非线性系数范文

非线性系数范文（精选8篇）

非线性系数 第1篇

粒子群算法(partic le swarm optimization-PSO)是由Kennedy和Eberhart[1]等人于1995年提出的一种基于种群搜索的自适应进化计算技术。它最初用于处理连续优化问题,目前已扩展到组合优化问题,获得了许多优秀的应用成果。然而,Kennedy等人提出的粒子群优化算法亦有其不足:例如易陷入局部极值点,进化后期收敛速度慢,精度较差等。为了克服粒子群优化算法的这些不足,研究人员提出了许多改进的粒子群优化算法。这些算法从不同方面对粒子群优化算法进行了改进[2~5],不同程度地提高了算法的收敛速度和精度。由此,本文提出用非线性函数调整惯性权重和加速系数的粒子群优化算法(nf PSO),在算法的运行过程中通过一个与当前迭代次数相关的非线性函数控制惯性权重和加速系数,使得在算法初期加大粒子的多样性与在算法后期加快粒子的收敛速度,从而实现“发散”与“收敛”的动态平衡。

2. 粒子群优化算法

粒子群优化算法是一个基于种群的优化算法,种群称作粒子群,粒子群中的个体被称为粒子。设有N个粒子组成的一个群体,其中第i个粒子表示为一个m维的向量xi(i=1,2,N),第i个粒子的“飞行”速度也是一个m维的向量,记为vi(i=1,2,N)。再设f(x)为最大化的目标函数,则粒子群优化算法采用下列公式对粒子操作:

其中,w为惯性因子,c1和c2称为加速系数;r1和r2是介于[0,1]之间的随机数;pi(t)(i=1,2,N)为第i个粒子迄今为止搜索到的最优位置,更新式如下:

pg(t)为整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置,即:

迭代中止条件根据具体问题一般选为最大迭代次数或(和)粒子群迄今为止搜索到的最优位置满足预定最小适应阈值。式(1)中c1r1(pi(t)-xi(t))被称为“认知”部分,表示粒子本身的思考;而c2r2(pg(t)-xi(t))被称为“社会”部分,表示粒子间的信息共享和相互合作。

3. 非线性系数的粒子群优化算法(nf PSO)

3.1 非线性系数惯性权重和加速系数

通过实验观察发现:粒子群中粒子的进化,主要是通过粒子群中的个体迄今为止搜索到的最优位置(个体最优位置)和整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置(整体最优位置)来控制的。当加大个体最优位置在PSO算法中速度更新式的影响权重时,粒子群的多样性就会增加,但是会减慢收敛速度;当加大整体最优位置在PSO算法中速度更新式的影响权重时,粒子群收敛速度会加快,但容易过早地陷入局部极值。

Shi和Eberhart[6]指出较大的w值有利于跳出局部极小点,而较小的w值有利于算法收敛:速度更新式(1)的第一部分表示了粒子以前的速度对粒子下一步运动的影响。这部分提供了粒子在搜索空间飞行的动力。其中的惯性权重控制了粒子以前的速度对当前速度的影响的大小。因此,惯性权重的设置也会影响粒子的全局搜索能力与局部搜索能力之间的平衡。如果w较大,整个算法的全局搜索能力加强,有利于跳出局部极小点;而w值较小,则前一动量项的影响较小,则粒子集中在当前解的附近搜索,局部搜索能力较强,有利于算法收敛。

于是本文提出了一种用非线性系数惯性权重w和加速系数控制c1,c2的策略:

其中,iter为当前迭代的次数,iter Max为最大迭代次数。由(5)式可以看出,这样便可实现在算法初期w和c1较大而在算法结束阶段w和c1较小,并且有个扰动因子sin(iter)的作用,使得算法具有更强的跳出局部极值的能力。w随迭代次数的变化如图1所示:

3.2 极值扰动

粒子群优化算法在前期的收敛速度很快,但是,如果当前最优解为一局部最优位置,那么一旦所有粒子都收敛于该位置后,这些粒子将很难跳出该局部极值,从而造成在进化后期进化速度慢、精度低的不足。下面从理论上分析这一现象。

Clerc M,Kennedy J[7]指出,在假设pi(t)(i=1,2,L N)、p0和pg都固定不变的情况下,得出如下结论:

由(7)式可知,在粒子群优化算法中,粒子收敛到由个体极值p0和全局极值pg决定的线段中的一点p*之上,如果粒子在向p*靠近过程中发现比p*更好的解则将个体极值p0设为新的全局极值pg;否则,粒子都聚集到p*,粒子速度趋向于0,进化过程处于停滞状态。于是本文提出了将(1)式中个体极值与全局极值都乘以sin(i)的扰动方法,如(8)式所示:

4. 仿真实验与结果分析

为了测试本文提出的nf PSO算法的性能,在本节将用nf PSO算法与上文提及的PSO算法、学习因子线性变化的lf PSO算法进行比较。用这三个算法对3个Benchmark函数进行测试。其中,PSO算法w从0.9线性下降到0.4,学习因子c1,c2均为2;lf PSO算法w从0.9线性下降到0.4,c1从3.5线性减小到1,c2从1线性增加到3.5。每个算法进化代数设为500,种群个数为20,变量维数30,各运行50次所得函数适应度的平均值、最优值、达截止值的迭代次数作为统计指标。为了方便进化曲线的显示和观察,本文对函数的适应度取以10为底的对数。适应度截止值为10-15。

3个测试函数分别为:(1)Sphere函数:,(2)Quadric函数,(3)Rastrigin函数。每个函数变量取值区间为[-100,100],它们最优值点和最优值为minf1(x*)=f1(0,0,L,0)=0。各个函数的仿真结果如下表所示:

从实验结果表1~表3可以看出,本文提出的nf PSO算法对于不同维数的测试函数在搜索速度与精度上都远大于其它两种算法。特别在进化后期,PSO与lf PSO的进化速度都大幅减慢从而收敛到精度较低的最优值上,而nf PSO保持良好的进化速度,最终收收敛到较高精度的最优值上。这些实验结果说明了本文提出的nf PSO算法比PSO算法具有更好的实用性能。

5.结论

本文分析了造成PSO算法在初期容易陷入局部极值、进化后期收敛速度慢和精度低等缺点原因,并提出了极值扰动以避免粒子的过早陷入局部极值、非线性调整加速系数和惯性权重的对策,由此得到了非线性系数的粒子群优化算法(nf PSO)。通过对3个经典优化测试函数仿真对比实验结果说明nf PSO算法无论是从收敛速度还是结果精度都较其它两对比种算法更优良,具有不易陷入局部极值、收敛速度快和结果精度高的特点,使得nf PSO算法更具实用性。

参考文献

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非线性系数 第2篇

在Zeller平衡损失思想的`启发下,对线性回归模型提出了一种新的参数估计标准,得到了回归系数的广义平衡LS估计,并且在新的标准下提出并讨论了参数受线性约束和有界约束时的平衡LS估计和广义平衡LS估计.

作 者：柏超 罗汉 BAI Chao LUO Han 作者单位：柏超,BAI Chao(中南林业科技大学理学院,湖南,长沙,410004)

罗汉,LUO Han(湖南大学数学与计量经济学院,湖南,长沙,410082)

非线性系数 第3篇

其中a, b, c是任意常数。显然, 对于该类方程的显式解是很难研究的, 因此本文研究目的是通过定性分析研究该类方程的解问题。

方程 (1) 两边乘以y′后积分得到:

整理后得到:

为了进一步分析方程 (3) , 我们要借助于一些对微分方yx2=F (x) 已有的结果[4]:

(a) 若F (x) 在y=m处有一个简单零点, 即F (m) =0, F′ (m) ≠0, 则解在x→x0时有, %其中y在x=x0处取极值m。

(b) 若F (y) 在y=m处有一个二重零点, 即F (m) =0, F′ (m) =0, F″ (m) ≠0, 则解在x→∞时有, 且当x→∞时y→m。

利用上述结果, 我们很容易得到以下结论:

若满足F (y) >0和y1<y<y2, 则微分方程yx2=F (x) 有下列形式的解 (图1) :

(1) 如果函数F (y) 具有两个简单零点y1和y2, 那么微分方程具有周期解。

(2) 如果函数F (y) 具有一个简单零点y1和一个二重零点y2, 那么微分方程具有一个衰减解。

(3) 如果函数F (y) 具有一个二重零点y1和一个二重零点y2, 那么微分方程具有一个扭结解。

下面研究的零点分布, 本文只讨论a>0的情况。利用韦达定理以及根与系数的关系, 可以得到函数的9种图形以及相应的参数条件。

1.若c>0, 则微分方程的解为: (i) 当b>0时, 方程有负周期解 (c0<0) ;方程有负衰减的解 (c0=0) ;方程除了常数解没有其他形式解 (c0>0) 。 (ii) 当b=0时, 方程除了常数解外无解。 (iii) 当b<0时, 方程有正周期解 (c0<0) ;方程有正衰减的解 (c0=0) ;方程除了常数解没有其他形式解 (c0>0) 。

2.若c=0, 则方程除了常数解没有其他形式解。

3.若c<0, 则方程y′2=F (y) 的解为 (i) 当b>0时, 方程除了常数解外没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有周期解, 正衰减解和负衰减解 (c0>0) ; (ii) 当b=0时, 方程除了常数解没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有周期解和扭结解 (c0>0) ; (iii) 当b<0时, 方程除了常数解没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有负周期解和负衰减解 (c0>0) 。

摘要：本文给出一类特殊二阶常系数非线性微分方程的定性解法。通过对零点分布的分析, 证明了该类方程具有周期解, 衰减解以及扭结解。本文的研究对高等数学的教材也是一种有益补充。

关键词：零点分布,周期解,衰减解,扭结解

参考文献

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[3]时宝, 张德纯, 盖明久.微分方程理论及其应用[M].北京:国防工业出版社, 2005.

非线性系数 第4篇

为研究n阶常系数非齐次线性常微分方程解的问题,求证了n阶常系数非齐次线性常微分方程的通解和特解的.积分表达式.利用韦达定理和一个变量替换,对n阶常系数非齐次线性微分方程进行降阶,导出该方程的一个用积分表示的通解公式,并根据特征根的不同情形给出了通解的各种形式及相应的通解和特解公式.

作 者：唐生强 唐清干 作者单位：唐生强(桂林电子工业学院图书馆,广西,桂林,541004)

唐清干(桂林电子工业学院计算科学与数学系,广西,桂林,541004)

磁流变阻尼器等效线性阻尼系数计算 第5篇

磁流变阻尼器是一种新型的结构半主动振动控制装置[1], 它具有结构简单以及阻尼力可控性好等优点, 在车辆、桥梁以及建筑等结构系统的振动控制上具有广阔的应用前景[2,3,4]。

磁流变阻尼器复杂的非线性力学特性使得应用流变力学理论推导其阻尼特性极为困难。为了更准确地描述磁流变阻尼器的非线性力学特性, 国内外学者进行了大量的研究, 提出了多种数学模型。Spencer等[5]在Bouc_Wen模型基础上提出的修正的Bouc_Wen模型对激励有很好的适应性, 能较好拟合实验数据并能较精确地描述磁流变阻尼器的非线性特性, 但该模型待辨识参数较多, 部分参数物理意义不明确, 进行参数优化时容易发散。求取磁流变阻尼器等效线性阻尼系数能有效改善以上问题, 并能更好把握阻尼器在给定激振频率以及不同控制电压和振幅下的耗能能力, 有利于更好设计其控制策略。Li等[6]给出了磁流变阻尼器等效线性阻尼系数与电流和振幅的关系;夏品奇等[7]应用能量等效和数值积分法求取磁流变阻尼器的等效线性阻尼系数, 但没给出具体公式;陈大伟等[8]进一步给出其分段函数形式, 但该函数难于对系统进行分析计算。

本文首先在修正的Bouc_Wen模型基础上沿用能量等效和数值积分方法计算磁流变阻尼器的等效线性阻尼系数, 然后利用线性多项式及幂函数参数模型对其输入电压及运动振幅进行参数拟合, 最后对阻尼器等效线性阻尼系数模型的精度以及该方法对其他力学模型的适应性进行了验证。

1 修正的Bouc_Wen模型

本文采用的修正的Bouc_Wen模型具体如下:

其中, x、V、f分别为位移、电压和阻尼力, 它们都是时间的函数;y、z、u为中间变量;xα为阻尼器的初始位移。

其余参数由实验数据辨识得到, 具体见表1[5]。假设位移x=2.5sin5πt, 由式 (1) 得出的磁流变阻尼器的力学特性曲线如图1所示。

2 磁流变阻尼器的等效线性阻尼

根据式 (1) , 磁流变阻尼器的性能由一组非线性方程描述, 由于式 (1) 求解困难, 不方便实际应用。夏品奇等[7]应用能量法和梯形积分法求出了其等效线性阻尼系数。设阻尼器产生的阻尼力为f (t) , 阻尼器杆件运动速度为, 两者关系为

式中, Ceq为等效线性阻尼系数。

Ceq可由能量法求出:

式中, E为阻尼器运动一个周期2π/Ω所消耗的能量;Ω为圆频率;x0为振幅。

设Ω=5π, 图2所示为不同电压和振幅下的能量, 由式 (3) 可求得等效线性阻尼系数Ceq, 如图3所示。由图3可知磁流变阻尼器的等效线性阻尼系数与输入电压和运动振幅有关。

3 等效线性阻尼的曲线拟合

本文采用最小二乘法进行参数曲线拟合, 并用误差平方和以及相关性判定系数来判定拟合结果[9]。

3.1 等效线性阻尼系数与电压关系的拟合

根据图3, 振幅一定时, 磁流变阻尼器的等效线性阻尼Ceq与电压V成线性关系, 因此采用最小二乘拟合多项式的拟合方式进行拟合。为减小误差, 在原有取值基础上增加几个振幅取值:x0=0.50, 1.00, 1.25, 1.75, 2.50, 3.00, 3.50, 4.00, 4.50, 5.00cm。电压仍为V=0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6V, 在MATLAB中对式 (1) 在不同振幅和电压下进行分析, 然后由式 (2) 、式 (3) 得到修正的Bouc_Wen模型在不同振幅和电压下的磁流变阻尼器的等效线性阻尼系数Ceq。

电压V为x轴, 等效线性阻尼系数Ceq为y轴, 对数据进行平滑预处理。考虑到拟合的数据较少以及预测等效线性阻尼系数与电压成线性关系, 采用线性最小二乘法和如下的一阶多项式进行拟合:

其中, p1、p2为待辨识参数。以振幅x0=0.5cm为例, 参数辨识的结果为

利用式 (4) 以及原始输入输出数据进行计算, 拟合的误差平方和为0.1447, 电压和等效线性阻尼系数的相关性判定系数为0.9999, 表明拟合效果比较理想。按照此方法在不同振幅下进行曲线拟合, 辨识获得的参数p1、p2如表2所示。

3.2 等效线性阻尼系数与振幅关系的拟合

根据图2所示的能量耗散曲线, 每周期耗散的能量E在振幅一定时与电压V也是线性关系, 可表示为

代入式 (3) 可得

由此可知系数p1和p2是与振幅x0有关的函数, 由于q1和q2有可能也与x0有关, 所以系数p1、p2与x0的关系不能确定。因此, 接下来对p1和x0以及p2和x0分别进行拟合, 找出它们的关系。

振幅x0和系数p1的拟合结果如图4所示, 按照式 (7) 采用线性最小二乘法和二阶多项式对数据进行平滑处理。从图4看出, 振幅x0和参数p1曲线近似于指数模型和幂函数模型, 采用这两种模型分别进行拟合, 拟合公式如下:

其中, 式 (8) 为指数模型, 式 (9) 为幂函数模型, a、b、c、d为待辨识参数。经比较, 幂函数模型拟合结果比指数模型理想。同理, 对数据p2和振幅x0进行曲线拟合, 结果仍是幂函数模型拟合得较好。

综上可知, 等效线性阻尼系数Ceq可表示为

3.3 频率对等效线性阻尼系数的影响

前面研究了给定频率下利用曲线拟合回归分析求解磁流变阻尼器等效线性阻尼系数的方法。但是激振频率变化会对等效线性阻尼系数产生一定影响。采用相同的方法, 在振幅给定的情况下建立等效线性阻尼系数与激振频率ω以及电压V的关系:

由此可知, 可以通过曲线拟合的方法建立振幅和电压或者频率和电压为变量的磁流变阻尼器的等效线性阻尼系数模型。但是, 目前仅靠曲线拟合的方法还难以建立符合实际情况的磁流变阻尼器等效线性阻尼系数同时与三个参数, 即频率、振幅和电压之间的拟合参数模型。

4 讨论

4.1 误差分析

根据上文, 修正的Bouc_Wen模型可由式 (1) 表示, 阻尼力f用式 (2) 来等效, Ceq用式 (10) 计算。为了验证等效线性阻尼系数模型的准确性, 分别对指数模型和幂函数模型的等效线性阻尼系数Ceq进行误差分析。分别求出在电压V=0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0V和振幅x0=1.00, 2.00, 3.50, 5.00cm下的等效线性阻尼系数, 记为Ceq。把由式 (3) 求得的等效线性阻尼系数记为Ceq0, 则它们的相对误差由下式求得:

结果如表3、表4所示。

%

%

由表3、表4可知两种拟合方法计算等效线性阻尼系数的相对误差都很小, 幂函数模型的精度比指数函数模型的精度要高, 误差低于1%。由表4可知, 等效线性阻尼系数的幂函数模型在电压一定时, 振幅越大, 精度越高。因此, 用式 (10) 来表示等效线性阻尼系数Ceq能够满足精度要求。

4.2 其他力学模型比较

磁流变阻尼器的参数化力学模型有多种, 主要有Bingham模型、非线性双黏性模型、非线性滞回模型、Bouc_Wen模型、修正的Bouc_Wen模型和现象模型等[10]。为验证本文方法在其他力学模型上的适用性, 下面将本文方法应用于研究最早、应用最多的Bingham模型。

稳态剪切场下Bingham模型的阻尼力-速度关系为

其中, f为阻尼力;C0为阻尼系数;Fm是与磁场相关的屈服力;x是活塞与缸体之间的相对速度。

对常用的剪切阀式磁流变阻尼器进一步推得阻尼力-速度关系:

式中, L为活塞杆有效长度;D为缸体内径;Ap为活塞的有效面积;h为孔道直径;τy为磁流变液剪切屈服力。

在位移x=2.5sin5πt时磁流变阻尼器的阻尼力-位移曲线和阻尼力-速度曲线分别见图5a和图5b[11]。能量耗散曲线和能量系数曲线分别如图6和图7所示。

用以上分析修正Bouc_Wen模型的方法对Bingham模型进行拟合。结果显示, 幂函数模型的结果仍优于指数模型拟合的结果。等效线性阻尼系数可表示为

同理, 采用与分析修正的Bouc_Wen模型相同的方法对Bingham模型进行误差分析。结果显示, 幂函数模型拟合的结果比指数模型的精度高。幂函数模型拟合的等效线性阻尼系数的相对误差如表5所示。

%

5 结论

(1) 针对修正的Bouc_Wen模型存在的求解困难、部分参数物理意义不明确等缺点给分析磁流变阻尼器的实际应用带来的诸多不便, 提出了采用曲线拟合的方式求出磁流变阻尼器的等效线性阻尼系数, 这为分析给定频率下的磁流变阻尼器的应用提供了很大的方便。

(2) 根据原始数据的特点, 分别采用指数模型和幂函数模型, 利用最小二乘法进行了参数曲线拟合。结果显示, 幂函数模型拟合的结果要优于指数模型的结果, 且经过误差分析, 幂函数模型拟合结果的精度较高, 相对误差低于1%。

(3) 拟合得到的幂函数模型结构简单, 且只有一个可控变量 (即电压) , 因此, 只需要改变输入电压的大小, 就控制了磁流变阻尼器的等效线性阻尼系数, 从而达到控制振动水平的目的, 这为选取控制算法提供了方便, 同时也降低了系统分析的计算量。

(4) 通过分析利用曲线拟合回归分析方法来求解给定激励频率下修正Bouc_Wen模型和Bingham模型等效线性阻尼系数可知, 该方法对于磁流变阻尼器其他参数化力学模型有一定的适用性。

参考文献

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部分线性变系数模型的约束岭估计 第6篇

变系数模型是近期发展起来颇受人们重视的一类具有广泛应用背景的回归模型。该模型通过假定线性回归模型中的回归系数是其他自变量的未知函数以增加模型的灵活性和适应性, 同时由于系数函数通常是某个自变量的一元函数而有效避免了拟合中的维数诅咒问题。该模型的结构如下:

其中 (U, X1, …, Xp) 是自变量, Y是因变量, ε是模型误差。

该模型将线性模型的参数用自变量的未知函数代替, 称此未知函数为系数函数。对于系数函数的估计, 目前主要的拟合方法有三种, 即核光滑方法、多项式样条和光滑样条估计, 变系数模型本质上是局部线性模型, 因此更适合于用局部光滑方法来拟合。

实际问题研究中, 模型 (1) 的一种常见情况是部分自变量对因变量的作用随变量U的变化而变化, 其余自变量对因变量的作用不随其的改变而改变。此情况下的模型称为部分线性变系数模型, 这类模型的结构如下:

考虑到回归自变量存在复共线性时, 最小二乘估计的结果往往不够理想, 有时甚至还与实际相违背。Hoerl and Kennard (1970) [5]提出了岭估计, 岭估计能有效克服复共线性带来的问题。于是, 本文将从profile最小二乘估计出发, 在考虑常值系数自变量zi存在复共线性时, 将profile最小二乘估计修正为profile岭估计。并且设参数存在线性等式约束

其中b是已知向量, A是一个已知的行满秩矩阵。线性等式约束是由Rao (1973) [6]提出来的, 本文将结合文献[7~8], 提出部分线性变系数模型的约束profile岭估计。

二、参数分量的约束岭估计

假设模型 (2) 中的已知, 则模型 (2) 化为如下形式的变系数模型:

设K (t) 为给定的核函数, h为窗宽, Kn (t) =K (t/h) /h, 则变系数模型 (4) 的局部线性拟合即选择αj (uo) 和α'j (uo) 使

为了叙述方便, 采用下面的矩阵形式, 记:

以及

从而模型 (4) 可写为如下的矩阵形式:

基于问题 (5) , 可写为如下矩阵形式:

该矩阵对向量P求偏导, 并令其零, 可以得到P的估计:

将其带入M中, 则M相应的估计为:

将M的估计带入 (6) , 整理可得线性回归模型:

不妨记, 则线性回归模型 (7) 可改写为:

考虑自变量Z存在复共线性和等式约束 (3) , 对模型 (8) 做约束岭估计, 利用拉格朗日乘数法, 建立目标函数:

解 (10) 可得:

其中为不带约束条件 (3) 的岭估计。把 (12) 带入 (11) 可得:

把 (13) 带入 (12) 得到在约束条件下的岭估计为:

证明:

三、约束profile岭估计和约束profile最小二乘估计的比较

为了比较两种估计, 我们首先给出一个引理:

则我们有如下定理:

再由引理1我们有:

定理得证。

摘要：本文研究了部分线性变系数模型在线性部分存在多重共线性和参数分量附加约束条件时的估计问题。基于profile最小二乘估计和岭回归估计方法, 构造了参数分量的约束profile岭估计, 并研究了其性质。

关键词：部分线性变系数模型,复共线性,Profile最小二乘估计,岭回归估计

参考文献

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[7]梅长林, 王宁.近代回归分析方法[M].北京:科学出版社, 2012

非线性系数 第7篇

逆变器是电力电子系统中的核心部分,广泛应用于电力电子电路中。尤其随着现阶段新能源发电、高压直流输电以及智能电网等的不断发展,逆变器的应用领域得到了更广泛的推广。然而,由于逆变器属于非线性系统,在其实际运行过程中已经发现了一系列复杂行为,如电磁噪声、器件的间歇性振荡以及系统突然崩溃现象等,严重影响系统的稳定性[1,2,3]。因此,有必要深入研究逆变器中出现的不规则行为,为系统的设计和运行提供指导。

从20世纪90年代至今,针对DC/DC变换器中出现的分岔与混沌现象已经有了广泛的研究,并取得了一定的研究成果[4,5,6,7,8],为后续更深入的研究奠定了基础。关于H桥中出现的分岔与混沌现象研究在21世纪初才起步,Robert等在2002年首次分析了电流模式下H桥直流斩波器中的边界碰撞分岔现象,并建立了H桥变换器的离散模型[9]。之后又将混沌控制引入到H桥中,以达到扩大系统运行稳定域的目的[10,11]。在此基础上,有学者对边界碰撞分岔的机理进行了更深入的研究[12,13]。然而,这些研究都是以H桥直流斩波器为研究对象,其实质仍然属于DC/DC变换器的研究范畴。目前对于DC/AC逆变器中出现的分岔现象研究甚少[14,15]。2009年王学梅等将正弦信号作为参考量,首次研究了比例调节下H桥逆变器中出现的分岔与混沌现象[14],将混沌研究由斩波器推广到逆变器中,并在文献[15]中引入了快变和慢变2种尺度,建立了H桥正弦逆变器的快变和慢变离散模型,对其混沌行为进行了更深入的研究。

值得注意的是,上述对H桥的非线性研究都是以一阶系统为研究对象,其离散建模过程相对简单,计算量小,数值仿真速度快。然而将传统建模方法引入到更高维系统的分析时[16],发现其复杂程度和运算量明显加大,且仿真速度也相应变慢,导致传统建模方法的实用性下降。

鉴于上述弊端,本文将传统建模方法中出现的矩阵指数函数运算简化为基本的矩阵运算,提出了一种基于系数线性化的离散建模方法。以电流模式下带LC滤波器二阶系统为研究对象,分别运用传统建模方法以及本文提出的系数线性化建模方法得到了系统的2种离散模型。采用Jacobian矩阵法对系统进行稳定性分析,对比分析了2种模型的差异性,突出了本文所提简化模型的优越性。最后通过系统分岔图、折叠图和相轨迹图对稳定性分析结论进行了数值仿真,以验证基于系数线性化离散模型的有效性,为复杂系统的设计提供有效参考。

1 逆变器离散模型的建立

典型的H桥逆变器工作原理如图1所示,由电压源E、开关管VT1VT4、LC滤波器以及电阻负载R组成。在控制部分,把逆变器输出电流与参考电流iref进行比较,将误差信号送至比例调节器,再通过三角波调制后送至PWM驱动电路产生驱动信号以控制各个开关管的工作状态。

在逆变器工作的一个开关周期T内,系统存在2种工作状态:状态1为VT1和VT3导通,VT2和VT4关断;状态2为VT2和VT4导通,VT1和VT3关断。式(1)、(2)分别为对应的状态方程。

其中,状态变量为电感电流iL和电容电压UC。设则系统状态方程可表示为:

根据频闪映射建模方法的主要思想:以时钟周期为频闪采样间隔,将第(n+1)个开关时刻的状态变量值表示成第n个开关时刻的值。由式(3)可知H桥逆变器在频闪映射下的主电路离散模型为:

其中,p1=eAT;p2=eA(1-dn)T(eAdnT-I)A-1B1+[eA(1-dn)T-I]A-1B2,dn表示第n个开关周期内的占空比,其值由控制部分决定,具体可表示为:

其中,D为常数,k为比例调节系数,σ=[1 0],irefn表示参考电流在第n个开关点的值。式(4)、(5)即为通过传统建模方法得到的整个系统的离散模型。

观察上述离散模型可知,p1、p2中都含有矩阵指数函数eAt。与一阶系统不同,此时的矩阵A为二阶矩阵,在对系统进行稳定性分析和数值仿真验证时需要进行矩阵指数函数运算,其运算过程显然较一阶系统复杂,且进行计算机仿真时占用内存空间大,运算速度也受到限制,尤其是在大型复杂的系统中随着矩阵A阶数的增加,上述离散模型的弊端尤显突出。

鉴于此,本文提出了一种基于系数线性化的离散模型,将上述矩阵指数运算转化成线性运算,在不失精度的前提下,简化计算过程,提高其运算速度。具体实现方法如下。

根据矩阵指数函数展开式

将指数运算转化为线性运算,则有:

可以推出,主电路的系数线性化离散模型为:

其中,p′1=I+AT,p′2=B1dnT+A1B1dn(1-dn)T2+(1-dn)T B2。

可见,式(8)、(5)构成了系统的系数线性化离散模型。对比式(4)可知,系统离散模型的系数已经不存在矩阵指数函数,取而代之的是简单的矩阵运算,因此大幅简化了后续对系统进行稳定性分析以及数值仿真验证的工作量。

2 逆变器的稳定性分析

根据上述所得的离散模型,本节利用Jacobian矩阵法对系统进行稳定性分析,以期得到系统的运行稳定域,并就上述2种离散模型的差异性进行对比分析,以体现本文所提简化模型的优越性。

Jacobian矩阵稳定性分析是研究系统运行稳定域的常用方法,对于离散系统Xn+1=f(Xn,dn),其Jacobian矩阵可以表示为:

其中,XQ、DQ表示系统的单周期稳态解,其值可以通过数值迭代的方法利用XQ=f(XQ,DQ)求得。

Jacobian矩阵的最大模特征值λmax即可反映系统的稳定状态:当λmax<1时,系统处于稳定状态;当λmax>1时,系统开始不稳定。因此λmax=1为系统稳定与不稳定的分界点,即可以通过分析随着分岔参数值的变化,系统Jacobian矩阵最大模特征值的变化情况来判断系统的运行稳定性。

根据系统离散模型和式(9),可以推出系统的Jacobian矩阵表达式。传统离散模型的Jacobian矩阵为:

系数线性化离散模型对应的Jacobian矩阵可表示为:

本文选择比例调节系数k为分岔参数对系统进行稳定性分析,其他系统参数选择如下:E=350 V,R=10Ω,L=8 m H,C=20μF,T=50μs,D=0.4,irefn=5 sin(2πfsn T)(其中fs=50 Hz,为参考电流频率;n为以开关频率对参考电流进行采样时的开关周期数)。利用MATLAB编程可以得到随着分岔参数k的变化,系统Jacobian矩阵最大模特征值的变化曲线,如图2所示。

由图2可知,在k从0.1变化到1的过程中,系统Jacobian矩阵的最大模特征值由小于1逐渐变化到大于1,可以得到系统的稳定与不稳定的分界点出现在k=0.46处。同时,2种方法所得到的系统稳定性变化曲线高度一致,但在仿真步长等其他条件不变的情况下,其数值仿真完成时间如表1所示。可以发现采用系数线性化离散模型的计算速度比传统模型快,耗时短,可见对传统离散模型的系数进行线性化后,降低了稳定性分析运算量,实用性更强。

为进一步验证本文所提的系数线性化离散模型的优越性,本文还分别选择了系统输入端的电压E、输出端的滤波电感L以及控制端比例调节系数k作为分岔参数,研究了双分岔参数下系统运行的稳定参数域分布,其他参数设置同上,则所得结果见图3。

图3各图显示了随着系统双参数的同时变化,系统运行的稳定参数域的变化情况。可以看出,根据2种模型所得的系统运行稳定域划分吻合得很好。当输入电压E和比例调节系数k增大时,系统的稳定域逐渐减小;而当滤波电感L增大时,系统的运行稳定域亦逐渐增大。由于需控制2个参数的变化,其稳定性分析过程的运算量大幅增加。在仿真过程中,如表1所示,可以明显地发现本文所提简化模型的运算速度远快于传统模型。显然,系数线性化离散模型的正确性和实用性得到了很好的验证。

3 数值仿真验证

上述稳定性分析结论得到了系统运行的稳定参数域,因此有必要对上述理论分析的结论进行仿真验证。为更形象地描述系统状态随着分岔参数的变化而变化的情况,本节选择与第2节相同的系统参数,首先利用分岔图法对系统从稳定到混沌状态的演化过程作进一步的分析,再通过折叠图法和相轨迹图法对系统的稳定参数域进行验证。

3.1 系统分岔图分析

分岔图是分析动力学系统中出现的复杂行为的有效工具,该方法能形象地反映出随着分岔参数的变化,系统由稳定到分岔再进入混沌状态的具体演化过程。就本文系统而言,其具体实现方式如下:在不同分岔参数值下,根据系统离散模型进行迭代运算,对迭代稳定后的电感电流正弦波每个周期固定时刻的值(如正弦波的90°处)进行采样,并保留采样点,采样30个正弦周期后绘成以分岔参数为横坐标、电感电流采样值为纵坐标的分岔图。根据本文所提的系数线性化模型,利用MATLAB编程得到了系统关于比例调节系数k的分岔图,如图4所示。

从上述分岔图中可以看出,系统的稳定域分界点在k=0.46处,与前述Jacobian稳定性分析的结论一致。随着k的继续增大,系统进入了分岔状态,当k>0.55时,图中显示电感电流采样点在一定区域内出现了密集且具有相似的层次结构,表示系统已经处于混沌状态。

3.2 系统稳定域验证

选取任意初值代入系统的离散方程进行迭代,略去过渡过程,将稳定后状态变量的数个周期按采样时刻对齐后折叠,得到一个周期的波形,即为系统的折叠图,它能形象地反映出系统的运行状态。当所得折叠图都重合于1条单值曲线时,系统处于单周期稳定状态;当折叠图重合于2条曲线时,对应系统处于二周期分岔状态;当折叠图出现杂乱的不重合的曲线时,系统已经进入了混沌状态。

相轨迹图反映的是系统解曲线在相空间上的投影。如果所得相轨迹图是一条封闭的曲线,则系统工作在单周期稳定状态;如果相轨迹图出现m条封闭曲线,此时系统工作在m周期状态;若相轨迹图中有无数条封闭的曲线,即无数混乱的曲线,则系统处于混沌状态。

利用MATLAB根据系统折叠图以及相轨迹图的实现方法,选择不同系统工作状态下的分岔参数值,画出系统对应的折叠图和相轨迹图,如图5所示,其中n0表示一个正弦周期内的开关周期数。

从图5各子图中可以看出,当k=0.4时,所得折叠图重合于一条单值曲线,相轨迹图也是一条封闭的曲线,此时对应系统的稳定状态;当k=0.48时,折叠图出现了2条曲线,且相轨迹图也出现了2条封闭的曲线,可见此时系统处于二周期分岔状态;当k=0.9时,所得的电感电流波形折叠后不重合,而是出现了杂乱的正弦波形,其相轨迹图也出现了大量不规则点,因此可断定此时系统已经进入了混沌状态。

综上所述,数值仿真结果很好地验证了稳定性分析的正确性,也验证了本文提出的基于系数线性化离散模型的有效性。

4 结论

本文对二阶逆变器中的分岔与混沌现象进行了深入研究,对传统一阶系统的离散建模方法作了改进,提出了一种基于系数线性化的离散建模方法。将传统模型中的矩阵指数函数运算转化为基本的矩阵运算。通过2种离散模型对系统进行稳定性分析,研究结论表明,本文所提的基于系数线性化离散模型的建模方法在保证精度的同时大幅降低了系统稳定性分析的复杂程度,提高了运算速度,证明了其有效性和实用性,这种优越性在高阶更大型复杂的系统中尤为明显。

非线性系数 第8篇

的求解是必不可少的, 其中b>0是常数。本文就问题 (1) 给出参数变易法, 齐次化方法和拉普拉斯变换法三种方法下的具体求解步骤。

1预备知识

本节给出线性微分方程叠加原理的叙述, 齐次化原理的叙述以及拉普拉斯变换的叙述和两条有用性质。

引理1 (叠加原理) [1]设ui满足线性问题

引理2 (齐次化原理) [1]如果w (t;τ) 是齐次方程的初值问题

的解。

我们称由此确定的函数L (p) 为f (t) 的拉普拉斯变换, 记成L (p) =L[f (t) ]。

拉普拉斯变换有两条非常重要的性质, 其一就是微分性质[2], 即若f (t) 存在n阶导数 (n叟1) 且f (t) , f' (t) , f" (t) , …, f (n-1) (t) 都满足拉普拉斯变换存在的条件, 则f (n) (t) 也存在拉普拉斯变换且L[f (n) (t) ]=pn L (p) -pn-1f (0) -pn-2f' (0) -…-f (n-1) (0) 。

2主要内容

本节给出参数变易法, 齐次化方法和拉普拉斯变换法三种方法求解问题 (1) 的具体步骤。

2.1参数变易法

问题 (1) 所对应的齐次方程v" (t) +b2v (t) =0的通解是v (t) =Ccosbt+Dsinbt, 其中C, D为任意常数。应用参数变易法, 令

计算可得

将 (5) 式带入 (2) 中, 整理可得

将v (0) =d0, v' (0) =d1带入上式, 可得C=d0, D=d1/b, 于是问题 (1) 的解为

2.2齐次化方法

首先应用叠加原理, 问题 (1) 的解v (t) 可以分解成问题

的解和问题

的解n (t) 的叠加, 即v (t) =m (t) +n (t) 。

故问题 (6) 的解为

与参数变易法求得的解是一致的。

2.3拉普拉斯变换法

由v (t) =m (t) +n (t) 可得

针对问题 (1) , 我们给出参数变易法, 齐次化方法和拉普拉斯变换法三种方法下的具体求解步骤, 尤其是齐次化方法和拉普拉斯变换法, 在可查阅文献中较少看到, 本文对这两种方法的介绍增加了常微分方程定解问题的求解方法。

参考文献

[1]王明新.数学物理方程 (第二版) [M].北京:清华大学出版社, 2009.