抽屉原理在数学中的运用

抽屉原理在数学中的运用（精选8篇）

抽屉原理在数学中的运用 第1篇

抽屉原理在初等数学中的运用

摘要：抽屉原理也称为鸽巢原理，它是组合数学中的一个最基本的原理.也是数学中的一个重要原理，抽屉原理的简单形式可以描述为：“如果把n+1个球或者更多的球放进n个抽屉，必有一个抽屉至少有两个球.”它的正确性十分明显，很容易被并不具备多少数学知识的人所接受，如果将其灵活地运用，则可得到一些意想不到的效果.运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性问题。学习抽屉原理可以用来解决数学中的许多问题，也可以解决生活中的一些现象。如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。在解决数学问题时有非常重要的作用.抽屉原理主要用于证明某些存在性问题及必然性题目，如几何问题、涂色问题等.各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用，使用该原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则，抽屉构造得好，可得出非常巧妙的结论.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用,同时指出了它在应用领域中的不足之处.关键词：抽屉原理；初等数学；应用

一、抽屉原理（鸽巢原理）

什么是抽屉原理？先举个简单的例子说明，就是将3个球放入2个篮子里，无论怎么放，必有一个篮子中至少要放入2个球，这就是抽屉原理.或者假定有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，当鸽子飞回巢中，那么一定至少有一个鸽笼里有两只鸽子，这就是著名的鸽巢原理.除了这种比较普遍的形式外，抽屉原理还经许多学者推广出其他的形式.比如陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式: 原理1 把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.原理2 把m个元素任意放到n(m>n)个集合里，则至少有一个集合里至少有k个元素，其中

原理3 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素.卢开澄在《组合数学》（第三版）中将抽屉原理（书中称为鸽巢原理）又进行了推广[2].鸽巢原理：设k和n都是任意正整数，若至少有kn+1只鸽子分配在n个鸽巢中，则至少存在一个鸽巢中有至少k+1只鸽子.二、抽屉的构造途径

在利用抽屉原理解题时，首先要明确哪些是“球”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不会现成存在于题目中，尤其是“抽屉”，往往需要我们用一些巧妙的方法去构造。我们利用抽屉原理解题的关键,就在于怎样设计“抽屉”.三、抽屉原理在初等数学中的应用

初等数学问题的特点：只给出一些相关的条件，或者即使给出一些数值条件，也不能利用这些条件进行计算、或代入求值、或列方程、或做图、或证明等方法去解决，只能利用这些条件进行推理、判断，从而解决问题.讨论存在性问题是数学竞赛中的一类常见问题。处理这类问题常用到抽屉原理。下面我们就列举抽屉原理在初等数学(竞赛)中的应用.例9 某次考试有5道选择题，每题都有4个不同的答案供选择，每人每题恰选1个答案.在2000份答卷中发现存在一个n,使得任何n份答卷中都存在4份，其中每2份的答案都至多3题相同.n的最小可能值.(2000，中国数学奥林匹克)解：将每道题的4种答案分别记为1，2，3，4，每份试卷上的答案记为(g,h,i,j,k)，其中g,h,i,j,k∈{1,2,3,4}，令{(1,h,i,j,k),(2,h,i,j,k),(3,h,i,j,k),(4,h,i,j,k)}，h,i,j,k=1，2，3，4，共得256个四元组.由于2000=256×7+208，故由抽屉原理知，有8份试卷上的答案属于同一个四元组.取出这8份试卷后，余下的1992份试卷中仍有8份属于同一个四元组，再取出这8份试卷，余下的1984份试卷中又有8份属于同一个四元组.又取出这8份试卷.三次共取出24份试卷，在这24份试卷中，任何4份中总

有2份的答案属于同一个四元组，不满足题目的要求.所以，n下面证明n=25.令

≥25.}S={(g,h,i,j,k)|g+h+i+j+k≡0(mod4),g,h,i,j,k∈{1,2,3,4}.则S=256，且S中去掉6个元素，当余下的250种答案中的每种答案都恰有8人选用时，共得到2000份答案，其中的25份答案中，总有4份不相同.由于它们都在S中，当然满足题目要求.这表明，n=25满足题目要求.综上可知，所求的n的最小可能值为25.先运用抽屉原理给出n的下界，然后用构造法给出例子.这是一道典型的运用构造法解题的好题目.在解题中合理构造抽屉往往会收到意想不到的效果.例10 任给7个实数，证明必存在两个实数a,b满足0≤3

(a-b)<1+ab.ππ证明：设七个实数为a1,a2,a3,,a7，作Qi=arctgai(i=1,　2,　　,7),显然Qi∈(-,)，22ππππππππππππ把(-,)等分成六个区间：(-,-)，(-,-)，(-,0)，(0,)，(,)，(,)，222336666332由抽屉原理，Q1,Q2,,Q7必有两个属于同一区间，不妨设为Qi,Qj,而不论Qi,Qj属于哪个小Qi-Qj<区间都有0≤ππ1(*)，不，由正切函数的单调性可知，0

a-bab,b=tgQj，则tg(Qi-Qj)=妨记a=tgQ,而由()知0≤0(Qi>Qj),1+ab>0, 从而有0≤3(a-b)<1+ab.例11 从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。

分析：要解决该题，就得找到其关键，其实就在于“两个数”，他们的关系是“其中一个是另一个的整数倍”。我们要构造“抽屉”，就要在每个抽屉中任取两个数，并且有一个数是另一个的整数倍，而只有把公比是正整数的整个等比数列都放在同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m∈N,K∈N，n∈N,则m=(2k-1)·2，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×2，3=3×2°，„

+

+

n

证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）：

（1）{1，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2}；

（2）{3，3×2，3×2，3×2，3×2，3×2}；

（3）{5，5×2，5×2，5×2，5×2}；

（4）{7，7×2，7×2，7×2}；

（5）{9，9×2，9×2，9×2}；

„„

（25）{49，49×2}；

（26）{51}；

„„

（50）{99}。

这样，1-100的正整数就无重复，无遗漏地放进这50个抽屉内了。从这100个数中任取51个数，也即从这50个抽屉内任取51个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中，一个是另一个的整数倍。

说明：（1）从上面的证明中可以看出，本题能够推广到一般情形：从1-2n的自然数中，任意取出n+1个数，则其中必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。想一想，为什么？因为1-2n中共含1，3，„，2n-1这n个奇数，因此可以制造n个抽屉，而n+1＞n，由抽屉原则，结论就是必然的了。给n以具体值，就可以构造出不同的题目。例2中的n取值是50，还可以编制相反的题目，如：“从前30个自然数中最少要（不看这些数而以任意方式地）取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小的数的倍数？”

（2）如下两个问题的结论都是否定的（n均为正整数）想一想，为什么？

①从2，3，4，„，2n+1中任取n+1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？

②从1，2，3，„，2n+1中任取n+1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？

你能举出反例，证明上述两个问题的结论都是否定的吗？

（3）如果将（2）中两个问题中任取的n+1个数增加1个，都改成任取n+2个数，则它们的结论是肯定的还是否定的？你能判断证明吗？

例12（第6届国际中学生数学奥林匹克试题）17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名

科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目。

证明：视17个科学家为17个点，每两个点之间连一条线表示这两个科学家在讨论同一个问题，若讨论第一个问题则在相应两点连红线，若讨论第2个问题则在相应两点连条黄线，若讨论第3个问题则在相应两点连条蓝线。三名科学家研究同一个问题就转化为找到一个三边同颜色的三角形。（本例同第十二讲染色问题例4）

考虑科学家A，他要与另外的16位科学家每人通信讨论一个问题，相应于从A出发引出16条线段，将它们染成3种颜色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1条同色，不妨记为AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同红色，若Bi（i=1，2，„，6）之间有红线，则出现红色三角线，命题已成立；否则B1，B2，B3，B4，B5，B6之间的连线只染有黄蓝两色。

考虑从B1引出的5条线，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用两种颜色染色，因为5=2×2+1，故必有3=2+1条线段同色，假设为黄色，并记它们为B1B2，B1B3，B1B4。这时若B2，B3，B4之间有黄线，则有黄色三角形，命题也成立，若B2，B3，B4，之间无黄线，则△B2，B3，B4，必为蓝色三角形，命题仍然成立。

说明：（1）本题源于一个古典问题--世界上任意6个人中必有3人互相认识，或互相不认识。（美国普特南数学竞赛题）。

（2）将互相认识用红色表示，将互相不认识用蓝色表示，（1）将化为一个染色问题，成为一个图论问题：空间六个点，任何三点不共线，四点不共面，每两点之间连线都涂上红色或蓝色。求证：存在三点，它们所成的三角形三边同色。

（3）问题（2）可以往两个方向推广：其一是颜色的种数，其二是点数。

本例便是方向一的进展，其证明已知上述。如果继续沿此方向前进，可有下题：

在66个科学家中，每个科学家都和其他科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论四个题目，而任何两个科学家之间仅仅讨论一个题目。证明至少有三个科学家，他们互相之间讨论同一个题目。

（4）回顾上面证明过程，对于17点染3色问题可归结为6点染2色问题，又可归结为3点染一色问题。反过来，我们可以继续推广。从以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的过程，易发现

6=（3-1）×2+2，17=（6-1）×3+2，66=（17-1）×4+2，同理可得（66-1）×5+2=327，（327-1）×6+2=1958„记为r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，„

我们可以得到递推关系式：rn=n(rn-1-1)+2，n=2,3,4„这样就可以构造出327点染5色问题，1958点染6色问题，都必出现一个同色三角形。

参考文献

[1]陈景林,阎满富.组合数学与图论.北京：中国铁道出版社出版,2000.4-6 [2]卢开澄.组合数学（第3版）.北京清华大学出版社，2002.07

[2]曹汝成.组合数学.广州：华南理工大学出版社,2001.170-173 [3]忘向东,周士藩等.高等代数常用方法.山西：高校联合出版社,1989.64-66 [4]刘否南.华夏文集.太原：高校联合出版社,1995.88-90 [6]严示健.抽屉原则及其它的一些应用.数学通报,1998,4.10-11 [7]丁一鸣《中学数学教学》，1988年第02期 [8] 杨忠.《中学生数学》，2010年第08期

[9]石立叶，于娜，刘文涵.《抽屉原理及其应用》，2009，4.11 [10]《数学教学通讯》，1987年第03期 [11]《中学生数学》，2005年第18期

抽屉原理在数学中的运用 第2篇

江华白芒营中心小学

陈冬姣

教学内容：

人教版教材六年级数学上册70页例3及练习十三。教学目标：

1.通过观察、猜测、实验、推理等活动，寻找隐藏在实际问 题背后的“抽屉问题”的一般模型。体会如何对一些简单的实际问题“模型化”，用“抽屉原理”加以解决。

2.在经历将具体问题“数学化”的过程中，发展数学思维能力和解决问题的能力，感受数学的魅力。同时积累数学活动的经验与方法，在灵活应用中，进一步理解“抽屉原理”。

教学重点、难点：

1．教学重点：利用“抽屉原理”解决实际问题。2．教学难点：怎样把具体问题转化为“抽屉问题”。教学准备：

一个袋子、4个红球和4个蓝球为一份，准备这样的教、学具若干份。教学过程：

一、小故事导入新课

讲《月黑风高穿袜子》的故事。

一天晚上，毛毛房间的电灯突然坏了，伸手不见五指，这时他又要急着出去，于是他就摸床底下的袜子，他有蓝、白、灰色的袜子各一双，由于他平时做事随便，袜子乱丢，在黑暗中不知道哪些袜子颜色是相同的。毛毛想拿最少数目的袜子出去，到外面借街灯配成相同颜色的一双。你们知道最少拿几只袜子出去吗？

教师：这节课我们利用鸽巢问题解决生活中的实际问题。板书：“鸽巢问题”的具体应用。

二、推波逐浪，探究新知

1.把4个红球和4个蓝球装到盒子里，晃动几下。师：同学们,猜一猜：摸一个球可能会是什么颜色的？

2.如果老师想让这位同学摸出的球，一定有2个同色的，最少要摸出几个球？（课件出示）例题。

例：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。要想摸出的球一定有2个同色的，一次最少要摸出几个球？

3.师：那么就让我们摸2个球试试看吧？（1）摸出几种情况？（3种）（课件出示）（2）摸2个球能满足题目要求吗？为什么？（3）哪就摸3个球看一看，能不能满足题目要求。4.小组合作摸球，（1）小组活动

（2）汇报展示。师：刚才同学们通过讨论和动手操作得出了怎样的结果？ 请每个小组派代表展示讨论结果。其他小组有不同想法可以补充汇报。（3）老师把每个组摸到的情况统计如下。（出示课件）（4）观察你有什么发现？（生自由说）

师小结：要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出3个球。5.引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”。

教师：生活中像这样的例子很多，我们不能总是猜测或动手试验吧，能不能把这道题与前面所讲的“鸽巢问题”联系起来进行思考呢？

思考：

a.“摸球问题”与“鸽巢问题”有怎样的联系？

b.应该把什么看成“鸽巢”?有几个“鸽巢”?要分放的东西是什么？ c.得出什么结论？ 学生讨论，汇报。

结论：要保证摸出有两个同色的球，摸出的数量比颜色种数多一。6.把例3的一定有2个同色的球，改成3个同色的球。（1）学生思考，然后回答。（2）引导用假设法说。

（5）小结：物体数=（至少数-1）×抽屉数+1

三、巩固应用，内化提高

1.把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到3个颜色相同的球？ 2.综合应用

从一副扑克牌（52张，没有大小王）中要抽出几张牌来，才能保证有一张是红桃？54张呢？

四、课堂总结：

激励原理在数学教学中的运用 第3篇

所谓激励,就是指运用各种有效手段激发人的热情,调动人的积极性、主动性,发挥人的创造精神和潜能,使行为朝向组织所期望的目标而努力的一种心理因素.

中小学中,原本不乏对数学恐惧、畏难、少兴趣的学生,一些学生学数学的积极性和自信心又常受到这样那样的挫伤,真正是雪上加霜,使数学教学的分化越演越烈. 这就从一个侧面提醒我们: 数学教学需要激励,数学教师尤应懂得激励的艺术. 在教学过程中,常常有哪些激励方法呢?

1. 信心激励

有一次习题课,笔者出示了这样一道题目:

如图,在△ABC中,AB = AC,D为BC的中点,在BA的延长上取一点E,使ED = EC,ED与AC交于点F. 求证: EF= DF

∵∠FDC = ∠ECD,

∠FCD = ∠B,

∴△FDC∽△ECB,

∴ DF =1/2EC =1/2ED,

∴ DF = EF.

我看了这名同学的这种一般性解法后,拍案叫绝,不仅在课堂上当众称赞了这名学生的创新精神,且在以后的教学中就称此法为“××× ( 该生名字) 解法”. 这名学生大受鼓舞,以后他的数学成绩就日渐提高了. 这就是信心激励,使学生及时看到自己的力量,未来成功的希望!

信心是成功者不可缺少的基石!

2. 目标激励

目标激励是指通过设置一定的目标,或帮助人制定、树立一定的奋斗目标来达到激励目的的做法. 只有目标明才能决心大,一切积极的目标都可以使人更清楚地看到未来的价值前景,给人以更切实的希望和强大的吸引力与鼓舞力.

笔者在讲授八年级数学的习题课时,对于一题多解的题目曾向学生提出不同的目标激励方法. 比如:

已知: 如图,△ABC中,AB = AC,P为BC边上一点,PD⊥AB,PE⊥AC,BF⊥AC,D,E、F为垂足. 求证: BF =PD + PE. 我向学生提出目标要求和激励办法: 会用两种证法的及格,三种的良好,四种的优良. 实践证明,学生一旦达到目标,就会从成功的喜悦中增强对数学的学习兴趣. 此时,教师要及时抓住机会给予表扬和鼓励. 一两次鼓励可能会成为中差生转化的起点,成为他们急起直追的动力.

对于优等生,教师也要给他们制定目标,每周可向他们提供3—4道富有思考性或综合性的练习题; 每个单元复习要求他们自行总结( 包括知识和方法两方面) ,特别留意那些有明显新颖成分的解决问题的思想、方法; 也欢迎他们提出新的问题. 由于对优等生常有更高一点的适应他们的目标,坚持下来,自然“多一分耕耘,多一分收获”.

3. 理解激励

与希望得到尊重一样,希望得到理解也是人的一种较高层次的需要. 常言道,理解是最高的奖赏、最大的鼓舞一个人的激励力量与其所体验到的老师、学生对自己的理解程度一般是成正比的. 理解可以充分发挥人的潜能. 记得一次,有一位智力一般,平时最不爱问问题的女学生问我“老师,你经常说根据三角函数的定义解题,我就不知道三角函数的定义该怎么说. ”我没有责怪她,便坐下来耐心地给她讲解,最后她懂了,也乐了,如同是第一次获得了个大胜利. 我表扬她多了个勤学好问的优点,鼓励她以后有问题要及时问. 老师的理解对她是一种无尽的动力,后来她成了个勤学好问的好学生,学习成绩也有了明显进步.

以上事例表明一个人的环境变化对她的发展所产生的效应———理解激励的效果起到了唤醒学习欲望的作用.

4. 成就激励

麦克利兰提出的成就需要论认为,对成就的需要能使人兴奋愉快. 具有强烈成就需要的人,学习中能积极地去克服困难,战胜挫折,取得成就,从中也得到了乐趣.

以讲解如下例题来说:

已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于60°,则此等腰三角形的顶角的度数是多少?

我顺着某些学生的思路,先画出了图3,有意识地把学生引上了歧途: 在Rt△ABD中,由∠ABD = 60°,得∠BAC= 30°

接着,教师一本正经地问: “这样求出的∠BAC的度数对吗? 同学们再检查一遍,没错吧! ”学生们怀着浓厚的兴趣积极、主动地探索着,很快就有几名学生发觉他们上当了———诱使他们误入歧途的是图3. 当他们画出另一种图形( 图4 ) 时,才找到了 正确的答 案∠BAC = 30°或∠BAC = 150°.

这道题目的教学处理过程,犹如师生合演了一个数学小品,妙趣横生,发人深省,部分学生从发现与揭露错解的谬误的过程中获得了一种成就激励: 就是利用人们对成就需求的心理和通过发挥人们对成就需求的愿望,实现激励的目的的做法.

在运用成就激励时,教师要注意设计与安排好让学生能看到自己力量的外部环境.

5. 评语激励

经过近几年的教学实践我体会到: 教师如果能在作业批改的同时,针对学生学习态度、个性特点、作业情况等给一个恰如其分的评语,则能激励学生的学习干劲,指导学习方法,沟通师生感情,必会收到意想不到的教育效果.

我也常给肯学习但成绩尚不够理想的学生写下这样的评语: “作业比以前有进步”,“只要你保持目前的学习势头,你定会不断获得进步! ”,“失去的并不可怕,可怕的是不再进取”.

有时,短短的一句评语,会影响一名学生的一生呢!

情感教育原理在数学教学中的运用 第4篇

一、情感教育——时代的要求

美国教育心理学家布鲁姆指出，“从情感这一角度看，我们清楚地认识到动机、内驱力和情绪是引起掌握认知行为的因素”，并把“情感的前提特征”作为影响学业成绩的三个教学变量之一，这个变量对达成度的影响占25％。布鲁姆在著名的三个变量教学模式中之所以重视“情感的前提特征”对教学效果的作用，主要原因是因为“情感的前提特征是认知的前提能力”得以发挥的重要动力条件。

所谓情感是人们对客观事物是否符合人的需要而产生的态度的体验，学生在学习时，对其学习内容常抱有各种不同的态度，会有种种复杂的内心体验，如学习顺利时，会感到满意和欢乐；学习失败时，会感到沮丧和痛苦；遇到新奇的问题和方法，会感到惊讶和欣喜；对单调重复的内容和作业，会感到厌烦和无趣，这些因学习而产生的种种态度和内心体验，就是学习情感。

情感教育即情感领域的教育，它是教育者依据一定的教育教学要求，通过相应的教育教学活动，促使学生的情感领域发生积极的变化，产生新的情感，形成新的情感品质的过程。

中小学中，原本不乏对数学恐惧、畏难、少兴趣的学生，这些学生学数学的积极性和自信心又常受到这样那样的挫伤，真是雪上加霜，一切为了每一位学生的发展是时代对我们的要求，也是新课程改革的核心理念，这就提醒我们：数学的学习活动要符合自己的需要而产生积极的情感体验，数学教师尤其应懂得创造积极的情感活动的艺术。

二、情感教育原理指导教学的主要方法

课堂教学是新课程实施的基本途径，是教师进行课程参与、实现专业化发展的重要渠道，教学过程应成为学生的一种愉悦的情绪生活和情感体验，它要求教师必须用“心”施教，而不是做传声筒。

1增加教师的情感投入，建立和谐的师生关系

数学活动是师生双方情感和思维的交流，所以密切师生关系，有助于激发学生的学习兴趣，有不少数学的学困生常有一种自卑心理，他们往往因数学学习差而羞愧于见数学老师，更不会主动问老师问题，久而久之，问题愈聚愈多，学习就愈来愈困难，因而，教师在平时要多主动地接近他们，向他们提问，找机会与他们交谈，和他们交朋友，以博得他们的爱戴和尊敬，如果学生对老师产生良好的情感，则一定会迁移到这位老师所教的学科中，形成一股积极的力量，只有建立融洽的师生关系，才能使学生“亲其师，信其道”。

案例1在我授完七年级(上)第一章第2节“展开与折叠”后，一位平时不爱问问题的女学生问我：“老师，你讲的“展开与折叠”这一节内容我不太明白，尤其是正方体展开后的平面图形的一些规律我还是搞不清楚，我便坐下来耐心地给她重新讲解，并用制作成的正方体的模型让她动手操作，最后她懂了，也乐了，如同是第一次获得了大胜利，我表扬她勤学好问，鼓励她以后有问题要及时问，后来她学习成绩也有了明显进步，这表明教师的理解所产生的情感效应起到了唤醒学生学习欲望的作用。

2建立课堂的“情绪场”，创造良好氛围

从某种意义上说，课堂便是情感场，教师是教学过程的主导者，教师的一言一行、一举一动，无不影响着学生情感情绪的产生，因此，教师的情绪、情感如何对整个课堂气氛影响很大。

德国一位心理学教授曾专门研究情绪对学习成绩的影响，在进行了大量的实验后，对比不同情绪的学生在学习同一功课上的表现，结果表明，情绪高涨、轻松、愉快地进行学习的学生，比之情绪低落、忧郁的学生效率要高出20％左右，究其原因是由于学生在情绪快乐轻松的情况下，大脑处于积极的接收和运转状态，可以吸收较多的信息，而且脑筋转得快，联想丰富，而在情绪低落的时候，学生常常是心扉紧闭，反应呆板僵化。

教师要以热烈的情绪、饱满的精神从事课堂教学，亲切和蔼地与学生交流，同时要把数学学习主动权交给学生，鼓励每个学生积极参与教学活动，教师在教学中要努力创设丰富多彩的活动情境，让学生亲自实践，大胆探索，教师与学生、学生与学生要分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感体验和观念，从而达成共识，实现教学相长和共同发展。

3教师授课要进入角色，要有深刻的情感体验

教师要学会把握教学情感的表现艺术，教师在备课中，除备教材和备学生外，还要备情感，把对教育事业、对数学学科、对学生的热爱之情和对数学教材感情色彩的内化提炼揉合在一起，凝聚成一股强大的感情激流，从而荡漾起教学情感的层层涟漪，教师上课时就要丢开一切忧愁和烦恼，要像艺术家一样善于进入角色，教学中要善于通过语言、表情、手势及情境创设表达自己的情感，用积极的教学情感、精湛的教学艺术去诱发、强化学生的学习情感和兴趣，使学生获得对数学的道德感、理智感、美感等的情感体验，这样教师的教学能时时打动学生的心扉，与学生在心理上产生情感的共鸣，那么学生的情绪就会向教师开放，从而在师生之间形成密切的情感联系，产生情感的融合。

案例2针对部分学生对平几学习的畏难情绪，在上平几的起始课时，作了如下设计，先提问：“请同学们想象一下，如果自行车的轮子不是圆的，而是鸡蛋形的，骑了那样的自行车将会发生什么情况呢?”学生不仅发出了笑声，还伴以颠簸的动作，是啊!哪家工厂会生产轮子是鸡蛋形的自行车!我进而说明自行车的轮子有大有小，各人应根据自己的需要选购轮子“大小”不同的自行车，自行车的两个轮子之间的距离也应合理设计和装配，轮子与轮子之间的“位置关系”与生产及日常生活有着密切的联系，使学生从一辆自行车上了解和体会到，人们在实践中需要研究物体的形状、大小和位置关系，我还在折纸、用火柴棒拼图搭图的游戏中，让学生了解几何概念，接受几何事实，渗透变换思想，教师的教学艺术和情感表现，使学生与学科内容之间的情感也畅通无阻，学生全然没有了几何入门难、起始课抽象的感觉，激发起的是学生对几何学习的浓厚兴趣和强烈情感。

4利用成功，升华学生渴望数学学习的情感

心理学认为，表扬是引导学生行为习惯发展最有效的手段，在课堂中，我们经常恰当地使用“好极了”、“你怎么想到的”等赞誉之词，会让学生感受到成功的喜悦。

我们在作业批改时，针对学生学习态度、个性特点、作业情况等给一个恰如其分的评语，则能激励学生的学习干劲；指导学习方法，沟通师生的感情，也会收到意想不到的教育效果，如“你有敏锐的观察力，解题思路不同凡响!”“你这种解法是令人赏心悦目的好解法!”又如，我们也常给肯学习但成绩尚不够理想的学生写下这样的评语：“只要你保持目前的学习势头，你定会不断获得进步!”“失去的并不可怕，可怕的是不再进取，”成功的喜悦往往会带来一种无穷无尽的力量，教师的一两次鼓励可能会成为中差生转化的起点，成为他们急起直追的动力。

小学数学《抽屉原理》教案 第5篇

一、教学设计 1．教材分析

《抽屉原理》是义务教育课程标准实验教科书数学六年级下册第五单元数学广角的教学内容。这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”，使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。2．学情分析

“抽屉原理”在生活中运用广泛，学生在生活中常常能遇到实例，但并不能有意识地从数学的角度来理解和运用“抽屉原理”。教学中应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六年级学生的逻辑思维能力、小组合作能力和动手操作能力都有了较大的提高，加上已有的生活经验，很容易感受到用“抽屉原理”解决问题带来的乐趣。3．教学理念

激趣是新课导入的抓手，喜欢和好奇心比什么都重要，以“抢椅子”，让学生置身游戏中开始学习，为理解抽屉原理埋下伏笔。通过小组合作，动手操作的探究性学习把抽屉原理较为抽象难懂的内容变为学生感兴趣又易于理解的内容。特别是对教材中的结论“总有、至少”等字词作了充分的阐释，帮助学生进行较好的“建模”，使复杂问题简单化，简单问题模型化，充分体现了新课标要求。4．教学目标

1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。5．教学重难点

重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。6．教学过程

一、课前游戏引入。

上课前，我们先来热身一下，一起来玩抢椅子的游戏。

请3位同学上来参加游戏，第三位同学是请女生还是男生呢？老师认为，不管是请男生还是女生，都一定至少有两位同学的性别是相同的。同意我的说法吗？

游戏规则是：在老师说开始时，3位同学绕着椅子走，当老师说停的，三位同学都要坐在椅子上。

为什么总有一张椅子至少坐两个同学？

在这个游戏中蕴含着一个有趣的数学原理叫做抽屉理原，这节课我们就一起来研究抽屉理原。(板书课题)

二、通过操作，探究新知

（一）探究例1

1、研究3枝铅笔放进2个文具盒。

（1）要把3枝铅笔放进2个文具盒，有几种放法？请同学们想一想，摆一摆，写一写，再把你的想法在小组内交流。

（2）反馈：两种放法：（3，0）和（2，1）。

（3）从两种放法，同学们会有什么发现呢？（总有一个文具盒至少放进2枝铅笔）你是怎么发现的？（说得真有道理）（4）“总有”什么意思？（一定有）

（5）“至少”有2枝什么意思？（不少于2枝）

小结：在研究3枝铅笔放进2个文具盒时，同学们表现得很积极，发现了“不管怎么放，总有一个文具盒放进2枝铅笔）

2、研究4枝铅笔放进3个文具盒。

（1）要把4枝铅笔放进3个文具盒里，有几种放法？请同学们动手摆一摆，再把你的想法在小组内交流。

（2）反馈：四种放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。（3）从四种放法，同学们会有什么发现呢？（总有一个笔盒至少有2枝铅笔）（4）你是怎么发现的？

（5）大家通过枚举出四种放法，能清楚地发现“总有一个文具盒放进2枝铅笔”。如果要让每个文具盒里放的笔尽可能的少，你觉得应该要怎样放？（每个文具盒都先放进一枝，还剩一枝不管放进哪个文具盒，总会有一个文具盒至少有2枝笔）（你真是一个善于思想的孩子。）（6）这位同学运用了假设法来说明问题，你是假设先在每个文具盒里放1枝铅笔，这种放法其实也就是怎样分？（平均分）那剩下的1枝怎么处理？（放入任意一个文具盒，那么这个文具盒就有2枝铅笔了）

（7）谁能用算式来表示这位同学的想法？（5÷4=1…1）商1表示什么？余数1表示什么？怎么办？

（8）在探究4枝铅笔放进3个文具盒的问题，同学们的方法有两种，一是枚举了所有放法，找规律，二是采用了“假设法”来说明理由，你觉得哪种方法更明了更简单？

3、类推：把5枝铅笔放进4个文具盒，是不是总有一个笔盒至少有2枝铅笔？为什么？

把6枝铅笔放进5个文具盒，是不是总有一个笔盒至少有2枝铅笔？为什么？

把7枝铅笔放进6个文具盒，是不是总有一个笔盒至少有2枝铅笔？为什么？

把100枝铅笔放进99个文具盒，是不是总有一个笔盒至少有2枝铅笔？为什么？

4、从刚才我们的探究活动中，你有什么发现？（只要放的铅笔比文具盒的数量多1，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。）

5、如果铅笔数比文具盒数多2呢？多3呢？是不是也能得到结论：“总有一个笔盒至少有2枝铅笔。”

6、小结：刚才我们分析了把铅笔放进文具盒的情况，只要铅笔数量多于文具盒数量时，总有一个文具盒至少放进2枝铅笔。这就是今天我们要学习的抽屉原理。既然叫“抽屉原理”是不是应该和抽屉有联系吧？铅笔相当于我们要准备放进抽屉的物体，那么文具盒就相当于抽屉了。如果物体数多于抽屉数，我们就能得出结论“总有一个抽屉里放进了2个物体。”

7、在我们的生活中，常常会遇到抽屉原理，你能不能举个例子？在课前我们玩的游戏中，有没有抽屉原理？

过渡：同学们非常了不起，善于运用观察、分析、思考、推理、证明的方法研究问题，得出结论。同学们的思维也在不知不觉中提升了许多，那么让我们再来研究这样一组问题。

（二）探究例2

1、研究把5本书放进2个抽屉。

（1）把5本书放进2个抽屉会有几种情况？（5，0）、（4，1）和（3，2）

（2）从三种情况中，我们可以得到怎样的结论呢？（总有一个抽屉至少放进了3本书）（3）还可以怎样理解这个结论？先在每个抽屉里放进2本，剩下的1本放进任何一个抽屉，这个抽屉就有3本书了。

（4）可以把我们的想法用算式表示出来：5÷2=2…1（商2表示什么，余数1表示什么）2+1=3表示什么？

2、类推：如果把7本书放进2个抽屉中，至少有一个抽屉放进4本书。

如果把9本书放进2个抽屉中。至少有一个抽屉放进5本书。

如果把11本书放进3个抽屉中。至少有一个抽屉放进4本书。你是怎样想的？（11÷3=3…2）商3表示什么？余数2表示什么？3+1=4表示什么？

3、小结：从以上的学习中，你有什么发现？（在解决抽屉原理时，我们可以运用假设法，把物体尽可量多地“平均分”给各个抽屉，总有一个抽屉比平均分得的物体数多1。）

4、经过刚才的探索研究，我们经历了一个很不简单的思维过程，个个都是了不起的数学家。“ 抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。

5、做一做：

7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个佶舍里。为什么？ 8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞时同一个鸽舍里。为什么？（先让学生独立思考，在小组里讨论，再全班反馈）

三、迁移与拓展

下面我们一起来放松一下，做个小游戏。

我这里有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，我请五位同学每人任意抽1张，听清要求，不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下，同种花色的至少有几张？为什么？

四、总结全课

这节课，你有什么收获？

二、教学反思 本节课是通过几个直观例子，借助实际操作，引导学生探究“抽屉原理”，初步经历“数学证明“的过程，并有意识的培养学生的“模型思想。

1、借助直观操作，经历探究过程。教师注重让学生在操作中，经历探究过程，感知、理解抽屉原理。

2、教师注重培养学生的“模型”思想。通过一系列的操作活动，学生对于枚举法和假设法有一定的认识，加以比较，分析两种方法在解决抽屉原理的优超性和局限性，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。

抽屉原理数学练习题 第6篇

2.在明年(即)出生的1000个孩子中,请你预测:

(1)同在某月某日生的孩子至少有个.

(2)至少有个孩子将来不单独过生日.

3.一个口袋里有四种不同颜色的小球.每次摸出2个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸次.

4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取颗.如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出颗.

5.从1,2,3,12这十二个数字中,任意取出7个数,其中两个数之差是6的至少有对.

6.某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有人的头发根数一样多.

7.在一行九个方格的图中,把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种,那么涂色相同的小方格至少有个.

8.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取张牌,才能保证其中必有3种花色.

9.五个同学在一起练习投蓝,共投进了41个球,那么至少有一个人投进了个球.

10.某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同.

11.任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和或差是10的倍数.

12.在边长为1的正方形内任取51个点,求证:一定可以从中找出3点,以它们为顶点的三角形的面积不大于1/50.

高中数学竞赛讲义-抽屉原理 第7篇

抽屉原理

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。

“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。

（一）抽屉原理的基本形式

定理

1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。

证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。

在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。

同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。

例题讲解

1． 已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于

2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。

数学教育网http:// 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http:// 3．从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。

4．已给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合。求证：这个集合必有两个无公共元素的子集合，各子集合中各数之和相等。

5．在坐标平面上任取五个整点（该点的横纵坐标都取整数），证明：其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点。

6．在任意给出的100个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被100整除。

7． 17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目。

例题答案：

1．分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，数学教育网http:// 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http:// 即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于。

以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。

如图2，设BC是△ABC的最大边，P，M是△ABC内（包括边界）任意两点，连接PM，过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N，那么

∠PQN=∠C，∠QNP=∠A

因为BC≥AB，所以∠A≥∠C，则∠QNP≥∠PQN，而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以 PQ≥PM。显然BC≥PQ，故BC≥PM。

由此我们可以推知，边长为的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于。

说明：

（1）这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”。类似地，还可以利用等分线段、等分正方形的方法来构造“抽屉”。例如“任取n+1个正数ai，满足0＜ai≤1（i=1,2,„,n+1），试证明：这n+1个数中必存在两个数，其差的绝对值小于”。又如：“在边长为1的正方形内任意放置五个点，求证：其中必有两点，这两点之间的距离不大于。

（2）例1中，如果把条件（包括边界）去掉，则结论可以修改为：至少有两个点之间的距离小于“，请读者试证之，并比较证明的差别。

（3）用同样的方法可证明以下结论：

2i）在边长为1的等边三角形中有n+1个点，这n+1个点中一定有距离不大于的两点。

ii）在边长为1的等边三角形内有n+1个点，这n+1个点中一定有距离小于的两点。

（4）将（3）中两个命题中的等边三角形换成正方形，相应的结论中的换成，命 题仍然成立。

（5）读者还可以考虑相反的问题：一般地，“至少需要多少个点，才能够使得边长 为1的正三角形内（包括边界）有两点其距离不超过”。

2．分析：本题似乎茫无头绪，从何入手？其关键何在？其实就在“两个数”，其中一个是另一个的整数倍。我们要构造“抽屉”，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若

nm∈N+,K∈N+，n∈N,则m=(2k-1)·2，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，„„

证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）：

23456

（1）{1，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2}；

234

5（2）{3，3×2，3×2，3×2，3×2，3×2}；

4（3）{5，5×2，5×2，5×2，5×2}；

3（4）{7，7×2，7×2，7×2}；

（5）{9，9×2，9×2，9×2}；

（6）{11，11×2，11×2，11×2}；

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„„

（25）{49，49×2}；

（26）{51}；

„„

（50）{99}。

这样，1-100的正整数就无重复，无遗漏地放进这50个抽屉内了。从这100个数中任取51个数，也即从这50个抽屉内任取51个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中，一个是另一个的整数倍。

说明：

（1）从上面的证明中可以看出，本题能够推广到一般情形：从1-2n的自然数中，任意取出n+1个数，则其中必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。想一想，为什么？因为1-2n中共含1，3，„，2n-1这n个奇数，因此可以制造n个抽屉，而n+1＞n，由抽屉原则，结论就是必然的了。给n以具体值，就可以构造出不同的题目。例2中的n取值是50，还可以编制相反的题目，如：“从前30个自然数中最少要（不看这些数而以任意方式地）取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小的数的倍数？”

（2）如下两个问题的结论都是否定的（n均为正整数）想一想，为什么？

①从2，3，4，„，2n+1中任取n+1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？

②从1，2，3，„，2n+1中任取n+1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？

你能举出反例，证明上述两个问题的结论都是否定的吗？

（3）如果将（2）中两个问题中任取的n+1个数增加1个，都改成任取n+2个数，则它们的结论是肯定的还是否定的？你能判断证明吗？ 3．证明：把前25个自然数分成下面6组：

1；

①

2，3；

②

4，5，6；

③

7，8，9，10；

④

11，12，13，14，15，16；

⑤

17，18，19，20，21，22，23，⑥

因为从前25个自然数中任意取出7个数，所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。

说明：

（1）本题可以改变叙述如下：在前25个自然数中任意取出7个数，求证其中存在两个数，它们相互的比值在内。

显然，必须找出一种能把前25个自然数分成6（7-1=6）个集合的方法，不过分类时有一个限制条件：同一集合中任两个数的比值在内，故同一集合中元素的数值差不得过大。这样，我们可以用如上一种特殊的分类法：递推分类法：

从1开始，显然1只能单独作为1个集合{1}；否则不满足限制条件。

能与2同属于一个集合的数只有3，于是{2，3}为一集合。

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如此依次递推下去，使若干个连续的自然数属于同一集合，其中最大的数不超过最小的数的倍，就可以得到满足条件的六个集合。

（2）如果我们按照（1）中的递推方法依次造“抽屉”，则第7个抽屉为

{26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39}；

第8个抽屉为：{40，41，42，„，60}；

第9个抽屉为：{61，62，63，„，90，91}；

„„

那么我们可以将例3改造为如下一系列题目：（1）从前16个自然数中任取6个自然数；（2）从前39个自然数中任取8个自然数；（3）从前60个自然数中任取9个自然数；（4）从前91个自然数中任取10个自然数；„

]内。

都可以得到同一个结论：其中存在2个数，它们相互的比值在上述第（4）个命题，就是前苏联基辅第49届数学竞赛试题。如果我们改变区间[]（p＞q）端点的值，则又可以构造出一系列的新题目来。

4.分析与解答：一个有着10个元素的集合，它共有多少个可能的子集呢？由于在组成一个子集的时候，每一个元素都有被取过来或者不被取过来两种可能，因此，10个元素的集合10就有2=1024个不同的构造子集的方法，也就是，它一共有1024个不同的子集，包括空集和全集在内。空集与全集显然不是考虑的对象，所以剩下1024-2=1022个非空真子集。

再来看各个真子集中一切数字之和。用N来记这个和数，很明显：

10≤N≤91+92+93+94+95+96+97+98+99=855

这表明N至多只有855-9=846种不同的情况。由于非空真子集的个数是1022，1022＞846，所以一定存在两个子集A与B，使得A中各数之和=B中各数之和。

若A∩B=φ，则命题得证，若A∩B=C≠φ，即A与B有公共元素，这时只要剔除A与B中的一切公有元素，得出两个不相交的子集A1与B1，很显然

A1中各元素之和=B1中各元素之和，因此A1与B1就是符合题目要求的子集。

说明：本例能否推广为如下命题：

已给一个由m个互不相等的n位十进制正整数组成的集合。求证：这个集合必有两个无公共元素的子集合，各子集合中各数之和相等。

请读者自己来研究这个问题。5．分析与解答：由中点坐标公式知，坐标平面两点（x1,y1）、（x2,y2）的中点坐标是。欲使都是整数，必须而且只须x1与x2，y1与y2的奇偶性相同。坐标平面上的任意整点按照横纵两个坐标的奇偶性考虑有且只有如下四种：（奇数、奇数），（偶数，偶数），（奇数，偶数），（偶数，奇数）以此构造四个“抽屉”，则在坐标平面上任取五个整点，那么至少有两个整点，属于同一个“抽屉”因此它们连线的中点就必是整点。

说明：我们可以把整点的概念推广：如果（x1,x2,„xn）是n维（元）有序数组，且x1,x2,„xn中的每一个数都是整数，则称（x1,x2,„xn）是一个n维整点（整点又称格点）。如果对所有的n维整点按每一个xi的奇偶性来分类，由于每一个位置上有奇、偶两种可能性，因此

n3共可分为2×2ׄ×2=2个类。这是对n维整点的一种分类方法。当n=3时，2=8，此时可数学教育网http:// 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http:// 以构造命题：“任意给定空间中九个整点，求证它们之中必有两点存在，使连接这两点的直线段的内部含有整点”。这就是1971年的美国普特南数学竞赛题。在n=2的情形，也可以构造如下的命题：“平面上任意给定5个整点”，对“它们连线段中点为整点”的4个命题中，为真命题的是：

（A）最少可为0个，最多只能是5个（B）最少可为0个，最多可取10个

（C）最少为1个，最多为5个（D）最少为1个，最多为10个

（正确答案（D））6．分析：本题也似乎是茫无头绪，无从下手，其关键何在？仔细审题，它们的“和”能“被100整除”应是做文章的地方。如果把这100个数排成一个数列，用Sm记其前m项的和，则其可构造S1，S2，„S100共100个”和"数。讨论这些“和数”被100除所得的余数。注意到S1，S2，„S100共有100个数，一个数被100除所得的余数有0，1，2，„99共100种可能性。“苹果”数与“抽屉”数一样多，如何排除“故障”？

证明：设已知的整数为a1,a2,„a100考察数列a1,a2,„a100的前n项和构成的数列S1，S2，„S100。

如果S1，S2，„S100中有某个数可被100整除，则命题得证。否则，即S1，S2，„S100均不能被100整除，这样，它们被100除后余数必是{1，2，„，99}中的元素。由抽屉原理I知，S1，S2，„S100中必有两个数，它们被100除后具有相同的余数。不妨设这两个数为Si，Sj（i＜j），则100∣（Sj-Si），即100∣。命题得证。

说明：有时候直接对所给对象作某种划分，是很难构造出恰当的抽屉的。这时候，我们需要对所给对象先作一些变换，然后对变换得到的对象进行分类，就可以构造出恰当的抽屉。本题直接对{an}进行分类是很难奏效的。但由{an}构造出{Sn}后，再对{Sn}进行分类就容易得多。

另外，对{Sn}按模100的剩余类划分时，只能分成100个集合，而{Sn}只有100项，似乎不能应用抽屉原则。但注意到余数为0的类恰使结论成立，于是通过分别情况讨论后，就可去掉余数为0的类，从而转化为100个数分配在剩下的99个类中。这种处理问题的方法应当学会，它会助你从“山穷水尽疑无路”时，走入“柳暗花明又一村”中。

最后，本例的结论及证明可以推广到一般情形（而且有加强的环节）：

在任意给定的n个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被n整除，而且，在任意给定的排定顺序的n个整数中，都可以找出若干个连续的项（可以是一项），它们的和可被n整除。

将以上一般结论中的n赋以相应的年份的值如1999，2000，2001„，就可以编出相应年份的试题来。如果再赋以特殊背景，则可以编出非常有趣的数学智力题来，如下题：

有100只猴子在吃花生，每只猴子至少吃了1粒花生，多者不限。请你证明：一定有若干只猴子（可以是一只），它们所吃的花生的粒数总和恰好是100的倍数。

7．证明：视17个科学家为17个点，每两个点之间连一条线表示这两个科学家在讨论同一个问题，若讨论第一个问题则在相应两点连红线，若讨论第2个问题则在相应两点连条黄线，若讨论第3个问题则在相应两点连条蓝线。三名科学家研究同一个问题就转化为找到一个三边同颜色的三角形。

考虑科学家A，他要与另外的16位科学家每人通信讨论一个问题，相应于从A出发引出16条线段，将它们染成3种颜色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1条同色，不妨记为AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同红色，若Bi（i=1，2，„，6）之间有红线，则出现红色三角线，命题已成立；否则B1，B2，B3，B4，B5，B6之间的连线只染有黄蓝两色。

考虑从B1引出的5条线，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用两种颜色染色，因为5=2×2+1，故必有3=2+1条线段同色，假设为黄色，并记它们为B1B2，B1B3，B1B4。这时若B2，B3，B4之数学教育网http:// 数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息http:// 间有黄线，则有黄色三角形，命题也成立，若B2，B3，B4，之间无黄线，则△B2，B3，B4，必为蓝色三角形，命题仍然成立。

说明：（1）本题源于一个古典问题--世界上任意6个人中必有3人互相认识，或互相不认识。（美国普特南数学竞赛题）。

（2）将互相认识用红色表示，将互相不认识用蓝色表示，（1）将化为一个染色问题，成为一个图论问题：空间六个点，任何三点不共线，四点不共面，每两点之间连线都涂上红色或蓝色。求证：存在三点，它们所成的三角形三边同色。

（3）问题（2）可以往两个方向推广：其一是颜色的种数，其二是点数。

本例便是方向一的进展，其证明已知上述。如果继续沿此方向前进，可有下题：

在66个科学家中，每个科学家都和其他科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论四个题目，而任何两个科学家之间仅仅讨论一个题目。证明至少有三个科学家，他们互相之间讨论同一个题目。

（4）回顾上面证明过程，对于17点染3色问题可归结为6点染2色问题，又可归结为3点染一色问题。反过来，我们可以继续推广。从以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的过程，易发现

6=（3-1）×2+2，17=（6-1）×3+2，66=（17-1）×4+2，同理可得（66-1）×5+2=327，（327-1）×6+2=1958„记为r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，„

我们可以得到递推关系式：rn=n(rn-1-1)+2，n=2,3,4„这样就可以构造出327点染5色问题，1958点染6色问题，都必出现一个同色三角形。

激励原理在数学教学中的运用 第8篇

所谓激励，就是指运用各种手段激发人的热情，调动人的积极性、主动性，发挥人的创造精神和潜能，使行为朝向所期望的目标而努力的一种心理因素。

不少初中学生对数学缺少兴趣，升学考试的压力又使一些学生学数学的积极性、自信心受挫。现实提醒我们：数学教师尤其应懂得激励的艺术。

心理学家赞可夫说：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触及学生的精神需要，这种教学就能发挥高度的有效的作用。”近三年的教学经历使我认识到，在数学教学中激励学生主要要以下五种方法。

1. 信心激励法

不少事实证明，先天因素是造就人才的重要基础，却不是造就人们高度发展的创造性智能的决定因素。先天因素仅是一种潜能，要它转化为现实的智能，必须经过后天有效的教育“挖掘”，而教育的根本动力来自个体对象的内因，自信心就是最重要的内因。

数学学习中的“差生”，确切地说，我们应称他们为“发展中的学生”。平时，我常用“天生我才必有用”作为教育理念来勉励学生，使他们懂得：只要不是白痴，人都有不同方面与不同层次的才能;只有发现自己的长处，树立起自信心，同时针对自己学习上的具体困难刻苦钻研，学习成绩的提高就是必然的。如在提出一个典型的问题后我和蔼地说：“我知道你们会答出，只不过不愿意说，现在请大家在练习本上做一做。”在学生解题过程中，我边看边指导，耐心地启发指点，并不时地给予肯定与鼓励：要有不怕困难与艰辛的信心。终于有几位学生正确地解答出来。最后，我指出：为什么开始你们想不到?主要是没有用连续的、运动的、变化的观点观察问题。其实在初中数学中，诸多的最大、最小等问题，无不与某变量的连续变化或某点的不断运动有关。学生开始寻找解题规律。

教师的信任与爱将鼓起学生自信、智力、情感、个性顺利发展的风帆，而自信与自尊则是学习最为强大的力量，信心是成功不可缺少的基石。

2. 目标激励法

目标激励法，就是指通过设置一定的目标，或帮助别人制定、树立一定的奋斗目标来达到激励目的的做法。做任何事情，只有目标明确，才能下定决心。一切积极的目标可以使人清楚地看到未来的价值前景，给人以更切实的希望和强大的吸引力与鼓舞力。

开学第一堂课我就对新生讲：“三年的数学学习，你们要有思想准备。”目的是使学生明确各个阶段的目标，毫不放松地去重视平时的学习。

教师要根据教学内容，提出教学目标(即认知的目标、情感的目标、动作技能的目标)，落实措施与方法，保证教学任务顺利完成。比如：在讲授初二数学复习课时，对于同一题目，我向几类学生提不同的激励目标。会用一种解法的，为及格;会用两种解法的，为良好;会用三种以上方法求解的，为“数学能手”。实践证明，学生一旦达到目标，就会从成功的喜悦中增强对数学学习的兴趣。此时，教师就要及时抓住机会给予表扬和鼓励。教师对“发展中的学生”的鼓励，都将可能成为他们急起直追的动力。对于优等生，则应有更高一点的适合他们的目标，教师可以每周向他们提供三道以上富有思考性或综合性的练习题，同时也欢迎他们自己提出新的问题，优等生自然就“多一分耕耘，多一分收获”。

3. 情感激励法

前苏联著名教育家苏霍姆林斯基用了32年的时间思考这个问题：在教育工作中什么是最重要、最主要的?“最重要的是要把学生看作活生生的人。学习这并不是把知识从教师的头脑里移到学生的头脑里，而首先是教师与学生之间活生生的人的相互关系”。这种“人际关系”，在今天的教育中已引起了人们的极大关注。中学生的特点是易动感情，也重感情。情感是学生行为的动因，它能直接转化为学习的动机。因此，教师的教育思想应该是：让学生感到学习是可爱的，老师是可亲的，同学是友好的。

我班上有一位学习中等的学生家里遭受天灾人祸，正在她面临失学这个关键时刻，我和同学伸出了友谊之手，短时间内凑上1200元，送给这位学生，并安慰她“化悲痛为力量”。该生为了报答老师、同学们的希望，倍加努力学习，成绩提高很快，市统考数学成绩在班上名列前茅。我想，这大概就是教育成功的奥秘情感激励。

情感转化需建立在尊重理解的基础上，而理解是人的一种层次的需要。常言道，理解是最高的奖赏、最大的鼓舞。那位学生进步这么快的原因就是得到了教师、同学对她的理解，产生了激励力量，而理解可以充分发挥人的潜能。

4. 成就激励法

美国心理学家马斯洛认为：“自我实现的需要是人的最高层次的需要，这种需要可以引发最强烈的学习动机。”麦克利兰提出的成就需要论也认为：“对成就的需要能使人兴奋愉快。”具有强烈成就需要的人，在学习中能积极地去克服困难，战胜挫折，取得成就，从中也能得到无穷的乐趣。

数学解题教学过程，犹如师生合演一个数学小品，妙趣横生，发人深省。学生可从中发现与揭露错解谬误，提高分析问题和解决问题的能力，更获得一种成就激励。一些学生之所以成功，学得灵活，是因懂得了科学的学习方法，掌握了数学解题的重要环节(理解问题和解题回顾)。同时在解题中，学生通过自己的思维活动，使知识条理化、系统化，大脑中形成清晰完整的数学概念和法则，从而发现解决数学问题的规律，培养自己的数学灵感，让知识升华。爱因斯坦曾说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着人类的进步，并且是知识进化的源泉。”因此，创造想象是学生灵活学习的成功标志。如由数想到形、由形想到数等，在创造和想象过程中都能赋予知识以新的活力，领略数学的内在魅力，从而发现数学中有趣味的东西。尤其学生钻研难题，一旦成功，就会心怀喜悦，信心大增，兴趣也大增。与此同时，还要进行挫折教育，让学生身临受挫其境，不畏难、不退缩，并积极克服各种障碍去获取成功，增强意志力。

5. 评语激励法

恰如其分的评语，能激励学生的学习积极性，指导学习方法，沟通师生的感情，会收到意想不到的教育效果。那么如何用评语激励呢?教学实践告诉我们，可以在课后批改作业和试卷的同时，针对学生的学习态度、个性特点、作业情况等，客观地对一些数学尖子生不循常规、另辟蹊径、正确简明的解法，给予“思路不凡，方法不俗”的批语。短短的评语，既充分肯定学生的学习潜能，又高度赞扬学生独立思考，勇于探索的创新精神，能使这些学生见评语倍受鼓舞，从而产生新的学习动力，继续进攻数学“王国”。

对于一些数学学习处在“发展中的学习”，或学习上信心不足的学生，我们应分别给予“暂时后进不要紧，最要紧的信心”，“不怕基础低，就怕不努力”，“只要肯刻苦，定有好成绩”等评语。这些富有情感的评语，不但可解除他们的自卑心理，而且可唤起他们战胜自我的信心和勇气，使他们持之以恒、锲而不舍，在学习上不断取得新的进步，超越自我。

综上所述，我们应把激励原理运用于数学教学的始终，通过激励充分调动学生学习数学的情感、意志、兴趣、爱好等多方面的积极因素，促进智力和非智力因素的协调发展，促进学生自主学习能力的提高。

参考文献

[1]高文.教学模式论.上海:上海教育出版社, 2006.

[2]王峰.激励的理论探讨和实践分析.华中师范大学学报, 2007, 6.