容器中的最值问题
容器中的最值问题（精选12篇）
容器中的最值问题 第1篇
一、利用“直线外一点到直线上各点的连线中,垂线段最短”求最值
例1 (2012·浙江宁波)如图1,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,点D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画 ⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为________.
【解析】如图2,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF于点H.由圆周角定理可知,由三角函数可求得. 再由垂径定理可知,所以当AD最小时EF最小. 由垂线段最短可知: 当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短.因为,∠ABC=45°,所以AD=BD=2,代入EF与AD的关系式即可求出EF的最小值为
【点评】本题是一道融圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、动点于一体的综合应用题.根据运动变化,将两动点之间的最小值转化为点到直线的最小值,找出EF与直径AD的关系是解决本题的关键.
二、利用“切线的性质”求最值
例2(2011·浙江台州)如图3,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为________.
【解析】因为PQ为切线,所以△OPQ是直角三角形,所以.又因为OQ为定值,所以当OP最小时,PQ最小.根据垂线段最短知:OP=3时,PQ最小,根据勾股定理可求出PQ的最小值为
【点评】切线的性质和垂线段最短是解决本题的关键.
例3 (2010· 江苏苏州)如图4, 已知A、B两点的坐标分别为(2,0)、 (0,2),⊙C的圆心坐标为(-1,0),半径为1. 若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是().
【解析】如图5,根据三角 形的面积公式知, △ABE底边BE上的高AO不变, BE越小,则面积越小,可以判断当AD与⊙C上面半圆相切时,BE的值最小.根据勾股定理求出AD的值为,然后根据△AOE与△ADC相似求出OE的长为,所以BE最小值,代入三角形的面积公式可得,故选C.
【点评】本题考查了坐标与图形的性质、 勾股定理、相似三角形的判定与性质,根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键.
三、利用“轴对称”求最值
例4 (2014·贵州安顺)如图6,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN= 30°,点B为劣弧AN的中点. 点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为().
【解析】如图7,作点B关于MN的对称点B′,连接OA、OB、OB′、AB′,则AB′与MN的交点即为PA+PB最小时的点,PA+PB的最小值为AB′,由圆周角定理可知∠AON= 2∠AMN=2×30°=60°.因为点B为劣弧AN的中点,所以.由对称性得∠B′ON=∠BON=30°,所以∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°,所以,即PA+PB的最小值为.故选A.
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题、垂径定理、圆周角定理,熟记定理并做出图形,判断出PA+PB的最小值等于哪条线段的长度是解题的关键.
四、利用“两点之间线段最短”求最值
例5 (2014·福建三明)如图8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于点D,P是上的一个动点.连接AP,则AP的最小值是________.
【解析】如图9,取BC的中点E,连接AE, 交半圆于点P2,在半圆上取点P1,连接AP1, EP1,可得,AP1+EP1>AE,即AP2是AP的最小值. 再根据勾股定理求出AE的长为然后减掉半径可得AP的最小值
【点评】本题考查了勾股定理、最短路径问题,两点之间线段最短是解题的关键.
例6如图10,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合), 沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF长的最小值是________.
【解析】本题看似折叠的题目,好像与圆没有关系,实则是例5的拓展,因为在折叠的过程中,点D始终是定点,DF始终是定长,所以点F的运动路线为圆.如图11,连接AD交圆D于点F1,则AF1的长度即为AF的最小值,利用勾股定理可求得AD=5,所以AF1= 5-3=2,即线段AF长的最小值为2.
【点评】本题考查了转化的思想、勾股定理、最短路径问题,折叠问题转化为圆中最值问题是解题的关键.
容器中的最值问题 第2篇
北京市第一七一中学 许绮菲
教学目标
1．复习、巩固和、差、倍、半角公式，使学生能够熟练运用公式解决典型的三角函数式的最值问题． 2．在学生掌握三角函数式最值的基本求解方法的基础上，引导学生在解决最值应用问题时，会引入角做变量列出目标函数，借助繁多的三角公式求解函数最值．
3．在教学过程中突出三角函数式与代数式的相互转化，训练学生灵活选择代数与三角变换两种工具，渗透“转化”数学思想．
教学重点与难点
重点是教会学生把三角函数式最值问题转化为代数式的最值问题，同时能够利用三角变换知识解决代数式的最值问题，恰当选取方法解决问题．
难点是培养学生利用三角变换工具解决问题的意识，体现三角变换的工具性．讲授难点是引导学生全面分析题目，恰当选取变量，正确列出较易求最值的目标函数．
教学过程设计
师：我们已经学过了和、差、倍、半角公式，深感三角公式繁多，变换多端，同时三角函数还具有单调性及有界性．今天我们来共同探讨三角变换中的最值问题．首先我请一位同学回答代数式的最值问题有哪些基本求解方法．
生：有利用函数单调性的方法，如最常用的二次函数法、复合函数法、分离变量法、方程法、换元法等． 师：这位同学回答很好．我们在学习三角函数式的最值问题时也希望大家注意总结方法．下面让我们看第一个例题．
例1 求y=cos2x+6cosx+5的最大、最小值．
分析：这个函数式变量形式不统一，我们首先要设法统一变量再求其最值． 生：可以利用倍角公式统一变量，转化为二次函数求解．
因为cosx∈[-1，1]，所以ymax=12，ymin=0．
师：这个题目我们借助二次函数这一工具求最值，注意到了代数与三角变换间的沟通．下面我们看例2． 例2 求函数y=sinx+cosx+sinx·cosx+1的最大值与最小值． 生：这个题目既有“sinx”又有“cosx”，若用sin2x+cos2x=1求解，会出现根式，所以考虑把角度取半使其次数升高．
解
y=sinx·（1+cosx）+1+cosx =（1+cosx）·（1+sinx）
师：这位同学为了不出现根式而把角度减半以达到升次的目的，很好．但若把题目改为y=sinx+cosx+3sinxcosx+1，这样能否可行？对例2有没有更具有普遍意义的做法？
生：观察到（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，故联
函数求解．于是得到例2的又一解法． 解
师：这位同学的解法更具有普遍意义，特别值得表扬的是这位同学在换元时注意到了等价性，即求出了t的取值范围．下面我们看例3．
例3 已知x2+y2=1，求u=3x+4y的值域．
分析：这个题目是代数式的最值问题，若用代数方法求解，要首先统一变元，这样就会出现根式，运算不够简洁．观察到x2+y2=1这一制约条件，联想到sin2x+cos2x=1，可令x=cosα，y=sinα．进行三角换元，利用三角公式求最值．
解 令x=cosα，y=sinα．则
所以u∈[-5，5]．
下面我们做三个练习：
练习1 已知x2+y2=4，求μ=3x+4y的值域．
（分别请三位同学板演．）
解1 令x=2cosα，y=2sinα，则
所以μ∈[-10，10]．
师：这三位同学都注意到所求函数的定义域，利用三角换元求解最值．一般来说，利用三角换元求解y=f（x）的最值问题的步骤为：1°求函数y=f（x）的定义域；2°根据求出的定义域设计换元，注意换元后给出一个能够保证其值域充满给定函数y=f（x）的定义域的新变量的最小取值范围，如练习2中要求x∈[-1，1]，令x=sinα后给出α∈
取值范围；3°利用三角公式求函数的最值．
利用换元法求最值不仅限于把变量x换为sinα或cosα，还可以换元为tanα，cotα等，要依所给函数而定；三角换元也未必只在代数式
函数转化为代数式求解，在求解最值问题时要恰当选取代数与三角两种工具，并能互相转化． 以上我们研究了函数式的最值问题，下面我们看几个最值应用问题，探讨如何利用三角这一工具解决问题． 例4 欲在半圆形铁皮（如图1）截取矩形，如何截取利用率最高．（半径为R）
分析：矩形ABCD的面积取决于CD的位置，而CD∥AB，故C点位置一旦取定，则D点位置也随之而定．C点在圆周上，连结圆心O与C点，则∠COB的大小便确定了C点的位置，故引入∠COB作为变量写出目标函数．
解
S=Rsinα·2Rcosα=R2sin2α，利用三角变换解最值应用问题的一般步骤是：1°全面分析题目，选择恰当的自变量；2°列出目标函数，确定自变量取值范围；3°利用三角变换公式求最值．
若我们把半圆形铁皮改为扇形铁皮，如何求解呢？请同学们练习．
练习4 在半径为R，中心角为α的扇形铁皮中（如图2）截取矩形，何时利用率最高．
（此题可利用正弦定理，即△ABC中，A，B，C为三内角，a，（给出时间让学生独立思考，请学生回答．）
生：与例4相似的有矩形ABCD面积由CD位置决定，CD∥AB，C点位置决定了矩形ABCD的面积，而∠COB的大小决定了C点位置．故引入∠COB为变量．这个题目与例4的区别在于目标函数较例4复杂．
解 设∠COB=θ，θ∈（0，α）．
在Rt△COB中，|BC|=Rsinθ，在△COD中，∠CDO=π-α，∠DOC=α-θ，由正弦定理，师：四个题目还可以略加改动．
练习5在中心角为α半径为R的扇形中如图截取矩形（如图3），何时利用率最高．
请同学们课下解决，并且总结这类有动点在圆周上的题目的解法． 下面我们再看一个例题：
例5 边长为α的正三角形ABC，其中心为O，过O的直线MN
分析：OM与ON的长度与过O的直线MN的倾斜程度有关，故引入∠AOM为变量，利用解三角形的知识表示出|OM|及|ON|，求解最值．
解 设∠AOM=α．
这个题目仍然是引入了角做变量，利用三角变换这一工具求解最值．这个题目限定自变量的取值范围直接影响结果，十分重要．
下面我们小结一下这节课．这节课我们主要研究了两个问题：即函数式的最值问题及最值应用问题．函数式的最值问题是最值应用问题的基础，解决函数式的最值问题的关键在于灵活地选用代数与三角两种工具，树立转化的数学思想，同时应注意一些典型方法的总结．解决最值应用问题的关键在于充分分析题目，选择恰当的自变量，列出相对简单的目标函数以便于求解最值．
作业
1．求下列函数的值域．
（2）已知（x+2y）2+y2=9，求u=x-y的最值． 3．求周长为定值P的直角三角形面积的最大值．
4．△ABC中，AB=AC=1，△ABC与以BC为边的正△BCD面积和为S，求S的最大值．
5．如图5，AB是半圆直径，延长AB到D，使BD=R，C为半圆上的动点，C在何处时，以DC为边的正△CDP与△OCD面积和最大．
课堂教学设计说明
解析几何中的最值问题 第3篇
1. 用曲线定义或几何性质求最值
例1 已知点[A(3,2)]、[F(2,0)]，在双曲线[x2-y23=1]上求一点[P]，使[|PA|+12PF]的值最小，则[P]点横坐标为（ ）
A. [-213] B. [213]
C. [-212] D. [212]
解析 双曲线离心率[e=2]，设[P]点到右准线的距离为[d]，因为（2，0）是双曲线右焦点，则[|PF|=ed=2d]，∴[|PA|+12PF=|PA|+d]，要使[|PA|+d]最小，[P]点要在双曲线右支上，且纵坐标与[A]点纵坐标相同，[P]点纵坐标为2，横坐标即为[213]. 故选B.
点拨 关键要对曲线定义及曲线几何性质等概念理解透，用得活.
2. 用三角函数封闭性求最值
例2 已知[P]是椭圆[x24+y2=1]在第一象限内的点，[A(2，0)]，[B(0，1)]，[O]为原点，求四边形[OAPB]的面积的最大值.
解析 设[P(2cosθ,sinθ) (0<θ<π2)],
点[P]到直线[AB]：[x+2y=2]的距离
[d=|2cosθ+2sinθ-2|5=|22sin(θ+π4)-2|5]
[ ≤22-25=210-255,]
进而求得面积的最大值为[2].
点拨 因为圆、椭圆和双曲线的参数方程都用三角函数表示，而-1≤sin[θ]≤1, -1≤cos[θ]≤1,故当曲线上一点的坐标用参数表示时，其最大值和最小值由正、余弦的封闭性求出.
例3 设椭圆中心是坐标原点，长轴在[x]轴上，离心率[e=32],已知点[P(0,32)]到这个椭圆上的点最远距离为[7],求这个椭圆方程.
解析 根据题设，可设所求椭圆方程为[x24b2+y2b2=1]，在椭圆上取一点[Q(x,y)]，
则[PQ2=x2+(y-32)2][=4b2-4y2+(y-32)2]
=[-3y2-3y+4b2+94]=[-(y-12)2+4b2+3]，
所以当[y=12]时，[PQmax=4b2+3]，
由题意有[4b2+3=7]，解得[b2=1]，
故所求椭圆方程为[x24+y2=1].
点拨 二次函数[y=ax2+bx+c]在闭区间内最大值最小值求法在代数中是重点之重点内容.它在高中数学各分科中应用广泛，在解析几何最值题型中亦唱主角.
4. 用二次方程根的判别式求最值
例4 已知抛物线的对称轴为[y]轴，顶点[A]的坐标是（0，-1），并且抛物线在[x]轴上截得的[BC]（左[B]）的长为2，在此抛物线上取两点[P]（异于[B]）、[Q]，若能使[BP]⊥[PQ]，试求点[Q]存在范围.
解析 [Q]点存在范围，即为[Q]点横坐标取值范围，即[Q]点的横坐标最值.
点拨 求变量取值范围实质就是求它的极大值或极小值；求函数[y]的取值范围与求函数极大（小）值等价. 若函数式可变形为要求最值的变量作为另一个变量二次方程的系数时，一般采用判别式法求最值.解析几何最值题型中，这种题型数量最多，应引起大家的关注.
5. 用变量的范围求最值
例5 已知椭圆[C: x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)]，长轴的两个端点为[A、B]，若[C]上存在一点[Q]，使[∠AQB=120°]，求它的离心率[e]的取值范围.
解析 由对称性，不妨设[Q]点在[x]轴上方，且[Q(x0,y0)]，则0<[y≤b].
点拨 本题利用了[Q]点纵坐标的取值范围构造与[e]有关的不等式.
例6 设圆满足：①截[y]轴所得弦长为2；②被[x]轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1. 在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线[L：x-2y=0]的距离最小的圆的方程.
解析 设圆的圆心为[P(a,b)]，半径为[r]，
则[P]到[x]轴、[y]轴的距离分别为[|b|]和[|a|].
由题设知圆[P]截[x]轴所得劣弧对的圆心角为[90°]，知圆[P]截[x]轴所得的弦长为[2r],故[r2=2b2].
又圆[P]截[y]轴所得的弦长为2，
所以有[r2=a2+1],从而得[2b2-a2=1].
∵点[P(a,b)]到直线[x-2y=0]的距离为[d=a-2b5,]
∴[5d2=|a-2b|2]=[a2+4b2-4ab]
≥[a2+4b2][-2(a2+b2)]=[2b2-a2=1].
当且仅当[a=b]时上式等号成立，
此时[5d2=1]，从而[d]取最小值.
由此得[a=b]且[2b2-a2=-1]，
故[a=b=1]或[a=b=-1]，
所求圆的方程为[(x-1)2+(y-1)2=2]或[(x+1)2+][(y+1)2=2].
直线中的最值问题 第4篇
求直线中的最值问题方法:1.配方法针对二次函数.2.不等式法针对和 (积) 定的函数.3.数形结合法先作出函数的图象, 再利用函数图象的特征解题4.判别式法针对含参数的一元二次方程.
一、转化为求二次函数的最值
例1如图1, 某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形地面 (不改变方位) 建造一幢八层楼的公寓, 问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积.
解析:显然长方形的第四个定点一定在线段AB上, 设该点为M, 如图构造长方形MNDP, 并补出长方形QCDP,
所以MP=PQ-MQ=80-x, 又Q'A=20, Q'B=30,
由, 所以, 所以,
所以.
所以
当m故长方形一端落在AB边上离B点m处时公寓占地面积最大.
二、利用判别式求最值
根据已知条件建立含参数的一元二次方程, 再由方程有解的条件, 用判别式求解.
例2已知直线l:y=4x和点P (3, 2) , 点N是l上在第一象限内的点, 直线NP交x轴的正半轴于点M, 则△OMN的面积的最小值是.
解析:设M (a, 0) (a>0) , 则PM的方程为2x+ (a-3) y-2a=0.与y=4x联立, 得, 所以△OMN的面积为.所以解得S≥10 (S0舍) .当S=10时, a=5, N (1, 4) .故最小值为10.
三、数形结合求解最值
运用数形结合解题, 不仅直观, 易于寻找解题途径, 而且可避免复杂的计算和推理, 简化解题过程, 起到事半功倍的效果.
例3如图2, 已知点M (3, 5) , 在直线:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q, 使△MPQ的周长最小.
解:可求得点M关于l的对称点为M1 (5, 1) , 点M关于y轴的对称点为M2 (-3, 5) , 则△MPQ的周长就是|M2Q|+|QP|+|PM1|, 连M2M1, 则直线M2M1与y轴及直线x-2y+2=0的交点P、Q即为所求.
直线M1M2的方程为x+2y-7=0,
直线M1M2与y轴的交点坐标为Q (0, 27) ,
由方程组得交点，
所以点即为所求.
四、不等式法
对于符合一正、二定、三相等条件的最值问题, 常可用均值不等式来求解, 通过建立目标函数, 将直线方程问题进行转化.
例4已知定点A (0, 3) , 动点B在直线:y=1上, 动点C在直线:y=-1上, 且∠BAC=90°, 求△ABC面积的最小值.
解:设B (a, 1) 、C (b, -1) .因为AC⊥AB, 所以ab=-8, .当, 或
例5过点P (1, 4) 作直线与两坐标轴的正向相交, 当直线在两坐标轴上截距之和最小时, 求直线方程.
二次函数的最值问题修改版 第5篇
上的最值问题
数学组：王勇
一、教学目标：
1． 理解二次函数的最值概念，掌握二次函数的最值求法； 2． 培养学生数形结合的能力和将数学问题转化的能力。
二、教学重点：二次函数最值求法
教学难点：二次函数在闭区间上的最值
三、教学过程：
二次函数是函数中重要的函数，二次函数在闭区间上的最值问题一直是函数中的一个难点。今天我们用数形结合的方法来突破这个问题。请看下面例题
问题1 求函数f(x)x22x3，x2,4的最大值与最小值
练习：将题中条件x2,4改为（1）x3,0，（2）x3,4
小结：求二次函数在固定区间上的最大值与最小值：考虑对称轴与区间的位置关系。
如果我们将x3,4改为xa,4，怎样求最值呢？
问题2 求函数f(x)x22x3，xa,4的最值
小结：注意分类讨论
以上问题是函数的图像不变，要研究的区间含字母，如果我们将区间固定，函数的解析式中含字母，又怎样求最值呢？
问题3 求函数f(x)x2ax3，x1,3的最大值与最小值
小结：对称轴的讨论是关键
练习4 已知fxx-2ax3在区间1,2上最大值为4，求a的值 2
f(x)a(xh)2k(a0)x[m,n]小结：二次函数在闭区间[m,n]上的最值
（三）作业：
圆锥曲线中的最值与范围问题 第6篇
几何特征法
几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.
例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为
.
解析： 圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.
设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.
所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.
点评： 解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.
例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］ 已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.
解析： 如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.
设FA=t1，FB=t2，则由∠AFB=可得AB=.因为AM=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由抛物线定义可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.
由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤·，所以≤=，当且仅当t1=t2时取到等号，所以的最大值为.
点评： 例2利用抛物线的定义，将线段MN的长度与FA，FB的长度t1，t2相联系，构造了含有双变量的函数，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函数的最大值.
代数法
利用题目所给条件的范围或限制，如点的坐标、直线的斜率、线与线之间构成的多边形的面积等，构造相应的函数或不等式求解.
例3设椭圆+=1 （a>b>0）的焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且F2为F1 A的中点.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 如图3所示,过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.
解析： （1） 由F2为F1A的中点可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，点A的坐标为（3，0）.由直线l：x=a2交x轴于点A可得a=，b==，所以椭圆方程为+=1.
（2） 当直线DE与x轴垂直时，MN=2a=2.由F1（-1，0），椭圆方程+=1可得点D-1，
，所以DF1=，DE=2DF1=， 四边形DMEN的面积S==4.
同理，当MN与x轴垂直时，也可得四边形DMEN的面积S==4.
当直线DE，MN均不与x轴垂直时，设直线DE：y=k（x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=
，
x1x2=
.所以x1-x2==，DE==·x1-x2= .
设直线MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四边形DMEN的面积S==··=.
令u=k2+，得S==4-<4.因为u=k2+≥2，所以4>S≥4-=，当且仅当k2=1时取等号.所以当k=±1时，Smin=；当直线DE或MN与x轴垂直时，Smax=4.
点评： 与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度，如例3中的DE=.例3正是通过建立四边形DMEN的面积S与焦点弦的斜率k的函数关系，求得了面积S的最值.
与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度.
【练一练】 ［2012年嘉兴市高三教学测试（二） 第9题］ 已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈，1，则实数m的取值范围是（A） 0，（B） ，+∞（C） 0，∪，+∞（D） ，1∪1，【参考答案】解析： 先将椭圆方程x2+my2=1化为标准方程：x2+=1，因方程为椭圆方程，所以m>0.又因其焦点位置不确定，所以需要分类讨论.当0<<1即 m>1时，椭圆长半轴长a=1，短半轴长b=，所以离心率e===.由e∈，1可得<<1.因为m>1，所以<1恒成立.当<时，解得m>.当>1即0
圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的考查热点，往往以圆锥曲线（包括圆）与直线为载体，结合函数、不等式及导数等知识，综合考查解题能力. 求解这类问题的基本方法有几何特征法和代数法.
几何特征法
几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.
例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为
.
解析： 圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.
设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.
所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.
点评： 解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.
例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］ 已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.
解析： 如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.
设FA=t1，FB=t2，则由∠AFB=可得AB=.因为AM=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由抛物线定义可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.
由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤·，所以≤=，当且仅当t1=t2时取到等号，所以的最大值为.
点评： 例2利用抛物线的定义，将线段MN的长度与FA，FB的长度t1，t2相联系，构造了含有双变量的函数，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函数的最大值.
代数法
利用题目所给条件的范围或限制，如点的坐标、直线的斜率、线与线之间构成的多边形的面积等，构造相应的函数或不等式求解.
例3设椭圆+=1 （a>b>0）的焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且F2为F1 A的中点.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 如图3所示,过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.
解析： （1） 由F2为F1A的中点可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，点A的坐标为（3，0）.由直线l：x=a2交x轴于点A可得a=，b==，所以椭圆方程为+=1.
（2） 当直线DE与x轴垂直时，MN=2a=2.由F1（-1，0），椭圆方程+=1可得点D-1，
，所以DF1=，DE=2DF1=， 四边形DMEN的面积S==4.
同理，当MN与x轴垂直时，也可得四边形DMEN的面积S==4.
当直线DE，MN均不与x轴垂直时，设直线DE：y=k（x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=
，
x1x2=
.所以x1-x2==，DE==·x1-x2= .
设直线MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四边形DMEN的面积S==··=.
令u=k2+，得S==4-<4.因为u=k2+≥2，所以4>S≥4-=，当且仅当k2=1时取等号.所以当k=±1时，Smin=；当直线DE或MN与x轴垂直时，Smax=4.
点评： 与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度，如例3中的DE=.例3正是通过建立四边形DMEN的面积S与焦点弦的斜率k的函数关系，求得了面积S的最值.
与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度.
【练一练】 ［2012年嘉兴市高三教学测试（二） 第9题］ 已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈，1，则实数m的取值范围是（A） 0，（B） ，+∞（C） 0，∪，+∞（D） ，1∪1，【参考答案】解析： 先将椭圆方程x2+my2=1化为标准方程：x2+=1，因方程为椭圆方程，所以m>0.又因其焦点位置不确定，所以需要分类讨论.当0<<1即 m>1时，椭圆长半轴长a=1，短半轴长b=，所以离心率e===.由e∈，1可得<<1.因为m>1，所以<1恒成立.当<时，解得m>.当>1即0
圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的考查热点，往往以圆锥曲线（包括圆）与直线为载体，结合函数、不等式及导数等知识，综合考查解题能力. 求解这类问题的基本方法有几何特征法和代数法.
几何特征法
几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.
例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为
.
解析： 圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.
设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.
所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.
点评： 解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.
例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］ 已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.
解析： 如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.
设FA=t1，FB=t2，则由∠AFB=可得AB=.因为AM=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由抛物线定义可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.
由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤·，所以≤=，当且仅当t1=t2时取到等号，所以的最大值为.
点评： 例2利用抛物线的定义，将线段MN的长度与FA，FB的长度t1，t2相联系，构造了含有双变量的函数，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函数的最大值.
代数法
利用题目所给条件的范围或限制，如点的坐标、直线的斜率、线与线之间构成的多边形的面积等，构造相应的函数或不等式求解.
例3设椭圆+=1 （a>b>0）的焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且F2为F1 A的中点.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 如图3所示,过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.
解析： （1） 由F2为F1A的中点可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，点A的坐标为（3，0）.由直线l：x=a2交x轴于点A可得a=，b==，所以椭圆方程为+=1.
（2） 当直线DE与x轴垂直时，MN=2a=2.由F1（-1，0），椭圆方程+=1可得点D-1，
，所以DF1=，DE=2DF1=， 四边形DMEN的面积S==4.
同理，当MN与x轴垂直时，也可得四边形DMEN的面积S==4.
当直线DE，MN均不与x轴垂直时，设直线DE：y=k（x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=
，
x1x2=
.所以x1-x2==，DE==·x1-x2= .
设直线MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四边形DMEN的面积S==··=.
令u=k2+，得S==4-<4.因为u=k2+≥2，所以4>S≥4-=，当且仅当k2=1时取等号.所以当k=±1时，Smin=；当直线DE或MN与x轴垂直时，Smax=4.
点评： 与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度，如例3中的DE=.例3正是通过建立四边形DMEN的面积S与焦点弦的斜率k的函数关系，求得了面积S的最值.
与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度.
求解数列中的最值问题 第7篇
在学习数列时, 我们经常会遇到求数列项的最值、前n项和Sn的最值等问题.有的同学遇到这类问题常感到束手无策, 不知如何求解.本文对这类典型例题进行解析, 希望能对大家有所帮助.
例1 已知
(A) 第12项 (B) 第13项
(C) 第12项或第13项 (D) 不存在
解析:我们可以先对通项公式进行变形:
注:考察数列的单调性应该从数列的通项公式入手, 熟练掌握部分函数的单调性是解决这类问题的捷径.
例2 已知数列的通项公式是
解析:本题的通项公式不如例1易变形, 我们也不可能一项一项的计算, 不妨先从判断数列的单调性入手.
由
可以得到:当n=8时, a8=a9;当n<8时, an+1>an;
当n>8时, an+1<an.于是当n=8或
n=9时an有最大值
注:如果数列的单调性不明显, 我们可以先计算若干项, 从而估计其变化规律, 但这并不能完全替代推理论证.
例3 一个首项为正数的等差数列{an}的S3=S11, 问该数列的前n项和Sn有无最大值?如果有, 求出相应的n;如果没有, 说明理由.
解析1:我们知道, 等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数, 因此我们可以把此问题转化为二次函数的最值问题.
根据题意, a1>0, S3=S11, 可知该数列是公差d<0的单调递减数列.可设Sn=An2+Bn (A≠0) , 由S3=S11得9A+3B=121A+11B=121A+11B, 于是B=-14A. 由d<0知
Sn=An2+Bn中A<0, 于是当
时, 二次函数Sn=An2+Bn有最大值.
解析2:根据分析1, 该数列是公差d<0的单调递减数列, 由于首项a1>0, 因此数列中的项一定会从某项开始由正数变为负数, 此时数列的前n项和Sn的值也就会开始减小, 问题在于数列从哪一项开始取负值.
由S3=S11可知a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=0, 根据等差数列的性质知a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8, 于是4 (a7+a8) =0, 即a7+a8=0.
由于公差d<0, 可知a7>0, a8<0.因此S7最大.
注:由等差数列的通项公式an=a1+ (n-1) d可知, 当d>0时数列是单调递增数列, 当d<0时数列是单调递减数列.这经常被作为数列项的最值的考点;由于等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数, 这也经常被作为数列前n项和Sn的最值的考点.
例4 设{an}为正项的等比数列, 它的前n项和80, 其中数值最大的项为54.前2n项和6560.试求此数列的首项a1与公比q.
解析:本题是关于等比数列项的最值问题.关键在于确定数列的单调性.
由S2n≠2Sn可知公比q≠1.
根据题意得
解得qn=81, a1=q-1.
由数列中的各项为正值可知q>0, 所以此数列为单调递增数列, 前n项中an最大, 于是可知an=54.
因为an=a1qn-1=54,
所以a1qn-1q=54q, 即81a1=54q.
由
.解得a1=2, q=3.
注:等比数列的单调性也是值得大家注意的问题, 主要是要求大家对幂的运算、指数函数的知识熟练掌握.
数列中的最值问题求法 第8篇
例1已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 且满足a2+a4=-22, a1+a4+a7=-21, 则使sn达到最小值的n是___.
解析一当Sn最小值时有根据等差数列的性质, 可得a2+a4=2a3=-22, ∴a3=-11, a4=-7, 可求得数列是公差为4的递增数列, an=4n-23, 由因为n为正整数, 所以n=5时和最小.
解析二由于数列{an}为等差数列, 因此其和为二次函数, 可用求二次函数的最值求法去求数列和最值.∵a2+a4=-22, a1+a4+a7=-21, ∴a3=-11, a4=-7, 由于数列{an}为等差数列, 所以an=4n-23, , 因为n为正整数, 所以n等于5时Sn最小
例2等差数列{an}中, a1=25, S17=S9, 问数列前n项之和最大?
解析一等差数列{an}的前n项和Sn为n的二次函数, 由S17=S9可知二次函数的对称轴为n=13, 因此数列的前13项之和最大.
解析二由S17=S9可知a10+a11+…+a17=0, ∴a10+a17=a1+a26=0, ∴s26=0.
由等差数列{an}的前n项和Sn为n的二次函数且经过原点, 因此对称轴为Sn=13, 所以数列的前13项之和最大.
例3设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若S9>0, S10<0, 则中最大的是哪一项?
解析等差数列{an}的通项公式为n的一次函数, 因此an是关于n的单调函数, 由函数的单调性可确定an的最值.由S9>0, S10<0, 得a1+a9>0, a1+a10<0, 从而a5>0, a6<0,
所以等差数列{an}是首项大于零且公差小于零的递减数列, 所以中最大的是
例4已知公差不为0的等差数列{an}的前四项和S4=14, 且a1, a3, a7成等比数列.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 设Tn为数列的前n项和, 若2Tn<λ对n∈N*恒成立, 求整数λ的最小值.
解 (1) 设公差为d, ∵S4=14且a1, a3, a7成等比数列,
∵2Tn<λ对n∈N*恒成立, 即对∀n∈N*恒成立, 又, ∴整数λ的最小值为1.
本题是采用和的有界性来确定最值或范围.
例5已知数列{an}为等差数列且公差不为0, {bn}为等比数列, a1=b1=1, a2=b2, a4=b3. (1) 求{an}的通项公式.
(2) 设cn=n2an, 其前n项和为Sn, 求的取值范围.
解 (1) 设等差数列的公差为d, 有a2=1+d, a4=1+3d, ∵{bn}为等比数列, ∴a22=a1·a4, 即 (1+d) 2=1+3d∴d2=d, 又d≠0, ∴d=1.∴an=1+ (n-1) =n.
椭圆中的最值问题的解法 第9篇
一、定义法
例1 A (1, 1) , F1, F2为椭圆的左、右焦点, 点P是椭圆上任意一点, 求|PA|+|PF1|的最大值和最小值.
分析点A (1, 1) 在椭圆内, 欲求|PA|+|PF1|的最大值和最小值, 可转化为距离差再求, 由此可想到椭圆的第一定义|PF1|=2a-|PF2|.
解 |PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|, 如图, 连接F2A并延长交椭圆于P1, 延长AF2交椭圆于点P2, 由三角形三边关系知:-|AF2||PA|-|PF2||AF2|, 当且仅当P与P1重合时取左等号, P与P2重合时取右等号.
结论1设椭圆的左、右焦点分别为F1F2, A (x0, y0) 为椭圆内一点, P为椭圆上任一点, 则|PA|+|PF1|的最大值为2a+|AF2|, 最小值为2a-|AF2|.
例2 A (1, 4) , F1, F2为椭圆的左、右焦点, 点P是椭圆上任意一点, 求|PA|+|PF1|的最大值和最小值.
解析 点A (1, 4) 在椭圆外, 连接AF1交椭圆于点P, 此时欲求|PA|+|PF1|的值最小, 是求最大值的方法同例1为|PA|+|PF1|=15.
结论2 设椭圆的左、右焦点分别为F1, F2, A (x0, y0) 为椭圆外一点, P为椭圆上任一点, 则|PA|+|PF1|的最大值为2a+|AF2|, 最小值为|AF1|.
例3 A (1, 1) , F1, F2为椭圆的左、右焦点, 点P是椭圆上任意一点, 求的最小值.
分析 因离心率, 点A (1, 1) 在椭圆的内部, 欲求的最小值, 由椭圆的第二定义, 可把转化为P到椭圆的左准线的距离d.
解设椭圆的左准线为l, l的方程为, 由A作AN⊥l于N, AN交椭圆于P, 因为是P到相应准线的距离, 显然|P'A|+|P'N|>|PA|+|PN|, 所以的最小值为.
结论3 设椭圆的左、右焦点分别为F1 (-c, 0) , F2 (c, 0) , A (x0, y0) 为椭圆内一点, P为椭圆上任一点, 则的最小值为点A到此椭圆左准线的距离即为
二、二次函数法
例4已知点A (m, 0) , 椭圆点P在椭圆上移动, 求|PA|的最小值.
结论4 椭圆上的点P (x, y) 到定点A (m, 0) 或 (0, n) 距离的最值问题, 可以用两点间距离公式表示|PA|2, 通过动点在椭圆上, 消去y或x, 转化为二次函数求最值, 但要注意自变量的取值范围, 若函数中含参数时要注意其讨论的完备性.
三、三角换元法
例5 已知点P (x, y) 在椭圆上, 则求点P到直线l:3x-2y-16=0的距离d的最大值和最小值.
分析 若按例4那样将d转化为x或y的函数就太繁琐了, 为了统一变量, 减少未知数的个数, 利用椭圆的参数方程即三角换元, 就简单多了.
结论5 若点P (x, y) 在椭圆上, 则求点P到直线ax+by+c=0的距离d的最大值和最小值问题时, 可通过椭圆的参数方程、三角换元, 利用三角函数的知识求解.
四、判别式法
下面再看例5, 可把直线3x-2y-16=0平移使其与椭圆相切, 有两种情况, 一种情况可求最小值, 另一种情况可求最大值.
解令直线m:3x-2y+c=0, 将代入椭圆方程整理得16x2+6cx+c2-28=0, 由Δ=0, 即 (6c) 2-416 (c2-28) =0, 解得c=±8.
当c=-8时, 直线m:3x-2y-8=0与椭圆切于点P1, 则P1到直线l的距离为最小值, 也就是两平行线m与l的距离, 所以
当c=8时, 直线m:3x-2y+8=0与椭圆切于点P2, 则点P2到直线l的距离为最大值, 也就是两平行线m与l的距离, 所以
注:有些题目可以用多种不同的方法去求解, 我们要善于发现其最优解法, 以便减少失误, 提高解题速度.
结论6 椭圆上的动点到定直线l:ax+by+c=0距离的最值问题, 可转化为与直线l平行的直线m与椭圆相切的问题, 利用判别式求出直线m方程, 再利用平行线间的距离公式求出最值.
五、不等式法
例6 如图, 已知椭圆直线l过点A (-a, 0) , B (a, ta) (t>0) 交椭圆于M, 直线OM交椭圆于N, t∈[1, 2], a为定值, 求△AMN的面积S的最大值.
解直线l的方程为:
当a>2时, 在[1, 2]上是增函数, 因而S是减函数, 故t=1时,
结论7 椭圆中关于三角形或四边形的面积问题, 可先利用图形的面积公式求得面积函数, 然后利用不等式或函数的有关知识去求解.
浅谈高职数学中的最值问题 第10篇
1. 代数法
这个方法当中包含了四种具体的解决模式: ( 1) 配方法: 对于二次函数或者是能够转化为二次函数的求最值问题来说,配方法是一个简单有效的解决方法; ( 2) 判别式法: 对于函数当中最值问题的求解,有的时候可以从方程的角度来进行解答,这种思维方法就是判别式法; ( 3) 换元法: 利用给出的问题条件,用换元的方式将函数当中的一些变量消除,使问题从复杂变得简单化以便最值的求解. 在函数最值求解当中,最经常使用的换元法主要是代数换元法以及三角换元法; ( 4) 不等式法: 在进行函数最值求解的过程当中,基本不等式是相当重要的解题工具之一,要将一些给定约束条件的函数最值问题解决只要对不等式灵活的运用,效率能够极大的提升.
2. 向量法
在现代数学当中,向量是相当重要的工具之一,对于向量a和b,存在着一条不等式,a和b的内积小于或等于它们各自的模之积,即: a·b≤| a| | b| ,有时候利用向量的这个特性来进行函数最值的解答,会有快捷明显的效果.
3. 参变数法
在进行多元函数最值求解的过程当中,我们经常会将其中的一个或者是几个变量在局部固定之下看成是常数,然后再研究其他变量的变化情况,通过局部固定来进行对函数取值的判断,然后对其他的变量再慢慢进行固定观察.
4. 数形结合法
在数学中,一个极为重要的思想方法就是数形结合法. 将函数的几何意义罗列出来,然后再结合几何的背景,将代数的问题转变为几何问题,这样的方法可以让函数最值解决变得更加的直观简便.
5. 求导法
导数是高职数学当中的一个重要内容,利用求导法可以较为方便地解决函数的最值问题,应用高等数学的知识来对这种初等问题进行求解,对于解决高次函数的最值问题有一定的效果.
例5已知函数y = x5- 5x4+ 5x3+ 1,求该函数在[- 1,2]上的最值.
从上面的方法我们可以知道,函数最值的问题有着非常丰富的内涵和解法,特别是解法要根据不同的情况而灵活的运用,并没有固定的模式来进行函数最值的解答. 当然,求解最值问题的方法远远不止这些,例如,还有复合函数法,反函数法、单调性法等,这里只是对求最值问题的方法作一个部分的归纳. 对一个问题而言,有时需要几种方法并用,或者一个问题有多种解决方法,关键还是要具体问题具体分析,具体处理.
二、求解函数最值时要注意的问题
1. 注意定义域
在进行最值问题的求解时,计算的过程当中要时刻注意定义域是不是发生了改变. 在开始进行解题的时候我们要先对函数的定义域有所确定,而在解题的过程当中又要在变形时注意定义域是不是有改变,如果出现了新的变量要对变量的取值范围先进行确定,解题结束的时候要对求出来的函数取得最值相对应的自变量是不是在定义域当中进行检验. 为了能够更加直观的对这个问题有所了解,下面的这个例子给出错解和正解两种解题方法.
在这个解题的过程当中,因为两边的平方还有分母同时去掉之后直接的导致了函数的定义域得到扩大,这也是答案错误的主要原因.
2. 注意值域
对于函数的最值求解过程不仅是要对几种基本的初等函数值域熟悉,而且在解题的过程当中,要对函数取值范围的变化有密切的关注.
分析: 如果我们将y = 1代入上述的等式当中,那么等式中的x是解不出答案的. 所以我们能够知道y = 1并不在函数的值域之内. 事实上从上面的等式当中我们能够得出
知道了y∈[- 2,1) ,所以y只有最小值 - 2,而没有最大值.
在这里我们可以发现,用判别式法求函数的最值过程时,如果稍不注意就会将取值范围扩大,从而影响结果.
3. 区间上二次函数的最值问题
动二次函数在定区间上的最值: 在二次函数当中,它是随着参数的变化而相应的产生变化的,也就是说它所表现出来的图象是运动,但是它在所在的区间确实固定的. 这样的情况,我们一般称之为动二次函数在定区间上的最值. 在这一类的问题当中,参数如果是出现在开口,就要对开口向上以及开口向下这两种情况分别的进行讨论[3]. 参数如果出现在对称轴上,就要对区间是存在于对称轴的左侧、右侧还有中间这三种情况进行讨论,在比较特殊的时候,如对称轴在区间的中间,那么就要分两种情况进行讨论即对称轴是在靠近左端点还是靠近右端点这两种情况分析.
定二次函数在动区间上的最值: 二次函数当中,包含有参数而且所给的区间是变化的,这种情况我们称之为定二次函数在动区间上的最值. 如果二次函数是在闭区间上,那么它的最值只有可能存在于区间的端点或者是顶点处,而且最好还要对求出来的参数值进行验证以保证不会出现差错.
侧面展开图的最值问题 第11篇
一、与路径有关的最值问题
例1在圆柱形的玻璃杯外侧面，有一只蚂蚁要从[A]点到杯内侧面的[B]点去吃食物. 已知[A]点沿母线到杯口[C]的距离是5cm，[B]点沿母线到杯口[D]的距离是3cm，而[C、D]两点之间的杯口弧长是6cm，如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走？最短路线长是多少？
解析化曲为直，设想把杯子沿侧壁展开，由于蚂蚁得先爬至杯口，再翻过杯沿折向食物[B]，所以问题转化为在线段[CD]上求一点[M]，使[AM+MB]为最小. 可先作[B]关于直线[CD]的对称点[E]，连接[AE]交[CD与M]，这时蚂蚁先沿[AM]爬至杯口[M]点，在翻过杯沿，沿[MB至B]点，路程最短. 显然，[AM+MB=AE]，容易求得[AE=10cm，]即蚂蚁爬行的最短路程是10cm.
点拨 几何体表面行走的最短路径问题，常常通过表面展开图，利用平面内两点之间线段最短求最值.
例2在三棱柱[ABC]—[A1B1C1]中，各个侧面都是矩形，[E]、[F]分别为[AA1]、[C1B1]的中点，[AB=BC=2]，[BB1=2]，[∠ABC=90∘]，沿棱柱的表面从[E]到[F]两点间的最短路径的长度是多少?
解析[∵][AB=BC=2]，[∠ABC=90∘]，
[∴AC=2]，所以侧面展开后如图1所示，
[A1E=12AA1=1]，[A1F=A1B1+B1F=322]，
所以[EF=A1E2+A1F2=222]．
[图1][图2][图3]
若把△[A1B1C1]与面[A1B1BA]展开如图2所示，
连接[EF]，过[E]作[EM⊥B1B]于[M]点，则[EM=AB=2]，[FM=1+22]，所以[EF=72+2.]
若把△[A1B1C1]与面[A1ACC1]展开如图3所示，连接[EF]，过[E]作[EM⊥C1C]于[M]点，作[FD⊥EM]于[D]点，则[ED=32]，[FD=32]，所以[EF=322,]
[∴]从[E]到[F]两点间的最短路径的长度是[322]．
点拨 例2是例1的简单变形题，先需要把每一种展开方式找到，然后再通过表面展开图，利用平面内两点之间线段最短求最值.
二、与线段长有关的最值问题
例3已知三棱锥[V-ABC]的三条侧棱两两成[40°]角，每条侧棱长都为[23]，[E、F]分别为[VB、VC]上的点，求[△AEF]的周长的最小值．
解析 先将三棱锥沿侧棱[VA]剪开，平铺得到侧面展开图，如图，则[AA1]为所求[△AEF]的周长最小值，取[AA1]的中点[D]，连接[VD]，则[VD⊥AA1]，[∠AVD=60°]，在Rt△[VAD]中[AD=VA⋅sin60°][=3]，[∴AA1=2AD=6]，即[△AEF]周长最小值为6.
点拨 将棱锥展成平面图形，是将空间问题化归到平面问题的一种重要思想方法，运用这一方法可以解决截面周长最小问题，棱锥侧面积等与平面图形相关的问题.
变式探索: 如图，在三棱柱[ABC]—[A1B1C1]中，每个侧面都是矩形，底面为直角三角形，[∠ACB=90∘]，[AC=6]，[BC=CC1=2]，[P]是[BC1]上一动点，求[CP+PA1]的最小值.
解析化“折”为直，将△[BCC1]沿[BC1]线折到面[A1C1B]上，连接[A1C]，则此时[A1C]即为[CP+PA1]的最小值，将图形展开后由题意可以得到[∠A1C1B=90∘,][∵∠BC1C=45∘∴∠A1C1C=135∘]，如图，由余弦定理可得[A1C=52]，即[CP+PA1]的最小值为[52].
点拨 求有公共点的线段之和的最小时，可以将这两条线段转化到同一平面，利用三点共线时和最小来解决最值问题.
三、与面积有关的最值问题
例4 用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品完全包住，不得将纸撕开，则所用纸的最小面积是多少?
分析 类比日常生活中的包装盒，可以先把正方体的表面展开成平面图形，再把平面图形尽可能的凑成面积最小的正方形，如图所示，选用一边长为[22]的正方形纸，其面积是8.
点拨本题是在表面积一定的情况下来选择包装纸，既要满足够用，同时也要满足剩余多，所以一定要尽可能的凑成面积最小的正方形.
例5 若一个圆锥的侧面展开图是一个周长为2cm的扇形，则此圆锥侧面积的最大值是多少？
解析 设侧面展开图的半径为[R]，则弧长为[2-2R]，侧面积为[S]，那么
[S=12(2-2R)R]=[(1-R)R]=[-R2+R]
=[-(R2-R+14)]+[14]
=[-(R-12)2+14,]
[∴]当[R]=[12]时，[S]有最大值[14.]
点拨建立函数法是侧面展开图的一种常用方法，很多情况下，我们都是将这类问题转化为目标函数，最终利用代数方法来求目标函数的最值.
四、与体积有关的最值问题
例6 能否将宽为2、长为6.1的长方形钢板中四个角各截去一个边长为[x]的小正方形（如图所示），然后折成一个无盖的长方体盒子使其体积为4？
解析若能符合题意，则可得方程
[x(6.1-2x)(2-2x)=4]，
即[x(3.05-x)(1-x)=1(0＜x＜1).]
令[x=sin2θ]，原式可化为
[sin2θcos2θ(3.05-sin2θ)=1]，
即[(1-cos4θ)(5.1+cos2θ)=16.]
又[∵][0≤1-cos4θ≤2,4.1≤5.1+cos2θ≤6.1,]
所以[0≤(1-cos4θ)(5.1+cos2θ)＜16]，
故方程[4=x(6.1-2x)(2-2x)]无解.
因此，不能将长方形钢板中四个角各截去一个边长为[x]的小正方形，折成一个无盖的盒子使其体积为4.
点拨本题采用的是建立函数法，函数最值问题解题途径很多，这里选用的是换元法，在使用换元法时一定要注意所换元的范围.
例7有一块半径为[a]的圆形铁皮，将它卷成一个无底的圆锥形容器，怎样裁剪，做出的容器容积最大？
解析 圆锥侧面展开图是扇形，因此，需将这块圆形铁皮剪成一个扇形，可以以圆形铁皮的圆心为扇形顶点剪去一个小扇形，接下来的问题可以转化成剪去多大一块小扇形，可以使卷成的圆锥形容器容积最大.
设剪去的小扇形的圆心角为[θ]，卷成的圆锥形容器底面半径为[r]，则高为[a2-r2]，另设容积为[V]，则
[V]=[13πr2a2-r2]=[13πr2⋅r2(a2-r2)]
=[13π12r2⋅r2(2a2-2r2)]
≤[13π12[r2+r2+(2a2-2r2)3]3]=[2327πa3]，
当且仅当[r2=2a2-2r2]，即[r]=[63][a]时取等号，
[∴][Vmax]=[2327πa3]，
此时[2π-θ]=[2πra=263π]，
∴[θ=2π-][263π]≈66°.
即剪去一个圆心角约为66°的扇形后卷成的圆锥形容器容积最大，最大容积为[2327π a3].
点拨解不等式是求最值问题的常用方法，在立体几何中同样也可以利用不等式的性质和一些变量的特殊关系来求解，如[a2+b2]≥[2ab]等，这里所采用的是基本不等式推广形式的变形.
[【练习】]
1. 圆台的上底半径为2cm，下底的半径为4cm，母线长为6cm，求轴截面相对顶点在圆台侧面上的最短距离.
2. 已知三棱锥[S]—[ABC]的侧棱长都为[a]，各侧面的顶角为[30°]，[D]为侧棱[SC]的中点，[E]、[F]分别在侧棱[SA]和[SB]上，当△[DEF]周长最小时，求截得的三棱锥[S]—[DEF]的侧面积
3. 已知三棱柱[ABC-A1B1C1]的各个侧面都是矩形，各棱长均为2，[M]为[AA1]的中点，[N]为[BC]的中点，则在棱柱表面上从点[M]到点[N]的最短距离是多少？
4.圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线[AB=18]，从[AB]的中点[M]拉一条绳子绕圆台侧面转到[A]点.
（1）求绳子的最短长度.
（2）求绳子最短时上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
5.一个三棱锥[A-BCD]，底面边长均为[a]，侧棱长均为[2a]，过[B]作一个与侧棱[AC，AD]相交的截面，求截面三角形周长的最小值.
6.圆柱轴截面的周长[L]为定值，求圆柱侧面积的最大值.
[【参考答案】]
1. [63cm]2. [a28]3. [4+3]
4. （1）21（2）[603-427]
动点中的最值问题 第12篇
关键词：动点,最值
初中数学的动点问题是学生学习的难点, 但动点问题大多是中考必考点, 体现数学的区分度. 笔者从三方面去探究初中的动点问题, 达到最值问题的解决. 动点与定点的关系:一个动点在定直线上运动与两个定点, 一个定点与定直线, 一个定点与两条定直线最值问题.
一、一个动点在定直线上运动与两个定点
例1两个村庄甲 (图中E点) 、乙 (图中D点 ) 在一条小河 (图中AB所在的直线代表小河) 的同侧, 如图1, 要在小河边建一座水泵站, 向甲、乙两村庄供水, 为使到两村庄铺的水管最短, 在小河边找出新修建水泵的位置. 请画图说明, 若甲、乙到小河岸边的距离EA, DB分别是300米、500米, 甲、乙两村庄的水平距离是600米, 求要铺水管多长.并求出的最小值.
分析将数学应用问题转化为数学模型的建立. 这是在一条定直线 (小河河岸AB所在的直线) 上找一点, 使到两个定点 (甲、乙两个村庄代表两个定点) 的距离最短. 以定直线为对称轴, 将定点中的一个 (如图中的D点) 作它的对称点移到对称轴的另一侧D′, 连接这两点ED′交AB于F点, 求出它的长度ED′即可.
二、一定点与一定直线
例2如图2, 在角平分线OJ上找一点H, 使到OD上一点C的距离最短, A是OD上的定点, 使HA+HC的距离最短.
分析因为角平分线所在的直线是它的对称轴, 则转化为一个定点在角的一边上, 在角平分线上和定点所在的直线上找两点, 使它们的和最短. 根据“从直线外一点向直线所作的线段中, 垂线段最短”的原理, 过定点A向角的另一边OE作垂线段AB, 再作B点的关于对称轴OJ的对称点C点, 交OD于C点, 连接HC, HA, 所以HC + HA为最短.
变式:OA = 50, ∠EOD = 45°, 求出HC+HA的长度.
三、一个定点与两条定直线
即一个定点在两条直线上, 找一点使路程的和最短.
例3如图3, 一位牧民从家中A要把马迁到牧场 (DE所在的直线) 去吃草, 再到河边FG所在的直线河岸去喝水, 再回到家中, 要使走的路径最短, 应怎样走?
分析这是一个定点与两条直线的最短问题, 先作定点A关于直线DE的对称点H, 再作A点关于河岸FG所在的直线的对称点I, 连接HI, 分别交DE, FG于B, C两点, B, C即为所求的最短点.
变式:如图4, ∠EOB = 45°, OP = 10, 求△PFG周长的最小值.
容器中的最值问题
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