二次函数实际应用教案

二次函数实际应用教案（精选9篇）

二次函数实际应用教案 第1篇

22.3 实际问题与二次函数（1）教学设计 教学目标

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题． 教学重点

求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值． 教学难点

将实际问题转化成二次函数问题． 教学过程

一、导入新课

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．从这节课开始，我们就共同解决这几个问题．

二、新课教学

问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．

然后让学生计算当t＝

1、t＝

2、t＝

3、t＝

4、t＝

5、t＝6时，h的值是多少？

再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．

教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题． 当t＝3时，h有最大值＝45．

答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．

问题2 如何求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？ 学生根据问题1归纳总结：当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．

三、巩固练习

探究1 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？ 教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值．

解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长（－l）m．场地的面积S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l（0＜l＜30）．

因此，当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225．也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大．

四、课堂小结

利用二次函数解决实际问题的过程是什么？

找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．

五、布置作业

习题22.3 第1、4题．

22.3.1实际问题与二次函数说课稿

教材分析

本节课中关键的问题就是如何使学生 把实际问题转化为数学问题，商品销售问题何时获得最大利润这正是我们研究的二次函数的范畴，二次函数化为顶点式后，很容易求出最大至于最小值，从而把数学知识运用于实践，即时否把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。学生分析

学生活泼好动有大但好奇好胜的特点，本节课对于学生之间的相互合作交流，共同探索，培养和提高学生全新的思维能力，探索规律的能力。设计理念 在探索规律的活动中，鼓励学生，提高教学质量，强化解决问题的意识，从而把更多的精力投入到现实的探索性，创造性的数学活动中去。教学目标 知识技能：

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2.通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。过程与方法：

1、通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学建模的思想。

2、通过对“矩形面积”的学习和探究，渗透转化及分类的数学思想方法。

3、通过对生活中实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题。情感态度价值观：

1、通过“二次函数的最大值“的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣。

2、体会到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。重点难点 重点：

让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法，会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值． 难点： 运用二次函数的知识解决实际问题。关键: 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数知识求出实际问题中最大（小）值，发展解决问题的能力。教学方法

在教师的指导下自主学习法 教学过程

1.创设情境，引入主题

[问题1] 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．

然后让学生计算当t＝

1、t＝

2、t＝

3、t＝

4、t＝

5、t＝6时，h的值是多少？

再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．

教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题． 当t＝3时，h有最大值＝45．

答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．

[问题2 ]如何求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？ 学生根据问题1归纳总结：当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．

2.[探究1]现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，（1）若矩形的长为10米，它的面积是多少？（2）若矩形的长为15米，20米，30米时，它的面积有多大？（3）从上两问，同学们发现了什么？教师提出问题，学生独立回答，通过几个简单的问题，让学生体会两个变量之间的关系 在活动中，教师应重点关注： 学生是否发现了两个变量。学生是否发现了矩形长的取值范围。通过矩形的面积的探究，激发学习欲望。自主阅读，合作交流

创设自主学习情景 教师引导学生分析与矩形面积有关的量，教 师要深入小组参与讨论。在活动中，教师应重点关注：(1）学生是否能准确的建立函数关系

（2）学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积。（3）学生是否能准确讨论出自变量的取值范围。通过这种设计，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考察问题的完善性。

小组评价，问题生成

(1)创设问题探究性情境有矩形面积问题，你有哪些收获？学生思考回答，师生共同归纳得到：（1）二次函数是现实生活中的模型，可以用来解决实际问题。(2)利用函数的观点来认识问题，解决问题。通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。综合问题，引发思考 归纳，总结

本节课你后哪些收获？有哪些新的问题？和同伴交流交流。教学反思

因此在本节课的设计上突出了引导学生观察、分析、思考、归纳、猜想、判断的过程，充分注意了让学生去经历初步用数学的思维方式进行观察、分析判断的体验过程。这一教学过程实质上是课程标准中要求我们达到的目标—不是培养学生“学新知识”而是去“生长知识”，也为培养学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的数学知识以及数学思想方法和应用技能，打下良好的基础。

通过教师创设情境，现易后难，将难点分化，学生在有趣的氛围中研究问题，通过自主主动参与，互相合作等活动，培养和提高了探索能力。

二次函数实际应用教案 第2篇

一、教学内容

用二次函数解决实际问题

二、教材分析

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，面积问题与最大利润学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座。目的在于让学生通过掌握求面积、利润最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积、利润最大、运动中的二次函数、综合应用三课时，本节是第一课时。

三、学情分析

对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

四、教学目标

1、知识与技能：

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。

2、过程与方法：

应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。

3、情感态度与价值观：

在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。

五、教学重难点

重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法．

难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题．

六、教学方法和手段

讲授法、练习法

七、学法指导

讲授指导

八、教学过程

（一）复习旧知

导入新课

1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y＝6x2＋12x；

(2)y＝－4x2＋8x－10 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?

有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。

（二）学习新知

1、应用二次函数的性质解决生活中的实际问题

出示例

1、要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，围成的矩形面积S最大? 解：设矩形的一边为Lm，则矩形的另一边为(30－L)m，由于L＞0，且30－L＞O，所以O＜L＜30。

围成的矩形面积S与L的函数关系式是

S＝L(30－L)

即S＝－L2＋30L(有学生自己完成，老师点评)

2、引导学生自学P23页例2

质疑 点评

3、练一练：（1）、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 请同学们完成解答；

教师巡视、指导；

师生共同完成解答过程：

解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。商品每天的利润y与x的函数关系式是：

y＝(10－x－8)(100＋1OOx)即y＝－1OOx2＋1OOx＋200

配方得y＝－100(x－12)2＋225 因为x＝12时，满足0≤x≤2。

所以当x＝12时，函数取得最大值，最大值y＝225。

所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大。

九、课堂小结

小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

(2)研究自变量的取值范围；

(3)研究所得的函数；

(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：

(5)解决提出的实际问题。

十、作业布置

P51第2题

十一、板书设计

22.3实际问题与二次函数

二次函数实际应用教案 第3篇

1.定义与定义表达式

一般地, 自变量x和因变量y之间存在如下关系:

为常数, a≠0, 且a决定函数的开口方向, a>0时, 开口方向向上, a<0时, 开口方向向下, |a|还可以决定开口大小, |a|越大开口就越小, |a|越小开口就越大。)

则称y为x的二次函数。

一般式:为常数, a≠0) [已知过三点的坐标时]

顶点式:[已知抛物线的顶点P (h, k) ]

交点式:[仅限于与x轴有交点和的抛物线]

3.二次函数的图像的性质

a.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线。

b.抛物线有一个顶点P, 坐标为。

c.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时, 抛物线向上开口;当a<0时, 抛物线向下开口。

|a|越大, 则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时 (即) , 对称轴在y轴左;

当a与b异号时 (即) , 对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于 (0, c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ>0时, 抛物线与x轴有2个交点。Δ=0时, 抛物线与x轴有1个交点。

Δ<0时, 抛物线与x轴没有交点。

7.二次函数与一元二次方程

特别地, 二次函数当y=0时, 二次函数为关于x的一元二次方程 (以下称方程) , 此时, 函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

二、理论联系实际

1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫, 每日最高产量为40只且每日产出的产品全部售出, 已知生产x只玩具熊猫的成本为R元, 售价每只为P (元) , 且R, P与x的关系式分别为R=500+30x, P=170-2x。

(1) 每日产量为多少时, 每日获得的利润为1750元?

(2) 每日产量为多少时, 可获得的最大利润?最大利润是多少?

解 (1) ;根据题意得

整理得,

∴x1=25, x2=45 (不合题意, 舍去) , 由题已知, 利润为,

∴当x=35时, 最大利润为1950。

答 (1) 当日产量为25只时, 利润为1950。

(2) 当日产量为35只时, 最大利润为1950。

2.改革开放以来, 某镇通过多种途径发展地方经济, 1995年该镇年国民生产总值为2亿元, 根据测算, 该镇国民生产总产值为5亿元时, 可达到小康水平。

(1) 若从1996年开始, 该镇国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元, 该镇通过几年可达到小康水平?

(2) 设以2001年为第一年, 该镇第x年的国民生产总值为y亿元, y与x之间的关系是该镇哪一年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番 (即达到1995年的年国民生产总值的4倍) ?

解: (1) 设该镇通过x年达到小康水平, 根据题意得2+0.6x=5

解得x=5

(2) 设第x年的年国民生产总值为2×4=8亿元,

∴解得x1=3 x2=-9 (不合题意舍去)

答: (1) 设该镇通过5年达到小康水平。

: (2) 2003年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番。

摘要：在中学二次函数是一种不可缺少的数学工具, 是初中数学的重点也是教学的难点, 是数学中数形思想的一个基础点。本文就其含义和实际的运用, 做了深入浅出、通俗易懂的分析与阐解。

二次函数的实际应用 第4篇

学习了二次函数的有关知识后，灵活应用这些知识，可以帮助我们解答一些生产、生活中的实际问题，现以2007年的部分中考题为例介绍，供同学们参考。

例1 (2007年烟台市)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件。

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次。

析解：(1)当生产第x档次的产品时，每件利润为[10+2(x-I)]元，每天产量为[76-4(x一1)]件。

因为每天总利润=每件利润×每天产量。

所以y=[10+2(x-1)][76-4(x一1)]

即有y=-8x²+128x+640

(2)要求产品的质量档次，只要求x的值即可

在y=-8x²+128x+640中

因为y=1080，

所以-8x²+128x+640=1080

整理．得X²16x+55=0

解之，x₁=5，X₂=11(不合题意，舍去)

所以当一天的总利润为1080元时，应生产第5档次的产品。

例2 (2007年佛山市)如下图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴．顶点E到坐标原点O的距离为6m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗?

(3)如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0．4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗?

析解：(1)设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，要求y关于x的解析式，应找到三组x和y的数值．

因为点E、点A、点D的坐标分别为(0，6)、(-4，2)、(4，2)，

(2)要判断高为4.5m，宽2.4m的货车能否从该隧道内通过，其实质在于确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于2.4m，若大于2.4m，就可以通过；否则，就不能通过。

所以货车可以通过。

(3)如果隧道内设双行道，且在隧道正中间没有O．4m的隔离带，那么要判断这辆货车是否可以顺利通过，只要确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于(2.4x2+0.4)m，即是否大于5.2m，若大于，就可以通过；否则，就不能通过。

所以如果隧道内设双行道，且在隧道正中间设有0.4m的隔离带．则这辆货车不能顺利通过。

例3(2007年贵阳市)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高l元，平均每天少销售3箱。

(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?

析解：(1)当每箱的销售价为x元时，它比每箱50元的价格提高(x-50)元，那么销售量将减少3(x-50)箱。

所以y=90-3(x-50)，

即有y=-3x+240，

(2)当每箱的销售价为x元时，每箱的销售利润为(x-40)元，每天的销售量为y箱，即(－3x+240)箱．

所以w=(x-40)(-3x+240)，

即有w=-3x²+360x-9600

(3)要问每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润，只要求出x为何值时w有最大值,为此，应把w与x的二次函数关系式进行配方变形。

因为w=-3x²+360x-9600

=－3(x-60)²+1200，

又，x≤55，且x<60时，w随x的增大而增大

所以当x=55时，w有最大值=-3x(55-60)²+1200=1125．

所以当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

练习

1．(2006年鄂尔多斯市)某产品每件成本10元，在试销阶段每件产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

x(元)

20 25

30 35

y(件)

30 25

20 15

(1)在草稿纸上描点，观察点的分布，确定y与x的函数关系式．

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

答案：(1)y=-x+50；(2)每件产品的销售价应定为30元，此时每日销售利润是400元。

2．(2007年青岛市)某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：

(1)求y与x的关系式；

(2)当x取何值时，y 的值最大?

(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售价不得高于90元／千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

二次函数实际应用教案 第5篇

1.教学目标

1.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决面积最大值问题；

2.能根据实际意义求出自变量的取值范围；

3.在探究二次函数的实际意义中学会分析问题，体会数学建模思想以及数学与生活的紧密联系性。

2.教学重点/难点

将实际问题转化为二次函数问题，并能用配方法或公式法求出顶点坐标。

3.教学用具 4.标签

教学过程

一、设计问题，创设情境

师：八年级我们学习了一次函数，同学们回顾一下：我们都是从哪些方面学习了一次函数？

学生回答

师：仿照一次函数的学习过程，我们已经学习了二次函数的定义、图像与性质。本节课我们将要学习实际问题与二次函数，在正式学习新课之前，大家做一做下面的问题：

出示问题1：用总长为40m的篱笆围成矩形场地，（1）怎样围成一个面积是75m²的矩形场地？（2）能否围成一个面积是150m²的矩形场地，若能说出围法；若不能，说明理由。学生独立完成，教师巡视指导，完成后，学生讲解做法，教师适当引导，若存在问题，其他学生补充。

（3）设矩形一边的长度为xm，面积为ym²，求矩形的最大面积。

师生活动：引导学生写出函数关系式，教师出示函数图像，学生结合图像求出矩形的最大面积。

追问：能否围成面积为130m²，80m²的矩形，你能马上判断出来吗？ 学生判断。

设计说明：学生在接触实际问题与二次函数之前，已经学习了实际问题与一元二次方程，从一元二次方程实际问题引入，学生比较容易接受，另一方面也让学生体会到一元二次方程与二次函数之间的联系。同时，通过解决此问题，能使学生初步了解运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤。

二、信息交流，例题讲解

在现实生活中，人们为了节省材料，常常借助墙作为花圃的一边，此时你能解决这个问题吗？

问题2：欲用长为60m的篱笆，围成一个矩形的花圃，花圃一面靠墙，怎样围才能使花圃的面积最大？最大面积是多少？

师生活动：１．学生尝试，教师巡视指导，若做题过程中存在困难，小组讨论； 2． 学生尝试解答题目，初步形成做题思路。如果存在不足或者错误的地方，其他同学给予补充或者改正，教师适当引导，如果展示学生没有错误但巡视过程中存在共性的错误，注意及时纠正；

3． 师生规范做题过程，教师板书过程。4． 学生修改完善做题。

教学预设：１．学生设AD的长度为xm； 2.学生设AB的长度为xm； 3.学生用公式法求顶点坐标；

4．学生用配方法求顶点坐标。

以上预设，无论出现哪种情况都应该给予学生肯定，并鼓励学生根据具体问题以及自己对知识的掌握情况，灵活选择。

设计说明：通过问题1（3），学生已经对该类问题有了大致的了解，首先让学生自己去做，一方面给了学生自主学习的机会，另一方面，学生通过做题可以意识到自己在做题过程中存在的问题。

三、变式演练，对比学习

师：在我们现实生活中，墙的长度不是无限的，如果我们限定墙长为20m，你如何围成面积最大的矩形？大家尝试一下。

师生活动：1.教师出示问题，学生尝试； 2.如果存在问题，小组内进行讨论； 3.师生分析解题过程。

设计说明：在求面积最大问题中，应该有两种情况：1.顶点取值在自变量的取值范围内；2.顶点取值不在自变量的取值范围内。通过追问，让学生接触第二种情况，并且对前一道题目进行改编，能形成很好的对比，一方面让学生认知到这两种情况，更一方面有利于学生在做题的过程中全面思考。

思考：通过这几道题目，大家思考一下，如何用二次函数求面积的最大值？ 师生活动：学生自己归纳，若存在问题，教师引导学生由具体例题出发，进行归纳，若不完善，其他同学进行补充。

设计说明：根据新课标要求，课堂不应该是单纯的教师教，学生学，学生通过自己进行归纳，不仅能进一步明确做题过程，而且相对于老师直接给出归纳，更有利于学生进行理解与掌握。

四、巩固训练，当堂检测

1.某地区要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 14m），如果用50m长的栅栏围成该养鸡场，设靠墙的栅栏长度为xm，则x的取值范围是。设计说明：本节课中，自变量的取值范围作为一个难点，好多同学考虑不全面，通过练习，进一步提高学生思考问题的全面性。

2.如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为18m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，请求出矩形花圃的最大面积。

设计说明：通过练习，让学生学会举一反三，进一步巩固本节课的学习内容，再次体会用二次函数相关的数学知识来解决实际问题，加深对二次函数的认识。

师生活动：

1.教师出示问题，学生独立完成。

2.学生根据问题答案小组内互批，交流，并改错。

设计说明:本环节放在小结前，起到练习，检测双用的效果，前面学生已经思考了用二次函数解决实际问题的一般过程，并且接触了相关内容。让学生带着相关知识独立完成，在巩固本节课知识的基础上，能够很好的检测学生在本节课的学习情况，同时采取小组内互批的形式，一方面及时纠正在学习中存在的问题，另一方面有利于学生在发现别人问题的同时提醒自己，加深学生对题目的理解。

四、反思小结，观点提炼

我的收获（知识，方法）； 我出现的错误 ； 我应注意 ；

设计说明：通过谈收获，使学生梳理本节所学知识，在梳理的过程中，找出自己出现的错误，并及时反思自己自己做题过程中应注意的问题，既能让学生很好的发现自己的不足，及时改正，也能通过在班内共交流，提醒其他学学习中容易出现的失误。

五、推荐作业，分层演练： 必做题：

1.课本51页第1题

2.用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子(墙长12m），求园子的最大面积是多少？

选做题：用一段长为40米的篱笆围成一边靠墙的草坪，墙长16米，当这个矩形的长和宽分别为多少时，草坪面积最大？最大面积为多少？

课外实践：寻找你身边与本节课相关的问题,自编一题,组内交流.。

设计说明：作业分为必做题与选做题。既保证所有的学生在学习过程中有的吃，也保证了学有余力的同学吃的饱。必做题中，1.巩固求顶点坐标；2.继续巩固加强本节课的练习。

本节课作为实际问题与二次函数的初始课，考虑到学生们的学习能力与接受能力，并没有过多设计到顶点不在取值范围内的提醒，因此在作业中设计为选做题，让学有余力的学生巩固此类问题，也为以后学习做铺垫。课外实践活动题，充分让学生体会数学与生活息息相关，同时，通过组内互相交流，进一步巩固本节课所学知识。

二次函数的应用教案 第6篇

教学目标

知

识

与

技

能

通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。过

程

与

方

法

通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。情感、态度与价值观

通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。

教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求面积最值问题

教学难点：(1)正确构建数学模型

(2)对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用

一、复习引入

1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标、对称轴和最值。

2、（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。

（2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

3、抛物线在何位置取最值？

二、新课讲授

1、讲解例题教师提出问题，引导学生观察思考，学生独立研究解决方案、展示

师生共同分析解决问题，引导学生讨论、交流、归纳，深入参与讨论，重点关注是否准确建立函数关系及讨论自变量取值范围 汇报、展示

师生共同小结并反思，加深理解

2、归纳总结复习提问让学生回忆二次函数图象、顶点与最值，求最值方法；实际问题中，提醒学生注意求解函数问题不能离开自变量取值范围这个条件的制约才有意义，做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在顶点和两个端点之间选择，为学习新课做好知识铺垫。

例题及练习的设计是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从学生身边较熟悉的事情

入手，让学生初步体会数学不能脱离生活实际，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，从而提炼出解题方法。让学生对自变量的意义有更深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。

小结过程中让学生体会到数学思想与方法。

三、练习

二次函数实际应用教案 第7篇

一、教学目标

1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．

二、课时安排 1课时

三、教学重点

掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．

四、教学难点

运用二次函数的知识解决实际问题．

五、教学过程

（一）导入新课

引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：

（二）讲授新课 活动1：小组合作

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？

(2)设矩形的面积为ym,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?

2解：1设ADbm,易得b3x30.4 332yxbx(x30)x230x4432x20300.4b4acb2或用公式:当x20时,y最大值300.2a4a活动2：探究归纳

先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲

例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?

解：由4y7xx15.得y157xx.4x2157xxx2

窗户面积S2xy2x()2427157152x2x (x)22214225

.56b154acb2225 当x1.07时,s最大值4.02.2a144a56即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m.（四）归纳小结

“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测

1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm．

2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．

23．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．

（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？

（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？

4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y 12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m

5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．

（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．

【答案】 1.12.5 2.根据题意可得：等腰三角形的直角边为2xm矩形的一边长是2xm,其邻边长为20422x21022x,

1所以该金属框围成的面积S2x1022x2x2x

2 10当x30202时,金属框围成的图形面积最大.322此时矩形的一边长为2x60402m,另一边长为10221032210210m.

S最大3002002m2.3.解;（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意 得：4x＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理得x－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则

y＝30[4x＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x－3 600x＋240 000，配方得 y＝80（x－22．5）＋199 500，当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元． 4.⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED，22222∴BFBEy8x, ∴ CECDxm8xx2即y

m

8xx212,化成顶点式: yx42 ⑵当m=8时，y888xx12（3）由y，及y得关于x的方程: mmx28x120，得x12，x26

∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED，∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5.解：（1）依题意得：y=(40-2x)x． ∴y=-2x+40x．

x的取值范围是0< x <20．

（2）当y=210时，由（1）可得，-2x+40x=210． 即x-20x+105=0．

∵ a=1，b=-20，c=105，∴(20)2411050，∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米． 六．板书设计

2.4.1二次函数的应用 2

2探究： 例题:

“最大面积” 问题解决的基本思路： 1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.七、作业布置 课本P47练习练习册相关练习

二次函数实际应用教案 第8篇

解设每件涨价x元, 每星期售出商品的利润为y元.

根据题意得,

y= (60+x) (300-10x) -40 (300-10x) = (20+x) (300-10x) (0x30) .

当y=0时, 20+x=0, 300-10x=0,

x1=-20, x2=30.

∵a=-10<0,

ymax= (20+5) (300-105) =6250.

答:定价65元利润最大, 最大利润是6250元.

那么, 什么形式的二次函数用这种方法求解简单呢?

形如:y= (mx+n) (px+q) , (mp≠0) ,

当y=0时, mx+n=0, px+q=0,

∵mp≠0, ∴m≠0, p≠0.

时, y有最值.它的计算方法是只要把对称轴x的值代入即可.

试着做下面的几道中考题

1. 种植能手小李的实验田可种植A种作物或B种作物 (A, B两种作物不能同时种植) , 原来的种植情况如表.

通过参加农业科技培训, 小李提高了种植技术.现准备在原有的基础上增种, 以提高总产量.但根据科学种植的经验, 每增种1棵A种或B种作物, 都会导致单棵作物平均产量减少0.2千克, 而且每种作物的增种数量都不能超过原有数量的80%.设A种作物增种m棵, 总产量为yA千克;B种作物增种n棵, 总产量为yB千克.

(1) A种作物增种m棵后, 单棵平均产量为__千克;B种作物增种n棵后, 单棵平均产量为__千克;

(2) 求yA与m之间的函数关系式及yB与n之间的函数关系式;

(3) 求提高种植技术后, 小李增种何种作物可获得最大总产量?最大总产量是多少千克?

解 (1) (30-0.2m) ; (26-0.2n) .

(2) yA= (50+m) (30-0.2m) , 即yA=-0.2m2+20m+1500yB= (60+n) (26-0.2n) , 即yB=-0.2n2+14n+1560.

(3) 由 (2) 得y=0时, m1=-50, m2=150.

∵-0.2<0, ∴当m=时, yA有最大值, 但m5080%, 即m40.

∴当m=40时, yA的最大值为1980.

∵-0.2<0, ∴当n=35时, yB有最大值, 并且n6080%, 即n48.

∴当n=35时, yB的最大值为1805.

又∵1980>1805,

∴小李增种A种作物可获得最大产量, 最大产量是1980千克.

2.

某商品的进价为每件40元, 售价为每件50元, 每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元, 则每个月少卖10件 (每件售价不能高于65元) .设每件商品的售价上涨x元 (x为正整数) , 每个月的销售利润为y元.

(1) 求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;

(2) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

(3) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月的利润恰为2200元?根据以上结论, 请你直接写出售价在什么范围时, 每个月的利润不低于2200元?

解 (1) y= (210-10x) (50+x-40) , 或y=-10x2+110x+2100 (0

(2) y=0时, x1=21, x2=-10.

∵a=-10<0, ∴当时, y有最大值2402.5.

∵0

当x=5时, 50+x=55, y=2400 (元) , 当x=6时, 50+x=56, y=2400 (元) .

∴当售价定为每件55元或56元时, 每个月的利润最大, 最大的月利润是2400元.

(3) 当y=2200时, -10x2+110x+2100=2200,

解得x1=1, x2=10.

∴当x=1时, 50+x=51, 当x=10时, 50+x=60.

∴当售价定为每件51元或60元时, 每个月的利润为2200元.

当售价为51元或60元时, 每个月的利润为2200元.

二次函数实际应用教案 第9篇

【关键词】二次函数；实际问题；最大（小）值

应用数学思想来解决生活中的实际问题是学习数学的目的所在，而建立适当的数学模型来解决实际问题是生活中常用的手段。在现实生活中，我们往往会遇到一些复杂的实际问题，而这些实际问题所涉及的背景材料十分广泛，包括社会、人文、科技、生活、生产等方面，有时很难抓住要领，不易直接用函数知识去观察、分析、概括所给的实际问题。若将其转化为数学问题并建立数学模型，则问题就容易解决了。

在函数中二次函数是解决实际问题的一个重要数学模型，利用二次函数的图像和性质求函数的最大（小）值。此类题是各地中考的重难点，并经常作为压轴题出现。在生活中我们经常会遇到利用二次函数求最大值或最小值的问题，例如下面的问题：

例1.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型产品在第x天销售的相关信息如下表所示。

销售量p（件） P=50-x

销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q=30+；

当21≤x≤40时，q=20+

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式。

（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

分析：这是一道分段求函数的最大值的问题，学生在解题时往往考虑不全，把21≤x≤40这段函数的问题遗漏，只求1≤x≤20这段函数的问题及最大值。所以在教学时，教师一定要强调自变量的取值范围及分段后的函数的增减性。

解：（1）当1≤x≤20时，令30+=35，得x=10.

当21≤x≤40时，令20+=35，得x=35.

即第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件

（2）当1≤x≤20时，y=（30+-20）（50-x）=-2+15x+500；

当21≤x≤40时，y=（20+-20）（50-x）=-525.

所以

当1≤x≤20时，

因为，所以当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5

当21≤x≤40时，因为26250>0

所以随着x的增大而减小，所以当x=21时，最大。

于是，当x=21时，y=-525有最大值y2，且y2=-525=725

因为y1

所以这40天中第21天时该网店获得的利润最大，最大利润为725元。

例2.某汽车租赁公司拥有20辆汽车，据统计，当每辆汽车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆汽车的日租金每增加50元，为租出的汽车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元，设公司每日租出x辆汽车时，日收益为y元。（日收益=日租金收入-平均各日各项支出）

（1）公司每日租出x辆汽车时，每辆汽车的日租金为______元（用含x的代数式表示）

（2） 当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大？最大是多少？

（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

分析：（1）未租出的汽车有（20-x）辆，每辆汽车的日租金在400元的基础上增加了50（20-x）元，所以每辆汽车的日租金为400+50（20-x）=（1400-50x）元

（2）根据日收益=日租金收入-平均每日各项支出，建立二次函数模型求解。

（3）日收益不盈也不亏即日收益为0，建立方程求解

解：（1）（1400-50x）

（2）y=x（-50x+1400）-4800

=-50x2+1400x-4800

=-50（x-14）2+5000

当x=14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000。

所以当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元

（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y=0。

所以-50（x-14）2+5000=0解得x1=24，x2=4。

因为x=24不合题意，舍去。

所以当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏。

例3.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，

（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数解析式；

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与售价x（元/箱）之间的函数解析式

（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润为多少？

分析：（1）在每箱50元的基础上销售，当售价为x元时，则每箱提价（x-50）元；（2）利润=（售价-进价）×箱数

解：（1）y=90-3（x-50），即y=-3x+240（50≤x≤55）

（2）w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600.（50≤x≤55）

（3）W=3x2+360x-9600

因为a<0，所以抛物线开口向下，当x==60时，w有最大值，又x<60，w随x的增大而增大，所以当x=55时，w有最大值为1125

所以当每箱苹果售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

注意：求最大值时，要注意自变量的取值范围及自变量的实际意义。

解答这类应用题的基本方法是设法把关于最大（小）值的实际问题转化为二次函数的最大（小）值问题，然后按求二次函数的最大（小）值的方法求解，其基本思路是：

（1）理解问题的题意；

（2）分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

（3）用数学方法表示它们之间的关系，用二次函数解析式表示实际问题中常量与变量之间的关系；

（4）将得到的二次函数通过配方化为y=a（x-h）?+k的形式，求出顶点坐标得出最大值或最小值；

（5）检验结果的合理性，判断是否符合实际要求。