非完整井范文

非完整井范文（精选6篇）

非完整井 第1篇

关键词：汇源理论,非完整井,稳定流,抽水试验,渗透系数

0 引言

在工程勘察实践中, 经常需要在不同边界条件下 (水上、隔水边界等) 进行稳定流抽水试验, 以获取渗透系数等工程地质参数, 从而对基坑涌水、坝基渗漏、渗透变形等工程问题进行评价以及提出处理意见。而通过稳定流抽水试验求取渗透系数的理论基础为达西公式、裘布衣假定和汇源理论[1] (非完整井) , 在一些复杂条件下, 如水上钻孔、基岩 (可视为隔水边界) 附近钻孔、倾斜边界附近钻孔、山间河谷钻孔等, 或者裘布衣假定不成立, 或者计算太过复杂, 现有的规范、手册等均未给出这些条件下稳定流抽水试验渗透系数的求解公式。为此, 笔者运用汇源理论和镜像法结合具体工程实践, 推导出在不同边界条件下非完整井稳定流抽水试验渗透系数的计算公式, 为复杂边界条件下非完整井抽水试验的渗透系数计算提供了简便的计算方法。

1 无限厚含水层抽水试验渗透系数的计算

在均质承压含水层中, 流向汇点的渗流量为Q', 离汇点距离P处的降深为s, 在影响半径R远大于P的情况下, 空间汇点的降深表达式[1]如下式:

井壁进水的圆柱过滤器不是一个点, 可用无数个空间汇点组成的空间汇线来近似代替过滤器的作用, 其解如下[2]:

式中:s———点 (±z, r) 处的降深;

l———汇线长度。

由于过滤器为圆柱形不是一条线, 按照吉林斯基的方法[1], 抽水孔中r=rw, 当z=0.318l时假想过滤器 (椭球面) 和圆柱过滤器表面积相等, rw相对于l很小, 利用[2] (2) 式可以写成如下 (3) 或者 (4) 式:

上两式和过滤器位于含水层中部的巴布什金公式[2]基本一致。

在水平方向z=0, (2) 可以改写成下式:

在垂直方向r=0, (2) 可以简化为下式:

空间任意一点 (2r, 2z) 距过滤器较远时

利用ex≈1+x (x<<1) 进行变换[2], 则有

说明在距离井中心较远时 (一般大于3倍过滤器长度) , 近似地可按汇点计算降深。一般情况下大多可以达到这个条件。

2 边界附近抽水试验渗透系数的计算

2.1 半无限含水层

半无限含水层系指抽水孔附近只有一条边界, 包括垂直方向直线边界 (边界与抽水孔长轴方向垂直, 图1 (a) 、 (b) ) 、水平方向直线边界 (边界与抽水孔长轴方向平行, 图1 (c) 、 (d) 和斜向边界图1 (e) 、 (f) ) , 边界性质为隔水和透水边界两类。

2.1.1 垂直方向边界

含水层顶底板、水位等属此类边界 (图1 (a) 、 (b) ) , 利用镜像法原理在边界另一侧映出一个流量也为Q的虚井, 以隔水边界为例, 主孔降深 (s) 为抽水实井降深 (sw) 和抽水虚井影响降深 (sz) 之和, 如下式:

令抽水井距离边界为z, 则实虚井中心之间的距离为2z, 同时由于虚井只能影响到假想过滤器边沿, 因此实井到虚井的距离z需减去0.182l。即:

可写成下式:

式中, a⊥为垂向边界影响系数,

式中, z为抽水孔中心距隔水边界距离。

为方便起见式中a⊥可按表1查取。

从表1可以看出当抽水井距离边界越来越远时, a⊥趋近于1, 说明边界对井孔水位的影响越来越小;当z为一半过滤器长度即过滤器紧靠隔水边界时, l/z=0.5, a⊥=2.04则有:

此即为著名的吉林斯基公式。[1]

采用同样的方法, 可以得出透水边界附近, 非完整井渗透系数的计算公式如下:

2.1.2 水平方向边界

垂直岸坡、河流等属此类边界 (图1 (c) 、 (d) ) , 基于同样的道理, 抽水孔水平方向r处有透水或隔水边界时, 主孔降深为实井降深和虚井影响的降深之和, 忽略rw对距离的影响, 列出抽水孔水平方向r处有透水或隔水边界时非完整井渗透系数计算公式如下:

隔水边界:

透水边界:

式中:a=为水平方向边界影响系数,

式中a=值可按表2查取。

2.1.3 斜向边界

当斜向边界 (图1 (e) 、 (f) ) 距过滤器较远时 (1.5倍过滤器长度以上) , 虚井对主井降深的影响近似地可按汇点计算 (一般情况下大多可以达到这个条件) 。

隔水边界:

透水边界:

式中ax斜向边界影响系数,

ρ为抽水孔中心距边界的最短距离

2.2 象限含水层

象限含水层系指抽水孔附近有两条互相垂直的边界, 工程实践中主要包括水平透水垂直隔水如:岸边水上钻孔图2 (a) ;两条均为隔水边界如:岸边滩上钻孔等图2 (b) ;垂直透水水平隔水边界如:水边滩上钻孔图2 (c) 等三种情况。

象限含水层非完整井主孔降深可理解为一口抽水主孔和三口抽水或注水孔共同作用的结果, 不同情况下渗透系数计算见下式:

式中, a2, a3从表1表2查取, a4代入式 (16) 并按a4=ax计算取值, 其中

2.3 带状含水层

两条平行边界 (包括水平方向和垂直方向) 中间的含水层为带状含水层, 如承压含水层 (上下隔水) 、狭窄河谷 (两侧隔水) 、河心滩 (两侧透水) 等, 应用镜像法带状含水层中的一个井就变成了一个无限含水层中的一个无穷井排, 如下图3。

当映射孔距离主孔5倍过滤器长度时, a值已经很小, 对渗透系数的影响就更小了, 可以忽略不计了。

图3 (b) 和图3 (c) 可按照同样的方法计算。其中a值按照垂直或水平方向查表1或表2。

2.4 半无限带状含水层和矩形含水层渗透系数的

计算

在狭窄河谷地段多见该类边界条件, 该条件下映出的虚井成两排直线井排, 当井距边界距离较远时可近似按照实井和周边的5个虚井进行计算。以狭窄河谷水上钻孔条件为例, 镜像法及渗透系数计算如下:

实际上, 所有狭窄河谷地段的含水层均为矩形含水层, 矩形含水层映出的虚井布满整个平面, 当边界距抽水井距离较远时, 可近似依据一个实井和周边的8个虚井计算渗透系数。

式中:a从表1表2查取, 或按式 (16) 计算。

3 工程实例

在金沙江某坝址进行水上钻孔抽水试验, 过滤器长度为3m, 半径0.054m, 含水层岩性多为含泥砂卵石, 厚度39.5m, 钻孔一侧含水层延伸较长, 另一侧距河岸边花岗岩约45m, 进行了两个试验段抽水, 第一段位置2~5m, 水位降深0.4m, 涌水量280m3/d, 第二段位置24~27m, 水位降深2m, 涌水量69m3/d。

由于钻孔两侧隔水边界距离较远, 最近为45m, 查表2边界影响系数为1.07, 对主孔降深影响很小, 因此含水层可视为上部透水、下部隔水的带状含水层。

第一试验段过滤器中心距离底部花岗岩为33m, 查表1a值很小为1.02, 因此试验可视为一侧有透水边界情况, 查表1a为1.2, 带入式 (14)

第二试验段上距透水边界25.5m, 下距隔水边界14m, 为带状含水层图3 (b) , 查表1上边界a为1.03, 下边界a为1.05,

4 结语

本文通过理论分析与工程勘察实践, 总结推导了不同复杂边界条件下, 非完整井稳定流抽水试验渗透系数的计算方法和公式, 在类似的工程勘察试验中, 只要正确分辨边界条件, 通过适当简化, 采用符合适用条件的公式, 即可简便地进行渗透系数的计算且精度也可以满足要求。

参考文献

[1]薛禹群.地下水动力学原理[M].北京:地质出版社, 1986.

[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2002.

不确定非完整动力学系统控制研究 第2篇

作者简介：董文杰，男，1970年12月出生，1996年09月师从于北京航空航天大学霍伟教授，于1999年12月获博士学位。

摘 要

非完整约束是指含有系统广义坐标导数且不可积的约束。典型的受非完整约束系统(简称非完整系统)包括车辆、移动机器人、某些空间机器人、水下机器人、欠驱动机器人和运动受限机器人等。因此,非完整系统的控制研究具有广泛应用

背景和重要应用价值。

19世纪末20世纪初在经典力学中已对非完整系统做了基础性研究。自1960年代以来,科技发展和生产实际的需要促使非完整系统的基础和应用研究都有了进一步发展。从1980年代末起,由于机器人及车辆控制的需要,使得国外开始对非完整系统的控制问题进行深入研究。由于非完整约束是对系统广义坐标导数的约束,它不减少系统的位形自由度,这使得系统的独立控制个数少于系统的位形自由度,给其控制设计带来很大困难。另外，利用非线性控制系统理论的微分几何方法已证明:非完整系统不能用连续的状态反馈镇定。因此以研究连续状态反馈为主的现代控制理论中大量成熟的结果无法直接用于非完整系统的镇定控制研究,使得非完整控制系统研究成为当今控制领域最具挑战性的难题之一。

国际上1980年代至1990年代中期对非完整系统的控制研究主要是针对由非完整约束方程导出的非完整运动学系统进行的，提出的反馈镇定控制方法主要有时变反馈控制策略、不连续控制策略及以各种方式将二者结合的混合控制策略。在非完整运动学系统的轨迹跟踪控制研究中，基于不同的分析工具和方法也提出了多种控制方案。由于实际系统是动力学系统,在对系统性能要求较高的情况下通常不能忽略系统的动力学部分，故基于运动学模型设计出的以广义速度为控制量的控制律不能直接用于以广义力为控制量的实际动力学系统。因此自1990年代后期起国际上更加注重非完整动力学系统的控制研究，通常采用速度跟踪的思想将对非完整运动学系统设计的控制律推广到非完整动力学系统，这种研究一般依赖于非完整系统的准确动力学模型。考虑到非完整动力学系统控制研究具有很强的实际应用背景，而对实际系统一般无法建立精确模型，且不可避免地受到各种干扰，必须研究不确定非完整动力学系统的有效控制方法。目前国内外在这方面的研究还刚刚起步，为发展有关应用基础理论，本论文研究不确定非完整动力

学系统控制问题。

本文深入研究了具有惯性参数不确定性及未知动力学特性的非完整动力学系统镇定与轨迹跟踪控制问题。对惯性参数未知的一般不确定非完整动力学系统，证明了其镇定律的存在性。对几类典型不确定非完整动力学系统的镇定问题和跟踪控制问题，提出了多种自适应控制器和鲁棒控制器设计方法。对受非完整约束的轮式移动机器人系统的镇定和跟踪控制问题，也分别给出了解

决的方案。具体成果如下:

一.不确定非完整动力学系统镇定研究

1.对惯性参数未知不确定非完整动力学系统的镇定问题，证明了其光滑时变周期自适应镇定律的存在性，给出了其一般结构, 回答了能否镇定不确定非完整动力学系统的问题，为控制器的设计提供了理论基础，也为如何设计系统控制控制器指明了方向。

2.研究了满足Pomet条件的惯性参数未知不确定非完整动力学系统镇定问题，基于其光滑时变周期自适应镇定律的存在性，利用Backstepping思想，Lyapunov分析，LaSalle不变性原理和Jurdjevic-Quinn技术，构造出它的时变周期自适应控制律，解决了该类不确定非完整动力学

系统镇定律的设计问题。

3.研究了惯性参数未知不确定扩展链式非完整动力学系统的自适应镇定问题，基于Barbalat引理和Backstepping技术, 设计了时变自适应控制律。该控制律是系统状态的显函数，不需要任何构造过程。所提出的控制器不仅能使系统的所有状态渐近趋于平衡点，保证在线估计

参数的有界性，且控制器不是高增益的。

4．研究了惯性参数未知不确定扩展幂式非完整动力学系统的自适应镇定问题，利用这类系统的特定结构，提出了新的时变自适应控制律。

5．研究了惯性参数未知不确定扩展链式非完整动力学系统的鲁棒镇定问题，基于变结构控制的思想，通过引入一个正的时变因子，提出了鲁棒控制器。该鲁棒控制器克服了变结构控制中的“抖振”现象且具有计算简单的优点。与自适应控制器相比，这种鲁棒控制器不但能保证系统的状态渐近镇定，而且不需在线估计系统的惯性参数，减小了实时计算量。

6．研究了惯性参数未知不确定扩展链式非完整动力学系统的指数镇定问题。通过引入适当的状态变换将系统化为易于设计的形式，基于Backstepping思想、Lyapunov分析和Barbalat引理，分别提出了鲁棒指数镇定律和自适应指数镇定律。同已提出的控制律相比较，指数镇定律能使系统的状态快速趋于原点，提高了系统的响应速度, 改善了系统的动态性能。

7.研究惯性参数未知的不确定非完整动力学系统必须已知系统动力学方程的具体形式，考虑到实际非完整动力学系统的复杂性, 许多情况下对系统进行动力学建模非常困难，有时甚至是不可能的。为此研究了系统动力学方程未知时的不确定扩展链式非完整动力学系统鲁棒镇定问题。基于非完整系统的结构特点、范数的性质和滑动模态控制的思想, 提出了鲁棒控制器。所提出的控制器结构简单，且不需知道系统的具体动力学模型就能镇定系统的状态到平衡点，避免了系统

建模的繁琐工作, 便于应用。

8.研究了动力学未知不确定扩展链式非完整动力学系统的自适应镇定问题，利用系统的结构特点及自适应控制的在线估计能力,提出了自适应控制律。该控制律通过在线估计不确定性的上界减少了控制器的保守性，从而减少了控制所需的能量。

二.不确定非完整动力学系统轨迹跟踪控制研究

1.研究了链式非完整运动学系统的跟踪控制问题, 提出的一种新的标准型, 并在此基础上借助Lyapunov稳定性分析方法和Barbalat引理设计了可实现全局渐近跟踪控制的一维动态控制器, 它克服了用动态反馈线性化方法或微分平坦(differential flatness)性概念设计动态控制

器时所引起的维数高和有奇异点的缺点。

2.研究了惯性参数未知不确定扩展链式非完整动力学系统的自适应跟踪控制问题, 基于所提出的非完整运动学跟踪控制器, 提出了基于回归矩阵的自适应跟踪控制器,能使系统状态全局渐近跟踪给定的期望轨迹, 解决了这类系统的全局跟踪问题。所提出的控制器设计思路还可用来设计这类不确定非完整动力学系统的鲁棒跟踪控制器。

3.研究了动力学方程未知不确定扩展链式非完整动力学系统的跟踪控制问题, 将自适应控制和鲁棒控制相结合，提出了自适应鲁棒跟踪方案, 解决了该类系统的全局轨迹跟踪控制问题。

三.轮式移动机器人镇定与跟踪控制问题

1.说明了如何把本论文所提出的关于镇定和轨迹跟踪控制的结果应用于受非完整约束移动

机器人的控制中。

2.基于受非完整约束移动机器人动力学模型本身的特点及模型中各物理量的含义，提出了准指数镇定的新概念, 然后基于系统的结构特点提出了快速镇定这类系统的准指数镇定方案。为说明论文中所提出控制律的正确性和有效性，对各章节所给出的每种控制方案都进行了严格的稳定性证明，并以典型移动机器人为例进行了控制器设计和数字仿真。

智能机器人

目前影响智能机器人性能的因素很多，包括机器人的导航、定位、通讯、控制策略及体系结构等。其中导航和定位受多方面因素影响 是一时难以解决的。目前发展较快并对智能机器人的发展影响很大 的四大热门主题是智能控制、多传感器的信息融合、路径规划 和语音识别。(1)智 能 控制

智 能 控 制产生于60年代，1967年，LeoodG和Model首先正式使 用“智能控制”一词、标志着智能控制的思想已经萌芽。70年代是 智能控制的形成时期。进人80年代以后，智能控制开始应用于机器 人控制及过程控制专家系统等工业过程控制领域。90年代以后，智 能控制己扩大到面向军事、高技术领域和日用家电产品等多个领域。智能控制从创立至今尚未有统一的定义，从一定的意义上讲，可以 把具有智能信息处理、智能反馈和智能控制决策的控制方式称为智 能控制。现在用的智能控制方法有:多级递阶智能控制、基于知识 的智能控制、模糊控制、神经控制、基于规则的仿人智能控制、基 于模式识别的智能控制、混沌控制等。目前，智能控制在工程中得 到了较广泛地应用，如蒸汽发动机的模糊控制系统、汽车喷油系统 的神经网络控制等。(2)路 径 规划

路径 规 划是自主式移动机器人导航的基本环节之一。它是按照某 一性能指标搜索一条从起始状态到目标状态的最优或近似最优的无 碰路径。根据机器人对环境信息知道的程度不同，可分为两种类型: 环境信息完全知道的全局路径规划和环境信息完全未知或部分未 知，通过传感器在线地对机器人的工作环境进行探测，以获取障碍 物的位置、形状和尺寸等信息的局部路径规划。

用 于 全 局路径规划的典型方法主要来说有可视顶点图法、栅格 法、四叉树等。目前，智能机器人领域的研究者们仍在探讨新的规 划方法。为了更加高效的解决复杂的路径规划问题，研究趋势越来 越向着两种或多种己有算法有机结合的方向发展。

遗 传 算 法由于其具有优良的全局寻优能力和隐含的并行计算特 性，越来越受到国内外学者的重视。将遗传算法与已有的其它的路 径规划方法相结合来解决路径规划问题，取二者之所长，提高了路 径规划问题的求解质量和求解效率。例如，遗传算法与栅格法相结 合，采用栅格法对机器人工作空间进行划分，用序号表示栅格，并 以此序号作为机器人路径规划参数编码，用遗传算法对机器人路径 规划进行研究;遗传算法与凸区法的结合，先用凸区法“们进行粗路 径的搜索，再用遗传算法进行路径节点的调整，从而规划出机器人 的行走路线;以及遗传算法与人工势场法、模糊理论的结合等。另 外，神 经网络和模糊理论结合在路径规划中的应用也得到了广 泛的重视，关于这方面的文章也很多。例如Kimm。的利用SOFM神经 网络来进行路径规划的方法等。

目前，将 三维环境下已有的一些路径规划方法如栅格法、八叉树 法、人工势场法等几种方法结合，又产生了几种新的路径规划方法。例如，RobertJ.S zczerba的框架子空间法，将栅格法和八叉树法相 结合用于解决三维空间的路径规划问题，Yoshifumi Kitamura将八 叉树法和人工势场法相结合来解决动态环境下三维空间的路径规划 问题。

用 于 局 部路径规划的方法主要有人工势场法，人工势场法是 由Khatib提出的一种虚拟力法。其基本思想是将机器人在环境中的 运动视为一种虚拟的人工受力场中的运动。障碍物对机器人产生斥 力，目标点产生引力，引力和斥力的合力作为机器人的加速力，来 控制机器人的运动方向和计算机器人的位置。该法结构简单，便于 低层的实时控制，在实时避障和平滑的轨迹控制方面，得到了广泛 的应用，但对存在局部最优解的问题，容易产生死锁现象，因而可 能使机器人在到达目标点之前就停留在局部最优点。(3)多 传 感器的信息融合

移 动 机 器人的多传感器信息融合方面的研究始于80年代。多传 感器融合的常用方法有:加权平均法、贝叶斯估计、卡尔曼滤

波、统计决策理论、D-S证据推理、神经网络和模糊推理法以及带 置信因子的产生式规则。

其中加权平均法是最简单也最直观的方法，一般用于对动态低水平的数据进行处理，但结果不是统计上的最优 估计;贝叶斯估计是融合静态环境中多传感器低层数据的常用方法，适用于具有高斯白噪声的不确定性传感信息融合;对于系统噪声和 观测噪声为高斯白噪声的线性系统模型用卡尔曼滤波来融合动态低 层次冗余传感信息，对于非线性系统模型采用扩展卡尔曼滤波或者 分散卡尔曼滤波;统计决策理论用于融合多个传感器的同一种数据，常用于图像观测数据;D-S证据推理是贝叶斯估计法的扩展，它将

局部成立的前提与全局成立的前提分离开来，以处理前提条件不完 整的信息融合;基于神经网络法根据系统要求和融合形式，选择网

非完整井 第3篇

固井水泥分为A至J共9个等级,用于酸性油气田的主要是G级和H级,该类水泥被称为波特兰水泥。在固井作业过程中,固井水泥被注入到井眼和套管之间的环形空间,固化后形成水泥环。水泥环起到长期封隔酸性流体的作用,以防止流体从井口泄露,其取决于水泥在酸性介质中的完整性,这已经成为酸性油气田开采过程中面临的重要挑战。

1 固井水泥的完整性

固井水泥的完整性是指其在套管与地层的环空保持长期封隔保护,从而有效防止高压酸性流体渗漏的能力。图1为流体可能渗漏的通道示意图[2],其中与环空中固井水泥完整性直接相关的是水泥环本身、水泥与套管界面以及水泥与地层界面的完整性[3],如图1中A、B和C所示。

1.1 固井水泥环在酸性介质中的完整性

1.1.1 固井水泥环的热力学稳定性

固井水泥水化后的产物主要包括水化硅酸钙(xCaOySiO2zH2O,简写为CxSyHz或CSH)、氢氧化钙(Ca-(OH)2)、钙矾石(3CaOAl2O33CaSO432H2O或3CaOAl2O3CaSO412H2O)[4]。水化产物呈碱性,故与酸性流体会发生化学反应,使其完整性遭到破坏。式(1)式(3)是固井水泥与H2S的反应方程:

Ca(OH)2+H2SCaS+2H2O (1)

CSH+H2SCaS+SiO2+nH2O (2)

3CaOAl2O33CaSO432H2O+3H2S3CaS+3(CaSO42H2O)+2Al(OH)3+26H2O (3)

固井水泥与CO2的反应方程如式(4)式(6)所示:

Ca(OH)2+2H++CO32-CaCO3+2H2O (4)

CSH+2H++CO32-CaCO3+SiO2+H2O (5)

3CaOAl2O33CaSO432H2O+2H++CO32-3CaCO3+3(CaSO42H2O)+2Al(OH)3+26H2O (6)

姚晓等对水化产物的热力学稳定性进行了理论计算[5,6],指出在一定条件下水化产物均能够与H2S和CO2反应,当CxSyHz中的比例系数不同时,它们的稳定性存在很大差异。组分的稳定性都与气体分压、温度和pH值密切相关,在不同条件下稳定性的排序也存在差异,因此研究固井水泥在酸性油气田中的腐蚀是一个复杂的系统工程。

1.1.2 固井水泥环的侵蚀动力学

Edward等[7,8,9]研究发现, CO2对固井水泥的侵蚀深度与时间的0.5次方呈线性关系,如图2所示[8],侵蚀受扩散控制;笔者采用电化学方法得到扩散深度与时间的0.62次方成正比[10],与他们的研究结果相近。随温度升高,侵蚀速率增加,当温度从90 ℃升高到140 ℃后,侵蚀深度从9.6 mm/a1/2迅速提高到73 mm/a1/2[9]。

Kutchko等[11]发现H2S/CO2侵蚀后的水泥与纯CO2的侵蚀深度相近,只是在侵蚀的前沿发现了硫铁矿,CO2侵蚀试样为橙黄色,而经H2S侵蚀后为灰黑色。Krilov等[12,13]也研究了CO2和H2S共存时固井水泥的侵蚀状况,发现水泥主要受CO2侵蚀,而H2S与铁酸盐发生反应,但该相是水泥中的次要相。

1.1.3 固井水泥环的结构与性能演变

固井水泥侵蚀后,从微观结构上可以清楚地观察到侵蚀区的界限[9,11,14],如图3(a)所示;仔细观察还会发现更多的微观区域[11],对应不同的侵蚀程度,如图3(b)所示;图3(c)所示的侵蚀区中,Wigand等[15]观察到侵蚀导致的裂纹存在,为酸性流体渗漏提供了通道。裂纹的产生归结于产物的体积膨胀,当Ca(OH)2与CO2反应生成CaCO3后,其摩尔体积由33.6 cm3/mol上升到36.9 cm3/mol,在水泥内部产生很大的内应力,同时CxSyHz与酸性流体反应使水泥水化后的交联结构遭到一定程度的破坏,结合力降低,从而产生裂纹,故Ca(OH)2含量越高,水泥开裂趋势越大;在图3(d)中看到,侵蚀较严重区域有大量孔隙存在,通过能谱分析发现在未侵蚀区、侵蚀前沿和侵蚀严重区的Ca/Si原子比分别为2、1.75和0.8,说明侵蚀过程伴随钙的流失[16],因此CaCO3发生了二次溶蚀[17],即:

CO2+H2O+CaCO3Ca(HCO3)2 (7)

对于含H2S环境,也有相似的现象存在,反应方程为:

2CaCO3+H2SCa(HCO3)2+CaS (8)

CaS+H2SCa(HS)2 (9)

Rimmele等[18]研究了CO2侵蚀过程中水泥内部孔隙率的变化,初期因CaCO3的沉积而减小,当CaCO3溶解时孔隙率增大。

Condor-Tarco等[19]研究了经CO2腐蚀的固井水泥,指出在12个月内,水泥的力学性能在前几个月得到提高,但是后期迅速劣化。Carey等[20]认为中等程度的CO2腐蚀有助于固井水泥的渗透性降低和强度增加。笔者团队也发现其力学性能先增加后减小,这是水化和腐蚀两个过程综合作用的结果[21]。

1.2 固井水泥两个界面在酸性介质中的完整性

1.2.1 固井水泥与套管的界面

Carey等[20]从井下取出在CO2环境中服役30年的固井水泥进行分析,发现在套管和水泥界面存在0.1～0.3 cm的碳化区,从而降低了其阻止CO2渗漏的能力。将钢嵌入固井水泥的研究发现,在界面附近,当水泥腐蚀较轻微时,钢发生了较严重的腐蚀,在界面形成了渗漏通道[22,23],如图4(a)所示。笔者发现套管表面产生了较严重的点蚀坑[10],如图4(b)所示,当有H2S存在时,点蚀将加剧。Carey等[22]认为生成的FeCO3、CaCO3会填充渗漏通道,产生自愈合作用,使结构保持完整。然而笔者发现在一定条件下,即使在水泥本体结构被明显破坏之前,界面结合力也会随着腐蚀的进行而降低甚至丧失,这说明该界面在流体压力作用下会失稳,最终引发渗漏。事实上,从图4(a)可见腐蚀后水泥与套管已经产生了明显的裂纹,产物的填充只能暂时保证结构的完整性,其长期完整性需要界面结合力来维持。Bachu等[3]发现在CO2环境中,当界面有0.01～0.3 mm间隙时,渗透系数将增大6个数量级,为流体提供有效的渗漏通道。

1.2.2 固井水泥与地层的界面

Carey等[20]发现在固井水泥与地层界面存在0.1～1 cm的碳化区。在固井水泥与地层界面,CO2与水泥比其与岩石具有更强的反应活性,在界面沉积了无定形SiO2,由此起到封隔作用。但是Wigand等[15]指出,目前还缺乏该界面的物理生长模型,因而无法解释到底SiO2含量达到多少可以起到很好的封隔作用。为了模拟腐蚀介质从地层中渗透侵蚀水泥,Scherer等[24]研究了介质的扩散动力学,其服从非稳态扩散,扩散速度取决于岩石层性质,当岩石与介质反应时,扩散速率会降低,由此可以判断容易引发水泥腐蚀的层段,并估算水泥环腐蚀的深度。Matteo等[8]将水泥与地层界面的破坏分为两种类型,如图5所示,如果流体沿界面的流速远高于水泥腐蚀速率,将导致该界面快速而均匀地失稳;如果流体流速与水泥腐蚀速率相近,则该界面失稳较慢。

2 水泥完整性研究存在的问题

尽管近年来固井水泥的完整性引起了人们的极大重视,形成了一些重要的共识,但是仍然存在许多问题值得探讨:

(1)酸性介质对水泥的腐蚀规律依然杂乱,例如报道的强度丧失时间从几天到几年不等,差异很大。这是由研究者各自制备试样的条件和方法不同造成的,建立研究固井水泥完整性的标准方法是当前的重要任务,目前对固井水泥的研究大多借鉴了建筑混凝土的标准,其适应性值得商榷。

(2)水泥的水化产物复杂,目前对水化产物的化学成分和结构分析不够系统,各种CSH的物理化学稳定性及其相互作用不同,导致腐蚀反应不能准确表征,难以建立完整性破坏的物理化学模型,故准确表征水化和腐蚀产物相当重要。

(3)水泥与套管和水泥与地层两个界面的研究未得到足够重视,界面性能演变还不清楚,还不能解释界面保持完整性所需的基本条件。

(4)波特兰水泥的高碱性导致其在酸性介质中腐蚀成为必然,开发新型非波特兰水泥也应该成为解决高酸性油气田中水泥完整性的重要研究内容。

3 结语

非完整控制系统镇定问题的研究 第4篇

“非完整” (nonholonomic) 一词起源于近代的分析力学。早在1894年, 德国数学家Hertz第一次将系统所具有的约束划分为完整和非完整两大类, 从此开辟了非完整力学系统的新领域, 从那时开始才真正有了对非完整系统的研究, 迄今为止, 非完整系统的研究和发展已经有一百多年的历史了。

非完整系统的控制问题具有很大的工程味道。现有的研究主要集中在移动机器人, 有轮小车及空间机器人方面。非完整系统的经典的实例还包括在平面上运行的刀边系统以及角动量守恒的空间飞行器等等。另外, 非完整控制系统也可能出现于进行控制系统设计时所强加给系统的约束之中, 这类例子有运动学上的冗余的欠驱动机器人等[1]。

2 非完整控制系统的数学模型

在这一部分我们给出几种研究的十分广泛的非完整控制系统模型, 并考虑他们之间的联系。由于经典力学术语的原因, 我们把这些模型分为运动学模型和动力学模型。

2.1 运动学模型[2]

以运动学形式表示的非完整控制系统的一般形式一般由以下无漂移的非线性系统给出

其中2m

若m=2时, 两类研究的较多的非完整链式系统和非完整幂式系统均是以上系统的特殊情形。

链式系统:

链式系统虽然是非线性系统, 但是具有很强的线性系统的结构。例如, 当1u为非零常数时, 系统状态x2到nx为u2驱动的积分链;当1u仅为时间的函数时, 状态x2到xn构成的子系统变成了一个单输入的时变系统。许多的物理系统, 比如独轮车, 四轮汽车, 移动小车和带有N个拖厢的汽车等等, 其运动学方程都可以转化为上述链式系统。

幂式系统:

幂式系统是链式系统的一种特殊形式, 两者之间可以相互转化。类似于链式系统, 幂式系统也具有很强的线性系统的结构。同时, 现实生活中很多的物理系统经过坐标变换和控制输入亦可以化为幂式系统。幂式系统也是非完整控制系统研究中的常见的一种形式。

2.2 动力学模型[2]

尽管包含运动学关系的模型可能适合特定的控制目的, 但是包含动力效果的模型在其他一些方面也是必须的。不同于运动学模型, 动力学模型中的输入为广义力或广义力矩。非完整系统的动力模型可以通过对运动学模型的自然扩展得到

其中2m

扩展的链式系统

扩展的幂式系统

2.3 一般非完整动力学系统[3]

其中ir表示对于变量ix的ir阶微分,

是扩展的状态向量,

相对于对运动学模型和动力学模型而言, 模型 (6) 描述了一类更广泛的非完整控制系统。非完整动力学系统既考虑了运动学情况也考虑了动力学情况, 涵盖了众多类型的非完整系统, 例如链式系统、幂式系统、扩展的链式系统、扩展的幂式系统以及欠驱动的舰船系统等等。

3 非完整控制系统的镇定

3.1 控制律的存在性及其判别

由Brockett的必要条件[4]知, 非完整运动学系统 (亦包括动力学系统) 不存在光滑 (甚至连续的) 纯状态的反馈镇定控制律。

引理[4]:对于

其中x∈Rn, m

则不存在连续的反馈控制律将系统 (6) 镇定到原点。

为了克服Brockett必要条件的限制人们转而寻找不连续的反馈控制律、时变的反馈控制律以及混杂的反馈控制律。

3.2 不连续的反馈控制律

Astolfi[5]通过一个基于σ过程的坐标变换将一个连续的非完整系统变换为一个不连续的系统, 然后对于由此得到的线性时不变系统设计镇定控制律。以标准的链式系统 (2) 为例:

设计u1=-k1 x1, (k1>0) 使得相应链式系统的第一个状态为x1 (t) =x1 (0) e-k1 t, 对于剩下的状态采取如下不连续的坐标变换:

得到如下的线性定常系统:

其中

该方法的不足是控制律是不连续的, 对于状态1x (t) 的初始值1x (0) =0的情况必须设计一个附加控制之使得初始状态1x (0) 离开0, 即使对于1x (0) ≠0得情形, 当x1 (0) 很小而其他状态得初始值很大时, 导致得到得控制律u2 (t) 也很大, 也就是说该方法对于1x (t) 初值很敏感。

Guldner和Utkin[6]对于如下的三阶链式系统

采用滑模控制方法设计了不连续的镇定控制律。其中反馈控制律如下:

其中代表符号函数。上述不连续的反馈控制律使的系统的解沿着余维数为一的流形滑动到平衡点。

具体分析如下:

显然是不增的, 所以在条件

满足的情况下, 可以将θ (t) 有限时间内镇定到零点。一旦θ (t) 到达原点, 就必然永远停留在原点, 这样整个系统的解将沿着表面滑动到原点。如果初始状态不满足不等式, 可以预先通过一个控制使得系统的解进入不等式 (8) 满足的区域, 然后再应用上述设计的控制律。但是对于一般的非完整控制系统而言, 滑模面的构造是非常复杂的, 这仍然是一个值得研究的课题。

3.3 混杂反馈律

混杂控制律是将连续时间特性与离散事件特性或者离散时间特性结合起来的一种控制律, 其主要的操作过程是在底层已经设计好的连续时间控制律之间进行切换, 切换时间是事先指定或者是在控制实施的过程中决定[1]。

在对非完整系统镇定问题的研究中, Bloch[2]及Kolmanovsky[7]提出了基于连续时间特性和离散事件特性相结合的混杂控制律。构成该控制律的两部分为:离散事件的监督器和低层定常反馈控制器。其中监督器主要是完成对于低层反馈控制器的设定并在低层的反馈控制器之间进行切换, 以确保整个系统被镇定住;而低层的控制器主要是驱动基变量使得系统跟踪基空间中指定的路径。

基于连续时间特性和离散时间特性相结合的控制律也得到了广泛的研究。例如, Sordalen[8]对于运动学形式下非完整链式系统的镇定问题设计了此类控制律, 并得到了指数收敛性的结果, 更一般运动学形式下非完整控制系统混杂控制律的设计方法, 可以参考[1]及其相关的参考文献。

3.4 光滑时变的反馈控制律

3.4.1 光滑时变渐近控制律

Samson[9]针对一般的非完整链式系统, 在控制器的设计中采用引进持续激励信号的办法, 得到了光滑时变的镇定控制器。

以一般的n阶链式系统 (2) 为例, 其主要思想是在控制律u1=-k1 x1+h (x1, x2, t) 的条件下, 利用Lyapunov函数和系统结构再设计控制律u2。由于控制律1u的具体形式决定了相应闭环系统的收敛速度不是指数收敛的, 实际上该文所采用的方法是降低链式系统中第一个状态的收敛速度来利用控制律u2来完成对于其余状态的镇定, 对于其他的这些状态 (除1x) 的镇定性证明通过是Barblat引理来完成, 所以要求1u不能收敛于零。文中进一步的给出了除x1的其余状态镇定的必要条件是

从而可以看出在x1 (u1) 趋于零的情况下仍然可能采用该方法设计镇定问题的控制律, 如设计x1 (u1) 收敛的速度足够慢 (t-1 2) , 上述关于的积分条件仍然是满足的。但是如果x1 (u1) 是指数收敛于零的情况, 上述关于1u的积分条件显然不成立。从而该设计方法在非完整系统的镇定问题研究中不能得到指数收敛的结果。

3.4.2 光滑时变指数控制律

Tian等[3]通过引入附加状态和基于最小膨胀度的时变坐标变换对于一类非常一般的非完整系统设计了指数收敛的时变的镇定控制律。以上述的链式系统为例, 通过引入一个积分器形式的附加状态成功的克服了以往简单的设计控制律1u (例如u1=-k1 x1) 所产生的系统的其余状态不可控制的问题, 文中通过引入附加状态将系统进行扩维, 成功的将x1 (u1) 的收敛最慢的主模态提取出来, 然后以最小膨胀度的概念作为基础, 以前面所说的主模态最为“标尺”, 设计控制律u2使得其余子系统 (时变) 的状态收敛速度一个比一个快 (当然都快于第一个系统的主模态) , 最终实现所有状态的镇定。虽然该方法是将系统从n维欧式空间推广到n+1维的欧式空间, 利用n+1个状态组成的动态反馈控制律来镇定状态到一个维子流形的系统上。但对于非完整系统来说, 我们感兴趣的是将这n维系统镇定住, 同时该时变的控制律在n维流形上是光滑的。

4 当前和将来的研究课题

关于非完整控制系统仍然有很多重要的问题需要研究。当有模型由于变参数或者是忽略后的动态系统造成不确定性的非完整系统的控制问题。由于模型的扰动可能会破坏非完整性的假设。例如, 接触运动物体的非滑动的条件和多体飞行器的零角动量只是暂时的保持住, 关于这些扰动产生的结果和有扰动时控制的设计仍然有很多去研究, 而现阶段针对非完整控制系统此类问题的研究并不多。

参考文献

[1]Kolmanovsky I., McClamroch N.H., Developments in nonholonomic control systems.IEEE Control Systems Magazine, 1995, 15 (6) :20～36.

[2]Bl och A.M., R eyhanogl u M., McClamroch N.H., Control and sta-bilization of nonholonomic dynamic system.IEEE Transactions on Auto-matic Control, 1992, 37 (11) :1746～1757.

[3]Tian, Y.～P., Li, S., Exponential sta-bilization of nonholonomic dynamic systems by smooth time～varying control, Automatica, 2002, 38 (7) :1139～1146.

[4]R.W.Brockett, Asymptotic stability and feedback stabilization, in Differ-ential Geometric Control Theory[M], R.W.Brockett, R.S.Millman, and H.H.Sussmann, Eds.1983:181～191.

[5]Astolfi A..Discontinuous control of nonholonomic systems[J].System&Control Letters, 1996, 27 (1) :37～45.

[6]J.Guldner and V.I.Utkin, Stabiliza-tion of nonholonomic mobile robots using Lyapunov functions for naviga-tion and sliding mode control, Pro-ceedings of the33rd IEEE Conference on Decision and Control, 2967～2972.

[7]Kolmanovsky I., Reyhanoglu M., McClamroch N.H., Switched mode feedback control laws for nonholonomic systems in extended power form.Sys-tems and Control Letters, 1996, 27 (1) :29～36.

[8]Sordalen O.J., Egeland O., Exponen-tial stabilization of nonholonomic chained systems.IEEE Transactions on Automatic Control, 1995, 40 (1) :35～49.

非完整井 第5篇

关键词：公路,非完整缓和曲线,简易计算

对于一项完美的线形设计成果必须由公路承建单位的测设人员精心施工控制才能实现, 而公路几何线形的现场实地测设必须要先进行中边桩内业资料的整理, 方能利用测设设备进行实地的作业控制。通过多年的发展, 公路测设设备已经比较完备, 特别是全站型电子速测仪的广泛应用, 为公路测设工作的进程带来了很大的方便。由甘肃路桥建设集团承建的宕昌至迭部二级公路改建工程地质气候条件复杂, 存在山体破碎褶曲发育, 线内多为V型沟谷并伴有地震、落石、泥石流、坍塌、滑坡、高寒多雨、涎流冰等不利因素路线展线困难, 设计中基本上使用各种复杂曲线, 本论述主要针对非对称且非完整缓和曲线中边桩坐标值的展开解析, 应用平行四边形矢量分解合成法进行解析简易计算。

1 计算方法

目前关于公路线形设计、检测和测量的书籍出版的相当多, 但对非完整缓和曲线中边桩计算文章很少, 大多书籍阐述坐标计算是建立在极坐标以及直角坐标系方位角的应用, 可是在实际运用中往往因为差错率高而要进行多项验算。本论述的指导方法是利用几何线形参数将公路线形设计成果, 通过简单比较计算直接放入大地直角坐标系中进行判定增减移量来实现所求任意点的大地综合坐标值;对于非完整缓和曲线首先将删减部分的缓直点恢复, 利用恢复的缓直点按正常方法即可计算任一点的坐标, 从而将坐标值输入全站仪进行现场施工测设。

2 工程实例

以宕昌至迭部二级公路改建工程线形设计成果的某一段落为例进行简易分析计算。

首先利用公式A2≠LS*R判定几何线性为非完整的缓和曲线, 再利用公式LS=A2/R求出完整的缓和曲线长度。如表1中下划线即为不完整的缓和曲线:90.1392≠100*50, 完整的缓和曲线长度90.1392/100=81.250m, 删减的缓和曲线长度为81.25-50=31.25m;再根据缓和曲线前后的半径R1、R2大小判定删减的缓直点位置和偏角, 删减的缓直点位于大半径侧, 用正常计算方法将删减的缓直点桩号、坐标反算出。即删减段对应的缓和角β′为3°26′36.03″, 虚拟缓直点ZH′桩号为k46+686.575。

利用虚拟缓直点计算某点方位角时, 须将删减的缓和曲线角扣除。

(1) 本段公路路线平面布置及走势情况见图1所示。

(2) 将此路线走势按实际判定直接放入所在象限内, 见图2、图3所示。

其中ΔY=YJD178-YJ0177=-57.566<0, ΔX=XJD178-XJ0177=-96.756<0。

JD177178直线与N轴所成的交角α=arctg|ΔY/ΔX|=arctg|-57.566/-96.756|=30°45′3.51″ (即为图中标注的α角) 方位角210°45′3.51″。

其中ΔY=YJD179-YJ0178=15.307>0, ΔX=XJD179-XJ0178=-117.465<0。

JD178JD179直线与N轴所成的交角α=arctg|ΔY/ΔX|=arctg|15.307/-117.465|=7°25′28″ (即为图中标注的α角) 方位角172°34′32″。

根据以上数据可以判定路线基本走向在第二、三象限, 如图1所示。

(3) 依据平面直线、曲线及转角表可知:不管是极坐标或者是直角坐标系中进行坐标计算都是利用平行四边形法则或者是可以看作是有向线段的矢量增减计算, 而在计算中所需的基本参数就是有向线段的长短以及与参照方向的偏移角;往往通过偏移角将有向线段进行N、E方向的分解和合成, 有向线段的长短很容易求出, 只要找准偏移角, 利用以上判定的实物图直接进行矢量偏移量的加减运算即可完成任意的结果。

在中桩坐标的计算过程中须特别注意的是应首先计算直圆点 (直缓点) 和圆直点 (缓直点) 的坐标, 如果利用交点的坐标直接参与其他点号的计算很容易出现直曲线长度判定的差错。利用直圆点 (直缓点) 和圆直点 (缓直点) 的坐标进行运算往往可以避免此类的错误。因此在进行中桩坐标计算中通常先求解直线上的特殊点号坐标, 如直圆点 (直缓点) 、圆直点 (缓直点) 、曲中点等。同时由于坐标算量大、差错率高的因素, 在各种坐标的运算结束后一定要进行复核验算, 通常宜是几个人交叉审核验算以及现场实地检验, 进行验算是非常必要的。

(4) K46+555.812K46+655.325段主线中桩坐标计算范式。

(5) 图中 (1) 段K46+555.812至K46+598.069主线中桩坐标计算范式。

由图2可看出:计算点的坐标以HZ点为基础, xi、yi在N方向上矢量均为负, xi、yi在E方向上矢量xi为负yi为正, 即得任一点坐标 (N;E) 为:

其中α=30°45′3.51″2-1式

直缓点 (ZH) 桩号K46+555.812的坐标是 (3777974.564;378667.202) 。

缓和曲线段

圆曲线段

其中Φ=180L/ (пR) +180LS/ (2пR) 2-3式

(6) 图中 (2) 段K46+598.069至K46+655.325主线中桩坐标计算范式:

由图2可看出:计算点的坐标以HZ点为基础, xi、yi在N方向上矢量均为正, xi、yi在E方向上矢量xi为负yi为正, 即得任一点坐标 (N;E) 为:

式中α=7°25′28″+3°26′36.03″=10°52′4.03″

其中:XHZ=3777928.448+48.961cos172°34′32″

缓直点 (ZH) 桩号K46+655.325的坐标是 (3777879.897;378646.092)

上式中α采用“+”或“-”删减段对应的缓和角β′应根据象限内实际而定。

缓和曲线段

圆曲线段

其中Φ=180L/ (пR) +180LS/ (2пR) 2-6式

上式中L均为待求点与虚拟HZ′的间距离, LS为完整的缓和曲线长度值。

(7) 恢复的缓直点或虚拟HZ′k46+686.575坐标计算过程:

为简化计算可将虚拟的HZ′坐标设为 (XHZ′, YHZ′) 代入2-4式中求解K46+655.325的坐标, 然后反算虚拟的HZ′坐标。具体过程为:

xi、yi由2-5式求解

经实际计算可得虚拟的HZ′坐标的坐标为:

(8) 主线边桩坐标计算范式

左边桩坐标计算范式

右边桩坐标计算范式

其中:D为边桩至中桩的垂直距离, B为测算点的方位角。

N、E均为测算点的中桩大地坐标值, X、Y均为测算点的边桩大地坐标值。

上式中均为正交边桩, 斜交可根据角度和距离自行计算, 原理同正交方法。正交边桩的方位角计算可简化理解为由起始边交点方位角经过曲线逐点旋转至终止边方位角, 它的旋转角度就是曲线所对的圆心角 (或偏角) , 右转为顺时针变大, 左转为逆时针变小, 这样就很容易计算曲线上任一点的方位角。非完整缓和曲线的方位角依据2-5式、2-6式计算时一定要扣除删减部分的缓和曲线角 (本例中即为3°26′36.03″) 。本论述列举了实例中部分中桩坐标计算值 (见表2) 和左右边桩计算值 (见表3) 。

3 总结

综上所述, 可以利用现有的CASIO-fx5800计算器进行简单编程, 分为参数部分和运算部分, 其中参数主要为圆曲线和缓和曲线段的xi、yi计算 (如2-2、2-3、2-5、2-6式) ;运算部分主要为“++-+、---+、+---”等的计算 (如2-1、2-4式) 。同时再列计边桩计算程序, 根据目前公路应用的平曲线类型, 所有的中边桩坐标仅需要简单的几个程序就全部囊括。总之依据上述的计算方法和操作程序, 计算想要的任一点坐标, 再将坐标输入放样设备就直接进行实地定位。

参考文献

[1]钟孝顺, 聂让.测量学[M].北京:人民交通出版社, 1997.

[2]孙家驷, 等.公路勘测设计[M].重庆:重庆大学出版社, 1995.

非完整井 第6篇

关键词：分析力学,非完整系统,Lindelf方程,变分原理

1 Lindelf方程

1.1滑滚动问题的解

非完整系统的运动理论常常引起学者们的兴趣.还是在I.Newton,L.Euler,I.Bernoulli,J.Bernoulli,d'Alembert,J.Lagrange的研究中就遇到了带有非完整约束的系统运动特征的刚体无滑滚动问题的成份.Poisson在解类似问题时利用了动力学普遍定理.Routh和Appell也解决了这样的问题.他们的方法都是正确的.但在19～20世纪之交,试图用完整力学的习惯方法去解典型的非完整问题,就出现了一系列重大错误[1].Neuman在1885年和1886年为建立刚体沿固定平面无滑滚动的运动方程,应用了通常的第二类Lagrange方程.不久他就明白了,必须用更复杂的带乘子的Lagrange方程.

1.2 Lindelf方程

1895年E.Lindelf (1870—1946)求解了更特殊的问题.他研究了有回转面的物体,其惯性中心在转轴上,而转轴是物体的动力对称轴,力是保守的,并且力函数仅依赖于物体接触点的坐标.Lindelf不用动力学普遍定理,而由Hamilton原理或由它得到的第二类Lagrange方程出发,写出表示接触点速度为零的两个非完整约束方程,再将其代入动能中,并错误地认为这就完全考虑到了约束的非完整性,而因此可以建立第二类Lagrange方程[2].自然,用这种方法得到的微分方程确实更简单并且可求积分.

1.3 Lindelf方程的影响与改正

E.Cresani(1889),G.Schouten(1899),P.Molenbrock(1890),L.Boltzmann(1885)等也犯了类似错误.Lindelf表面精美但不正确的解如此令Appell高兴,以致将之作为第2类Lagrange方程应用的例子写进他《理性力学》第1版(1896) 452页中.在1898年的第2版中Appell写道:“……Lindelof的结果是错误的,我在1898年指出了Lindelf的这个错误,并在下一版我的Traité中做了改正.”Boltzmann在1902年改正了自己的疏忽.后来,Appell和Boltzmainn都找到了正确的方程.

Chaplygin第一个指出Lindelf错误,并在1895年11月25日在自然、人类学、人文学爱好者协会物理科学分会上报告了他自己的运动方程,即后人称之为Chaplygin方程的方程.

Lindelf的这个错误是相当著名的,由此吸引了当时许多学者对非完整力学的注目[3],而因此成就了Chaplygin,Voronets,Appell,Hamel等非完整力学的奠基人物.在总结非完整力学的历史经验时,千万不要忘记Lindelf方程和Lindelf错误的功劳[4]

1.4两种方法

在研究刚体纯滚动问题时,开始人们用动力学普遍定理(质心运动定理,相对质心动量矩定理,动能定理),后来用分析力学的方程.前一方法会出现约束力,最后必须消去;后一方法不出现约束力,但计算较复杂.20多年前的一次学术会议上吕茂烈先生就用动力学普遍定理研究一些具体的非完整系统.2007年梅凤翔访问圣彼得堡大学时,Yushkov教授送来一本书《非完整动力系统》(2002),其中不少文章用动力学普遍定理建立刚体滚动问题的微分方程.

2与Pironneau教授的讨论

2.1 Pironneau教授

Y.Pironneau (1923—1983)教授曾任法国大学区校长(Recteur),20世纪80年代初任法国南特高等机械工程学校(ENSM)校长,兼结构力学实验室主任,是梅凤翔访问时(1981—1982)的导师.苏联院士Rumyantsev VV (1921—2007) 20世纪70年代末曾访问那所学校,并在分析力学和运动稳定性方面作了报告,其中讲到Chetaev条件.Pironneau教授知道梅凤翔做分析力学,因此,接受他于1981年3月到该校访问.

2.2与梅凤翔的讨论

Pironneau教授就Chetaev条件与梅凤翔讨论过3次.首先,让梅凤翔将Chetaev的原文译成法文给他.其次,Pironneau强调了两点:第一,他认为非线性非完整力学系统有无穷多个解;第二,Chetaev定义下有唯一解,我Pironneau搞一个定义也有唯一解.梅问:那么线性非完整约束系统呢?P答:因为靠接触靠摩擦实现,因此有唯一解.Pironneau于1982年在意大利都灵由IUTAM-ISIMM举办的“分析力学近代发展”讨论会上做了《关于非线性非完整约束,零功虚位移,Chetaev条件》的报告,指出非线性非完整约束是数学的,系统有无穷多个解.

1981年春天,梅凤翔为练习法语表达,在ENSM作了一个报告,讲到非线性非完整约束对虚位移的限制的Chetaev条件.教授们不理解,反而一位年轻人明白了.后来,Pironneau举一例说明Chetaev条件不对.一单位质量质点在不受主动力作用下,在平面Oxy上运动,受有速度大小为常数的非完整约束

他指出,虚位移δz=0,δx,δy任意.因此,Chetaev给出的

不对.实际上,按Chetaev条件给出的运动微分方程为

由此得

将约束方程对t求导数,得

因此,有λ=0,从而

可见,Chetaev条件也对.这个例子不能说明Chetaev条件不对.

2.3关于Chetaev条件

众所周知,仅给出约束的数学表达式,不论完整的,还是非完整的,还不能确定系统的运动,还必须给出约束的物理实现:是理想的,还是非理想的.对摩擦力做功的非理想情形,尚须给出摩擦定律.

如果系统受有双面理想Chetaev型非完整约束

它对虚位移的限制为Chetaev条件

这儿及以后相同指标表示求和.而运动微分方程为

两端乘以δqs并对s求和,得到

这儿已用到约束的理想性条件

而式(4)为d’Alembert-Lagrange原理,或称动力学普遍方程.

Chetaev条件之所以被怀疑,原因有二.一是式(2)数学上有点儿不通;二是约束(1)的理想性不明显.

3 非完整力学的理论基础

3.1 微分变分原理为基础

d’Alembert-Lagrange原理为

其前提是约束为双面理想的,因此,约束力总体上不起作用.原理(6)的广义坐标形式有Euler-Lagrange形式

Nielsen形式

以及Appell形式

为由原理导出非完整系统的运动微分方程,需给出非完整约束对虚位移δqs的限制.Chetaev条件(2)是一种合理的选择,因为恰好是理想的.

Jourdain原理为

非完整约束(1)对速度空间虚位移的限制为

由式(10)～式(11)可导出非完整系统的运动微分方程.

Gauss原理为

将方程(1)对t求导数,得

取Gauss变分,加速度空间虚位移满足

由式(12)和式(14)可导出非完整系统的运动微分方程.

3.2 Hamilton原理

(1)非完整系统的Hamilton原理

假设广义力有势,原理(7)可写成形式

它可表示为

由t0至t1积分,并利用端点条件,得

由此利用dδ运算交换关系的Hlder表达和Suslov表达,可得到非完整系统的两种类型的Hamilton原理[5].利用它们可导出非完整系统的运动微分方程.

(2)条件变分问题

Hamilton作用量在条件(1)下的变分问题为

其中Kβ为不定乘子.与之对应的Euler方程为

方程(19)称为Vacco动力学方程.方程(19)与方程(3)仅在极特殊情形下才一致.前者约束是非理想的,后者则是理想的.Vacco一词最初出现在Kozlov1982年的论文[6]中,据说是意大利词,译成俄文为Сидéтьбезделá,意为“没事闲待着”,不好理解.后来有一英文词vakonomic,v代表“变分”,a代表“公理”,k代表“类”,即变分公理类的.1987年专著[7]曾提出问题:Vacco是允许的,还是不正确的.现在看来Vacco模型是允许的,可用来研究控制问题,而做力学的需用Chetaev的.

4 我国学者对非完整力学的贡献

4.1 20世纪50～60年代

(1)两本理论力学教材

20世纪50年代的两本理论力学教材提到了非完整系统的运动微分方程.一本是范会国先生的《理论力学》[8],另一本是周培源先生的《理论力学》[9].范会国(1899—1983)的书是他在30年代在南京中大、北平师大、上海交大的理论力学讲稿增修而成,而分析力学部分是1944年在中国科学社数理讲习会的讲演资料.1944年由龙门联合书局发行第1版,1951年出第3版.书中第14篇第3章为不完整组,篇幅仅十页,讲到“不完整之情形中Lagrange方程及乘数方法之配合应用”,“Lagrange方程不能适用之情形”,“完整组及不完整组之运动方程式之普遍形状”.第1小节给出非完整系统带乘子的方程,第3小节就是Appell方程.在那个年代,能在中国的理论力学教材中介绍一些非完整力学知识确是值得敬佩的.范先生在前言中指出“夫大海茫茫,究有边底,惟有学问,无有涯止”,以告诫后学.这本书由武际可先生藏书复印来的,而武先生花了五元钱由旧书店淘来.要感谢武际可先生,没有他的支持就写不出以上文字.

周培源(1902—1993)的《理论力学》是在西南联大的讲义基础上改写的,1952年由人民教育出版社出版[9].几年前,《力学与实践》副主编刘俊丽在废品摊上用5角钱购得一册.几位理论力学教师得知后纷纷拿来复印.后由清华李俊峰等推荐,2012年由科学出版社重印,受到读者欢迎.这本书涉及非完整力学的除Appell方程,还介绍了Mac Millan方程.Mac Millan方程是Mac Millan于1936年出版的一本书中给出的,周先生较早认识到它的重要意义而写在书里了.而苏联学者于20世纪60年代才开始重视这一方程.

(2)一本译著和一本专著

1956年科学出版社出版了一批由俄文翻译的重要论著,其中有张燮翻译的苏联Chaplygin的关于非完整力学的小册子[10].Chaplygin SA (1869—1942),汉译为恰普雷金或查浦雷金,是俄国、苏联力学家,非完整力学的奠基人之一.这个小册子包括Chaplygin 4篇关于非完整力学的论文,其中有非完整系统的运动方程,即后人称为Chaplygin方程的方程,给出研究刚体沿平面纯滚动问题的两种方法:动力学普遍定理方法和分析力学方程方法.这4篇论文都是奠基性成果.近年相关文献还常有Chaplygin问题,Chaplygin雪橇,Chaplygin球等专有名词.如前面提到的2002年的俄文书《非完整动力系统》.

1958年高等教育出版社出版了汪家訸先生的专著《分析动力学》.这是我国分析力学的第一部著作,其中介绍了非完整约束和单面约束,非完整系统带乘子的方程和Appell方程.本书为我国分析力学的教学和科研起了很好的示范作用.

(3)一个报告和一篇论文

北京工业学院教授胡助(1894—1977)、赵进义(1902—1972)作为Appell当年的学生,1964年在全国第一届一般力学学术会议上有一个题为《关于非完整系统的Appell定义和Appell方程》的报告,深入研究了Appell方程和Gauss原理之间的关系.胡助先生曾在北京工业学院为本科生讲授分析力学课程,并于1963年出了《分析力学讲义》,其中介绍了非完整系统带乘子的运动方程.胡助先生为北京理工大学分析力学学科的发展起了重要带头作用,因而20世纪60年代,北京工业学院理论力学教研室成了我国分析力学研究的“一个点儿”.这个分析力学研究的“一个点儿”是北京工业学院基础部领导对梅凤翔说的.可惜的是,后来者没有很好地继承两位先生的工作.

1964年年仅22岁的山东工学院学生牛青萍(1942—)在《力学学报》上发表论文《经典力学基本微分变分原理与不完整力学组的运动方程》[11],文中使用坐标空间、速度空间、加速度空间统一描述质点系的运动,提出速度空间、加速度空间虚位移的概念,对经典力学的dAlembert-Lagrange原理,Bertrand(Jourdain)原理,Gauss原理给出了统一表述,并由Jourdain原理导出了非线性非完整系统的各类运动方程.这篇具有国际先进水平的重要论文被世上第一本非完整力学专著[12]列为参考文献.一位内燃机专业的大二学生用了两年时间写出了如此高水平的学术论文,实在令同代人钦佩,令上代人欣慰.后来,牛青萍去云南昆明当了工程师,但仍关心我国非完整力学事业,他与梁天麟合作的项目“非完整系统动力学方程及公理化体系”于1992年通过云南科技委成果鉴定,受到肯定.

4.2 20世纪80年代以来

20世纪80年代出版了一批分析力学教材和专著.其中有较大影响的有:陈滨的《分析动力学》(北京1987,台北1989),2012年作为“中外物理学精品书系”出了第2版[13].本书在非完整局部性与大范围全局分析理论,状态空间线性约束的完整性理论,约束本构特性理论以及Gauss-Appell-Chetaev模型与Vacco模型理论等研究方面非常深入,颇具特色.吴镇先生的《分析力学》(1984)[14],梅凤翔的《非完整系统力学基础》(1985)[15]也被美国Papastavridis 1400页的《分析力学》(2002)[16]所引用.

梅凤翔自1983年在北京理工大学举办分析力学讨论班,1984—2001年培养硕士12名,1991—2008年培养博士18名,1992—2010年培养访问学者13名.他们在非完整系统的运动稳定性,非完整系统的对称性与守恒量,非完整系统的几何力学,非完整系统的随机响应,非完整系统的路径规划等方面取得一系列成果.

5 结语