对称函数范文-盘古文库

对称函数范文（精选12篇）

对称函数第1篇

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f (x) 的图像关于点A (a, b) 对称的充要条件是f (x) +f (2a-x) =2b.

证明: (必要性) 设点P (x, y) 是y=f (x) 图像上任一点, ∵点P (x, y) 关于点A (a, b) 的对称点P′ (2a-x, 2b-y) 也在y=f (x) 图像上, ∴2b-y=f (2a-x) .

即y+f (2a-x) =2b, 故f (x) +f (2a-x) =2b, 必要性得证.

(充分性) 设点P (x0, y0) 是y=f (x) 图像上任一点, 则y0=f (x0) .

∵f (x) +f (2a-x) =2b, ∴f (x0) +f (2a-x0) =2b, 即2b-y0=f (2a-x0) .

故点P′ (2a-x0, 2b-y0也在y=f (x) 的图像上 , 而点P与点P′关于点A (a, b) 对称, 充分性得征.

推论:函数y=f (x) 的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) +f (-x) =0.

定理2.函数y=f (x) 的图像关于直线x=a对称的充要条件是f (a+x) =f (a-x) , 即f (x) =f (2a-x) . (证明留给读者 )

推论:函数y=f (x) 的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) =f (-x) .

定理3.①若函数y=f (x) 图像同时关于点A (a, c) 和点B (b, c) 成中心对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数 , 且2|a-b|是其一个周期.

②若函数y=f (x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 且2|a-b|是其一个周期.

③若函数y=f (x) 图像既关于点A (a, c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 且4|a-b|是其一个周期.

①②的证明留给读者, 以下给出③的证明:

∵函数y=f (x) 图像关于点A (a, c) 成中心对称,

∴f (x) +f (2a-x) =2c, 用2b-x代x得:

f (2b-x) +f[2a- (2b-x) ]=2c……………… (*)

又∵函数y=f (x) 图像直线x=b成轴对称,

∴f (2b-x) =f (x) 代入 (*) 得:

f (x) =2c-f[2 (a-b) +x]………… (**) , 用2 (a-b) -x代x得

f[2 (a-b) +x]=2c-f[4 (a-b) +x]代入 (**) 得 :

f (x) =f[4 (a-b) +x], 故y=f (x) 是周期函数 , 且4|a-b|是其一个周期.

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数=f (x) 与y=2b-f (2a-x) 的图像关于点A (a, b) 成中心对称.

定理5.①函数y=f (x) 与y=f (2a-x) 的图像关于直线x=a成轴对称.

②函数y=f (x) 与a-x=f (a-y) 的图像关于直线x+y=a成轴对称.

③函数y=f (x) 与x-a=f (y+a) 的图像关于直线x-y=a成轴对称.

定理4与定理5中的①②证明留给读者, 现证定理5中的③.

设点P (x0, y0) 是y=f (x) 图像上任一点 , 则y0=f (x0) .记点P (x, y) 关于直线x-y=a的轴对称点为P′ (x1, y1) , 则x1=a+y0, y1=x0-a, ∴x0=a+y1, y0=x1-a代入y0=f (x0) 中得x1-a=f (a+y1) , ∴点P′ (x1, y1) 在函数x-a=f (y+a) 的图像上.

同理可证:函数x-a=f (y+a) 的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f (x) 的图像上.故定理5中的③成立.

推论:函数y=f (x) 的图像与x=f (y) 的图像关于直线x=y成轴对称.

三、三角函数图像的对称性列表

注:①上表中k∈Z.

②y=tanx的所有对称中心坐标应该是 (kπ/2, 0) , 而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册 (下) 及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案 (修订版 ) 中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是 (kπ, 0) , 这显然是错的.

四、函数对称性应用举例

例1:定义在R上的非常数函数满足:f (10+x) 为偶函数, 且f (5-x) =f (5+x) , 则f (x) 一定是 () (第十二届希望杯高二第二试题)

(A) 是偶函数 , 也是周期函数

(B) 是偶函数 , 但不是周期函数

(D) 是奇函数 , 但不是周期函数

解:∵f (10+x) 为偶函数, ∴f (10+x) =f (10-x) .

∴f (x) 有两条对称轴x=5与x=10, 因此f (x) 是以10为其一个周期的周期函数, ∴x=0, 即y轴也是f (x) 的对称轴, 因此f (x) 还是一个偶函数.故选 (A) .

例2:设定义域为R的函数y=f (x) 、y=g (x) 都有反函数, 并且f (x-1) 和g-1 (x-2) 函数的图像关于直线y=x对称, 若g (5) =1999, 那么f (4) = ( )

解:∵y=f (x-1) 和y=g-1 (x-2) 函数的图像关于直线y=x对称,

∴y=g-1 (x-2) 反函数是y=f (x-1) , 而y=g-1 (x-2) 的反函数是:y=2+g (x) , ∴f (x-1) =2+g (x) , ∴有f (5-1) =2+g (5) =2001,

故f (4) =2001, 应选 (C) .

例3.设f (x) 是定义在R上的偶函数, 且f (1+x) =f (1-x) , 当1≤x≤0时 , f (x) =- (1/2) x, 则f (8.6) =______. (第八届希望杯高二第一试题)

解:∵f (x) 是定义在R上的偶函数, ∴x=0是y=f (x) 对称轴.又∵f (1+x) =f (1-x) , ∴x=1也是y=f (x) 对称轴.故y=f (x) 是以2为周期的周期函数, ∴f (8.6) =f (8+0.6) =f (0.6) =f (-0.6) =0.3.

例4.函数y=sin (2x+5π/2) 的图像的一条对称轴的方程是 ( ) (1992年全国高考理 )

(A) x=-π/2 (B) x=-π/4 (C) x=π/8 (D) x=5π/4.

解 :函数y=sin (2x+5π/2) 的图像的所有对称轴的方程是2x+5π/2=kπ+π/2.

∴x=kπ/2-π, 显然取k=1时的对称轴方程是x=-π/2, 故选 (A) .

例5.设f (x) 是定义在R上的奇函数, 且f (x+2) =-f (x) , 当0≤x≤1时 , f (x) =x, 则f (7.5) = ( )

(A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5

解:∵y=f (x) 是定义在R上的奇函数, ∴点 (0, 0) 是其对称中心;

又∵f (x+2) =-f (x) =f (-x) , 即f (1+x) =f (1-x) , ∴直线x=1是y=f (x) 对称轴 , 故y=f (x) 是周期为2的周期函数.

奇函数关于什么对称第2篇

1、对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

以f(x)=x³这个偶函数为例，f(-5)=-125，f(5)=125，当x=-5时，对应的y都是-125，当x=5时，对应的y都是125，正好与互为相反数。图像上点(-5，-125)与点(5，125)是中心对称。

2、如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

浅谈函数的对称美第3篇

一、函数自身的对称性

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P’（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0)。

故点P’（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P’关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,0)对称的充要条件是

f (x) + f (2a－x) =0

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点A (0,0)对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = (a+b)/2的充要条件是

f (a +x) = f (b－x)（证明留给读者）

推论：函数 y = f (x)的图像关于x=a轴对称的充要条件是f (a+x) = f (a－x)

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函

数，且4| a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性

定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

如果在做题时，只是对题型，套公式，而不去领会问题的实质，很容易将上面两个问题混淆。综上所述，在求解函数对称性问题时，要精细地检查思维过程，提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。数学之美，还可以从更多的角度去审视，而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中，我们能与数学家们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美。

粗谈高中函数对称问题第4篇

一、轴对称问题

参考定理1:函数y=f (x) 的图象关于直线x=a对称的充要条件:f (a+x) =f (a-x) 或f (x) =f (2a+x) 。

(A) 3 (B) 2

解法1: (函数图象的对称性) 由已知得f (1+x) =f (1-x) 或f (2+x) , 取特殊值解也可以得到答案。

解法3:直接去绝对值化成分段函数求解。

例2若函数y= (x+1) (x-a) 为偶函数, 则a等于 () 。

(A) -2 (B) -1

解:本小题主要考查函数的奇偶性。

因为f (1) =2 (1-a) , f (-1) =0=f (1) , 所以a=1。

总结:

(1) 函数y=f (x) 的图象关于y轴对称的充要条件是f (-x) =f (x) 。

(2) 函数y=f (x) 的图象关于坐标原点对称的充要条件是f (-x) =-f (x) 。

二、中心对称问题

参考定理2:函数y=f (x) 的图象关于点A (a, b) 对称的充要条件是f (x) =2b-f (2a-x) 。

例3设函数f (x) 的图象关于点 (1, 2) 对称, 且存在反函数f-1 (x) , f (4) =0, 则f-1 (4) =_________。

解:已知函数f (x) 的图象关于点 (1, 2) 对称, 且f (4) =0, 则函数f (x) 的图象过点 (4, 0) , 又关于点 (1, 2) 的对称点 (-2, 4) , 所以f-1 (4) =-2。

(A) y轴对称 (B) 直线y=-x对称

三、互为反函数对称关系

参考定理3:函数y=f (x) 与y=f-1 (x) 的图象关于直线y=x对称。

例5设函数f (x) =log a (x+b) (a>0, a≠1) 的图象过点 (2, 1) , 其反函数的图象过点 (2, 8) , 则a+b等于 () 。

(A) 3 (B) 4

解:根据已知条件及互为反函数的函数图象特征得, f (2) =1, 且f (8) =2,

解:由函数y=x-f (x) 的图象过点 (1, 2) 得:f (1) =-1, 即函数y=f (x) 过点 (1, -1) , 则其反函数过点 (-1, 1) , 所以函数y=f-1 (x) 的图象一定过点 (-1, 2) 。

四、函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用

参考定理4:若函数y=f (x) 是偶函数, 其图象又关于直线x=a对称, 则函数f (x) 是周期为2 a的周期函数.

例7 (2007年高考天津卷·理7) 在R上定义的函数f (x) 是偶函数, 且f (x) =f (2-x) , 若f (x) 在区间[1, 2]是减函数, 则函数f (x) () 。

(A) 在区间[-2, -1]上是增函数, 区间[3, 4]上是增函数

(B) 在区间[-2, -1]上是增函数, 区间[3, 4]上是减函数

(D) 在区间[-2, -1]上是减函数, 区间[3, 4]上是减函数

解法1: (函数图象的对称性) 由已知f (x) =f (2-x) 得函数图象关于直线x=1对称, 且函数是偶函数, 则f (-x) =f (x) , 所以f (x) 又是周期为2的周期函数, 即f (x+2) =f (x) , 所以可判断正确答案为B。

解法2: (数形结合法结合特例法) 根据已知条件画出满足条件的函数图象 (画对应线段) , 根据图象很容易选出相应答案。

例8已知定义在R上的奇函数f (x) , 满足f (x+4) =-f (x) , 且在区间[0, 2]上是增函数, 若方程f (x) =m (m>0) 在区间[-8, 8]上有四个不同的根x1, x2, x3, x4, 则x1+x2+x3+x4=________。

此题综合考查了函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性, 以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题。

参考定理5:若函数y=f (x) 奇函数, 其图象又关于直线x=a对称, 则函数f (x) 是周期为4 a的周期函数。

例9已知定义在R上的奇函数f (x) 满足f (x+2) =-f (x) , 则, f (6) 的值为 () 。

(A) -1 (B) 0

解:根据已知条件, 得f (x+4) =f (x) , 且f (0) =0, 所以f (6) =0。

函数的对称性和周期性复习教案第5篇

株洲家教：***

函数的对称性和周期性

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。3.掌握常见的函数对称问题

二、建构知识网络

一、两个函数的图象对称性

yf(x)与yf(x)关于x轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

2、yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

1、yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。

4、yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。

5、yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b)对称。

ab6、yf(ax)与y(xb)关于直线x对称。

23、二、单个函数的对称性性质1：函数证明：在函数yf(x)满足f(ax)f(bx)时，函数yf(x)的图象关于直线xyf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于直线

ab对称。2xab的对称点(abx1,y1)，当xabx1时 2f(abx1)f[a(bx1)]f[b(bx1)]f(x1)y1

yf(x)图象上。故点(abx1,y1)也在函数由于点(x1,y1)是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）

性质2：函数证明：在函数（ab对称。2abc，）对称。22yf(x)满足f(ax)f(bx)c时，函数yf(x)的图象关于点（yf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于点

abc，）的对称点（abx1，c－y1），当xabx1时，22f(abx1)cf[b(bx1)]cf(x1)cy1 即点（abx1，c－y1）在函数yf(x)的图象上。

由于点(x1,y1)为函数函数yf(x)图象上的任意一点可知

abc，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）22ba性质3：函数yf(ax)的图象与yf(bx)的图象关于直线x对称。

2yf(x)的图象关于点（证明：在函数y1）。yf(ax)上任取一点(x1,y1)，则y1f(ax1)，点(x1,y1)关于直线xba对称点（bax1，2f[b(bax1)]f[bbax1]f(ax1)y1 故点（bax1，y1）在函数yf(bx)上。由于

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 由点(x1,y1)是函数因此yf(ax)图象上任一点

yf(ax)与yf(bx)关于直线xba对称。

2三、周期性

1、一般地，对于函数么函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ba是它的一个周期

0,kZ)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小2.若T是周期，则kT(k正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数

3、对于非零常数证明：

f(x)C；

A，若函数yf(x)满足f(xA)f(x)，则函数yf(x)必有一个周期为2A。

f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)∴函数yf(x)的一个周期为2A。

14、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)，则函数yf(x)的一个周期为2A。

f(x)证明：f(x2A)f(xAA)1f(x)。

f(xA)1，则函数yf(x)的一个周期为2A。f(x)

5、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)证明：f(x2A)f(xAA)A，函数yf(x)满足

6、对于非零常数

1f(x)。

f(xA)A1f(x)A1f(x)f(x)或f(x)21f(x)21f(x)则函数

yf(x)的一个周期为2A。

证明：先看第一个关系式

3A)3AAf(x2A)f(x )3A221f(x)2A11f(xA)1f(xA)1f(xA)2f(xA)A1f(xA)1f(xA)121f(xA)f(x2A)f(xA)f(xA)f(x)f(x)f(x2A)

1f(x第二个式子与第一的证明方法相同

f(x)的定义域为N，且对任意正整数x

都有f(x)f(xa)f(xa)(a0)则函数的一个周期为6a 证明：f(x)f(xa)f(xa)

（1）

f(xa)f(x)f(x2a)

（2）两式相加得：f(xa)f(x2a)

f(x)f(x3a)f(x6a)

四、对称性和周期性之间的联系

7、已知函数性质1：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)(ab)，求证：函数yf(x)是周期函数。

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)

f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)∴f(2ax)f(2bx)∴f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是周期函数，且2b2a是一个周期。

性质2：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(ab)时，函数yf(x)是周期函证明：∵数。（函数yf(x)图象有两个对称中心（a，cc）、（b，）时，函数yf(x)是周期函数，且对称中心距离的两倍，22是函数的一个周期）

证明：由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax)c)f(bx)cf(x)f(2bx) c

f(bx

得f(2ax)f(2bx)

得f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是以2b2a为周期的函数。性质3：函数yf(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(ba)。

f(ax)f(ax)2cf(x)f(2ax)2c

f(bx)f(bx)f(x)f(2bx)

f(4(ba)x)f(2b(4a2bx))

f(4a2bx)f(2a(2b2ax))2cf(2b2ax)

2cf(2b(2ax))2cf(2ax)

2c(2cf(x))2c2cf(x)f(x)

推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线xa和点(b,0)(ab)对称，则f(x)是周期函数，4(ba)是证明：它的一个周期

证明：由已知f(x)f(2ax),f(x)f(2bx).f(x)f(2ax)f[2b(2ax)]f[2(ba)x] f[2a2(ba)x]f[2(2ab)x]f[2b2(2ab)x]f[4(ba)x],周期为4(ba).举例:ysinx等.性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(xa)f(xa),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(xa)f(xa)则f(x)的图象以xa为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：f(xa)f(xa)f(x)f(x2a)

性质5：已知函数yfx对任意实数x,都有faxfxb，则yfx是以

2a为周期的函数证明：f(ax)bf(x)

f(x2a)f((xa)a)bf(xa)b(bf(x))f(x)

五、典型例题

例1（2005·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．2

B．3 解：

C．4

D．5)f(x)是R上的奇函数，则f(0)0，由f(x3f(2)0f(1)0f(1)0

∴f(4)0 ∴x=1，2，3，4，5时，f(x)0

这是答案中的五个解。

但是

f(15)f(f(x得)f(3)0，f(2)0f(5)0

153)f(1 )f(1 5)f(15)0 又

f(15知5)f(153)f( 4而

0f(1知 x1.5,x4.5,f(x)0也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。例3 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为（）(A)－1

(B)0

(C)

(D)2

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 解：因为所以所以f(x)是定义在R上的奇函数

f(0)0，又f(x4)f(x2)f(x)，故函数，f(x)的周期为4 f(6)f(2)f(0)0，选B

f(x)满足f(x2)f(x),且x(0,1)时,f(x)2x,则f(log118)的值为。

2例4．已知奇函数解：f(x2)f(x)fxf(x2)f(x4)

89f(log118)f(log218)f(4log218)f(log2)f(log2)

9829log299f(log2)28

88例5 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：

从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上

∵x(1,2), 则x(2,1)

∴2x(0,1), ∵ T2，是偶函数

∴ f(x)f(x)f(2x)2x13x

x(1,2)

解法2：

f(x)f(x2)

如图：x(0,1), f(x)x1.∵是偶函数 ∴x(1,0)时f(x)f(x)x1

又周期为2，x(1,2)时x2(1,0)∴f(x)f(x2)(x2)13x

例6 f(x)的定义域是R，且f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008（从图象入手也可解决，且较直观）求 f(2008)的值。

f(x4)11f(x2)1f(x4)11f(x8)解：f(x)f(x2)1f(x4)11f(x4)f(x4)1周期为8，f(2008)f(0)2008

1例7 函数fx对于任意实数x满足条件fx2，若f15,则ff5

fx_______________。解：由fx21fx得

fx41f(x)fx2，所以

f(5)f(1)5，则

11

f(12)5例8 若函数f(x)在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且f(x2)f(x).①求f(x)的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x2k1轴对称,(kZ);③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； ff5f(5)f(1)

解: ①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，故周期T4.②设P(x,y)是图象上任意一点,则yf(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4kx,y).P关于直线x2k1对称的点为P2(4k2x,y)

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(4kx)f(x)f(x)y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x2)f(x)f(x)∴f(4k2x)f(2x)f(x)y

x2k1对称.∴点P2在图象上,图象关于直线∵x1x22，则2x2x11，02x22x11

∵f(x)在(1,0)上递增, ∴f(2x1)f(2x2)……(*)又f(x2)f(x)f(x)

∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2).所以：f(x2)f(x1)，f(x)在(1,2)上是减函数.例9 已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数.又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.（1）证明：f(1)f(4)0；

（2）求yf(x),x[1,4]的解析式；（3）求yf(x)在[4,9]上的解析式.解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，且在[1,1]上是奇函数，∴f(1)f(1)f(51)f(4)，∴f(1)f(4)0.2②当x[1,4]时，由题意可设f(x)a(x2)5(a0)，22由f(1)f(4)0得a(12)5a(42)50，∴a2，f(x)2(x2)25(1x4).③∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(0)0，又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)kx(0x1)∴③设1f(1)2(12)253，∴k3，∴当0x1时，f(x)3x，从而1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x.∴当4x6时，有1x51，∴f(x)f(x5)3(x5)3x15.当6x9时，1x54，22∴f(x)f(x5)2[(x5)2]52(x7)5

函数对称问题的衍变与类化第6篇

我们知道，若函数y = f （x）的图象关于直线x=a对称，则有f（a-x）=f（a+x）[或f （x）=f（2a-x）].倘若引入二元变量x1，x2后，该命题又可表述为：若函数y= f（x）的图象关于直线x=a对称，则x1+x2=2a?f（x1）=f （x2）. 比如常见的二次函数就具备了上述典型特征.

假设上述对称函数y=f （x）在直线x=a某一侧的图象发生了偏转或改变，此时得到新的函数y=g（x）的图象必然呈现非轴对称状态，于是就有：若x1+x2=2a，则g（x1）≠g（x2）；若g（x1）=g（x2），则x1+x2≠2a（即x1+x2>2a或x1+x2<2a成立）.

同理，若函数y= f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则有f（a-x）+f（a+x）=2b[或f（x）+f（2a-x）=2b].倘若引入二元变量x1，x2后，该命题又可表述为：若函数y= f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则x1+x2=2a?f（x1）+f（x2）=2b.比如常见的正、反比例函数、三次函数等就具备了上述典型特征.

类似地，假设上述对称函数y=f（x）在点（a，b）某一侧的图象发生了偏转或改变，此时得到新的函数y=g（x）的图象必然呈现非中心对称状态，于是就有：若x1+x2=2a，则g（x1）+g（x2）≠2b；若g（x1）+g（x2）=2b，则x1+x2≠2a（即x1+x2>2a或x1+x2<2a成立）.

中学数学经常需要研究非对称函数的图象特征或数量关系，为了形象贴切、便于参照理解，我们有时可将某些非对称函数“类似地”当作“类对称”进行研究.比如，类比对称函数图象特征不妨引入以下“类对称”函数的相关概念：

若连续函数y=f（x）仅在x=a处取得极值，则直线x =a可视作y= f（x）的“类对称轴”；

类似地，若点（a，f （a））是单调函数y= f（x）的拐点（凸曲线与凹曲线的连接点），则点（a，f （a））可视作y= f（x）的“类对称中心”.

二、“类对称”函数问题的类化

所谓问题的类化就是概括当前问题与原有知识的共同本质特征，将所要解决的问题纳入原有的同类知识结构中去，对问题加以解决.基于非对称函数存在着相应不等的数量关系，因而在非对称函数中蕴含丰富的不等式问题、变量取值范围问题. 近年来很多高考或质检的函数压轴试题经常以此为素材，综合考查学生的创新能力和数学素养.非对称函数问题若能参照对称函数问题在“类对称”的状态下进行合理对照迁移，便可使我们清晰顺畅地追溯数学命题的本源，有利于我们把握数学问题的实质和关键所在，从而找准解题的切入点.

例1 已知函数f（x）=xe-x（x∈R）.

（I）求函数f（x）的单调区间和极值；

（II）已知函数y=g（x）的图象与函数y=（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f（x）>g（x）；

（III）如果x1≠x2，且f（x1）≠f（x2），证明x1+x2>2.

【解析】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.第（I）小题由f′（x）=（1-x）e-x可得： f （x）的递增区间为（-∞，1），递减区间为（1，+∞），故其在x=1处取得极大值f（1）=；第（II）小题关键构造函数F（x）=f（x）-g（x）利用导数知识证明F（x）>0在（1，+∞）上恒成立；第（III）小题只要利用第（II）小题的不等式模型结合第（I）小题的函数单调性即可得证.

然而，对于这样一道典型的高考试题不应仅停留在就题解题上，假如本题没有第（II）小题作铺垫提示，恐怕第（III）小题很多人就无从下手了；但有了第（II）小题，则第（III）小题纯粹只剩下简单的代换转化、变形整理.对于本题解答大多学生都是似懂非懂、云里雾里地被动接受.笔者认为：掌握本题的关键应在于弄清问题产生的根源，实际上我们由第（I）小题结果以及函数值的符号、趋势，不难勾勒出函数f（x）=xe-x的图象（如图1），图中直线x=1是函数f（x）=xe-x的“类对称轴”，由于“类对称轴”两边增减幅度不同，当f（x1）=f（x2）时，可直观得到：x1+x2>2，这就是第（II）、（III）小题的问题原始背景.

下面我们结合图象寻找证明思路：（根据已知条件，不妨预设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞））

x1+x2>2 ? x1>2-x2（注意到x1，2-x2均小于1）

?f（x1）>f（2-x2）（f（x）在（-∞，1）上单调递增）

?f（x2）>f（2-x2）（已知f（x1）=f（x2））

?f（x）>f（2-x）在（1，+∞）上成立

?F（x）=f（x）-f（2-x）>0在（1，+∞）上成立

于是解决问题的切入点转为常规的构造函数运用导数知识证明不等式恒成立问题.

【点评】这种对照函数图象分析问题的方式或许更为自然合理、形象直观，尤其是对第（I）、（II）小题的设置缘由变得更加明朗清晰，从而让学生站在更高层面审视数学问题的来龙去脉，同时也使本题解法更具主动性、深刻性和广阔性！另外，用“类对称”眼光看待函数图象，让普通的非对称函数曲线不再枯燥生硬，变得更为亲切贴近、更具美感灵气！

例2 已知函数f（x）=Inx-ax2+（2-a）x.

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）设a>0，证明：当0（-x）；

（III）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）<0.

【解析】本题与例1有着异曲同工之妙！先由f′（x）=-2ax+2-a=-（x>0）得到：

i）若a≤0，则f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；

ii）若a>0，f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上单调递减.

结合函数定义域及函数值变化趋势作出f（x）的示意图2：

当a>0，图中直线x=是函数f（x）的“类对称轴”，由“类对称轴”两边增减幅度不同，可先直观“承认”第（II）小题中的不等关系，进而得到第（III）小题中两个零点x1，x2（0，即x0>.再代入f′（x）=

-（x>0）中便可得f′（x0）<0.

基于上述分析，第（III）小题可由第（II）小题中的等价结论得到：f（-x1）>f（x1）=f（x2），再结合f（x）在（，+∞）上单调递减，证得x1+x2>，并以此为抓手即可得证.

例3 已知函数f（x）=Inx-ax，a为常数.

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）若函数f（x）有两个零点x1，x2，试证明：x1x2>e2.

【解析】本题第（II）小题原始解答十分烦琐，让人摸不透问题的主线.其实由（I）求得：

i）若a≤0，则f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；

ii）若a>0，f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上单调递减.

当f（）>0即0，即ax1+ax2>2.再根据f（x1）=f（x2）=0，替换为Inx1+Inx2>2，从而得到x1x2>e2.

【点评】从上述高考典例可以看出：借助图形直观以及“类对称”的观点，可让我们形象感知数量不等关系在“类对称”函数模型中的客观存在和解题意义，大大降低了思维的抽象性和问题的门槛，值得一提的是这种“类对称”函数问题在近年高考函数压轴题型中崭露头角，方兴未艾，应引起我们足够的重视和关注！

例4 已知函数f（x）=Inx+x2-2x+.

（I）若f′（x1）=f′（x2），求x1+x2的取值范围；

（II）若x1+x2=2，试判断f（x1）+f（x2）的符号；

（III）若f（x1）+f（x2）=0，求x1+x2的取值范围.

【解析】由f′（x）=+x-2=≥0，得f（x）函数在（0，+∞）定义域上单调递增，且注意到f′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，于是函数f（x）的图象在（0，1）上呈上凸，在（1，+∞）上呈下凸，点P（1，0）是拐点（如图4）.类似的，点P（1，0）是函数f（x）的“类对称中心”，由于点P（1，0）左右两边增速不同，可凭图形直观得到：

若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）≤0（当且仅当x1=x2时取“=”）；

若f（x1）+f（x2）=0，则x1+x2≥2（当且仅当x1=x2时取“=”）.

据此，可猜想第（III）小题中x1+x2的取值范围为[2，+∞）.理由可类比例1分析如下：

（根据已知条件，不妨预设x1∈（0，1]，x2∈[1，+∞）

x1+x2≥2 ?x2≥2-x1（注意到x2，2-x1均不小于1）

?f（x2）≥f（2-x1）（f（x）在[1，+∞）上单调递增）

?-f（x1）≥f（2-x1）（已知f（x1）+f（x2）=0）

?-f（x）≥f（2-x）在（0，1]上成立

?F（x）=f（x）+f（2-x）≤0在（0，1]上成立

利用导数知识可求得F（x）max=F（1）=0，从而上述猜想得证.

【点评】笔者主张借助函数图象以直观感知、形象对照；在获得相关猜想的基础上，从问题目标入手，不断地向已知条件求索转化，逐步形成解题思路，最后才给出严格的推理论证.这样做可以使“类对称”函数的研究过程通俗化、形象化，又可以为理解非对称函数的抽象性质提供有效的支撑，并逐步形成处理“类对称”函数问题的通性通法！

三、“类对称”函数问题的启示

1.函数图象是数学命题的源泉、探究的载体和解题的助手.很多函数综合问题的产生往往来自于对函数图象特征的探究，比如常见不等式成立问题是源于函数曲线间的位置关系.上述一系列“类对称”函数的不等数量关系都可以在其图象上得到直观体现.因此，加强函数作图能力的培养是提升分析、解决函数问题的重要基础，数学老师在日常函数教学中务必做好示范，潜移默化，带动学生画准图、用好图，提高图形鉴赏能力与数形结合能力.

2.寻找新、旧数学问题之间的枢纽或联系点，将旧问题的知识方法、技能合理地迁移到新的问题情境中去，从而实现新问题的类化.如已学的对称函数性质特征可以为研究非对称函数提供参照，即便运用“类对称”角度分析非对称函数问题后，但真正解题时仍回归常规的通性通法.数学老师应培养学生主动运用已有的知识储备去开拓探索崭新的数学空间.

3.充分挖掘数学问题中各个子问题之间的内在联系，善于捕捉问题中蕴藏的有效信息，弄清各个子问题之间的设置目的.上述每一个“类对称”函数问题的设置并非“空穴来风”，均能做到层层递进，前置问题能巧妙地为后续问题的解决提供合理的台阶.数学老师应鼓励学生做到循序渐进、步步为营，增强解题信心.

4.树立问题目标转化意识，锻炼逆向思维能力.前述分析数学问题往往从问题目标入手，不断地向已知条件求索转化，逐步形成解题思路.这说明数学思维教学中，观察、分析、比较、类比、归纳、综合、抽象、概括等都是培养学生创造性思维的重要环节，正是参与了数学问题的分析解决过程，学生才能建构自己的认知结构及相应的数学思考和行为习惯.

5.留心数学语言的表述方式和表达实质.高中数学语言丰富多样，有时简单明了、形象直观，有时虽言简意赅，却意境幽深、抽象费解.比如前面对称函数的性质不同表述和例1、例2中第（II）小题的设问形式都是“换汤不换药”，可见数学教学也是数学语言的教学，教师应帮助学生认读感知有关的数学符号、图形语言等，逐一理解每个数学术语，要求学生用自己的语言来理解数学定义或理清数学问题实质.

函数的对称关系及应用第7篇

关键词：对称性,中心对称,轴对称

对称性普遍存在于自然界中, 如各种动物的形体就具有很好的对称性.能熟练求曲线关于点或直线的对称曲线, 判断关于点或直线的对称性, 加深对自然界的认识, 体现数学的美感, 是培养数学情操内容之一.曲线关于点或直线对称的曲线方程的求法源于点的对称原理.函数的对称性是函数的一条非常重要的性质, 对学生的逻辑思维能力和数形结合思想有着较高的要求, 也逐渐成了高考和竞赛的热点, 其应用灵活性较大且变化多端, 确实耐人寻味.

一、中心对称中的相互关系

1.点关于点的对称

结论1:若点P (x1, y1) 关于点A (a, b) 的对称点为Q (x2, y2) , 则x2=2a-x1, y2=2b-y1.

例1 点 (3, -2) 关于点 (-1, 4) 对称的点坐标为 (-5, 10) .

2.直 (曲) 线关于点的对称问题

结论2:曲线f (x, y) =0关于点P (a, b) 的对称曲线方程为f (2a-x, 2b-y) =0.

证明设点P (x0, y0) 是函数f (x, y) =0的图像上任一点, 则点P (x0, y0) 关于点A (a, b) 的对称点为P′ (x′, y′) , 则

${\begin{cases} x^{'} = 2 a - x_{0}, \\ y^{'} = 2 b - y_{0} ‚ \end{cases}$

因此

${\begin{cases} x_{0} = 2 a - x^{'} ‚ \\ y_{0} = 2 b - y^{'} . \end{cases}$

而点P (x0, y0) 是函数f (x, y) =0上的任一点, 故f (2a-x′, 2b-y′) =0, 结论成立.

例2 求与直线2x-y-4=0关于点 (1, -1) 成中心对称的直线的方程.

解用2-x代替2x-y-4=0中的x, 用-2-y代替2x-y-4=0中的y, 即可得所求直线方程为2x-y-2=0.

例3 已知函数f (x) 的图像与函数 $h (x) = x + \frac{1}{x} + 2$ 的图像关于点A (0, 1) 对称, 求f (x) 的解析式.

解因为函数f (x) 的图像与函数 $h (x) = x + \frac{1}{x} + 2$ 的图像关于点A (0, 1) 对称, 所以用-x及2-y替换 $y = x + \frac{1}{x} + 2$ 中的x和y, 得 $2 - y = - x + \frac{1}{- x} + 2$ , 解出 $y = x + \frac{1}{x}$ , 故 $f (x) = x + \frac{1}{x} .$

二、轴对称中的相互关系

1.点关于直线的对称

结论3:若点P (x1, y1) 关于直线Ax+By+C=0的对称点为Q (x2, y2) .

$\begin{array}{l} 则 x_{2} = x_{1} - \frac{2 A (A x_{1} + B y_{1} + C)}{A^{2} + B^{2}} ‚ \\ y_{2} = y_{1} - \frac{2 B (A x_{1} + B y_{1} + C)}{A^{2} + B^{2}} . \end{array}$

证明设点P (x1, y1) 关于直线l:Ax+By+C=0对称点为Q (x2, y2) , 则直线PQ⊥l.

设直线PQ为Bx-Ay+m=0.又PQ过点P (x1, y1) , 所以得Bx1-Ay1+m=0.因此m=-Bx1+Ay1, 代入直线PQ方程, 得Bx-Ay+Ay1-Bx1=0.

设直线PQ与直线l的交点为M (x, y) , 则由

${\begin{cases} A x + B y + C = 0 ‚ \\ B x - A y + A y_{1} - B x_{1} = 0 ‚ \end{cases}$

得

${\begin{cases} x = x_{1} - \frac{A (A x_{1} + B y_{1} + C)}{A^{2} + B^{2}} ‚ \\ y = y_{1} - \frac{B (A x_{1} + B y_{1} + C)}{A^{2} + B^{2}} . \end{cases}$

而点P, Q关于点M对称, 可得

${\begin{cases} x_{2} = 2 x - x_{1}, \\ y_{2} = 2 y - y_{1} ‚ \end{cases}$

即

${\begin{cases} x_{2} = x_{1} - \frac{2 A (A x_{1} + B y_{1} + C)}{A^{2} + B^{2}} ‚ \\ y_{2} = y_{1} - \frac{2 B (A x_{1} + B y_{1} + C)}{A^{2} + B^{2}} . \end{cases}$

结论成立.

例4 求点P (3, 2) 关于直线x+y=0的对称点的坐标是 (B) .

A. (-3, -2) B. (-2, -3)

C. (2, -3) D. (-2, 3)

2.直 (曲) 线关于直线的对称

结论4:曲线f (x, y) =0关于直线Ax+By+C=0 (A, B不同时为0) 对称的曲线方程为

$f [x - \frac{2 A}{A^{2} + B^{2}} (A x + B y + C) ‚ y - \frac{2 B}{A^{2} + B^{2}} (A x + B y + C)] = 0 (※) .$

证明设f (x, y) =0上任一点P0 (x0, y0) 关于直线Ax+By+C=0的对称点为P (x, y) , 由于点P (x, y) 与点P0 (x0, y0) 关于直线Ax+By+C=0对称, 由结论3可知:

${\begin{cases} x_{0} = x - \frac{2 A (A x + B y + C)}{A^{2} + B^{2}} ‚ \\ y_{0} = x - \frac{2 B (A x + B y + C)}{A^{2} + B^{2}} . \end{cases}$

因为f (x0, y0) =0, 所以可得

$f [x - \frac{2 A}{A^{2} + B^{2}} (A x + B y + C) ‚ y - \frac{2 B}{A^{2} + B^{2}} (A x + B y + C)] = 0$ ,

得点P (x, y) 在曲线 (※) 上.

反过来可证得曲线 (※) 上任一点关于直线Ax+By+C=0的对称点也在f (x, y) =0上.

特殊情况:

(1) 曲线f (x, y) =0关于x轴对称的曲线方程为f (x, -y) =0.

②曲线f (x, y) =0关于y轴对称的曲线方程为f (-x, y) =0.

③曲线f (x, y) =0关于直线x=a的对称曲线方程为f (2a-x, y) =0.

(4) 曲线f (x, y) =0关于直线y=b对称的曲线方程为f (x, 2b-y) =0.

(5) 曲线f (x, y) =0关于直线x+y+c=0对称的曲线方程为f (-y-c, -x-c) =0.

(6) 曲线f (x, y) =0关于直线x-y+c=0对称的曲线方程为f (y-c, x+c) =0.

实质上, 只需对原方程中x, y的位置用相应的式子代即可, 如关于直线x=a对称, 当且仅当2a-x代替x, 且y不变.关于点P (a, b) 对称, 则用2a-x代替x, 2b-y代替y等即可得.

例5 (2006年普通高考辽宁理科卷) 与方程y=e2x-2ex+1 (x≥0) 的曲线关于直线y=x对称的曲线的方程为 () .

解y=e2x-2ex+1 (x≥0) (ex-1) 2=y,

∵x≥0, ∴ex≥1.

因为曲线关于直线y=x对称, 所以分别用x, y替换曲线方程中的y, x, 得x=e2y-2ey+1, 即x= (ey-1) 2, 解得y=ln (1+x) .故选择答案A.

三曲线关于点或直线对称的隐含条件的应用

对一些对称问题的隐含条件应善于挖掘和应用, 往往能起到简化解题过程的作用.

例6已知定义在R上的函数f (x) 有f (2-x) =f (2+x) , 若方程f (x) =0有六个实根, 求这六根之和.

分析由f (2-x) =f (2+x) 知, 函数f (x) 的图像关于直线x=2对称, 而方程f (x) =0的六个实根是函数f (x) 的图像与x轴交点的横坐标, 则这六个交点也关于直线x=2对称, 所以这六根之和为12.

例7定义在R上的非常数函数满足f (10+x) 为偶函数, 且f (5-x) =f (5+x) , 则f (x) 一定是 () .

A.偶函数, 也是周期函数

B.偶函数, 但不是周期函数

C.奇函数, 也是周期函数

D.奇函数, 但不是周期函数

解∵f (10+x) 为偶函数,

∴f (10+x) =f (10-x) ,

∴f (x) 有两条对称轴x=5与x=10,

因此f (x) 是以10为其一个周期的周期函数,

∴x=0, 即y轴也是f (x) 的对称轴, 因此f (x) 还是一个偶函数.故选A.

例8方程log2x+x-2=0的解为x1, 方程2x+x-2=0的解为x, 求x+x的值.

分析x1, x2分别为函数y=log2x, y=2x的图像与直线y=-x+2的交点A, B的横坐标, 而y=log2x与y=2x互为反函数, 图像关于直线y=x对称, 又直线y=-x+2关于y=x自身对称, 故A, B两点关于直线y=x对称, 解y=x与y=2-x的交点得x=1, 所以x1+x2=2.

例9 (2006年普通高考山东理科卷) 已知f (x) 是定义在R上的奇函数, 且满足f (x+2) =-f (x) , 则f (6) 的值为 () .

A.-1 B.0 C.1 D.2

解∵f (x) 是定义在R上的奇函数,

∴其图像关于原点对称, 且f (0) =0.

又f (x+2) =-f (x) , ∴f (x+4) =-f (x+2) =f (x) ,

故函数f (x) 的周期为4, ∴f (6) =f (2) =-f (0) =0.

故选B.

总之, 函数的对称性是其一个重要性质, 如果我们能充分理解曲线对称变换的原理及题型特点, 熟练掌握基本方法, 抓住要点, 那么对于解决数学难题就会做到事半功倍.

函数对称性的探究第8篇

一函数自身对称性的探究

定理1, 函数y=f (x) 的图像关于点A (a, b) 对称的充要条件是f (x) +f (2a-x) =2b。

证明: (必要性) 在y=f (x) 图像上任取一点P (x, y) , 则点P (x, y) 关于点A (a, b) 的对称点P’ (2a-x, 2b-y) , 点P’也在y=f (x) 图像上, ∴2b-y=f (2a-x) 即y+f (2a-x) =2b, 故f (x) +f (2a-x) =2b。

(充分性) 在y=f (x) 图像上任取一点P (x0, y0) , 则y0=f (x0)

故点P’ (2a-x0, 2b-y0) 也在y=f (x) 图像上, 而点P与点P’关于点A (a, b) 对称。

特别的:函数y=f (x) 的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) +f (-x) =0。

定理2, 函数y=f (x) 的图像关于直线x=a对称的充要条件是:

f (a+x) =f (a-x) 即f (x) =f (2a-x) (证明留给读者)

特别的:函数y=f (x) 的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) =f (-x) 。

定理3, (1) 若函数y=f (x) 图像同时关于点A (a, c) 和点B (b, c) 成中心对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 且2|a-b|是其一个周期。 (2) 若函数y=f (x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 且2|a-b|是其一个周期。 (3) 若函数y=f (x) 图像既关于点A (a, c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 且4|a-b|是其一个周期。

以下给出 (1) 的证明:

证明:函数y=f (x) 的图像同时关于点A (a, c) 和点B (b, c) 成中心对称, 则f (2a+x) +f (-x) =2c, f (2b-x) +f (x) =2c。

所以2|a-b|是它的一个周期。

读者可试证 (2) (3) 。

应用举例:

例1, (2009全国卷) 函数f (x) 的定义域为R, 若f (x+1) 与f (x-1) 都是奇函数, 则 ()

A.f (x) 是偶函数B.f (x) 是奇函数

C.f (x) =f (x+2) D.f (x+3) 是奇函数

解:∵f (x+1) 与f (x-1) 都是奇函数

∴函数f (x) 关于点 (1, 0) 及点 (-1, 0) 对称, 函数f (x) 是周期T=2[1- (-1) ]=4的周期函数

∴f (-x+3) =-f (x+3) , 即f (x+3) 是奇函数。故选D。

例2, 设f (x) 是定义在实数集R上的函数, 且满足f (10-x) =f (10+x) 与f (20-x) =-f (20+x) , 则f (x) 是 ()

A.偶函数, 又是周期函数。

B.偶函数, 但不是周期函数。

C.奇函数, 又是周期函数。

D.奇函数, 但不是周期函数。

所以为奇函数。故选C。

二不同函数对称性的探究

定理1, 函数y=f (x) 与y=2b-f (2a-x) 的图像关于点A (a, b) 成中心对称。

定理2, 函数y=f (x) 与y=f (2a-x) 的图像关于直线x=a成轴对称。

现证定理1:

证明:设点P (x0, y0) 是y=f (x) 图像上任一点, 则y0=f (x0) 。点P (x0, y0) 关于点A (a, b) 的对称点为P’ (2a-x0, 2b-y0) , 此点坐标满足y=2b-f (2a-x) , 显然点P’ (2a-x0, 2b-y0) 在y=2b-f (2a-x) 的图像上。

同理可证:y=2b-f (2a-x) 图像上关于点A (a, b) 对称的点也在y=f (x) 的图像上。

特别的:函数y=f (x) 与y=f (-x) 的图像关于直线y轴对称。

应用举例:

例4, 函数y=f (x+1) 与函数y=f (3-x) 的图像关于__________对称。

例5, 若方程f (3+2x) =0有三个根, 则方程f (1-2x) =0有_____个根, 两方程所有的根之和为______。

三三角函数图像的对称性

注:上表中k∈Z

应用举例:

练习:1.若函数f (x) =x2+bx+c对一切实数都有f (2+x) =f (2-x) , 则 ()

2. 函数y=f (x) 在 (0, 2) 上是增函数, 函数y=f (x+2) 是偶函数, 则下列结论中正确的是 ()

3. 设函数f (x) = (x+a) 3对任意实数x都有f (2+x) =-f (2-x) , 则f (3) +f (-3) = ()

4. 函数f (x) 的定义域为R, 且满足f (12-x) =f (x) , 方程f (x) =0有n个实数根, 这些实数根的和为1992, 那么n为 ()

5. 函数y=f (x) 对一切x满足f (x+a) =f (b-x) (1) 若方程f (x) =0恰有2n (n∈N*) 个根, 则这些根的和为多少? (2) 若方程恰2n+1 (n∈N*) 个根, 则这些根的和为多少?

6. 设f (x) =x2+1, 若g (x) 的图像与y=f (x+2) 的图像关于点 (1, 1) 对称, 求g (x) 。

摘要：函数的对称性是函数的一个基本性质, 其中既有函数自身的对称性又有不同函数之间的对称性, 性质结论复杂且繁多, 既是高中数学学习的一个难点, 也是高考考查的重点, 广泛存在于数学问题之中。笔者通过对函数自身的对称性和不同函数之间的对称性两个方面的探讨和归纳, 希望能对读者有所帮助。

对称函数的条件极值判定问题第9篇

一、对称函数

1、定义:

对称函数可以分为关于某一轴线对称的线对称函数和关于某一点对称的点对称函数两种, 具体的定义如下:设f (x) 是定义域为D的函数, 如果可以找到一个数e, e∈R, 使得对于任意的x∈D, 有2e-x∈D, 若 (1) f (2e-x) =f (x) , 则成f (x) 为先对称函数, 且x=e为f (x) 的对称轴。 (2) 若f (2e-x) +f (x) =2f (e) , 则成f (x) 为点对称函数, 且 (e, f (e) ) 为该函数的对称点。另外, 在对称函数中e为对称函数的x轴对称特征值, f (e) 为对称函数的y轴对称特征值, 在下面的叙述中对e和f (e) 不在做特殊的介绍。如下几例便是比较简单的对称函数: (1) f (x) =2 (x-1) ²+3就是常见的线对称函数, 其中x=1为此函数的对称轴。 (2) f (x) =x+1就是一个很简单的点对称函数 (-1, 0) 便是此函数的对称点。 (2) 函数x=0是一个最简单的对称函数, 它既是线对称函数也是点对称函数。值得注意的是, 我们通常所说的奇函数就是以 (0, 0) 为对称点的点对称函数, 偶函数就是关于x=0对称的线对称函数。

2、性质:

对称函数因为其对称的特点具有一些和普通函数不同的性质, 奇偶性就是对称性的一个特例。但是研究对称函数的特点比研究函数的奇偶性更具有代表性, 下面我们就具体分析一下对称函数的性质: (1) 设f (x) 是关于x=e对称的函数, t为任意常数则f (x+t) 是关于x=e-t对称的函数。证明:若f (x) =f (2e-x) 则有f (x+t) =f (2e-x+t) =f (2e-t- (x+t) ) 即x=e-t为对称轴。 (2) 若 (e, f (e) 为函数f (x) 的对称点, 则 (e-t, f (e) +m) 为函数y=f (x+t) +m的对称点, 证明同上。 (3) 对称点相同的点对称函数其线性组合仍是点对称函数且对称点不便, 对称轴相同的先对称函数的线性组合仍是线对称函数且对称轴不变。 (4) 对称特征值相同的对称函数其积也为对称函数但对称特征值可能改变。 (5) 横轴对称特征值相同的点对称与线对称函数之积为点对称函数, 且对称特征值不变, 当函数不为零时, 其商也是点对称函数。

二、对称函数的条件极值

下面我们以多元函数为例来讨论一下对称函数条件极值的判断方法, 在多元函数中, 设多元函数F (x1, x2......, xn) , x1, x2......, xn为该函数的n个自变量, 若将函数表达式中的各个变量互调位置之后, 函数值不变则称这个函数为对称函数。例如f (x1, x2, x3) =x1+x2+x3变为对称多元函数。Lagrange法是求解对称的多元函数条件极值中十分有效的一个方法, 应用Lagrang法求解条件极值时主要需要突破一下几个问题: (1) 方程解是否唯一 (2) 方程的边界值大小, 一般情况下, 当函数的定义域为有限值时, 只要比较驻点值和边界值便可判断该驻点是否为极值点。但是在处理多元变量的函数问题时, 驻点的求解往往比较困难例如求函数f (x) =∏ (xi-1/xi) (∑xi=1) 的极值。此时很难求出该函数的驻点因此不便使用Lagrang方法。但是如果函数的对称性就可以大大减小只以为题的求解难度。可以想到如果目标函数是对称的则其解应该也具有某种性质, 因此在研究上述问题时我们首先需要知道对称函数的一些定理: (1) 设对称函数F (X1, X2, L, Xn) , 若条件为∑xi=T, 则必有唯一极值点 (1/n, 1/n, L, 1/n) .则用此对称函数的定理就变得十分容易了。及xi都取1/n即可。另外, 对称函数还具有如下定理可以用来求解极值, 例如 (1) 二元函数F (X1, X2) , 约束条件为a1x1+a2x2=t, 则可知FX有唯一极值点。 (2) 若多元函数F (X1, X2, L, Xn) 若当n=2时函数有唯一极值点。则当n取其他值时函数也有唯一极值点。以上定理有反证法很容易证明在这里不详细叙述。

三、结语

对称原理是一种思维方式对称性经常在事物的规律中表现出来当系统或数学函数以对称形式出现则必含有某种特征或特殊解的形式我们可以让对称美成为我们的一种思维习惯在求解问题时可先根据对称性作出合理推测再作进一步考虑

摘要：极值问题一直是高等数学中十分重要的一个问题, 而条件极值作为极值问题中典型的代表其重要程度便显而易见啦。在对极值问题的研究中, 我们经常会在函数自变量被限制在一个固定的范围内的条件下, 去讨论因变量的极值, 这就是我们通常所说的条件极值问题。由于自变量有一定的范围, 使得函数的极值求解变得比较复杂, 但是对于对称函数来说, 条件极值又有着几类不同的判定方法。求解判定对称函数的极值过程也充分的体现了对称思想在高等数学中的重要作用, 本文就从对称函数的极值判定这一问题入手, 重点分析一下求对称函数极值的具体的判定思路。

关键词：对称函数,条件极值,判定思路,判定过程

参考文献

[1]熊振翔:《单元及多元函数关于多点的一种插值多项式及其余项》, 《数学研究与评论》, 1986年02期。

[2]余小芬、李小梅、向星杰、刘成龙:《关于一类多元无理函数的最大值问题》, 《内江科技》, 2007年03期。

[3]刘成龙、余小芬:《一个多元函数最大值定理的别证及应用》, 《内江师范学院学报》, 2006年S1期。

浅谈函数的对称性第10篇

一、函数自身的对称性探究

定理1 . 函数y=f (x) 的图像关于点A (a ,b) 对称的充要条件是f (x)+ f (2a -x) = 2b

证明:( 必要性) 设点P(x ,y)是y=f(x) 图像上任一点,

故点P'( 2a-x0,2b-y0) 也在y=f(x) 图像上, 而点P与点P'关于点A (a,b)对称,充分性得征.

推论:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(- x)=0

定理2. 函数y =f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f(a +x)= f(a-x),

即f(x)=f (2a-x)( 证明留给读者)

定理3. 1若函数y=f(x)图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c) 成中心对称 ( a≠b) ,则y =f(x)是周期函数 ,且2|a-b|是其一个周期.2若函数y=f(x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称 ( a≠ b) ,则y= f(x)是周期函数 ,且2|a-b|是其一个周期.3若函数y=f(x)图像既关于点A (a,c) 成中心对称又关于直线x= b成轴对称( a≠b) ,则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期.

以下给出3的证明:

二、函数对称性应用举例

例:定义在R上的非常数函数满足: f (1 0+ x) 为偶函数 , 且f (5 -x)= f (5+ x), 则f (x)一定是( )

(A)是偶函数 ,也是周期函数

(B)是偶函数 ,但不是周期函数

(C)是奇函数 ,也是周期函数

(D)是奇函数 ,但不是周期函数

摘要：函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决.

对称函数第11篇

注这里代数关系式中两个“f ”(对应法则)内的“x”(变量)前的正负号相异,如果把两个“f”放在“=”的两边,则“f ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.

思考1 满足f(x-a)=f(a-x)的函数f(x)的图像的对称性如何?(关于y轴对称.)

思考2 满足f(a+x)=f(b-x)的函数f(x)的图像的对称性如何?(关于直线x=对称.)

二、函数周期性的充要条件和充分条件

1. 函数f(x)以实数a(a≠0)为周期f(x+a)=f(x)fx+=fx-.

2. fx+=-fx-f(x+a)=-f(x)(实数a≠0)函数f(x)以2a为周期.

3. f(x+a)=(实数a≠0)函数f(x)以2a为周期.

4. f(x+a)=-(实数a≠0)函数f(x)以2a为周期.

注这里代数关系式中两个“f ”内的“x”前的正负号相相同.因为周期性关乎平移.

三、对称性与周期性的关系

定理1 若定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b(a≠b)对称,则f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期.

推论1 若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x)(a≠b),则f(x)是以2|a-b|为周期的周期函数.

定理2 若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,0)和直线x=b(a≠b)对称,则f(x)是周期函数,且4|a-b|是它的一个周期.

推论2 若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)及f(b-x)=f(b+x)(a≠b),则f(x)是以4|a-b|为周期的周期函数.

定理3 若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)(a≠b)对称,则f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期.

推论3 若函数f(x)满足f(a-x)+f(a+x)=20及

f(b-x)+f(b+x)=20(a≠b),则f(x)是以2|a-b|为周期的周期函数.

四、运用这些条件和关系解决一些抽象函数问题举例

例1 (2009年山东文科卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()

A. f(-25)

B. f(80)

C. f(11)

D. f(-25)

解析因为f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以

f(x)是以8为一个周期的周期函数.则f(-25)=f(-1),

f(80)=f(0),f(11)=f(3).

又因为f(x)在R上是奇函数,所以f(x-4)=f(-x),所以f(x)的图像关于直线x=-2对称.则f(3)=-f(-3)=-f(-1)=f(1).

又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1)

例2 (2009全国Ⅰ理科卷)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则()

A. f(x)是偶函数

B. f(x)是奇函数

C. f(x)=f(x+2)

D. f(x+3)是奇函数

解析因为f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,所以

f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),所以函数f(x)的图像关于点(1,0)及点(-1,0)对称,所以函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数.

所以f(x-1+4)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x-1+4),即

f(-x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇函数.故选D.

例3 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,又f(2)=0.若关于x的方程f(x)=m在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,且x1

解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以

f(x)=f(-x).

故由f(x-4)=-f(-x),知f(x)的图像关于点(-2,0)对称.

由f(x-4)=-f(x),知f(x-8)=f(x),所以f(x)是以8为一个周期的周期函数.

又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上是减函数.

又关于x的方程f(x)=m在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,且x1

1. 若函数f(x)定义域为R,且满足条件f(x+a)=

f(x+b),则f(x)是周期函数吗?如果是,请求出其周期.

2. 若函数f(x)定义域为R,且满足条件f(x+a)=

-f(x+b),则f(x)是周期函数吗?如果是,请求出其周期.

1. f(x)是周期函数,且|a-b|是它的一个周期.

函数对称问题的衍变与类化第12篇

一、函数对称性质的衍变

我们知道,若函数y = f(x)的图象关于直线x= a对称,则有f(a-x)=f(a+x)[或f(x)=f(2a-x)].倘若引入二元变量x1,x2后,该命题又可表述为:若函数y = f(x)的图象关于直线x = a对称,则x1+ x2= 2a圳f(x1)=f(x2). 比如常见的二次函数就具备了上述典型特征.

假设上述对称函数y=f(x)在直线x=a某一侧的图象发生了偏转或改变,此时得到新的函数y =g(x)的图象必然呈现非轴对称状态,于是就有: 若x1+ x2= 2a ,则g(x1)≠g(x2);若g(x1)=g(x2),则x1+ x2≠2a(即x1+ x2>2a或x1+ x2<2a成立).

同理,若函数y= f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,则有f(a-x)+f(a+x)=2b[或f(x)+f(2a-x)=2b]. 倘若引入二元变量x1,x2后,该命题又可表述为:若函数y= f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,则x1+ x2=2a圳f(x1)+f(x2)=2b.比如常见的正、反比例函数、三次函数等就具备了上述典型特征.

类似地,假设上述对称函数y=f(x)在点(a,b) 某一侧的图象发生了偏转或改变,此时得到新的函数y=g(x)的图象必然呈现非中心对称状态,于是就有:若x1+x2=2a,则g(x1)+g(x2)≠2b;若g(x1)+g(x2) =2b,则x1+x2≠2a(即x1+x2>2a或x1+x2<2a成立).

中学数学经常需要研究非对称函数的图象特征或数量关系,为了形象贴切、便于参照理解,我们有时可将某些非对称函数“类似地”当作“类对称” 进行研究.比如,类比对称函数图象特征不妨引入以下“类对称”函数的相关概念:

若连续函数y=f(x)仅在x=a处取得极值,则直线x =a可视作y= f(x)的“类对称轴”;

类似地,若点(a,f(a))是单调函数y= f(x)的拐点(凸曲线与凹曲线的连接点),则点(a,f(a))可视作y= f(x)的“类对称中心”.

二、“类对称”函数问题的类化

所谓问题的类化就是概括当前问题与原有知识的共同本质特征,将所要解决的问题纳入原有的同类知识结构中去,对问题加以解决.基于非对称函数存在着相应不等的数量关系,因而在非对称函数中蕴含丰富的不等式问题、变量取值范围问题. 近年来很多高考或质检的函数压轴试题经常以此为素材,综合考查学生的创新能力和数学素养.非对称函数问题若能参照对称函数问题在“类对称”的状态下进行合理对照迁移,便可使我们清晰顺畅地追溯数学命题的本源,有利于我们把握数学问题的实质和关键所在,从而找准解题的切入点.

例1已知函数f(x)=xe-x(x∈R).

(I)求函数f(x)的单调区间和极值;

(II)已知函数y=g(x)的图象与函数y=(x)的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时,f(x)>g(x);

(III)如果x1≠x2,且f(x1)≠f(x2),证明x1+x2>2.

【解析】本题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.第(I)小题由f′(x)=(1-x)e-x可得:f(x)的递增区间为(-∞,1), 递减区间为(1,+∞),故其在x=1处取得极大值f(1)=1/e ;第(II)小题关键构造函数F(x)=f(x)-g(x)利用导数知识证明F(x)>0在(1,+∞)上恒成立;第 (III)小题只要利用第(II)小题的不等式模型结合第 (I)小题的函数单调性即可得证.

然而,对于这样一道典型的高考试题不应仅停留在就题解题上,假如本题没有第(II)小题作铺垫提示,恐怕第(III)小题很多人就无从下手了;但有了第(II)小题,则第(III)小题纯粹只剩下简单的代换转化、变形整理.对于本题解答大多学生都是似懂非懂、云里雾里地被动接受.笔者认为:掌握本题的关键应在于弄清问题产生的根源,实际上我们由第(I)小题结果以及函数值的符号、趋势,不难勾勒出函数f(x)=xe-x的图象(如图1), 图中直线x=1是函数f(x)=xe-x的“类对称轴”,由于 “类对称轴”两边增减幅度不同,当f(x1)=f(x2)时,可直观得到:x1+x2>2,这就是第(II)、(III)小题的问题原始背景.

下面我们结合图象寻找证明思路:(根据已知条件,不妨预设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞))

于是解决问题的切入点转为常规的构造函数运用导数知识证明不等式恒成立问题.

【点评】这种对照函数图象分析问题的方式或许更为自然合理、形象直观,尤其是对第(I)、(II)小题的设置缘由变得更加明朗清晰,从而让学生站在更高层面审视数学问题的来龙去脉,同时也使本题解法更具主动性、深刻性和广阔性!另外,用“类对称”眼光看待函数图象,让普通的非对称函数曲线不再枯燥生硬,变得更为亲切贴近、更具美感灵气!

例2已知函数f(x)=Inx-ax2+(2-a)x.

(I)讨论f(x)的单调性;

(II)设a>0,证明:当0<x<1 /a时,f(1/ a+x)>(1 /a-x);

(III)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f′(x0)<0.

【解析】本题与例1有着异曲同工之妙!先由

得到:

i)若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;

ii)若a>0,f(x)在(0,1 /a)上单调递增;在(1 /a, +∞)上单调递减.

结合函数定义域及函数值变化趋势作出f(x)的示意图2:

当a>0,图中直线x=1 /a是函数f(x) 的“类对称轴”,由 “类对称轴”两边增

减幅度不同,可先直观“承认”第(II)小题中的不等关系,进而得到第(III)小题中两个零点x1,x2(0<x1< 1/a <x2)应满足:x1+x2>2/a ,即x0>1 /a. 再代入f′(x)= {-(2x+1)(ax-1)}/ x(x>0)中便可得f′(x0)<0.

基于上述分析,第(III)小题可由第(II)小题中的等价结论得到再结合f(x)在(1 /a,+∞)上单调递减,证得x1+x2>2/ a,并以此为抓手即可得证.

例3已知函数f(x)=Inx-ax,a为常数.

(I)讨论f(x)的单调性;

(II)若函数f(x)有两个零点x1,x2,试证明: x1x2>e2.

【解析】本题第(II)小题原始解答十分烦琐,让人摸不透问题的主线.其实由(I)求得:

i)若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;

ii)若a>0,f(x)在(0,1/ a)上单调递增;在(1/ a,+∞)上单调递减.

当f(1 /a)>0即0< a<1 /e时,结合函数定义域及函数值变化趋势作出f(x)的示意图(如图3),其中直线x =1 /a是函数f(x)的“类对称轴”,由 “类对称轴”两边增减幅度不同,可直觉猜想并仿上证明:x1+x2>2/ a,即ax1+ax2>2.再根据f(x1)=f(x2)=0,替换为Inx1+Inx2>2,从而得到x1x2>e2.

【点评】从上述高考典例可以看出:借助图形直观以及“类对称”的观点,可让我们形象感知数量不等关系在“类对称”函数模型中的客观存在和解题意义,大大降低了思维的抽象性和问题的门槛,值得一提的是这种“类对称”函数问题在近年高考函数压轴题型中崭露头角,方兴未艾,应引起我们足够的重视和关注!

例4已知函数

(I)若f′(x1)=f′(x2),求x1+x2的取值范围;

(II)若x1+x2=2,试判断f(x1)+f(x2)的符号;

(III)若f(x1)+f(x2)=0,求x1+x2的取值范围.

【解析】由,得 f(x)函数在(0,+∞)定义域上单调递增,且注意到f′(x) 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,于是函数f(x)的图象在(0,1) 上呈上凸,在(1,+∞)上呈下凸,点P(1,0)是拐点(如图4).类似的,点P(1,0)是函数f(x)的 “类对称中心”,由于点P(1,0)左右两边增速不同,可凭图形直观得到:

若x1+x2=2,则f(x1)+f(x2)≤0(当且仅当x1=x2时取“=”);

若f(x1)+f(x2)=0,则x1+x2≥2(当且仅当x1=x2时取“=”).

据此,可猜想第(III)小题中x1+x2的取值范围为[2,+∞).理由可类比例1分析如下:

利用导数知识可求得F(x)max=F(1)=0,从而上述猜想得证.

【点评】笔者主张借助函数图象以直观感知、形象对照;在获得相关猜想的基础上,从问题目标入手,不断地向已知条件求索转化,逐步形成解题思路,最后才给出严格的推理论证.这样做可以使“类对称”函数的研究过程通俗化、形象化,又可以为理解非对称函数的抽象性质提供有效的支撑,并逐步形成处理“类对称”函数问题的通性通法!

三、“类对称”函数问题的启示

1.函数图象是数学命题的源泉、探究的载体和解题的助手.很多函数综合问题的产生往往来自于对函数图象特征的探究,比如常见不等式成立问题是源于函数曲线间的位置关系. 上述一系列 “类对称”函数的不等数量关系都可以在其图象上得到直观体现.因此,加强函数作图能力的培养是提升分析、解决函数问题的重要基础,数学老师在日常函数教学中务必做好示范,潜移默化,带动学生画准图、用好图,提高图形鉴赏能力与数形结合能力.

2.寻找新、旧数学问题之间的枢纽或联系点, 将旧问题的知识方法、技能合理地迁移到新的问题情境中去,从而实现新问题的类化.如已学的对称函数性质特征可以为研究非对称函数提供参照,即便运用“类对称”角度分析非对称函数问题后,但真正解题时仍回归常规的通性通法.数学老师应培养学生主动运用已有的知识储备去开拓探索崭新的数学空间.

3. 充分挖掘数学问题中各个子问题之间的内在联系,善于捕捉问题中蕴藏的有效信息,弄清各个子问题之间的设置目的.上述每一个“类对称”函数问题的设置并非“空穴来风”,均能做到层层递进,前置问题能巧妙地为后续问题的解决提供合理的台阶.数学老师应鼓励学生做到循序渐进、步步为营,增强解题信心.

4.树立问题目标转化意识,锻炼逆向思维能力. 前述分析数学问题往往从问题目标入手,不断地向已知条件求索转化,逐步形成解题思路.这说明数学思维教学中,观察、分析、比较、类比、归纳、综合、抽象、概括等都是培养学生创造性思维的重要环节,正是参与了数学问题的分析解决过程,学生才能建构自己的认知结构及相应的数学思考和行为习惯.

5.留心数学语言的表述方式和表达实质.高中数学语言丰富多样,有时简单明了、形象直观,有时虽言简意赅,却意境幽深、抽象费解.比如前面对称函数的性质不同表述和例1、例2中第(II)小题的设问形式都是“换汤不换药”,可见数学教学也是数学语言的教学,教师应帮助学生认读感知有关的数学符号、图形语言等,逐一理解每个数学术语,要求学生用自己的语言来理解数学定义或理清数学问题实质.

对称函数范文

对称函数第1篇

奇函数关于什么对称第2篇

浅谈函数的对称美第3篇

粗谈高中函数对称问题第4篇

函数的对称性和周期性复习教案第5篇

函数对称问题的衍变与类化第6篇

函数的对称关系及应用第7篇

函数对称性的探究第8篇

对称函数的条件极值判定问题第9篇

浅谈函数的对称性第10篇

对称函数第11篇

函数对称问题的衍变与类化第12篇

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