x+b-1-x=0,即ax2+bx+(b-1)=0恒有两个不等的实根.

所以对任意实数b,判别式Δ1=b2-4a(b-1)>0恒成立,

即b2-4ab+4a>0恒成立,

所以判别式Δ2=(-4a)2-4×4a<0,即16a2-16a<0,解得0

函数的零点问题 第7篇

一、一元二次函数零点问题

一元二次函数根的分布问题是一个传统的重点问题, 它常与一元二次函数以及一元二次不等式结合在一起综合考查, 反映考生数形结合思想与分类整合能力.

例1 (2007, 广东理) 已知a是实数, 函数f (x) =2ax2+2x-3-a.如果函数y=f (x) 在区间[-1, 1]上有零点, 求实数a的取值范围.

分析:此类问题一般是通过一元二次方程根的分布的处理, 需对a讨论.令f (x) =0, 即a (2x2-1) +2x-3=0, 当a=0时, 故a≠0.注意到x∈[-1, 1], 2x-3≠0故构造函数x∈[-1, 1], 当直线与函数g (x) 的图像有交点时, 便可使函数f (x) 有零点.

解:令f (x) =0, 即a (2x2-1) +2x-3=0,

当a=0时, 故a≠0,

构造函数

∴是极小值点也是最小值点.

即a≥1或

二、其他函数的零点或方程根的问题

对于由基本初等函数构成的函数, 解决含参问题, 也常通过分离参数, 并构造函数后, 转化成函数图像交点或求方程的根.

例2设函数

(1) 略; (2) 当a=0, b=-1时, 方程2mf (x) =x2有唯一实数解, 求正数m的取值范围.

分析: (1) 略; (2) 由a=0, b=-1, 得f (x) =mx+x, 得方程2m (mx+x) =x2, 整理得构造函数当直线与函数g (x) 的图像只有一个交点时, 可得m的值.

解: (2) 当a=0, b=-1时, f (x) =lnx+x, (x>0) ,

2mf (x) =x2即2m (lnx+x) =x2,

∵x>0, m>0,

设则只需直线与函数g (x) 的图像有且只有一个公共点.

∵易知g' (1) =0,

∴当00, g' (x) >0;当1

∴x=1是极大值点也是最大值点.

∴g (x) g (1) =1, 又m>0 (如图) ,

∴即时, 方程有唯一实数解.

三、求曲线的切线条数问题

求曲线的切线条数问题时最终还是转化为方程根的个数问题.

例3 (2010, 湖北文) 设其中a>0, 曲线y=f (x) 在点P (0, f (0) ) 处的切线方程为y=1.

(1) 确定b, c的值; (2) 若过点 (0, 2) 可作曲线y=f (x) 的三条不同切线, 求a的取值范围.

分析: (1) 略.解得c=1, b=0; (2) 由 (1) 可知由于点 (t, f (t) ) 处的切线方程为y-f (t) =f' (t) (x-t) , 过点 (0, 2) 可作曲线y=f (x) 的三条不同切线, 也即关于t的方程2-f (t) =f' (t) (0-t) 有三个不同的根, 即方程有三个不同根, 分离参数有

设问题转化为直线y=a与函数g (t) 的图像有三个交点, 利用导数绘出g (t) 的图像及求出相应极值即可解决问题.

解:由 (1) 可知

∵点 (t, f (t) ) 处的切线方程为y-f (t) =f' (t) (x-t) ,

∴切线过点 (0, 2) 时有2-f (t) =f' (t) (0-t) ,

化简有4t3-3at2+6=0,

显然t≠0, 分离参数有

∴t<0时, g' (t) >0;时, g' (t) <0;时, g' (t) >0,

∴函数g (t) 在 (-∞, 0) 上递增, 在上递减, 在上递增 (如图) ,

函数g (t) 的一个极值为

∴当时, 直线y=a与曲线g (t) 有三个不同的交点.

故a的取值范围为

函数的零点和方程 第8篇

设f ( x) = ex+ x - 4, 则函数f ( x) 的零点位于区间

A. ( - 1, 0) B. ( 0, 1) C. ( 1, 2) D. ( 2, 3)

解f ( x) = ex+ x - 4在实数集上是增函数

f (- 1) = e- 1- 5 < 0, f ( 0) = - 3 < 0 f ( 1) = e - 3 < 0, f ( 2) = e2- 2 > 0.

则 f ( 1) f ( 2) < 0.

所以选C.

2. 利用解方程判断

若函数f ( x) = log 2 ( a -2x) + x -2存在零点, 则a的取值范围?

解若f ( x) 存在零点, 则方程log 2 ( a - 2x) = 2 - x有根,

即22 - x= a - 2x有根.

令2x= t, 0 < t < a.

则原方程等价于4/t= a - t有正根

所以a≥4.

3. 利用函数的性质判断

已知f ( x +1) =f ( x -1) , f ( x) =f ( -x +2) , 方程f ( x) =0在[0, 1]内有且只有一个根x = 1/2, 则f ( x) =0在区间[0, 8]内根的个数为?

解由f ( x + 1) = f ( x - 1) 可知f ( x + 2) = f ( x)

所以函数f ( x) 关于直线x = 1对称, 因为函数f ( x) = 0在区间[0, 1]内有且只有一个根x =1/2 , 所以函数f ( x) = 0在区间[0, 8]内根的个数为8个.

4. 利用数形结合判断

f (x) = k有两个不同的实数根, 则实数k的取值范围?

解作出函数f ( x) 的图像,

由图像可知要使f ( x) = k有两个不同的实数根, 则有0 < k < 1, 即k的取值范围是 ( 0, 1)

5. 利用导数判断

若函数f ( x) = (1 + x-x2/2+xx3/3-xx4/4+ -xx20122012+xx2013/2013) cos2x在区间[- 3, 3]上的零点的个数为?

解根据x∈[- 3, 3]可知x = ±π/4, ±3π/4,

故cosx =0有4个零点,

故函数在[- 3, 3]上递增, g ( - 1) < 0, g ( 0) > 0, 所以函数g ( x) 有且只有一个零点,

函数的零点问题 第9篇

1.1 观察类比, 形成函数零点的概念

师:请同学们画出函数y=x2-2x-3的图像. (指定一名学生上黑板画, 见图1)

师:在画图过程中, 你觉得哪些点很重要, 为什么?

生1:点 (1, -4) , (0, -3) , (-1, 0) , (3, 0) .因为点 (1, -4) 是函数图像的最低点, 点 (0, -3) 是函数图像与y轴的交点, 点 (-1, 0) , (3, 0) 是函数图像与x轴的交点.

生2:我同意生1的观点, 但点 (-1, 0) , (3, 0) 更应引起重视.因为当x=-1或x=3时, y=0;当x<-1或x>3时, y>0;当-1

生3:还有点 (-1, 0) , (3, 0) 的横坐标x=-1, x=3是方程x2-2x-3=0的根, 所以通过x=-1或x=3可以把二次函数y=x2-2x-3与二次方程x2-2x-3=0密切地联系起来.

师:同学们的发言真精彩!正因为x=-1或x=3对于函数y=x2-2x-3如此重要, 这节课专门研究与函数相伴的这些数, 我们称x=-1或x=3是二次函数y=x2-2x-3的零点.同学们, 对于一般的函数y=f (x) , 你能类比出零点的概念吗?

生4:使函数y=f (x) 的值为0的实数x称为函数y=f (x) 的零点.

1.2 联想思考, 建立二次函数与相应二次方程的联系

师:初中已研究过的一次函数y=kx+b (k≠0) , 反比例函数undefined有零点吗?

生5:一次函数y=kx+b (k≠0) 有零点undefined;反比例函数undefined没有零点, 因为它的图像在x=0处断开了.

师:“断开了”, 形容得好.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 一定有零点吗?

生6:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 有无零点, 等价于二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有无实根, 因而可以通过根的判别式进行判断, 具体地可以用表1清楚地反映.

练习1 判断下列函数是否有零点?

(1) y=x2-2x-1;

(2) y=-x2+4x-4;

(3) y=x2+x+1.

生7:通过计算Δ可知, (1) 有两个零点; (2) 有一个零点; (3) 没有零点.

生8:还可以通过画出它们的图像判断.

师:对于一般的函数y=f (x) , 如果x0是y=f (x) 的零点, 你能发现它与相应的方程、图像之间的联系吗?

1.3 比较概括, 归纳零点存在性定理

师:函数f (x) =x2-2x-1在区间 (2, 3) 内存在零点吗?

生10:由求根公式可得方程x2-2x-1=0的两根分别为undefined.因为undefined, 所以函数f (x) =x2-2x-1在区间 (2, 3) 内存在零点.

生11:由于f (2) =-1<0, f (3) =2>0, 通过画图 (图略) 发现, 函数的图像从点 (2, f (2) ) 到点 (3, f (3) ) 在区间 (2, 3) 内必穿过x轴, 所以f (x) =x2-2x-1在区间 (2, 3) 内存在零点.

师:生10、生11回答得都很好, 比较一下哪种方法更具有一般性?

生12:生10的方法是求出方程的根, 一旦像x4-2x-1=0这样的方程很难求出根而难以判断了.而生11的方法只需要判断函数在区间端点的函数值异号, 不需要求出根, 因而更具有一般性.

师:分析得好.对于函数y=f (x) , 如果f (a) f (b) <0, 那么函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内一定存在零点吗?

生13:不一定.如undefined满足f (-1) f (1) <0, 但它的图像在x=0处断开了, 因此, undefined在区间 (-1, 1) 内没有零点.

师:综合上面的分析, 具备哪些条件, 函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内一定存在零点?

学生们经过思考、交流, 共同归纳出:

零点存在性定理 若函数y=f (x) 在区间 (a, b) 上的图像是一条不间断的曲线, 且f (a) f (b) <0, 则函数y=f (x) 在 (a, b) 内存在零点.

练习2 求证:函数f (x) =x4-2x-1在区间 (-1, 0) 内存在零点.

1.4 质疑探索, 深化对零点存在性定理的理解

师:方程ln x+2x-6=0有实根吗?

生14:令f (x) =ln x+2x-6, 方程ln x+2x-6=0有无实根⇔函数f (x) 有无零点, 因而可以考虑用零点存在性定理进行判断.由于f (x) 的图像是一条不间断的曲线, 所以要利用零点存在性定理, 关键在于找到区间 (a, b) .因为x>0, 我试算了一下f (1) =-4<0, f (2) =ln 2-2<0, f (3) =ln 3>0, 所以f (x) 在 (2, 3) 内存在零点, 故方程ln x+2x-6=0有实根.

师:生14的方法很好, 他通过试算的办法找到区间 (2, 3) , 然后运用零点存在性定理加以解决.还有什么方法?

生15:将方程变形得ln x=6-2x, 在同一坐标系中分别画出y=ln x, y=6-2x的图像 (图略) , 由图像可以看出它们必有交点, 所以方程ln x+2x-6=0有实根.

师:真是妙极了!

生16:我发现该方程有唯一实根 (没等教师说完, 生16就打断教师的讲话, 急于表达自己的观点) .

师:不要急, 慢慢地讲, 为什么说这个方程有唯一实根?

生16:设0

师:真是太精彩了!在数学学习中, 就是要勤思考、多探究, 善于关注问题中的“存在与不存在”、“存在与唯一”, 还要关注

众学生:问题的“反面”.

师:很好, 我们不妨共同来审视零点存在性定理的反面.

探究1:如果x0是函数y=f (x) 的零点, 且a

探究2:如果函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内存在零点, 那么y=f (x) 的图像在 (a, b) 上一定不间断吗?

学生们通过画图像举出反例给出了回答 (限于篇幅, 这里略去) .

1.5 总结反思, 凝炼出这节课的学习内容与思想方法师:这节课有哪些收获?请你用最能打动人的语句展示出来.

生17:这节课主要学习了函数的零点, 研究了二次函数的零点与相应二次方程根之间的联系以及零点存在性定理.就像写作文一样, 这节课的“明线”是函数的零点, “暗线”却是函数与方程的密切联系, 合理转化.

生18:我的收获一是在学习中要学会举反例, 生13的反例和刚才两位同学画图像的反例举得太好了;二是通过直观的图形、特殊的事例去发现问题的本质, 揭示事物的一般规律, 如零点存在性定理的归纳.

生19:我用一首小诗概括:“函数与方程, 数学核心层;两者常联系, 零点牵手’魂”.

2 教学反思

2.1 概念教学应“朴实自然”

知识有知识的内在规律, 学生有学生的认知规律.概念教学的朴实自然, 那就是要把这两个规律有机地联系起来, 顺应学生的认知规律.本节课中, 笔者先让学生画出熟悉的二次函数y=x2-2x-3的图像, 并观察图像上的点.然后让学生畅所欲言, 相互讨论, 相互启发.使他们对问题的认识逐步加深并向本质发展.从“形”的角度看, 点 (-1, 0) , (3, 0) 是图像与x轴的交点;从“方程”的角度看, x=-1, x=3是方程x2-2x-3=0的根;从“对应”的角度看, 当x=-1或x=3时, y=0;当x>3或x<-1时, y>0;当-1

2.2 教学设计要“螺旋上升”

“螺旋上升”是新课程教材编写的一个重要理念.但就教材中某一块内容的编写经常是按知识的逻辑顺序“线性”呈现的, “学术”味较浓.为了更有效地组织教学, 在尊重教材、深刻领会教材编写意图的基础上, 可以有机地将“课”的教学内容进行调整, 变“线性呈现”为“螺旋上升”、变“学术形态”为“教育形态”, 优化课堂教学的结构, 使学生对知识的领悟逐步深化.事实上, 函数的零点是本节课教学的一个重点, 因为它是一个三位一体的概念.从方程的角度看, 零点是相应方程f (x) =0的实数根;从函数值与自变量的值对应的角度看, 零点就是使函数值为0的对应的自变量x的值;从形的角度看, 零点是函数y=f (x) 的图像与x轴交点的横坐标.本节课学生对零点概念的理解并不困难, 但对于为什么要学习零点有一个逐步认识与深化的过程.“螺旋上升”地对本节课进行教学设计, 可以使学生对零点概念的出现既感到自然、必然, 又能对它有深刻的认识;对零点存在性定理的研究既觉得必要、重要, 又能对其多一点理性的思考.综上所述, 笔者按照undefined这样的架构进行螺旋上升地教学设计, 取得了理想的效果, 受到听课者的好评.

2.3 指导学生数学地学习数学

值得注意的是, 高一年级的首个学段除了进行正常的教学外, 还要在日常教学中关注初高中知识的衔接, 指导学法、指导学生数学地学习数学显得更加重要.本节课笔者在这方面给予了充分的关注.例如, 通过观察二次函数的图像, 去建立二次函数零点的概念, 再利用类比的方法得到一般函数零点的概念;通过比较, 揭示研究零点存在性定理的必要性与重要性;通过让学生举出反例“undefined满足f (-1) f (1) <0, 但f (x) 在区间 (-1, 1) 内没有零点”来概括出“函数y=f (x) 的图像在区间 (a, b) 上是一条不间断的曲线”这一零点存在性定理的必要条件.还有引导学生把判断方程ln x+2x-6=0有无实根转化为讨论函数f (x) =ln x+2x-6有无零点或转化为研究函数y=ln x与y=6-2x的图像有无交点, 等等.所有这些所反映出的观察、类比、比较、举反例、概括、转化等方法, 不但对于后续模块的学习帮助极大, 而且对于学生未来的人生历程也是大有裨益的.

2.4 数学教学要体现育人的价值

本节课在教学设计中, 始终以学生为中心, 以问题为纽带, 充分地让学生思考、交流, 发表想法.让他们参与概念的形成过程, 经历定理的归纳过程, 领悟知识的本质特征.努力培养学生勇于探索的科学态度, 敢于质疑、善于思辨的理性精神.学生的主体地位得到了尊重, 意志品质得到了磨练, 自身价值得到了体现, 促进了他们身心的健康发展.

在数学教学中, 应不失时机地渗透人文因素, 增添人文气息.徐利治先生说过:“正因为数学与文学都有着相似的造型艺术和审美准则, 所以当我们说到有深厚人文素养的数学家常常能有卓越的创造性数学贡献时, 也就很容易理解了.”数学与人文是“孪生姐妹”, 从来就没有割裂开来.“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”将无穷等比数列表述得是多么直观;“孤帆远影碧空尽, 惟见长江天际流”中的“帆影”用以描述极限的过程是多么生动.当我们在数学教学中把数学与人文有机的结合, 必能使枯燥的数学放射出充满生机的人文光芒, 这对于激发学生的学习兴趣该有多么大的帮助.本节课在这方面笔者也进行了认真的思考, 尤其是结课环节笔者所提的问题, 3位学生的回答很是精彩.特别是生19所作的小诗, 不仅高度概括了这节课的学习内容, 而且还隐含着重要的数学思想方法, 给人以美的回忆、美的享受.在数学教学中, 我们理应通过展示良好的人文素养, 抒发高尚的人文情怀, 去培养学生的人文素养, 激发学生的学习热情, 发展学生的想象力、创造力.

参考文献

[1]单墫, 葛军.普通高中课程标准实验教科书.数学Ⅰ[M].南京:江苏教育出版社, 2007.

[2]徐利治.数学美学与文学[J].数学教育学报, 2006, (2) .

[3]章建跃, 陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程[J].数学通报, 2010, (1) .

函数的零点问题 第10篇

1 背景

1) 例1这个题目的选取基于在用导数研究函数的性质、不等式恒成立等问题时的两个例题.

题1 已知f (x) =ax-ln x, x∈ (0, e], g (x) =lnx/x, 其中e是自然对数.

(Ⅰ) 讨论a=1时, 函数f (x) 的单调性和极值;

(Ⅱ) 求证:在 (1) 条件下, f (x) >g (x) +1/2.

题2设l为曲线C:y=ln x /x在点 (1, 0) 处的切线.

(Ⅰ) 求l的方程;

(Ⅱ) 证明:除切点 (1, 0) 之外, 曲线C在直线l的下方.

此两题中都用到了函数f (x) =ln x/ x, 故联想到了2013年江苏高考第20题.

2) 正好接下来探究含参数函数的形态及零点问题, 故设计了该节课.

3) 学情:已复习过求切线方程、函数的极值最值, 在函数与方程中, 研究过简单的函数的零点问题, 有了一应的基础.

4) 教学目标:①函数 (含参) 零点问题的解决策略;②培养学生分析问题、解决问题的能力, 训练分类讨论的运算能力, 转化化归的解题能力;③使学生获得自信心和成功的情感, 思维得到拓展.

2 教学过程

2.1 基础训练

意图在于回顾零点问题的基本解决策略, 挖掘零点问题在思想、方法等方面的本质.

题1函数f (x) =x3-8的零点是_______.

题2 函数f (x) =3x+x2-2的零点个数是_________.

题3若函数f (x) =ex+x-2的零点在区间 (n, n+1) , n∈Z内, 求n=________.

2.2提炼思想、方法

通过这3个题目, 我们得到解决函数零点问题主要有两个思路:“解” (方程) 和“画” (图像) .

题1函数f (x) 的零点就是方程f (x) =0的根, 直接将方程的根解出来.题3根据零点存在性定理“算”, 判断零点的存在性.这两题都是“解”零点.题2令f (x) =3x+x2-2=0, 化为方程2-x2=3x, 转化为函数y=3x, y=2-x2图像的交点个数, 即为零点个数.这种解法就是“画” (函数y=f (x) 的零点, 直接画函数f (x) 的图像, 或者转化为两个函数, 画两个函数的图像, 求两个函数的交点个数) .以上总结可由学生归纳得出.

2.3 数学应用

例1 (2013年江苏卷20) 设函数f (x) =ln x-ax, g (x) =ex-ax, 其中a为实数.

(Ⅰ) 若f (x) 在 (1, +∞) 上是单调减函数, 且g (x) 在 (1, +∞) 上有最小值, 求a的取值范围;

(Ⅱ) 若g (x) 在 (-1, +∞) 上是单调增函数, 试求f (x) 的零点个数, 并证明你的结论.

分析第2问, 若g (x) 在 (-1, +∞) 上是单调增函数, 可得g′ (x) =ex-a≥0在 (-1, +∞) 上恒成立, 则a≤ (ex) min, 故a≤1/e.所以问题是在a≤1/e条件下, 讨论含参数的函数f (x) 的零点的个数问题.

引导提问:研究函数零点有哪些方法可用?

学生A分析:数形结合法, 直接研究函数f (x) 的单调性画出函数的草图, 研究函数图像与x轴的交点个数.

问:如何想到的?

答:从零点定义出发, 直接求函数f (x) 的图像.

点评研究函数的性态, 得到函数的图像, 研究图像与x轴的交点, 是通常的解决策略.

一起探究, 板演.

解g′ (x) =ex-a≥0

在 (-1, +∞) 上恒成立, 则a≤ (ex) min, 故

问:目标是什么?

答:求函数的单调区间.

下面讨论不等式1-ax>0 的解集, 得到函数的单调区间, 以此作为分类讨论的标准, 故分3种情况a>0, a=0, a<0.

(1) 若0<a≤1/e, 令f′ (x) >0得增区间为 (0, 1/a) ;令f′ (x) <0得减区间 (1/a, +∞) .函数f (x) 有极大值 (最大值) , 无最小值.当x=1a时, f (x) min=f (1/a) =-ln a-1≥0, 当且仅当a=1/e时取等号.

问:有了函数的单调性与最值, 接下来目标是什么?

答:数形结合看图像, 探究图像与x轴的交点.

问:方法是什么?

答:找函数值 (应用零点存在性定理) .

因为可以取到最大值, 故结合图像只需f (x) max≥0 就有零点, 再分f (x) max>0 和f (x) max=0讨论零点个数.

第1种情况, 当f (x) max=0时, 即a=1/e时, f (1/a) =0, 故f (x) 有1个零点;

第2种情况, 当f (x) max>0时, 即当0<a<1/e时, f (x) max=f (1/a) =-ln a-1>0.

问:在哪里找特值?

答:在两个单调区间上.

问:一般来讲, 找哪些特值?

答:端点值, 整数值.很遗憾, 很难得到.

且f (e-1) =-1-ae-1<0, 据零点存在性定理f (x) 在 (e-1, a-1) 上有1个零点;

又x∈ (a-1, +∞) 时, 需证

即证x>e时, ex>x2.只要构造函数y=ex-x2, 研究其单调性即可得证, 过程略.故f (x) 在 (a-1, +∞) 上有1个零点.所以

0<a<1/e时, 函数有2个零点.

(2) 若a=0, 则f (x) =ln x, 易得f (x) 有1个零点.

(3) 若a<0, 则f′ (x) =1/x-a>0在 (0, +∞) 上恒成立, 即f (x) =ln x-ax在 (0, +∞) 上是单调增函数, 且f (1) = -a>0, f (ea) =a (1-ea) <0.此时, f (x) 有1 个零点.

说明:2 个值1, ea通过尝试, 大部分同学不难获得.

综上所述, 当a=1/e或a≤0时, f (x) 有1个零点;当0<a<1/e时, f (x) 有2个零点.

问:以上解答过程的关键是什么, 哪些地方是我们需要特别注意的?

答:……

点评该解法很容易想到, 是解决零点问题的通法, 即讨论函数的形态, “画”函数的图像, 看f (x) 图像与轴的交点情况.有几个值得注意的地方:①含参函数的单调区间的讨论是难点;②本题一定要用零点存在性定理, 难点是找到特值.一般来讲, 取整数值, 如-1, 0, 1, 2等等, 取端点值, 如本题中1, e-1, 对对数函数, 取e-1, e, e2等, 本题中ea-1, 学生无法获得, 是对学生思维层次的一种区分;③分类讨论思想是解决含参数问题的主要方法, 对能力要求高;④本题在讨论 (1) 时, 学生卡在那里, 可能放弃后面 (2) (3) 探究, 故讨论顺序 (3) (2) (1) 比较好, 但鼓励学生放弃 (1) , 直接讨论 (2) (3) 这也是限时考试的策略, 提醒学生注意即可.

高三一轮复习课, 学生有很多自己的想法.

提问:对参数a, 我们有哪些处理方法?

答:分离变量和数形结合 (解法1) .

学生B分析:可以将ln x与ax分离, 转化为对数函数曲线y=ln x与过原点的直线y=ax的交点个数问题.

问:你是怎样想到这些的呢?

答:首先想到了对数函数的图像 (曲线) , 再结合y=ax的图像是直线, 图像易画, 研究交点个数, 只需求曲线的切线即可.

学生解答, 投影展示.

解设切点坐标 (x0, ln x0) , 则切线斜率k=1/x0, 所以切线方程为

所以

解得

即当a=1/e时, 直线y=ax与曲线y=ln x相切.

结合图像得:

斜率a>1/e时, 直线与曲线相离, 无交点;

当a=1/e时, 相切, 一个交点;

当0<a<1/e时, 相交, 有2个交点;

当a=0时, 相交, 一个交点, 交点为 (1, 0) ;

当a<0时, 相交, 一个交点.

所以当a=1/e或a≤0时, f (x) 有1个零点;当0<a<1/e时, f (x) 有2个零点.

点评此方法是先转化, 后“画”图像, 看两个图像的交点情况.该学生注意到了对数函数这个基本初等函数, 将参数分离转化为曲线与直线 (切线) 的关系问题, 是值得肯定的, 一直一曲也是我们常用的策略.

该学生并未按照我引导的, 将参数分离, 而是将函数分解为两个基本初等函数, 但也把问题解决了.

因为可以直接分离, 学生并未得出, 故继续引导提问:可以怎样分离参数a呢?

学生C分析:可分离参数转化为a=lnx/x的根, 再数形结合转化为函数y=a, y=lnx/x的交点个数.

问:你是怎样想到的呢?

答:注意到了函数y=ln x/ x, 上节研究过其图像.

问:其他同学也是这样想到的吗?

直到有同学回答, 实质就是分离参数法为止.

学生解答:g′ (x) =ex-a≥0在 (-1, +∞) 上恒成立, 则a≤ (ex) min, 故a≤1/e.函数f (x) 的零点是方程a=ln x/ x (x>0) 的根, 也是函数y=a与函数y=ln x/ x图像交点的横坐标, 故本题也可转化为研究函数y=ln x/ x的图像.

令m (x) =ln x /x, 则由函数y=ln x /x的图像得当a=1/e或a≤0时, 函数m (x) 与函数y=a图像有且只有1个交点, 所以f (x) 有1个零点;当0<a<1/e时, 函数m (x) 与函数y=a图像有2个交点, 所以f (x) 有2个零点.

点评数形结合法思维逻辑推理, 不是太严密;函数f (x) =ln x /x的图像要特别注意函数在 (e, +∞) 上时有渐近线 (x轴) .

学生小结:含参函数的零点解决策略:①数形结合法 (直接画y=f (x) 的图像, 需讨论含参函数的单调性) ;②分离变量法 (转化后, 画两个函数图像求交点情况) .实质:“画”出零点.

这样的一个思维过程, 培养了学生的思维能力, 通过一题多解, 加强了学生多角度分析问题突破问题的能力, 感受到了代数法的逻辑严密性和几何方法的直观性, 体现了数学思想和方法, 训练了学生的发散思维.在高三教学中, 需要对经典题目进行联系、变化、挖掘, 重新整合它们的关系, 学生从中可以进行基础知识的训练, 可以进行思维的碰撞, 激发自己解决问题的欲望, 提高了课堂效率.

2.4变式训练和课堂练习

题1 函数f (x) =ax3-x2+x+1 在 (0, +∞) 上有且只有一个零点, 求实数a的取值范围.

(a的取值范围是{5/27}∪ (-∞, 0])

题2 (2012年天津文20 (2) ) 已知函数, x∈R, 其中a>0.若函数f (x) 在区间 (-2, 0) 内恰有两个零点, 求a的取值范围.

题3 (2014 年高考数学新课标 Ⅰ (理科) 11题) 已知函数f (x) =ax3-3x2+1, 若f (x) 存在唯一的零点x0, 且x0>0, 求a的取值范围.

(a<-2)

2.5课堂小结

函数零点的基本解决策略;数学思想方法的运用;分析问题, 找到突破口, 抓住难点, 考虑对策, 联想构造的思维过程和方式.

3 反思

1) 本节课研究了含参函数零点问题的两种基本解题方法, 运用了分类讨论思想、转化化归思想、数形结合的思想、函数与方程的思想.

2) 分类讨论思想, 个人认为是此题的初衷, 也是本节课的重点和难点.对学生思维能力的全面考察和区分.能力要求很高, 随时可能出错, 难点太难.

3) 数形结合思想, 解此题很简便, 但逻辑不严密, 提请学生注意.此法在课堂上解决了, 但在高考中据说用此法的并不太多.但平时上课, 教师往往先强调用分离参数法, 后用分类讨论.说明, 平时学生的效率差, 能力提高慢.此法的目的在于开阔学生思维, 在解填空题时常用.

4) 学生方面, 眼高手低现象很普遍, 运算和逻辑推理有待加强.

浅谈二分法导数与函数零点 第11篇

1. 零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点.

2. 零点唯一定理：若再增加函数y=f（x）在区间［a，b］上单调的条件，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有唯一的零点.

3. 二分法求零点：先找到a，b（a＜b），使f（a），

f（b）异号，则函数f（x）在区间（a，b）内一定有零点.然后判断f的正负号，假设f（a）＜0，f（b）＞0，①如果f=0，则即为零点；②如果f＜0，则零点在区间，b内，继续使用区间中点的函数值判断；③如果f＞0，则零点在区间a，内，继续使用区间中点的函数值进行进行判断.这样每次把f（x）的零点所在区间缩小一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，便可求得零点的近似值.

4. 导数法确定单调性.

接着，我们运用这些结论.

例1 （1） （2010年天津卷文科）函数f（x）=ex+x-2的零点所在的一个区间是（）

A. （-2，-1）B. （-1，0）

C. （0，1）D. （1，2）

（2） （2010年上海卷文科）若x0是方程式lgx+x=2的解，则x0属于区间（）

A. （0，1）B. （1，1.25）

C. （1.25，1.75）D. （1.75，2）

解 （1） 因为f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，所以零点在区间（0，1）上，选C.

（2） 构造函数f（x）=lgx+x-2，由f（1.75）=f=lg-＜0，f （2）=lg2＞0，知x0属于区间（1.75，2），选D.

例2 已知函数f（x）=ex+2x2-3x，求证：函数f（x）在区间［0，1］上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应的x的近似值.（误差不超过0.2）.

解 f′（x）=ex+4x-3，显然f′（x）在［0，1］上单调递增.又f′（0）＜0，f′（1）＞0，所以f′（x）在［0，1］上存在唯一的零点，即f（x）在区间［0，1］上存在唯一的极值点.

又f′=-1＞0，f′=e-2＜0，所以x0∈（0.25，0.5），x0≈0.4.

点评 在f′（a）f′（b）＜0的前提下，导函数在（a，b）上必有零点，即原函数必有极值点.二分法的思想是逼近思想，即逐步缩小零点所在的区间，所以在具体解题时，可根据条件的特点，灵活缩小所在的区间.

例3 若方程ex--1=0在区间［t，t+1］上有实数解，求整数t的值.

解 令g（x）=ex--1，因为g′（x）=ex+＞0对一切x∈（-∞，0）∪（0，+∞）成立，所以g（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上均为增函数，又因为g（1）=e-3＜0，g（2）=e2-2＞0，g（-3）=e-3-＜0，g（-2）=e-2＞0，所以方程ex--1=0有且只有两个实根，并且分别在区间［1，2］和［-3，-2］上，所求整数t的值为1和-3.

点评 二分法思想也体现了数形结合思想.本题可以画出草图（如右图所示，y=ex与y=＋1），判断方程有两解，再结合图形，利用二分法取值试验，把解限定在区间［1，2］和［-3，-2］上，否则容易漏解.

例4 定义区间（c，d］，［c，d），（c，d），［c，d］的长度均为d-c，其中d＞c.若a，b是实数，且a＞b，求满足不等式+≥1的x构成的区间长度之和.

解 由 +≥1，得≤0.

记g（x）=x2-（a+b+2）x+（ab+a+b），则g（a）=b-a＜0，g（b）=a-b＞0.

设g（x）=（x-x1）（x-x2），不妨设x1＜x2，则b＜x1＜a＜x2.

所以=≤0的解集为x∈（b，x1）∪（a，x2）.

因此解集的区间长度之和为x1-b+x2-a=（x1+x2）-（a+b）=（a+b+2）-（a+b）=2.

点评 本题虽求不出函数g（x）=x2-（a+b+2）x+（ab+a+b）的零点，但由于灵活运用了零点存在定理（或二次函数性质），判断出该函数的两个零点x1，x2与a，b的大小关系，并通过数轴穿根法顺利地写出了不等式的解集，体现了零点存在定理的应用价值.

零点存在定理指明了零点的存在性，并可以通过函数的单调性说明零点的唯一性，进而可通过二分法求出零点的近似值，逐层递进，体现了知识的连贯性、完整性和实用性.

1. （2009年福建文科卷）若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（）

A. f（x）=4x-1B. f（x）=（x-1）2

C. f（x）=ex-1D. f（x）=lnx-

2. （2009年天津理科卷）设函数f（x）=x-lnx（x＞0），则y=f（x）（）

A. 在区间，1，（1，e）内均有零点

B. 在区间，1，（1，e）内均无零点

C. 在区间，1内有零点，在区间（1，e）内无零点

D. 在区间，1内无零点，在区间（1，e）内有零点

1. A. 2. D.

函数的零点问题 第12篇

三次函数的零点个数、方程解的个数、两个函数图像的交点个数等问题在近几年的文科数学高考中屡屡出现, 关于三次函数零点个数的研究, 是高中文科数学教学的重要组成部分, 见诸各大期刊的研究成果林林总总, 精彩纷呈.关于研究的目的, 我认为如何让研究成果更好地服务于中学数学教学, 才是研究的出发点和归宿.本文拟结合近几年各地高考调研试题以及高考真题, 对三次函数的零点个数在高考题中的演变作跟踪分析, 以期管窥试题命制的常用手段.

一、三次函数的零点个数的有关结论

设f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) , f′ (x) =3ax2+2bx+c, 令Δ=4b2-12ac.

(1) 若Δ0, 则f (x) 在R上单调, 从而f (x) 有且只有一个零点.此时f (x) 的图像如下图所示:

(2) 若Δ>0, 则f (x) 有两个极值点x1和x2.①f (x1) f (x2) >0⇔函数f (x) 有一个零点;②f (x1) f (x2) =0⇔函数f (x) 有两个零点;③f (x1) f (x2) <0⇔函数f (x) 有三个零点.

二、结论在考题中的演变

1.直接运用结论, 体现试题命制的直观性

题案1 (2011年全国100所名校单元测试) 函数f (x) =-x3+x2+x-2的零点个数及分布情况为 ( ) .

A.一个零点, 在$\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)$内

B.两个零点, 分别在$\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)‚(0‚+\infty )$内

C.三个零点, 分别在$\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right),\left(-\frac{1}{3},0\right),(1,+\infty )$内

D.三个零点, 分别在$\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right),(0,1),(1,+\infty )$内

题案2 (2009年海口一中模拟题) 求函数f (x) =x3-3ax+2的极值, 并说明方程x3-3ax+2=0何时有三个不同的实根?何时有唯一的实根 (其中a>0)

略解 题案1:由结论 (2) 得到答案A.

题案2:$\begin{array}{l}f(x){}_{\text{极}\text{大}\text{值}}=f(-\sqrt{a})=2+2\cdot a{}^{\frac{3}{2}}\\ f(x){}_{\text{极}\text{小}\text{值}}=f(\sqrt{a})=2-2\cdot a{}^{\frac{3}{2}}\end{array}>0$, 过程略.

由结论③知, 当$f(x){}_{\text{极}\text{小}\text{值}}=2-2\cdot a{}^{\frac{3}{2}}<0$, 即当a>1时, 方程x3-3ax+2=0有三个不同的实根;当0<a<1时, 方程x3-3ax+2=0有唯一的实根.

评注 无论是选择题, 还是解答题, 其问题的核心都是考查本文提及的三次函数的零点的个数的结论.不同之处是设问方式的改变, 体题命题形式的多样性.题案1是一道选择题, 突出知识立意, 三次函数是给定的, 直接套用结论即可;题案2作为解答题, 侧重能力立意, 围绕上述结论设计问题, 三次函数系数含参, 通过上述结论转化为参数的不等式, 从而求出参数的取值范围, 比题案1多了一步转化.

2.逆向运用性质, 体现试题命制的反思性

题案3 (2009年江西) 已知函数$f(x)=x{}^3-\frac{9}{2}x{}^2+6x-a,(1)$对于任意实数x, f′ (x) ≥m恒成立, 求m的最大值; (2) 若方程f (x) =0有且仅有一个实根, 求a的取值范围.

略解$(1)m-\frac{3}{4}$, 即m的最大值为$-\frac{3}{4}.$

(2) 易知$f(x){}_{\text{极}\text{大}\text{值}}=f(1)=\frac{5}{2}-a,f(x){}_{\text{极}\text{小}\text{值}}=f(2)=2-a$.由结论可知:当f (2) >0或f (1) <0时方程f (x) =0仅有一个实根, 解得a<2或$a>\frac{5}{2}.$

评注 上述题案正是上述性质的逆向运用, 从利用性质直接判断三次函数零点的个数到本题案中逆用性质求参数的取值范围, 体现了命题视角的多角度.

3.类比运用性质, 体现试题命制的变通性

题案4 (2008年四川卷 (理) 第22题) 已知x=3是函数f (x) =aln (1+x) +x2-10x的一个极值点.

(1) 求a; (2) 求函数f (x) 的单调区间; (3) 若函数y=b与函数y=f (x) 的图像有三个交点, 求实数b的取值范围.

略解 (1) a=16.

(2) 增区间 (-1, 1) , (3, +∞) ;减区间 (1, 3) .

(3) 设g (x) =f (x) -b=16ln (1+x) +x2-10x-b, 显然g (x) 可以任意大, 也可以任意小, 故y=g (x) 仍然有与三次函数图像类似的草图.易知y=g (x) 和y=f (x) 的极值相同, 所以当g (1) g (3) <0, 即 (16ln2-9-b) (16ln4-21-b) <0, 即32ln2-21<b<16ln2-9时, y=g (x) 也有三个零点, 即函数y=b与函数y=f (x) 的图像有三个交点, 故32ln2-21<b<16ln2-9.

评注 其实本文中提及的结论不仅仅适合三次函数, 通过类比, 我们发现很多的函数都有类似的结论.题案4正是类比三次函数的性质得到的解法, 通过类比我们可以更进一步看清这类题目的本质, 更好地揭示它的根源, 从而能够更深刻地理解本文结论.值得注意的是, 新课改后的课本有类比推理一节, 类比推理在高考压轴题中考查的频率也有提高.

“会当凌绝顶, 一览众山小”, 只要我们站在研究的高度去审视数学问题, 就能“高屋建瓴”, 正本清源, 看清本质.