多项式教学设计与反思

多项式教学设计与反思（精选8篇）

多项式教学设计与反思 第1篇

多项式乘以多项式教学设计与反思

龙舟坪镇中心学校：覃玉玲

一、教学实践准备过程的反思

本节课是整式乘法多项式与多项式相乘。我在研读完教材、教参及课标后完成了自己的设计，在设计中主要思考了以下两点：

1、是否能体现知识的过程教学进而突出重点？

在设计教案过程中，首先复习了单项式乘多项式，设计了一个小练习题，学生完成后将其中的单项式改为多项式，问同学们会做吗？引入新课。然后通过计算生活中平面图形的面积，有几种面积的计算方法，提出问题，以小组的形式讨论完成，之后通过对这个图形面积的不同计算方法，得到等式并比较等式之间的转化关系，这三种方法归纳起来就是我们今天要学习的多项式与多项式相乘的方法，最后再让学生试着总结出法则。

2、是否能体现学生的主体作用进而突破难点？

教师在板书例题讲解后，通过巩固新知环节几道题，让学生演牌，试着反思在解题过程中容易出错的地方，积是一个多项式，其项数与等式的左边是怎样的两个因式相乘的关系，等式的右边的各项项分别是怎么得到的。运算时，要注意多项式中的每一项前面的”+”“－”号是性质符号，并总结出多项式与多项式相乘就是利用乘法分配律把它转化为单项式与多项式相乘。在解题时要注意：（1）解题书写和格式的规范性；（2）注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏；（3）能合并同类项的要合并同类项.然后完成一组反馈练习题，达到对法则的熟练运用。最后进行课堂小结。

二、教学实施过程的反思

1、部分环节处理收到了良好效果

（1）通过复习单项式乘多项式，为引入多项式与多项式的相乘法则打下良好的基础。很顺畅的引入了课题发了学生的学习。

（2）通过求长方形的面积，形象直观地引入多项式与多项式的相乘法则，并引导学生用文字语言概括出其结论。

（3）通过例题分析、讲解并示范板书，让学生规范解题过程。

（4）教师应重点关注：学生参与数学活动是否积极，全精贯注；学生表示的面积的方法是否全面、正确.由现实生活中的问题入手，设置情境问题，激发学生兴趣，导出本课主题.通过探究学校花园扩大绿地后面积的不同表示方法，为多项式的乘法作好铺垫.2、教学过程中部分环节有待提高

本节课以小组合作学习为主，大部分学生都能积极投入，深度参与数学学习活动，但是少数同学小组表现机会少，被动参与。

三、值得思考的问题

在学习的过程中要求学生探索和发现自己用不同的方法求出的图形面积表示方法有何不同，进一步得到多项式相乘的乘法法则。对于学生的探索结果，只要有道理都应予以肯定，特别是在抽象出多项式的乘法法则的过程中，不必强求学生一定要按照书上的步骤按部就班。在习题解答过程中，对于学生的错误不仅要及时发现，而且应向学生指出犯错的原因，以及应该注意的方面。

总之，通过这节课的教学实践，使我再次体会到：教学是一门艺术。学生是课堂的主人，教师是引导者和参与者，教学设计要贴切学生的实际。因此在经后的教学中要继续引导学生去探索与发现，要常反思、总结，使这门艺术不断贴近学生发展的需求，从而不断提高自己的教学设计和实施能力。

多项式教学设计与反思 第2篇

单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得积相加。其实，单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，这样新的知识就转化成了我们已经学过的`知识了。

即：

乘法分配律

多项式教学设计与反思 第3篇

随着能源的日益匮乏,太阳能及光伏发电技术得到了人们的重视[1,2,3,4],太阳能在新能源的利用中占最大的比重[5,6]。在对光伏系统进行调试时,如果使用真实光伏阵列进行现场操作,会有如下的问题:安装不方便,耗费人力物力;无法在短时间内模拟出各种环境因素(主要是光照强度和环境温度)下光伏阵列的输出情况,从而无法得知整个系统在全天候各种气象条件下的运行状况。而且,由于光伏电池造价高,导致研究成本很高。因此,需要一种装置可以模拟光伏阵列在各种环境条件下的工作情况,从而能够代替实际光伏电池阵列来进行各种光伏实验,这种装置就是光伏阵列模拟器[7,8,9,10]。基于此可缩短光伏系统的研发周期,提高研发效率。

文献[11]针对太阳能分布式发电系统的特点设计了光伏阵列模拟器和最大功率点追踪控制器,光伏阵列模拟器主电路由稳压直流电源部分和Buck变换器两部分组成,根据光伏电池阵列的内部等效电路,把光伏阵列简化为1个理想直流电源和1个可变电阻的串联。文献[12]根据光伏电池阵列的输出I-U特性曲线,提出了一种基于四折线法来进行光伏电池阵列输出曲线的分段拟合方法,同时给出了一种新的Simulink仿真模型,并通过该模型验证了设计的合理性;但是并未对具体的分段拟合方法进行研究,而且实现对光伏电池特性曲线的数字模拟方法采用的是查表法,这种方法所得到的电压(或电流)给定量较精确,同时能较方便地模拟光伏电池在不同环境条件下的特性,但数据表格会占用大量的存储空间。文献[13]根据光伏电池单体的数学模型,采用模拟电路设计了电池单体的I-U特性曲线生成电路,实验结果表明该特性曲线能很好地满足模拟光伏电池单体的特性。为了维持直流母线的电压稳定,还设计了稳压调节器,并对光伏电池模拟器进行了单支路和阵列实验。

本文设计了一种数字式光伏电池模拟器,可以模拟光伏电池的输出特性,因此能够替代实际的光伏电池阵列。采用一次及二次多项式对光伏电池特性曲线进行分段拟合,这种拟合方法对系统存储能力要求不高,可以发挥数字控制器的实时运算能力。同时结合电流反馈PI控制提高了系统的动态性能以及稳态精度,最后进行了仿真和实验验证。

1 光伏电池阵列特性与数学模型

1.1 光伏电池的输出特性及其数学模型

太阳能板由很多的光伏电池组成,而每一个光伏电池都是一个P-N截面的半导体,并且直接将光能转换成电能输出,因此可以假设太阳能板经由光照射之后,自己产生一独立电流源供给负载。光伏电池的输出特性是非线性的,它受到光照强度、环境温度等因素的影响[14],如图1所示。根据电子学理论[9,10],光伏电池的等效电路如图2所示。由于器件的瞬时响应时间与绝大多数光伏系统的时间常数相比微不足道,因此结电容Cj在分析中可以忽略。设定图2中所示的电压、电流方向为正方向,可以得出光伏电池的I-U方程见式(1)[15]。

其中,IL为光照产生的电流,I0是电池单元的反向饱和电流,A为二极管因子,t为温度(℃),q为电子电荷电量,k为玻耳兹曼常数,Rsh为并联等效电阻,Rs为串联等效电阻[16]。

式(1)是基于物理原理的最基本解析表达式,已被广泛地应用于光伏电池的理论分析中[12],但由于式中的5个参数IL、I0、Rs、Rsh、A不仅与太阳光照强度和电池温度有关,而且确定这些参数也十分困难,因为厂家提供的技术参数并不是一个适合于不同光照下的精确数据,实用价值不大。因此,必须建立既实用又较为精确的工程用简化数学模型。

1.2 工程应用模型

工程应用模型强调实用性与精确性的结合。实际应用中,在设计各种系统时,考虑到数字仿真和模拟时的动态反应速度及计算工作量,必须尽可能在工程精度允许的条件下简化模型。工程用光伏电池模型通常要求仅采用供应商提供的几个重要技术参数,如标准实验条件(标准光照强度Sref=1 000 W/m2,标准温度tref=25℃)下光伏电池组件的Isc、Uoc、Um、Im、Pm(其中Isc为短路电流,Uoc为开路电压,Im为最大功率点处输出电流,Um为最大功率点处输出电压,Pm为最大输出功率),就能在一定精度下复现阵列的特性,并便于计算机分析。

当光照较强时,光电流IL要远大于(U+IRs)/Rsh,故式(1)中该项可忽略,可简化为

设在某光照条件下,光伏电池的开路电压和短路电流分别为Uoc和Isc,将式(2)简化为

其中,c1、c2为待定常数,可由下面方法确定。

将式(3)变为电压表达式:

则光伏电池的输出功率为[16]

在最大功率点处,I=Im,U=Um,代入式(4)整理后得:

又因为在开路状态下(I=0时)U=Uoc,则式(4)变为

联立式(6)和式(7)得:

在常温状态下,常数c1垲1,由式(8)得c1的近似解:

由此可计算出常数c1、c2。可见,根据此模型只需输入光伏电池通常的技术参数Isc、Uoc、Um、Im,由式(7)和式(9)求出c1、c2后,就可由式(3)确定光伏电池的I-U特性。

1.3 环境因素对模型的影响

光伏电池的I-U特性与光照强度、电池温度有关,可以认为光伏电池的I-U方程中光照强度和电池温度亦为参变量[10]。通常光照强度S变化范围为0~1 000 W/m2,电池温度t变化范围为10~70℃。

式(3)描述了标准光照强度Sref=1 000 W/m2和标准温度tref=25℃下的特性曲线,当光照强度和参考温度发生变化时,需加以修改来描述新的特性曲线[16,17]。本设计采用的方法是根据标准光照强度Sref和标准温度tref下的Isc、Uoc、Um、Im,推算出一般工况(光照强度S和温度t)下的I′sc、U′oc、U′m、I′m。

首先计算出一般工况与标准工况的温度差Δt和相对光照强度差ΔS。

然后按下列公式分别计算一般工况(光照强度S和温度t)下的I′sc、U′oc、U′m、I′m。

推算过程中假定I-U特性曲线基本形状不变,系数α、β、γ的典型值为:α=0.002 5/℃,β=0.5,γ=0.002 88/℃。将所求得的一般工况下的I′sc、U′oc、U′m、I′m,取代式(3)、(6)和(9)中的Isc、Uoc、Um、Im,便可求得一般工况下的输出特性,从而解决了任意照度和温度下的输出特性计算问题。

2 多项式拟合

光伏电池阵列的I-U特性曲线如图1所示。从图中可以看出光伏电池阵列是一种非线性直流电源,在低压段近似为恒流源,拟合时可以采用直线段进行拟合。在高压段特性曲线非线性加强,因此不能简单地采用直线对曲线进行拟合,否则误差明显增加,在此采用二次多项式进行拟合[13]。

在低压段,以短路电流点A(x0,y0)为一个端点、点B(x1,y1)为另一端点,利用数值计算公式可以得到一次拟合方程:

整个高压段分3段进行二次多项式拟合。如拟合第3段,C(x2,y2)、D(x3,y3)作为其两端点,在两端点间通过尝试再取一点F(x4,y4)作为第3点,则利用式(17)可以得到C、D两点间的二次多项式拟合方程为

依次类推,可以得到整条光伏电池特性曲线的拟合方程。以图3所示的360 W光伏电池阵列为例,将特性曲线分成4段,分段点采用近似取半的方法选择可以得到较好的拟合效果。区间分别为[0,40.14]、[40.14,60.16]、[60.16,74.17]、[74.17,86]。

根据式(16)和(17)对光伏电池阵列的特性曲线进行了4段拟合,得到以下拟合方程。

从A点到B点为拟合段1,拟合方程为

从B点到C点为拟合段2,拟合方程为

从C点到D点为拟合段3,拟合方程为

从D点到E点为拟合段4,拟合方程为

3 光伏电池模拟器

所设计的模拟器如图4所示,直流斩波电路采用Boost电路,由开关管VT、二极管VD1、电感L1、电容C1组成。在开关VT导通时,二极管VD1反偏,直流电源向电感L1存储电能,电感电流逐渐增加;当开关VT关断时,二极管VD1导通,由电感L1和直流电源共同提供能量供给,向电容C1充电,电感电流逐渐减小。其输出电压Uo和输入电压Ui的关系如式(22)所示:

其中,D为PWM波形的占空比。

输出电压经AD采样送入DSP控制器后,首先判断此时的输出电压属于哪段拟合区间,然后根据相应的拟合方程计算光伏电池阵列的输出电流值,将此电流值作为输出电流的指令值,即Iref,与实际输出电流值Iout相减后送入电流PI调节器,通过电流PI调节器的调节后,改变DSP中比较寄存器的值,产生可变脉宽的PWM波形控制主电路的开关器件[18,19,20],从而使输出电流Iout始终跟踪给定电流Iref,实现对光伏阵列的模拟。

4 仿真与实验

为了验证前述理论分析的正确性,利用MATLAB分别对光伏电池的特性曲线进行了仿真与拟合,光伏电池采用4个WHX-90M型单晶硅光伏电池组件串联,主要技术参数为:Isc=5.81 A,Uoc=86 V,Um=70 V,Im=5.14 A,Pm=360 W。利用MATLAB建立光伏电池阵列的工程数学模型并进行仿真得到的I-U特性曲线如图5中的实线所示,虚线为所设计光伏电池模拟器的输出特性的多项式拟合曲线。由图5可以看出,整条光伏电池阵列的特性曲线分4段,经一次及二次多项式拟合后得到的拟合曲线与原光伏电池阵列的特性曲线达到了很好的吻合效果。

同时对所设计的模拟器进行了实验验证,实验过程中,通过设置不同的负载电阻值,可以得到一系列的输出负载工作点数据。将工作点在对应的I-U坐标系中给出,如图6中的圆圈散点所示,实线为对光伏电池阵列的工程数学模型进行仿真得到的I-U特性曲线。由图6可以看出,在电压低于72 V时,光伏电池模拟器能较精确地模拟光伏电池的工作特性;但当电压大于72 V后,光伏电池模拟器的实际工作点电流较仿真值高,其原因是在接近开路电压时,输出电压的微小变化都伴随输出电流的急剧变化。在系统中,输出电压的采样值偏小,采样误差造成在计算电流给定值时偏大,从而造成输出电流值偏大,但是误差都在6%以下。

通过比较可以看出,采用所设计的模拟器可以很好地模拟光伏电池特性,从而也验证了系统原理设计的可行性。

5 结论

单项式与多项式 第4篇

1. 单项式的概念

像2x，xy ，-ab，πm3，-等式子都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式.

理解单项式的概念需注意以下几点.

（1）单项式不含有加法、减法及字母与字母间的除法运算.如2x+y，2b2-1，等都不是单项式.对于单项式 -，应理解为-、s与t三者的乘积.

（2）单项式如果是分数的形式，则分母中不含字母.如就不是单项式，因为它无法写成数与字母的乘积.

（3）单独的一个字母或数字也是单项式，如b，x，2，0等都是单项式.

2. 单项式的系数

单项式的系数是指单项式中的数字因数.确定单项式的系数时应注意以下几点.

（1）确定单项式的系数时，最好将单项式写成数字与字母的乘积的形式，然后再确定系数，同时不要漏掉“-”.如-4ab的系数是-4；-=-st，所以-的系数是-.

（2）如果一个单项式只含有字母，则它的系数是1或-1，而不是0.如xy 和-ab的系数分别是1和-1.

（3）要特别注意表示圆周率的字母π，当它出现在单项式中时，如果题中没有特别说明，一般应将其作为系数部分，而不是当成字母.如-πxy的系数是-π，而不是-.

3. 单项式的次数

单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.确定单项式的次数时应注意以下几个问题.

（1）注意没有写指数的字母.没有写指数的字母，其指数实际是1，省略了没有写，计算时不能将其遗漏.如单项式22a3b2c，它的次数由字母的指数3、2、1相加而得，是6.此处应注意，这个单项式的次数与22中的指数2无关.

（2）如果单项式是单独一个字母，则它的次数为1.

（3）单项式通常以它的次数命名，如a是一次单项式，-2ab2c是四次单项式.

4. 多项式及其项、次数的概念

几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.理解这些概念需明白以下几点.

（1）在确定多项式的项时，一定要注意项的符号，“+”可以省略，但“-”不能遗漏.如3x3y2-2x2y+5x-1应看成3x3y2+（-2x2y）+5x+（-1），则这个多项式的项分别是3x3y2，-2x2y，5x，-1.

（2）多项式的次数是多项式中次数最高项的次数.如3x3y2-2x2y+5x-1，3x3y2是多项式中次数最高的项，它的次数是5，因此我们称这个多项式为五次多项式.

（3）一般地，一个多项式是几次，有几项，我们就把这个多项式读作几次几项式.如3x3y2-2x2y+5x-1就读作五次四项式.

（4）有时为了方便，会把一个多项式按照某个字母的升幂或降幂排列，如3x3y-2x2y2+5x-1就是按照x的降幂排列的.

多项式乘多项式教学反思 第5篇

这节课，先让学生自已阅读课本，了解相关的概念，然后完成自学检测，教师进行适当点评后，学生完成分层练习，巩固对概念的掌握。整一节课基本是以学生自学为主线，完成整个教学过程，意在培养学生的自学能力。如果学生可以养成自已阅读课本，在相应的教材内容中获得自已所需的知识，学生的自学能力会得到很好的锻炼。但从课堂的实施情况中可以看到，整个学习过程并不是一帆风顺，可以说学生是在磕磕碰碰中完成了学习任务，几个本来并不难理解的知识点，比如“多项式的项”，“多项式的排列”，如果学生有一定的数学学习的基础和独立分析问题的能力，应该可以自已顺利完成学习，但事实上，必须由老师不断加以点评、分析，学生才能较准确地把握相关语句的含义，说明学生对数学语言的理解和表达还是存在较大困难。这个让学生阅读课文的习惯必须要进一步培养。

这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握，配以学习卷上的分层练习，学生的双基训练很到位，单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好。但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了。事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自已阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约。

虽然表面上看，这节课采用这种自学模式好像浪费了不少时间，由于老师要不断的插入讲评，导致课堂的时间比较紧张，但是，从学生的长远发展出发，我还是觉得应该采用这种模式，使学生在起始年级开始养成一个良好的自主学习的习惯，对他们应该是有利无害的。这节课是一次初步的尝试，在今后的教学中我还要多加以运用。

2、教师的教学方式要根据学生的实际情况

本课的知识点比较简单，属于概念介绍型的，在教师的知识层面上看是非常简单、易懂的知识点。我在学生阅读课本以后，进行点评时，我向学生介绍了以加、减号为分界线把多项式带符号分段的方法解析“项”的概念，然后逐项逐项在单项式的有关知识的基础上求出各项的次数，解析“最高次项”，进而解析“多项式的次数”。学生在这样详细的剖析中，才能把在课本中阅读的相关概念慢慢地转化为相应的数学符号，理解这些概念。

所以我觉得，我们上课，不能只考虑要学生学什么，还应该更要考虑学生需要怎样学。作为初一的.学生，刚从小学生上来，还没有摆脱小学那种被动接受型的学习方法，如果我们初一的老师在这方面不注意引导的话，就容易出现脱节，造成学生提早分化。

这节课在这一点的处理上我觉得我是成功的。

3、教学的重构思

结合这节课暴露的问题，如果再次设计这一学习卷的话，在自学指导部分，学习“多项式的次数”时，我会再细化一些，让学生阅读课本的时候有一根拐杖，这样就可以更大限度的照顾到各层面学生的学习要求。在学习“多项式的排列”的时候，增设一个例题，让学生有一个规范的样板，学习起来不会造成这些不必要的困惑。

总之，一堂课的教学总存在这样那样的遗憾，我要在不断的思考和总结中调整，才能适应学生的要求，适应教材的变化和课标的要求。

多项式的教学反思 第6篇

这节课是一节概念课，是整式这一章的重点，所以上好这节课是很重要的。在备课，上课，批改作业整个教学过程中，我做了一些思考，如下：

一、课前的思考

由于多项式是几个单项式的和，在课前复习单项式的概念是很有必要的，所以在课前我让学生复习单项式的概念并做了有关的题目。

多项式这节课的内容很多，要学习“多项式的概念”，“多项式的项”，“常数项”，“多项式的次数”，“整式的概念”，但都不难理解，故我让学生自己看书，找到这些知识点，锻炼学生的自学能力。

然后通过给出一个多项式，并把多项式的项，次数，常数项的内容贯穿其中，并讲了几个多项式的有关题目。由于在历年考试中有出现过多项式的降幂或升幂排列，所以在教学中补充了多项式的降幂和升幂排列的`概念和有关题目。

最后把整式的概念讲了一下并对这节课做了总结。

二、教学中和批改作业中出现的问题

在教学中我发现学生的自学能力还不错，都能把知识点找出来，

但对知识点的理解不深，很肤浅，这就有必要在上课中通过例题将这些概念讲清楚。学生对多项式的降幂和升幂排列不是很好理解，这里要慢慢讲，如果时间可以的话，最好放在练习课讲，因为这节课的知识点太多，学生容易搞混乱。

在批改作业中发现学生容易出现这几个问题，(1)判断一个多项式是几次几项式时容易将常数项忘掉;(2)判断一个多项式是由哪几个单项式组成是容易将含“―”的单项式的负号忘掉;(3)容易将 当做未知数。

三、课后思索

多项式乘法教学反思 第7篇

从教学效果来看，学生配合到位、参与积极，交流展示环节处理的很好，学生展示的量大、人数多，对学生及时的评价和鼓励也激发了他们的热情。学生在自主探究中掌握单项式与多项式相乘的法则，重点、注意点强调训练到位。教学环节比较流畅，时间分配基本合理，完成了教学预设任务。

在教学过程中仍有很多亟待改进的地方。

1、在导入和学生自主学习环节之间的过渡语没有处理好，显得不自然、僵硬。

2、教师板书安排不合理，显得凌乱。给学生练习的时间比较合适，若能适当进行板演指导安排会更好。

3、在变式训练板书时，练习题目抄写错误。虽不影响计算效果，但缺乏了数学的严谨性。

多项式教学设计与反思 第8篇

射频识别RFID技术利用射频信号通过空间耦合方式进行能量和信息的传递。RFID技术最突出的优点是能够进行非接触识别, 同时具有批量读写, 快速实现数据交换, 可识别高速运动物体, 抗干扰能力强等特点。如今, RFID技术已被广泛用于物流、交通管理、生产、零售等诸多领域[1]。RFID技术在给人们带来便利的同时也存在诸多问题, 其中技术标准、标签成本、安全隐患是制约其推广的三大因素。

1 RFID安全性分析

RFID技术在广泛应用中一个关键问题是如何保护用户信息和隐私安全[2]。针对RFID系统存在的安全隐患, 国内外学者提出了许多解决方法。根据实现方式不同总体来说可以大致分为两类:即物理方法和基于加密算法的安全协议。

典型的物理方法主要有:1) 利用电磁屏蔽原理将标签置于金属容器中的法拉第网罩法;2) 阅读器通过发送命令 (Killing or Sleeping) 使标签失去活性或休眠;3) 将标签天线拆除或剪切掉一部分限制标签通信距离;4) 增加额外频率发射装置干扰阅读器与标签通信频率的主动干扰法等几种方法[2]。物理方法限制了阅读器与标签之间的通信, 在一定程度上保证了标签不被非法操作。但是, 物理方法通常改变了标签的固有模块或需要增加额外设备, 增加了系统成本削弱了标签可被重复使用的优势。

基于加密算法的安全协议比物理方法更灵活, 应用范围更加广泛。如Philippe Golle等人早期通过对应用于钞票中的重加密技术的研究提出了基于公钥加密体制的通用重加密技术[4]。随着人们对椭圆曲线研究的日益深入, Sheikh Iqbal Ahamed等人给出了基于椭圆曲线因子分解算法[5], 该算法实现了标签与阅读器的相互认证。

基于散列函数的加密算法是国内外学者针对RFID安全协议提出的另一个重要方向。散列函数 (Hash) 具有抗碰撞性和单向性的特点。经典的基于散列函数的安全协议有:HashLock[6,7]、随机Hash锁[8]、Hash链协议[9], 同时还有大量以这类算法为基础的改进双向认证协议如:IHSAP1、IHSAP2以及IH-SAP3[3]。散列函数单向性和抗碰撞性的特点能够保证信息的安全性以及不可追踪性, 但是基于散列函数的加密算法毫不例外的需要进行多次Hash运算同时在数据库中查询匹配的标签信息需要的时间较长, 同样不适用于需要大规模使用标签的情形。

目前, 国内外学者开始考虑采用简单的逻辑运算 (异或、同或等逻辑运算) 来实现认证信息的加密以及通信过程中数据的加密。轻量级或超轻量级的安全协议开始受到设计者的青睐, 例如简约的相互认证协议 (M2AP[10]) 、轻量级认证协议 (LMAP[11]、ALH[12]) 等。轻量级安全协议对标签的计算能力和存储能力要求较低, 符合标签低计算能力和低存储能力的特点。但是由于加密算法比较简单, 密钥长度以及生成方式复杂性较低, 所以容易遭受敌手的攻击。

虽然关于RFID安全问题的加密算法很多, 但目前为止尚没有统一的安全模型应用于RFID系统。许多安全性能较好的加密算法对RFID标签性能要求较高。寻求一种兼顾安全性能和系统成本并能广泛应用于RFID系统的安全协议具有很大挑战性。本文提出的基于多项式同余类的一次一密加密算法具有高安全性。与基于椭圆曲线加密算法等重量级加密算法相比其计算量和存储来量都相对较低, 与基于单向散列函数的加密算法相比其对于后台数据库的标签信息查找更为简单, 同时比超轻型安全协议具有更好的安全性能。

2 数论基础

2.1 几个基本概念

定义1设集合G至少含有两个元素, “*”是集合G上的二元运算满足:

1) G的元素关于“*”构成阿贝尔群。

2) 对任意a, b, c∈G, 关于“*”满足分配率。

代数系统称为域, 若集合G中的元素个数有限, 则称为有伽罗瓦域或有限域。

定义2设p是素数, 集合G={0, 1, 2, , p-1}, “*”是定义在G上的模p二元运算, 则称为模p伽罗瓦域或模p有限域记为GF (p) 。

定义3设p (x) , q (x) 是属于GF (p, x) 的多项式形式, 其中p (x) 的幂次高于q (x) , 则存在a (x) , r (x) ∈GF (p, x) 使得:

其中a (x) 和r (x) 分别是p (x) /q (x) 的商和余项。如果r (x) 为零, 则称p (x) 为可化约多项式, 否则称p (x) 为不可化约多项式。

2.2 在有限域GF (Pn) 上的多项式求逆

设m (x) =a0+a1x++anxn是伽罗瓦域GF (Pn) 上的n次不可化约多项式, f (x) =a0+a1x++akxk是GF (Pn) 上任意k次多项式, g (x) 是f (x) 的逆多项式, f (x) g (x) ≡1modm (x) , 其中a0, a1, , ak∈GF (p) , kn-1, g (x) ∈GF[p, m (x) ], g0, g1, , gn-1∈GF (p) 。f (x) 叫做g (x) 的逆多项式, 同时g (x) 也是f (x) 的逆多项式。

设Φ (x) 表示f (x) 与g (x) 的乘积, 即:Φ (x) =f (x) g (x) , 则Φ (x) =Φ0+Φ1x++Φnxk+n-1, 将Φ (x) 中次数高于n-1次项对m (x) 取模, 然后合并同类项, 得:Φ' (x) =Φ'0+Φ'1x++Φ'n-1xn-1, 连立方程组求解:

即可得f (x) 的逆多项式g (x) 。求逆详细过程可参考文献[13]和文献[14]。

GF[P, m (x) ]-{0}的任意多项式f (x) 的逆存在且唯一, 而且在GF[P, m (x) ]-{0}中已知f (x) 求逆多项式g (x) 是容易的。

基于有限域GF (pn) 上多项式的算法比基于整数和离散对数的算法具有更快的速度, 同时也更易于实现。已知任意多项式a (x) 及取模的不可化约多项式m (x) , 求a (x) 的逆多项式b (x) 是容易的:b (x) ≡a-1 (x) mod m (x) 。

但是在有限域GF (p, m (x) ) 中, 在不知求逆多项式a (x) 而仅知取模的不可化约多项式m (x) 的情况下在元素个数π (x) =Pn中要获取既定求逆多项式a (x) 的唯一对应逆多项式b (x) 是及其困难的。故将这样一对互为逆多项式的一对多项式作为加密密钥和解密密钥能够满足安全密码系统的基本要求。

3 基于多项式同余类的RFID认证协议

引起RFID系统存在安全威胁的关键因素主要来源于两个方面:标签有限的计算能力以及存储能力;阅读器与标签之间不安全的通信信道是引起RFID系统存在安全隐患的另一个重要原因。在代数系统中, 有限域具有无舍入误差、无进位、固定字长等特点使其在数字信号处理和数据加密领域得到了关注。本文安全协议正是建立在伽罗瓦域互逆多项式求解的这一特性上。协议认证过程的流程如图1所示。

3.1 初始条件及相关说明

RFID安全协议设计过程中通常做如下假设:阅读器与后台数据库之间的通信是安全的;阅读器与标签之间的通信信道是不安全的;协议设计过程中的这种处理方法符合多数RFID系统安全协议假设。

在初始条件下, 标签和阅读器需要预先存储自身唯一身份标识符, 分别为IDt、IDr, 标签还需存储阅读器的身份标识符IDr, 后台数据库需要存储所有标签的身份标识符IDi及阅读器身份标识符IDr。RFID系统中, 预先约定素数p和正整数n, 同时存储不可化约多项式m (x) 和任意多项式f (x) 及其逆多项式g (x) , 其中n是取定有限域GF[p, x]中不可化约多项式m (x) 的最高次幂。

3.2 协议认证过程

与基于Hash函数的安全认证协议相同, 基于多项式同余类的安全认证协议采用询问-应答访问机制。认证协议采用双向认证确保通信主体的合法性并使用通信主体其唯一性身份标识符对其身份合法性进行验证。协议的认证过程如图2所示。

其中K为阅读器生成的随机密钥, R为标签生成的随机数, Ek (M) 为加密运算, ‖表示连接。

安全协议采用对称密钥加密机制协议认证过程描述入下:

Step1阅读器通过伪随机数发生器生成加密密钥M, 考虑到标签的计算能力密钥可以选择四位或八位数。分别用阅读器生成的随机数替换a (x) 中的系数, 计算得到加密多项式u (x) 。u (x) =a (x) f (x) mod m (x) 其中a (x) 为任意多项式, f (x) 为预先存储的任意n-1次多项式, m (x) 为选择的不可化约多项式。用明文形式将加密多项式u (x) 发送给标签。

Step2标签在收到阅读器发送的通信请求信号query后自动生成随机数R, 同时根据标签中存储的信息根据u (x) 计算v (x) =u (x) g (x) mod m (x) 取得v (x) 的整系数得到加密密钥M, 并用加密密钥将标签身份标识符IDi和随机数R加密发送给阅读器, 即:Eek (IDi‖R) 。加密过程采用电子簿分组加密方式。随机数R可以有效防止假冒攻击。

Step3阅读器收到标签的反馈信息Eek (IDi‖R) 后并不对信息进行解密, 而是将u (x) 及标签信息转发给后台数据库。

Step4数据库得到解密密钥将Eek (IDi‖R) 解密取得IDi和R, 将IDi与后台数据库存储的标签ID进行比较, 如果不存在相应ID与IDi相等, 则证明该标签是非法的, 通知阅读器停止与该标签通信;如果存在相应ID与IDi符合, 则该标签是合法的, 此时即完成了阅读器对标签身份合法性的验证同时将阅读器身份标识符IDt和随机数R用加密密钥M加密后发送给阅读器, 即:Eek (IDt‖R) 。

Step5数据库对标签身份进行验证后, 确定标签是合法的并告知阅读器。阅读器将Eek (IDt‖R) 转发给标签。

Step6标签收到阅读器转发的信息后, 通过解密密钥解密信息得到IDt和R, 通过验证获得的IDt与自身存储的阅读器身份标识符比较确定阅读器的合法性, 同时比较得到的随机数R与自身生成的随机数R确定阅读器与标签是在同一个通信周期类通信, 两者都相符合, 在证明阅读器是合法的, 允许阅读器对标签信息的读取或者修改;如果不相符合则停止与阅读器进行通信。

经过上述认证过程, 阅读器与标签实现了双向认证。同时由于密钥由一个由多项式的同余类组成的代数系统传递保证了密钥的安全性。

3.3 密钥K的构造方法

伽罗瓦域GF (p, x) 中元素个数为:π (x) =pn, 任意元素概率为1/π (x) 。假设标签为32 bit, 阅读器和标签生成32 bit对其ID进行加密和解密。通信之前, 阅读器与标签任意约定素数p=5考虑到伽罗瓦域中元素个数尽量大素数p应不少于3, 不可约多项式最高次幂n=4, 即伽罗瓦域GF (p, x) 中元素个数π (x) =54。同时双方约定不可化约多项式m (x) =4x4+3x+2加密多项式f (x) =3x3+x2+2x+1。由f (x) g (x) ≡1 mod m (x) 根据求逆方法可得解密多项式:g (x) =4x3+4x2+4x+2。

假设阅读器生成随机密钥为:K={3, 4, 0, 1}。阅读器在传递密钥之前, 生成任意生成一个三次多项式e (x) =x3+x2+x+1, 将多项式系数分别用密钥代替得到:e' (x) =x3+0*x2+4x+3。则密文多项式u (x) ≡e' (x) f (x) mod m (x) , 将其发送给标签。标签解密得v (x) ≡c (x) g (x) mod m (x) 则v (x) =3x3+0*x2+4x+1, 取多项式v (x) 的各项系数标签即可得到本次通信的加密密钥和解密密钥K, 同时阅读器通过有线信道将密钥K传递给数据库, 此时RFID系统即完成了密钥的生成和传递。

3.4 协议安全性分析

依据认证协议需要解决的三个基本问题:机密性、完整性和不可追踪性, 对本文提出的认证协议进行如下分析。

机密性本文提出的认证协议中, 标签和阅读器值之间的认证信息都通过进行加密的信息进行传递, 攻击者无法预测密钥, 即使截获通信中的数据也无法在有限的时间内恢复明文信息, 从而保证了认证过程中数据的机密性。

防追踪标签在认证过程中能生成随机数, 同时在不同的通信周期中密钥是变化的, 这使得每次通信过程没有不变的数据信息。攻击者不能根据截获的通信信息的不变信息估计标签的位置信息。

防信息窃听标签和阅读器在开放的信道中通信, 认证信息通过密文形式传递。攻击者取得通信信息, 但由于数据实行动态密钥加密, 故只能依靠穷举攻击方式破译, 根据Shannon定理这在有限时间内是无法完成的。

防信息篡改阅读器可以对进入其工作范围内的标签发送访问请求, 得到标签响应时双方就可以进行信息交换。在未设置认证协议的系统中, 阅读器通过写入命令向标签存入非法数据信息。本文提出的协议应用与RFID系统可有效防非法阅读器访问标签。

防非法访问阅读器和标签都具有唯一的标识符 (ID) , 传统的RFID系统中阅读器可以向作用范围内的标签发送读写请求, 同时有源标签也会自动向阅读器发送信息而无需相互验证其合法性。这样就导致了非法标签持续与阅读器通信占用信道, 使合法标签无法与阅读器交换信息。

与基于散列函数 (Hash) 中量级安全协议相比, 本文提出的基于多项式同余类的安全协议具有更好的安全性能, 表1给出了详细比较结果。其中√表示符合要求, 不符合要求。

根据表1的性能结果可以知道, 本文协议与基于散列函数的中量级安全协议相比较, 本文协议具有更高的安全性。

基于多项式同余类的安全协议计算复杂度可以表示为O (xn) , 而基于Hash散列函数的算法计算复杂度最少为O (1) , 从复杂度而言, 基于多项式同余类的算法计算复杂度更高。但是在数据库的查找过程中基于多项式同余类的安全算法数据库只需查询ID号速度远远高于查询Hash表。从算法的计算复杂度、系统的查询时间等角度综合考虑, 基于多项式同余类的安全协议具有更好的效率。

4 结语

本文针对RFID安全协议的研究现状进行了分析, 在有限域基础上提出了基于多项式同余类的安全协议。协议实现了一次一密加密机制, 是容易实现的。信息论奠基人Shannon在信息论中证明了一次一密加密机制具有绝对安全性。协议的计算性复杂度与多项式的幂次有关, 根据标签实际情况选定适当素数p和不可化约多项式可容易求出解密多项式。该协议能有效满足RFID系统认证协议的要求。

摘要：针对RFID系统存在的安全隐患, 提出基于多项式同余类的RFID安全协议。在伽罗瓦域基础上构建多项式同余类代数系统, 在选定素数p和不可化约多项式情况下已知加密多项式求解密钥是容易实现的, 而其逆过程是困难的。通信过程中阅读器生成伪随机数, 密钥通过加密多项式传递给标签。对协议在RFID系统上的认证过程进行了详细描述。该协议使用对称密钥加密机制, 采用一次一密分组加密方法, 具有高安全性。