IIR数字滤波器

IIR数字滤波器（精选8篇）

IIR数字滤波器 第1篇

1 利用模拟滤波器来设计IIR带通滤波器的步骤

1) 按照一定的变换将给出的数字滤波器的指标转换为模拟带通滤波器的技术指标。

2) 根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器G1 (s) (G1 (s) 是低通滤波器的传递函数) 。

3) 将模拟低通滤波器G1 (s) 转换成模拟带通滤波器G2 (s)

4) 再按照一定的变换规则将G2 (s) 转换成数字带通滤波器的传递函数。

2 基于MATLAB设计IIR带通滤波器的步骤

设计带通数字滤波器的方法可以归纳为如图所示的方法如图1所示。

首先设计一个模拟原型低通滤波器, 然后通过频率变换成所需要的模拟带通滤波器, 最后再使用双线性变换成相应的数字带通滤波器。

设计先构造巴特沃斯、切比雪夫I和椭圆模拟低通滤波器, 然后将模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器, 最后利用双线性变换将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器。

在MATLAB下设计IIR滤波器可使用巴特沃斯函数设计出巴特沃斯滤波器, 使用Cheby1函数设计出契比雪夫I型滤波器, 使用ellipord设计椭圆滤波器。IIR滤波器设计时的阶数不是由设计者所决定, 而是根据设计者输入的各个滤波器参数由软件设计出满足这些参数的最低滤波器阶数。IIR滤波器要知道通带上下限截止频率、阻带上下限截止频率、通带纹波和阻带纹波, 从而确定滤波器的阶数N。

1) 确定数字滤波器的性能指标:通带段上限截止频率为8Hz, 通带段下限截止频率为4Hz, 通带纹波为3d B, 下限截止频率为3Hz, 上限截止频率为9Hz, 阻带衰减为15d B。

2) 转换成模拟滤波器的指标:由模拟角频率和数字角频率的对应关系确定模拟滤波器的带上下限截止频率p、阻带上下限截止频率s、通带纹波p和阻带纹波s。

3) 巴特沃斯滤波器

巴特沃斯低通滤波器可用如下振幅的平方对频率的公式表示:

根据指标可以得到

根据模拟滤波器的指标可以得出波特沃斯滤波器的阶数和3d B频率。

同样可以求出契比雪夫I型滤波器和椭圆滤波器的阶数和3d B频率并以此得到模拟滤波器的系统函数

4) 利用双线性变换法将模拟滤波器映射成数字滤波器。

冲激响应不变法会产生频谱混淆, 是由于S平面到Z平面的多值对应关系造成的。所以采用双线性换法来将模拟滤波器映射成数字滤波器, 双线性变换法是S平面与Z平面一单值对应关系, S平面的虚轴对应于Z平面单位圆的一周。

采用非线性频率压缩方法, 将整个频率轴上的频率范围压缩到横带之间, 通过标准变换关系再变换到整个Z平面。这样就消除了多值变换性, 也就消除了频谱混淆, 映射关系如图2。

从频率响应出发, 直接用数字滤波器的频率响应去逼近模拟滤波器的频率响应, 进而求得H (z) 。其单值映射映射函数为:

在MATLAB中, 可以直接调用函数来获得数字滤波器的频率响应, 由此可得到数字滤波器的频率响应H (z) 。

双线性变换法在运用过程中虽然没有产生频谱混淆的影响, 但是模拟滤波器和数字滤波器在频率关系上发生了畸变, 即造成了相位的非线性化, 这也成为双线性变换法的主要不足之处。双线性变换法除了不用应用于线性相位滤波器设计, 是设计各类IIR滤波器的主要方法。

3 MATLAB中IIR数字滤波器设计结果

根据上述的设计步骤, 可以设计出预定预定指标为通带段上限截止频率为8Hz, 通带段下限截止频率为4Hz, 通带纹波为3d B, 下限截止频率为3Hz, 上限截止频率为9Hz, 阻带衰减为15d B的数字带通滤波器。

4 结论

本文以IIR数字带通滤波器为例, 详细介绍了基于MATLAB设计数字滤波器。通过MATLAB仿真, 结合本文所介绍的方法, 可以有效地设计出各类IIR数字滤波器。

参考文献

[1]王振宇, 张培珍.数字信号处理[M].北京:北京大学出版社, 2010:149-221.

[2]程佩青.数字信号处理[M].北京:清华大学出版社, 2007.

[3]余成波, 陶红艳.数字信号处理及MATLAB实现[M].北京:清华大学出版社, 2008.

IIR数字滤波器 第2篇

一、实验目的

1、熟悉用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理与方法

2、掌握数字滤波器的计算机仿真方法

3、通过观察对实际心电图信号的滤波作用获得数字滤波的感性知识。

二、实验内容及原理

1、用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通IIR数字滤波器。设计指标参数为在通带内截止频率低于0.2时最大衰减小于1dB在阻带内0.3频率区间上最小衰减大于15dB。

2、以0.02为采样间隔打印出数字滤波器在频率区间0/2上的幅频响应特性曲线。

3、用所设计的滤波器对实际心电图信号采样序列进行仿真滤波处理并分别打印出滤波前后的心电图信号波形图观察总结滤波作用与效果。教材例中已求出满足本实验要求的数字滤波系统函数 31kkzHzH 3211212121kzCzBzzAzHkkk 式中 A0.09036 2155.09044.03583.00106.17051.02686.1332211CBCBCB

三、实验结果 心电图信号采样序列 0510***0455055-100-50050nxn心电图信号采样序列xn 用双线性变换法设计IIR数字滤波器一级滤波后的心电图信号 0102030405060-100-80-60-40-2002040ny1n一级滤波后的心电图信号 二级滤波后的心电图信号 0102030405060-100-80-60-40-2002040ny2n二级滤波后的心电图信号 三级滤波后的心电图信号 0102030405060-80-60-40-2002040ny3n三级滤波后的心电图信号 用双线性变换法设计IIR数

验字滤波器滤代波器的幅频响应曲线 码 00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5-50-40-30-20-10010w/pi20lgHjw滤波器的幅频响应曲线

四、实x-4-20-4-6-4-2-4-6-6-4-4-6-6-261280-16-38-60-84-90-66-32-4-2-***00-2-4000-2-200-2-2-2-20 n0:55 subplot111 stemnx.axis0 55-100 50 xlabeln ylabelxn title心电图信号采样序列xn N56 A0.09036 20.09036 0.09036 B1-1.2686 0.7051 B11-1.0106 0.3583 B21-0.9044 0.2155 y1filterABx n0:55 figure subplot111 stemny1.xlabeln ylabely1n title一级滤波后的心电图信号 y2filterAB1y1 n0:55 figure 用双线性变换法设计IIR数字滤波器subplot111 stemny2.xlabeln ylabely2n title二级滤波后的心电图信号 y3filterAB2y2 n0:55figure subplot111 stemny3.xlabeln ylabely3n title三级滤波后的心电图信号 A0.09036 20.09036 0.09036 B11-1.2686 0.7051 B21-1.0106 0.3583 B31-0.9044 0.2155 H1wfreqzAB1100 H2wfreqzAB2100 H3wfreqzAB3100 H4H1.H2 HH4.H3 magabsH db20log10mageps/maxmag figure subplot111 plotw/pidb axis0 0.5-50 10 xlabelw/pi ylabel20lgHjw title滤波器的幅频响应曲线

IIR数字滤波器 第3篇

数字滤波指用数字设备, 通过一定的算法, 对信号进行处理, 将某个频段的信号进行滤除, 得到新的信号的这一过程叫做数字滤波。数字滤波器可以分为两大部分:即经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器就是假定输入信号x (n) 中的有用成分和希望滤除成分分别位于不同的频带, 因而我们通过一个线性系统就可以对噪声进行滤除, 如果噪声和信号的频谱相互混叠, 则经典滤波器得不到滤波的要求。通常有高通滤波器, 低通滤波器, 带通滤波器, 带阻滤波器。从空域上分, 可以分为有限数字滤波FIR、无限数字滤波IIR和自适应滤波。本文主要介绍IIR数字低通滤波器的设计, 并通过MATLAB对其仿真, 其中间接的采用了模拟滤波器设计资源。

1 IIR数字滤波器的设计

1.1设计原理

滤波器的设计是求解一个既能物理实现, 又能满足给定频率特性指标要求的系统传输函数的过程。IIR滤波器一般采用递归型结构, 系统输人与输出服从N阶差分方程:

对应的传输函数为:

设计IIR数字滤波器就是要确定传输函数系数ai、bi, 或零极点增益ci、di、A, 使滤波器的频率特性满足给定的性能参数要求。其原理主要包括两个方面: (1) 根据设计参数, 先设计出对应的模拟滤波器, 再通过冲激响应不变法或双线性变换法转换成相应的数字滤波器[1]; (2) 先选择一种最优准则, 如最小均方误差准则, 再在此准则下求出滤波器传输函数的系数[2]。

1.2设计步骤

数字滤波器的传输函数由幅频和相频组成。选频滤波器的技术要求由幅频特性给出, 相频一般不作要求, 如果对输出波形有要求, 则要考虑相频的技术指标, 如语音合成。一般情况下, 研究幅频特性用IIR滤波器即可, 如研究相频特性, 则需要用线性相位数字滤波器, FIR滤波器即可。本文主要讨论用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的方法。

利用模拟滤波器设计IIR数宇滤波器的步骤如下:

(1) 先将给定的数字滤波器的性能参数, 按照某一变换 (脉冲响应不变法或双线性变换法) 规则转换成对应的模拟滤波器的性能参数;

(2) 根据步骤 (1) 转换后的模拟滤波器的对应参数设计H (s) ;

(3) 将H (s) 根据映射规则转换为对应的H (z) ;

若所设计的是低通数字滤波器, 则到步骤 (3) 结束, 若设计的是带通、高通或者带阻数字滤波器, 则转到下一步;

(4) 先将带通、高通或带阻数字滤波器的技术参数转化为低通数字滤波器的技术参数, 步骤3结束后, 再通过MATLAB中相应的函数进行转换到所要求的滤波器。设计流程图如下所示:

2实例仿真

以设计IIR数字低通滤波器为例, 给定滤波器的性能指标, 用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通滤波器, 技术指标是fp=100Hz fs=300Hz, p=3d B, 阻带的最小衰减s=20d B, 抽样频率Fs=1000Hz.

从图2可以看出程序运行结果和实际计算的结果是一致的, 同时, 从图3可以看出所设计的滤波器和期望的滤波器的幅频特性吻合的比较好。

3结语

数字滤波器的设计是信号处理方面的重要内容, 通过运用MATLAB软件来设计IIR数字滤波器, 使本人熟悉了MAT-LAB的强大功能, 同时也对数字滤波器的特点、作用有更深入的理解。了解了熟练的利用MATLAB这一功能强大的软件来设计数字滤波器对数字信号处理这一领域有着重要的意义与价。在本文中应用巴特沃斯滤波器对数字低通滤波器进行仿真, 选择含有高频噪声的信号作为输入信号, 应用设计的数字滤波器对其进行滤波实现了混合信号频谱的分离, 得到了良好的仿真效果。

摘要：数字滤波是数字信号处理的重要内容, 可分为FIR和IIR两大类。文章介绍了基于MATLAB的IIR数字滤波器设计方法。先确定性能参数, 再按照映射规则 (冲激响应不变法或双线性变换法) 变换成模拟滤波器的性能参数, 然后采用一定的逼近方法 (巴特沃斯型或切比雪夫型) 设计模拟滤波器, 最后将模拟滤波器按照映射规则转变成数字滤波器。通过Matlab实验仿真, 成功地设计出了满足预定指标的IIR数字滤波器。

关键词：数字滤波器,MATLAB,无限长冲击响应,信号处理

参考文献

[1]刘顺兰等.数字信号处理[M].西安:西安电子利科技大学出版社, 2003:151-187

[2]陈怀深等.MATLAB及在电子信息课程中的应用[M].北京:电子工业出版社, 2004:224-233

[3]余成波, 陶红艳等.数字信号处理及MATLAB实现 (第2版) [M].北京:清华大学出版社, 2008

[4]程佩青.数字信号处理教程 (第四版) [M].北京:清华大学出版社, 2013

IIR数字滤波器 第4篇

IIR数字滤波器(Digital filter,以下简称DF)的设计有间接法和直接法,其中间接法是借助于模拟滤波器(Analog filter,以下简称AF)的设计方法进行的,需要首先设计过渡AF,然后将AF的系统函数按照某种方法进行数字化转换成DF的系统函数。其中工程上最常用的两种方法是脉冲响应不变法[1,2]和双线性变换法[3,4],二者皆有条件地遵循数字化的两个基本目标,即转换前后频响具有一致性且物理可实现并能稳定工作的系统[1]。本文即就这两种方法的特点、原理及转换性能等方面进行比较。

1 脉冲响应不变法的原理及特点

假设AF的系统函数为H(s),模拟频率为Ω,频率响应为H(ejΩ),单位脉冲响应为h(t);DF的系统函数为H(z),数字频率为ω,频率响应为H(ejω),单位取样响应为h(n)。

(1) 变换原理

若已知AF的H(s),用脉冲响应不变法数字化得到DF的H(z),其步骤如下:

undefined

由此得到DF的h(n)正好为AF的h(t)的采样,这也是该方法得名的原因。

(2)s平面与z平面的映射关系

按照(1)中所述的变换原理,s与z满足z=esT的关系,对此引入如下推导:

undefined

当s的虚部Ω∈[-π/T,π/T],实部δ∈(-∞,∞),则ω∈[-π,π],r∈[0,∞],即如图1所示:s平面取一长条区域,映射为整个z平面。故z=esT的映射关系中,一个s平面可映射无穷个z平面。

当s=jΩ, 相应z=ejω,即s平面的虚轴映射为z平面的单位圆。

(3)H(z)与H(s)的映射关系

由于s与z按照z=est的关系映射,可证明,H(z)与Ha(s)满足如下关系[1]:

undefined. (1)

由(1)式可知,H(s)在s平面上沿虚轴周期延拓,再经过z=esT的映射关系,将AF的H(s)映射到z平面从而得到DF的H(z),可见H(z)与H(s)不是简单的代数关系。z=esT的映射关系反映的是H(s)的周期延拓与H(z)的关系,而不是H(s)本身与H(z)的关系。 因此,脉冲响应不变法将H(s)数字化为H(z)时,没有一个由s平面到z平面的一一对应如s=f(z)的代数映射关系。

为了进一步说明上述映射关系,由(1)式导出DF的频率响应与AF的频率响应之间的映射关系为:

undefined. (2)

对于(2)式,假定AF的频响,模拟频率和数字频率的映射关系以及DF的频响分别如图2的(a)、(b)和(c)所示。可以看出,DF的频响是AF频响周期(周期为2π)延拓的结果,只有当模拟滤波器的频响是带限的且带限于折叠频率以内,在折叠频率范围之内,DF频响重现AF频响不产生混叠失真;否则在折叠频率的范围之内,DF频响相对于AF频响因混叠而发生失真变形,如图2的(d)、(e)、(f)所示。

2 双线性变换法的原理及特点

为了克服脉冲响应不变法的缺点,可以采用双线性变换法,该方法能获得s与z的一对一的映射关系。

(1)s平面与z平面的映射关系

为得到s平面到z平面一一对应简单的代数关系式(如s=f(z)),双线性变换法中引入了中间平面s1和正切变换。其映射关系如图3所示,s与z的关系推导如下:

undefined

(2)H(z)与Ha(s)的映射关系

因双线性变换法中z与s之间是一一对应的映射关系,故H(z)与Ha(s)之间满足简单的代数关系,若已知H (s),可以通过如(3)式所示简单的变量替换得到H(z)。

undefined. (3)

由双线性变换式可以得到的模拟频率和数字频率也是一一对应关系,满足如下非线性关系式[1]:

undefined. (4)

由此可以得到DF频响与AF频响之间满足一一对应的映射关系:

undefined. (5)

对于(5)式,假定AF的频响,模拟频率和数字频率的映射关系以及DF的频响分别如图4(a)、(b)和(c)所示。

可见,AF全部的频率响应特性被压缩于等效的数字频率范围(0～π)之内,消除了脉冲响应不变法所固有的混叠误差。根据undefined的非线性关系如图4(b)所示,零频附近Ω、ω为近似线性,频率愈大非线性越明显。故DF频响H(ejω)相对于AF频响H(ejΩ)产生的压缩变形,零频附近变形小,频率愈大变形越严重,如图4所示。

3 小结

为便于比较,将上述讨论结果列入表1中。

参考文献

[1]王世一.数字信号处理[M].北京:北京理工大学出版社,2006.

[2]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统下册[M].第2版.北京:高等教育出版社,2000.

[3]俞卞章.数字信号处理[M].西安:西北工业大学出版社,2002.

[4]程佩青.数字信号处理教程[M].第3版.北京:清华大学出版社,2007.

[5]吴镇扬.数字信号处理[M].北京:高等教育出版社,2004.

IIR数字滤波器 第5篇

1 IIR滤波器的设计原理

IIR滤波器是一种递归型 (Recurrence Type) 的数字滤波器, 如图1所示。

IIR数字滤波器是一类线性时不变因果系统, 差分方程如 (1) 所示:

将公式 (1) 两边进行Z变换, 可以得到:

再通过公式 (2) 计算可得IIR数字滤波器的系统函:

由此可见, 设计IIR滤波器实际上就是确定 (3) 式中的过程, 一般有如下4个步骤:

步骤1:根据任务要求, 确定滤波器的性能要求, 制定技术指标通带截止频率、通带衰减、阻带截止频率以及阻带衰减。

步骤2:用一个因果稳定的离散线性时不变系统函数去逼近这一性能要求。因为理想的频率响应在现实中是不可能实现的, 由于它的幅度响应在各个频带之间突变, 因而其单位抽样响应就是非因果的、不可实现的, 所以, 只能对其进行逼近。

步骤3:利用有限精度算法实现这一系统函数。包括合适的字长与运算结构的选择以及有效数字的处理方法等。

步骤4:技术实现, 主要包括了使用通用计算机软件或者专用数字滤波器硬件来实现, 也可以通过二者相结合的方法来实现。

2 IIR滤波器的设计方法

IIR数字滤波器的设计一般有2种方法:直接设计法和间接设计法。前者需要复杂且繁琐的迭代运算, 而后者借助模拟滤波器来设计, 不仅有完整的设计公式, 还有一些典型的优良滤波器类型可以使用, 采用这种方法来设计IIR滤波器既准确又方便, 故本文亦采用后者。通常利用模拟滤波器设计IIR滤波器的步骤是:先将数字滤波器的技术指标转化为模拟滤波器的技术指标, 然后设计模拟滤波器得到的系统函数H (s) , 将系统函数H (s) 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H (z) 。典型的模拟滤波器主要有巴特沃斯 (Butterworth) 滤波器、切比雪夫 (Chebyshev) 滤波器、椭圆 (Ellipse) 滤波器、贝塞尔 (Bessel) 滤波器等。这些滤波器具有严格的设计公式, 现成的图表供设计人员使用。它们各有特点, 设计时, 根据要求选择滤波器的类型。本文采用巴特沃斯低通滤波器, 巴特沃斯滤波器器具具有单调下降的幅频特性。

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式表示:

用s替换, 将其写成s的函数:

巴特沃斯滤波器采用对3d B截止频率归一化, 归一化后得到的系统函数为:

其中。由上式可知, 要求得滤波器的系统函数, 要先求出滤波器的阶数N和3d B截止频率, 由上面的式子可以得到:

所以可以总结出要得到滤波器的系统函数, 先求出滤波器的阶数N, 根据阶数N得到, 再对去归一化 (将) , 即可得到滤波器的系统函数。

利用双线性变换法从s平面映射到s1平面, 再从s1平面映射到z平面:

通过从s1平面转换到z平面, 得到:

3 IIR滤波器的设计与实现

本文基于Delphi6.0环境, 利用软件设计的方法实现了IIR低通滤波器。由于巴特沃斯滤波器是一种具有最大平坦幅度响应的低通滤波器, 并且巴特沃斯滤波器在线性相位、衰减斜率和加载特性方面具有特性均衡的优点, 因此本文设计了一款巴特沃斯低通数字滤波器。

Delphi是一种可视化的编程工具, 它不用考虑按精确次序执行每一个步骤, 可以快速地创建强大的应用程序而不用在乎不必要的细节。所以用Delphi来实现滤波是很方便的。

此次的实验主要是用来模拟对发动机过载试验台所采集到的信号进行滤波。

设计要求:在频率低于π/6rad时, 容许幅度误差在1d B以内;频率在7π/18到π之间的阻带衰减大于15d B。由此可知通带边界频率ωp为π/6, 通带最大衰减αP为1d B;阻带截止频率ωs为7π/18rad, 阻带最大衰减αs为15d B。通过以上过程可求得模拟滤波器的系统函数为:

用双线性变换法将H (s) 转化成为H (z) :

滤波器的设计流程如图2所示。

滤波器的主要程序如下:

实验结果如图3所示。

(1)

滤波后的结果:

(2)

滤波后的结果:

4 结语

滤波是信号处理的基础。本文根据项目提出的滤波器性能指标设计了一种IIR低通数字滤波器。基于Delphi采用软件设计法进行滤波器设计, 可见滤波器的滤波效果良好。Delphi设计滤波器虽然不经常用, 但是也为设计滤波器提供一种思路。

参考文献

[1]胡广书.数字信号处理—理论、算法与实现[M].北京:清华大学出版社, 1997.

[2]丁玉美, 高西全.数字信号处理[M].西安:西安电子科技大学出版社, 2001.

[3]周耀辉, 王芸波, 朱维新.IIR数字滤波器设计[J].电力自动化设备, 2010 (9) :129-131.

[4]樊新海, 苗卿敏, 安钢.基于Delphi6的Butterworth数字滤波器设计与应用[J].计算机应用与软件, 2004 (11) :38-40.

[5]郑南宁.数字信号处理[M].北京:清华大学出版社, 2007.

[6]张德丰.MATLAB数字信号处理与应用[M].北京:清华大学出版社, 2010.

[7]方培本.利用双线性变换法设计IIR Butterworth数字滤波器[J].天津理工学院学报, 1999 (Z1) :44-46.

[8]黄同, 王海军, 樊延虎, 等.基于MATLAB的巴特沃思数字滤波器设计[J].延安大学学报:自然科学版, 2008 (3) :45-48.

[9]谭家杰, 罗昌由, 唐建锋.模拟滤波器到数字滤波器简单变换方法[J].衡阳师范学院学报, 2009 (6) :37-39.

用双线性变换法设计IIR滤波器 第6篇

滤波器从广义上来说对特定的频点或频点以外的频率进行有效滤波的电路,这种电路保留输入信号中的有用信息,滤除不需要的信息,从而达到信号的检测、提取、识别等不同的目的。如果处理的信号是时域离散信号,那么相应的处理系统就称为数字滤波器,由于在实际工作中被处理的信号都是幅度量化的数字信号,因此,数字滤波器实际上是用有限精度的算法实现一个线性时不变的时域离散系统。目前,数字滤波器的应用越来越广泛,它已深入到很多领域,如图象处理、医学生物信息处理、地质信号处理和模式识别处理等。

数字滤波器的种类很多,分类方法也不同,可以从功能上分类,也可以从实现方法上及设计方法上来分类等等。滤波器在功能上总的可分为四类,即低通(LP)、高通(HP)、带通(BP)、带阻(BS)滤波器等,从实现方法上,由有限长冲激响应的数字滤波器被称为FIR滤波器,具有无限长冲激响应的数字滤波器称作IIR滤波器。

1 IIR滤波器的设计

1.1 双线性变换法的基本原理

本文中用的是双线性变换法,因此这里简单介绍一下。

双线性变换法的S域与Z域间的变换关系为:

undefined

由式(1)可以看出,z和s之间可以直接代换,由于这是一非线性变换,需考察一下是否能把jΩ映射成单位圆,以及是否能将s域左半平面映射到单位圆内部。

对于s平面上的虚轴jΩ,用s=jΩ代入式(1)得:

undefined

可见:

上式表明S平面与Z平面一一单值对应,S平面的虚轴(整个jΩ)经映射后确已成为z平面上的单位圆,但Ω与为非线性关系,因此,通过双线性变换后两个滤波器的频率特性形状不能保持相同,双线性变换不存在混迭效应。

对于s域的左半平面,用s=σ+jΩ代入式(1),得到:

undefined

由此得:undefined

此式表明,当σ<0,有|z|<1,因而s平面的左半平面被映射在单位圆内部,这意味着稳定的模拟滤波器经双线性变换可以映射成稳定的数字滤波器。

1.2 IIR滤波器的设计

IIR数字滤波器的设计借助模拟滤波器原型,再将模拟滤波器转换成数字滤波器,这些过程已经成为一整套成熟的设计程序。模拟滤波器的设计已经有了一套相当成熟的方法,它不但有完整的公式,而且还有较为完整的图表查询,因此,充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大的方便。

已知数字低通滤波器的设计要求wp,ws,Rp和As,首先设计一个等效的模拟滤波器,然后再将它映射为所期望的数字滤波器来确定H(z)。对这个过程所要求的步骤是:

1) 选取T并确定模拟频率:undefined;2) 利用设计参数Ωp,Ωs,Rp和As,设计一个模拟滤波器Ha(s);这可以利用模拟滤波器的原型来完成;3) 再将(1)代入Ha(s),求出H(z)。

本文给定数字滤波器特性为:

通带:0.99≤|H(ejw)|≤1.01 0≤w≤0.4π

阻带:|H(ejw)|≤0.001 0.6π≤w≤π

1) 根据题意有,wp=0.4π,ws=0.6π;计算时假定T=1。

undefined

2) 设通带内起伏:1-σ1≤|H(ejw)|≤1+σ1,则σ1=0.01

阻带内起伏:|H(ejw)|≤σ2,则σ2=0.001

∴ 衰减度为(dB):undefined

阻带内衰减度为(dB):undefined

对于幅度衰减指标,模拟和数字是一样的。综上(1)、(2),模拟滤波器特性如下:

Rp=0.1737,As=60

Ωp=1.4530,Ωs=2.7528

现在可以开始设计模拟滤波器,进而确定数字滤波器。下面给出Butterworth滤波器逼近的方法。

首先确定阶数N和截止角频率,根据指标要求列出:

undefined

解得:undefined

现要使通带指标富裕,则undefined

由此得到巴特沃兹滤波器极点分布为:

undefined

∴模拟滤波器的转移函数为:

undefined

把undefined代入上式得

undefined

2IIR滤波器的MATLAB实现

模拟型滤波器的设计过程,步骤繁琐,计算量大。在MATLAB中,我们可以直接根据所给定的数字滤波器指标调用特定的函数来确定滤波器的系统函数。具体实现过程如下(程序的主要部分,且只返回数字滤波器的阶数和截止频率):

为调用阶数选择函数,下面的指标已经把Wp和Ws对π进行了归一化,且函数中返回的频率也是归一化频率。

%滤波器指标,

%实现ButterWorth数字滤波器

[Nbutt,Wcbutt]=buttord(Wp,Ws,Rp,As); %确定ButterWorth的阶数和截止频率

[Bbutt,Abutt]=butter(Nbutt,Wcbutt); %确定Butterworth滤波器的系统函数

[Hbutt,Wbutt]=freqz(Bbutt,Abutt,501); %计算频率响应

同理可实现ChebyshevI、ChebyshevII、ellipse数字滤波器。Butterworth型和ellipke型系统的幅频和相频特性如图1;ChebyshevI与ChebyshevII系统的幅频和相频特性如图2(频率为对π归一化频率)。

3 结论

从图中我们可以看出,ButterWorth滤波器的频率特性是平坦的,没有出现波动,即幅度随着频率单调递减,它的相频特性接近于分段特性。而椭圆滤波器幅频特性存在着波纹(图中由于坐标比例的关系,只能画出通带波纹,阻带波纹则无法显示);同时,它不具备线性相位特性。两种契比雪夫滤波器的频率特性如图所示。从中可知道,这两种滤波器的幅频特性都有着波动(其中,由于CII型滤波器是在阻带中出现等波动,因此无法表示出来),它们不具备线性相位特性。

为了比较这四种滤波器的性能高低,我们比较了实现相同的指标所需的最低滤波器阶数:Nbutt=14;Ncheb1=8;Ncheb2=8;Nelli=6。

这样可以清楚地看出:ButterWorth滤波器需要最高的阶数14;两种契比雪夫滤波器所需要的阶数是一样的8阶,说明它们具有相同的性能;而椭圆滤波器具有最小的阶数4,说明它的性能在这个意义上是最优的。

参考文献

[1]王华奎,张立毅.数字信号处理理论及应用[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]邓华.MATLAB通信仿真及应用实例详解[M].北京:人民邮电出版社,2003.

[3]陈桂明,张明明,戚红雨.应用MATLAB语言处理数字信号与数字图像[M].北京:科学出版社,2000.

IIR数字滤波器 第7篇

下面就基于模拟滤波器的双线性变换法来设计IIR滤波器的理论支持进行论述, 并通过用单片机来软硬件仿真和MATLAB软件仿真来作为实践支持。

1、双线性变换法来设计IIRF的理论支持

(1) 双线性变换法思想:不妨设模拟滤波器的拉氏变换为H a (s)

得到数字滤波器Hd (z)

(2) 接下来令

把上面三个式子带入 (1) 式中得到:

(2) 式的正确理解关系到对整个双线性变换法的理解, 接下来就 (2) 式进行分析:

我们从已知的模拟滤波器的拉氏变换H a (s) , 根据 (1) 式得到Hd (z) , 而Hd (z) 相当于对具有拉式变换的Hd (z) 的dh (t) 的采样。可以用示意图表示这个过程:

根据双线性变换的思想, 可以直接由Ha (f) 得到Hd (z) , 具体变换由上面的推导可以得到, 其实在这个过程中有一个过渡过程:Ha (s) 到Hd (s) 到Hd (z) , 而H a (s) 到Hd (s) 的过程就可以从 (2) 式中得到, (2) 式相当于一个频率畸变的过程, 这也是双线性变换的一个缺点, 由“2pfa=ctan (fd Ts) ”可以把我们想要模拟的Ha (f) 的自变量fa变换为以fd为自变量的Hd (f) , 比如上图 (2) 中截止频率fc带入式 (2) :

其中fx就是过渡模拟滤波器的截止频率。对于图 (2) 所对应的过渡模拟滤波器的频率响应如图 (3) 所示。

对与过渡滤波器的频率响应需要注意:

(1) :Hd (f) 与Ha (f) 的频率响应曲线是相似的, 相当于Ha (f) 根据一定的比例进行压缩得到Hd (f)

(2) :H d (f) 有最高频率, 这个很容易由 (2) 式, 在

(3) :我们得到的h (n) 就是从具有频率响应H d (f) 的h d (t) 以Ts为采样时间间隔进行采样得到。

对于上面的理论分析可以通过下面的流程图来说明数字模拟滤波器怎样来模拟实际的模拟滤波器。

先把x (t) 进行模数转换, 再通过数字滤波器, 进而数模转换, 得到y (t) 。图 (4) 与图 (5) 是等价的。

下面我们就图 (4) 所表示的数字滤波过程分别通过MATLAB软件编程和51单片机软硬结合来仿真实现。

2、基于51单片机的数字滤波器的实现

即使我们用单片机来实现式 (4) 所表达的运算, 通过单片机编程来实现, 具体的实现框图如图 (6) 所示:

不妨设x=cos (0.1*pi*n) +cos (0.9*pi*n) , 取20个点:n从0到19取值, 得到x (0) 到x (19) , 分别为2.0000 0 1.6180 0.0000 0.6180 0.0000-0.6180 0.0000-1.6180-0.0000-2.0000-0.0000-1.6180 0.0000-0.6180-0.0000 0.6180-0.0000 1.6180-0.0000。

程序如下:

把得到的yy序列 (通过D/A后是阶梯波) 用低通滤波器过滤后就可以观察模拟的y (t) 信号。

3、MATLAB的软件仿真

不妨设我们要仿真的模拟滤波器的传递函数是用双线性变换法设计IIR滤波器, 并通过输入输出观察其滤波特性。

MATLAB程序:

通过上述设计的IIR滤波器很明显可以看出它的滤波特性。

4、结语

对于本篇文章主要是指出了实际的易于理解的模拟滤波器完全可以用数字滤波器来实现, 可以使IIR, FIR滤波器, 可以通过不同的方法来实现滤波, 随着通信系统的日益复杂, 仿真就变得越来越重要, 而日益增强的计算机技术就使得数字仿真日益重要。

参考文献

[1]高西全, 丁美玉.数字信号处理.西安:西安电子科技大学出版社, 2008.

IIR数字滤波器 第8篇

IIR数字滤波器由于可用较低的阶数实现较好的选频特性,因而得到广泛应用.目前IIR数字滤波器一般都是在一定的优化准则下用优化算法设计. 本文引入CSD编码后,将滤波器设计问题转换成了STP(Sign Two Power)空间上的非线性寻优[3].这时,常规优化算法都不再适用.而混合遗传算法克服了普通遗传算法早熟、跳出局部最优能力弱的缺点,鲁棒性强且全局收敛,成为求解非线性优化问题的有力工具.

本文以基于CSD编码的混合遗传算法为工具,对IIR滤波器优化进行研究.对CSD编码在遗传算子操作后可能不再符合编码规则的问题, 提出来简明的解决方法. 并对遗传算子进行了一定改进,提高了算法的寻优速度,避免了陷入局部极值.

1 CSD编码规则

数字电路通过序列移位相加来实现乘法运算,每增加一位非零位就要增加一次移位操作,因而编码中的非零位数直接影响芯片的面积和功耗.CSD编码是一种三元数值系统, 和其它编码相比,在表示同一浮点数时具有较少的非零位.因此,在乘法运算中可有效减少部分积的乘积项,从而减少加法器数量[2][4].

对于浮点数x,其CSD编码可表示为

其中di={-1,0,1} , L为量化系数的长度, B为规定的非零位数.

CSD编码时必须满足两条规则[5]:(1)非零位的相邻位必然为零;(2)每个系数中的非零位必须小于规定的个数B .

2 IIR滤波器数学模型及优化准则

IIR数字滤波器的传递函数可表示为:

其频率响应为:

滤波器优化设计就是用某种准则使待设计的滤波器的频率特性H(w)逼近理想的滤波器的频率特性H d(w ). IIR滤波器的常用优化准则为均方误差最小准则,其目的是使H(w)和H d(w )间的误差能量最小,即均方误差最小[4]:

根据滤波器数学模型将()式带入()式得:

上式中A是使滤波器在各个频率采样点处误差最小的增益.可用(6)式对A微分,使其结果等于零得出[4],即:

3针对CSD编码的混合遗传算法

模拟退火遗传算法是一种混合优化算法.它综合了模拟退火算法局部搜索能力强和遗传算法全局寻优控制优秀的特点.利用模拟退火算法控制混合算法的收敛性以避免“早熟”、提高寻优性能,利用遗传算法的并行化抽样过程加快寻优速度.

混合算法的基本思想是通过选择、交叉、变异产生一组新个体,然后再独立地对产生的各个个体进行模拟退火操作,以其结果作为子代个体. 如此反复迭代直至满足终止条件为止. 混合算法包括编码、初始种群生成、适应度函数、选择、交叉、变异、模拟退火、终止条件等八个主要部分.

3.1编码、初始种群生成

编码就是将问题的解空间数据映射成遗传空间的基因串,本文映射为CSD编码.

对于滤波器,由式可看出其实际待优化参数共 4N 个,即为了保证滤波器的稳定性,要求每个二阶环节的极点都位于Z平面单位圆内,因而得到 -2 < cK< 2,-1 < dK< 1, K = 1,2,...N .此外,为了使滤波器具有最小相移特性,也需对aK,bK做相同处理.

初始化时可直接根据待优化参数个数4N、初始种群数C、量化长度L及量化非零位数B ,随机生成C组4N×L位CSD编码作为初始种群. 其中B位非零位均匀分布在各L位编码中.

3.2适应度函数

适应度函数就是优化问题的目标函数,表明了个体或解的优劣性.本文结合实际CSD编码要求,将适应度函数取为:

其中:

a1为权值, 一般设为1/2N(N为滤波器阶数). n为CSD编码中全部零位的个数.

3.3遗传算子

采用CSD编码的混合遗传算法优化设计IIR滤波器,存在收敛速度慢及CSD编码交叉、变异后可能不再符合编码规则等问题.针对这些问题,我们采取以下若干措施.

3.3.1 遗传算子改进

1)选择算子

选择就是从当前群体中选出优良个体,使其有机会繁衍子孙. 为了保证收敛到全局最优解、避免早熟. 本文在选择操作时,将适应度最高的个体直接遗传到子代,将适应度最低的个体放弃.

2) 交叉

虽然选择算子直接复制最优个体可保证种群向最优方向移动,但只能在现有种群内寻优,交叉算子可保证个体的多样性,是获得全局最优解的基础. 由于滤波器待优化参数个数的编码长度随系统传递函数阶数的增长而变长,因而染色体单点交叉难以满足收敛速度需求. 为此,我们以交叉概率pc在每个编码中随机选择L 4个点进行多点交叉. 并在交叉后计算父代、子代适应度,选择其中适应度高的2个个体进入子代.

3)变异算子

复制、交叉只能在现有的基因型的排列组合内寻找最优,不能产生新的基因型.为了防止陷入局部最优解,并防止过多的零位突变为非零位后增大运算复杂度,我们采用染色体多点等概率变异方式.即当在子代种群最大适应度与最小适应度的差小于规定数值时,以远大于通常的变异概率对其变异,否则,从每个基因中随机选取一个变异位置以一定的变异概率pm在 {-1,0,1} 中进行突变.并且要求从0突变到 {-1,1} 的概率等于从 {-1,1} 突变到0的概率.这样可以保证有效减少乘法运算复杂度.

4)模拟退火算子

将子代中10%的最优个体保留,10%的最差个体抛弃. 然后再在余下个体中随机选择60%的个体,根据模拟退火法Me-tropolis准则[5]进化产生新个体. 与保留的最优个体共同组成新的子代种群.

3.3.2 CSD编码在变异交叉时遇到的问题与解决方法

在采用CSD编码的模拟退火遗传算法中,CSD编码在交叉、变异后编码可能不再符合编码规则.对于这些不合规则的染色体,本文用与其十进制数最相近的CSD编码替代.步骤如下:

首先将操作 后编码记为CSD , 将的转置记为其中若有非零位,则编码不符合规则.记非零位位置为P。

其次,对于不合规则的CSD编码,将其解码为十进制数.若解码后编码可表示的上、下界,则将用最大、最小编码替代当前编码.否则,将紧邻P位的后两位分别置为0,1。

最后,循环前两步,直至编码非零位总数等于规定量化非零位数B时终止循环, 并将循环结束位后所有位置0

4 应用实例

设计带通IIR数字滤波器,滤波器技术要求为:

初始化时,规定系数编码长度L =17,非零位数B =6, 种群C =200,交叉概率Pc=0.2,变异概率Pm=0.08. 图1、图2为直接截断系数和优化IIR滤波器系数的频率响应比较. 图2是图1的放大.图3为IIR滤波器优化设计的进化误差曲线.

仿真表明,直接截断滤波器通带纹波约为0.0081,优化设计滤波器的通带纹波约为0.0035,通带纹波大约减小了2.31倍.从图中可以看出,用本文方法设计的带通滤波器具有较好幅频响应.[

5 结束语

本文为了减少滤波器硬件资源开销,降低运算量,将CSD(Canonic Signed Digit) 编码引入混合遗传算法,优化设计IIR滤波器. 针对滤波器设计多参数多极值的具体特点,对混合算法算子进行改进. 并给出解决CSD编码在交叉、变异后可能出现的问题的方法. 仿真表明本文方法在减少滤波器运算量的同时,可有效减少通带波纹,提高搜索速度.

摘要：该文针对滤波器功耗过大的问题,采用基于CSD(canonic signed digit)编码的模拟退火遗传算法对IIR(Infinite Impulse Response)滤波器进行优化设计.给出了CSD编码经过交叉、变异后可能出现问题的解决方法.并根据CSD编码特点对遗传算子进行改进,提高了寻优速度.仿真表明,该文方法在降低功耗的同时,可有效加快优化搜索速度,减小通带波纹.