函数周期的学习
函数周期的学习（精选12篇）
函数周期的学习 第1篇
关键词：周期函数,最小正周期,定义域
函数的周期性是函数的重要性质之一。在学习函数的周期性时, 同学们往往存在许多模糊的认识, 为此, 本文对周期函数的若干问题予以剖析, 以帮助同学们澄清认识, 加深对周期函数的理解。
一、周期函数的定义域必须是无限集
周期函数的定义是:对于函数f (x) , 若存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时, 都有f (x+T) =f (x) , 则就叫做周期函数, T叫做该函数的周期。
由此定义, 对于周期函数, 必须对其定义域内的每一个x, 都有f (x+T) =f (x) 成立。从而x+T也必须在函数的定义域内, 否则f (x+T) 就不存在, 就没有意义了。因此, 周期函数的定义域必须是无限集。换句话说, 若一个函数的定义域是有限集, 则它一定不是周期函数。
二、周期函数不一定都有最小正周期
教材中明确指出:对于一个周期函数f (x) , 若在它所有的周期中, 存在一个最小的正数, 则这个正数就叫做f (x) 的最小正周期。但并不是所有的函数都有最小正周期, 例如, 常数函数f (x) =c (x∈R) , 对任何一个非零常数T, 等式f (x+T) =f (x) 对一切x∈R恒成立, 故它是周期函数, 但它没有最小正周期。
三、与三角函数复合的函数不都是周期函数
例如, 函数就不是周期函数。下面利用周期的定义给出证明。
证明: (用反证法) 假设是周期函数, 则存在常数T>0, 使得对一切x∈[0, +∞) , 有:f (x+2T) =f (x+T) =f (x) 。
两式相除, 得:。
该式右边n/m是分数, 是一个有理数;而左边是无理数, 显然不成立, 因而假设不成立。从而不是周期函数。
四、函数周期的求法
我们知道, 型如f (x) =Asin (ωx+准) 及f (x) =Asin (ωx+准) (其中A, ω, 准为常数, 且A≠0, ω>0, x∈R) 的函数周期为T=2π/ω。因此, 在求函数的周期时, 一般应先将函数化简成上述形式, 从而将问题转化为可用公式求解的问题。
例1求下列函数的周期:
⑴y=sin3x-cos3x; ⑵y=tan2x-cot2x;
⑶y=sin6x+cos6x;⑷y=|sinx|+|cosx|。
略解:⑴) , 所以其周期为T=2π/3。
⑵y=-2cot4x, 所以其周期为T=π/4。
但是, 在将一个函数进行转化的过程中, 应注意考虑转化是否等价。特别是其定义域有无变化, 若其定义域发生了变化, 再用周期公式就不一定得到正确结果。这时, 我们应结合函数的图像求函数的周期。
例2求函数的周期。
错解:f (x) =4sinxcosxcos2x=sin4x。所以其周期为T=π/2。
剖析:若f (x) 的周期为π/2, 因为x=0在函数的定义域内, 则有f (x) =f (π/2) 。而事实上, f (0) =0, f (π/2) 不存在, 故f (0) =f (π/2) 不成立。所以π/2不可能是其周期。故上述结果是错误的。
产生错误的原因在哪里呢? 原因在于未考虑函数的定义域, 上述变化是不等价的。
周期现象与周期函数教学反思 第2篇
这节课是北师版数学必修4的第一节课，为了吸引学生，我应用了多媒体教学资源，既有视频形式的，又有图片形式的，并结合生活现象采用启发式提问，学生小组讨论等形式，首先通过观察钱塘江潮涨潮落的.视频和演示时钟圆周运动直接的切入了本课的主题――周期现象，然后引导学生再举生活中常见的周期现象，如潮汐，波浪，四季变化等以调动学生的积极性，然后带领学生从数学的角度研究周期现象，这一环节运用了一下教学工具―几何画板，收到了比较好的效果。最后，让学生们做了归纳整理，整体认识，此处设计了三个问题很好的启发了学生对课堂所学进行回顾和反思，总之，这节课上的比较成功，值得回味！
函数周期的学习 第3篇
【关键词】正弦函数；余弦函数；周期性；抽象
一、教材分析
教材是新课程标准的具体化，是进行课堂教学设计的蓝本，是教师教、学生学的具体材料，要把握好教材，落实教学目标，必须准确理解课程标准。因此我在认真研读课程标准的基础上从教材的地位与作用、教材重点与难点两个方面展开我对教材的分析。
1.教材的地位与作用
本课选自人教A版数学必修4第一章第4节第2小节第一课时，该课时主要学习函数的周期性。
这节课是在学习了正、余弦函数图像以及三角函数诱导公式之后，对三角函数的又一重要探讨。周期性，是对函数性质的一个重要补充，又是研究三角函数其它性质的根本，所以本课既是前期知识的发展，又是后续知识的基础，起着承前启后的作用。
从思想方法上讲，这节课的教学过程中还渗透了建模、数形结合、由特殊到一般、类比等数学思想方法。
2.教材的重点与难点
根据新课标的要求，我确定本课的重点为，周期函数的定义和正、余弦函数的周期性；难点为：对周期函数概念的理解和求函数的周期。
二、学情分析
从学生的知识储备上看：学生已经学习了正、余弦函数的图像和三角函数的诱导公式，这为学习本课做好了知识上的准备。
从学生思维特点来看：学生具备了一定的形象思维和抽象思维，但还需要进一步加强。
三、教学目标
在充分把握新课程标准的要求，教学内容和教学对象的基本情况的基础上，我制定如下教学目标：
1.知识与技能
准理解周期函数的概念和正弦函数、余弦函数的周期性，会求一个函数的周期。
2.过程与方法
在概念形成与探究的过程中，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力和抽象素养，渗透建模、数形结合、由特殊到一般、类比等数学思想方法。
3.情感、态度与价值观
在获取知识的过程中，让学生感受数学来源于生活，又回归于生活，体会数学的应用价值；是学生体会获取知识后成功的喜悦，培养学生的学习兴趣，养成主动探究的习惯。
四、教法学法
1.教学方法
第斯多惠说过：“一个坏的老师奉送真理，一个好的老师则教人发现真理”。因此，我采用引导发现法与启发探究法相结合的教学方法，启发学生在探究的过程中发现真理，体会获得成功的快乐。
2.学习方法
新课标中“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”因此，我鼓励他们采用自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲身经历知识的形成过程，最终掌握良好的学习方法和学习习惯。
五、教学过程
为了达到预期的教学目标，我设计了以下五个环节。
环节1：创设情境，导入新课
教师用多媒体向同学们展示情境1、情境2. 引导学生发现它们的变化周期，使学生对周期有初步的认识。再让学生进入情境3，说一说。
情境1：四季变化的图片。
情景2：月亮圆缺现象，即一个月的月亮图形。
情境3：鼓励学生列举类似的周而复始的现象。 紧接着，说明这种现象是周期性。
设计思路： 皮亚杰曾说：没有一个行为模式不含有情感因素作为动机。这样的设计不仅激发了学生的学习兴趣，还使学生对周期有一个初步的认识。
师：数学源于生活，但高于生活，数学是自然规律的高度概括与抽象。那么，我们用数学语言如何刻画周期性？
设计思路：由生活中的自然现象自然过渡到数学课堂中，使学生感受到数学源于生活。
环节2：观察分析，形成概念
问题1：观察正弦函数、余弦函数的图像，指出它的定义域和值域分别是什么？
设计思路：学生们容易想到正、余弦函数就是周期函数的代表。首先，带领学生回顾其图像，得到正弦函数、余弦函数的定义域和值域，为本节课的难点做铺垫。
问题2：正弦函数图像有何规律？其本质是什么？
设计思路：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始。”留给学生充分的时间，进行小组讨论，之后请小组代表汇报结果。学生可以得到该图像是以2π、4π等为单位的周而复始的变化。但对于其本质，部分同学难以表达。
问题3：观察下面的图形和三组点，分析并总结这几组点有什么共同特征？
设计思路：对于正弦函数图像规律的本质，一些同学难以理解。我以2π为周期为例，化抽象为形象，帮助学生理解周期函数的本质，为概念形成打下良好的基础。让学生观察几组特殊点，分析共同属性，同学们经过交流，抽象得到其本质。
问题4：你能将正弦函数的周期性推广到一般函数，得到周期函数的定义么？
定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当X取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么f（x）就叫周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
设计思路：趁热打铁，启发同学们将它推广到一般函数，在小组中交流后，形成周期函数的概念。这样的设计有利于培养学生观察、分析、抽象概括的能力，培养学生的六大核心素养之一——抽象素养，同时，进一步渗透数形结合的思想方法。
问题5：一个函数的周期是唯一的么？其周期中最小的正数是多少？
生：不是唯一的，例如正弦函数的周期有2π，4π，6π…，最小正数是2π。
此时，我便给出最小正周期的概念：如果在周期函数f（x）的所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期（如果不加特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期）。
设计意图：直接给出最小正周期的概念，以概念同化的形式让学生学习此概念，扩大了学生原有的认知结构。
问题6：是不是每一个周期函数都有最小正周期呢？
生：常函数f（x）=c没有最小正周期。
设计思路：学生通过对已学的函数进行讨论，得到常函数没有最小正周期。
问题7：我们已经基本掌握了正弦函数的周期性，通过类比的方法，你能得到余弦函数的周期性么？
师：正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。
生：余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。
设计思路：学生通过类比的方法，进行知识性的小结，再次理解函数的周期性。
环节3：合作探究，深入理解
探究1：用定义法求下列函数的周期。
设计思路：本环节是这节课的难点。我采用由一般到特殊的方法，先给出一个例题，请同学们独立完成。本题既是对周期函数定义的考察，又是为探究正余弦型函数周期公式做铺垫，起着承上启下的作用。我将对一二题进行分析，首先看第一题，观察f（x）的形式，由正弦函数的周期为2π得到f（x+T）的形式，T既是此函数的周期。再看第二题，需要将2x看成一个整体，同理得到其周期周期。通过对前两题的分析，让同学们对第三题进行整理、分析、交流、展示。
探究2：你能从探究1的解题过程中，猜想出y=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω?0）的周期与解析式里的哪些量有关？
设计思路：同学们在小组内交流后发现：（1）ω=1，T=2π；（2）ω=，T=π ，得到函数的周期仅与ω的值有关，并猜想得到周期公式 。数学是抽象的，为了让学生形象感知，我将在几何画板中，通过改变A、W、Q量，验证此猜想的一般性。同时，数学也是严谨的，学生类比探究1的第（3）题的证明演绎推理得到该函数周期公式。同理，得到余弦型函数周期公式。
环节4：运用新知，巩固提升
练习1：求函数 的周期。
变式：求函数 的周期。
练习2：若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示.
（1）求该函数的周期；
（2）求t=10s时钟摆的高度。
设计思路：学生知识的掌握是通过“学得”和“习得”而来的，所以我给出了两道练习题。练习1是基本型的，直接利用公式，目的是强化学生对公式的理解，变式是对公式的灵活运用，需要先应用诱导公式。练习2是一道实际应用题，不仅考察了学生对周期函数的理解，还体现了数学的应用价值。
环节5：温故反思，任务后延
1.温顾反思
（1）本节课你学习了哪些知识？
（2）本节课你学习了哪些思想方法？
设计思路：我以学生为主体归纳本节所学知识和思想方法。目的是帮助学生建构知识体系，深化认知结构。
2.任务后延
必做题：课本P36：练习1、练习2
选做题：你认为求函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）和y=Acos（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω?0）的方法能否推广到一般函数的周期上去？即命题：
“如果函数f（x）的周期是T，那么函数y=f（x）的周期是 ”是否成立？
设计思路：针对学生差异我设计了必做题和选做题，这样使人人都学数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
六、板书设计
七、设计分析
本课在“教师为主导，学生为主体”的教学思想的指导下，以周期函数概念的形成，正弦函数、余弦函数的周期性，正弦型、余弦型函数周期公式作为明线，让学生由感性认识上升到理性认识，感受其应用价值。在教学当中，我还将通过学生的课堂反馈及时调整自己的教学内容和方法，使自己的教更好的服务于学生的学。
参考文献：
[1]何小亚.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社，2012：249.
[2]孙培青.教育名言录.上海：上海教育出版社，1984：67.
函数周期性概念的探究学习活动 第4篇
步骤一:感受周期函数图像的变化规律
首先教师请学生分别做出函数与的图像 (图1和图2) , 然后让学生观察函数图像, 发现图像的特征。
学生的直观感受是:图1中同一段曲线重复不断出现, 其间每段的间隔也一样。图2中波峰、波谷不断重复出现, 间隔也一样。这就是函数图像的特征周期性变化。
学生通过作图, 得出这种函数性质的本质特征是:同一段图像每隔相同的间隔不断重复出现。因此“同一段图像”周期性出现的间隔是刻画函数周期性的关键, 这便需要学生进一步探究图像周期性出现的间隔。
步骤二:探究同一段函数图像周期性出现的间隔
师生讨论后确定探究方案:取定同一个函数值, 分别找出对应自变量x的值, 看看这些x的值是不是间隔一样。学生按照上述要求动手实验, 完成后教师请两名学生展示结果。
学生1作一个常值函数y=1.3791, 求出它与图像的交点分别为-9.287953、-5.287953、-1.287953、2.712047、6.712047、10.712047 (图3和图4) , 发现交点的纵坐标不变, 横坐标依次相差4。
学生2作一个常值函数y=2.3157, 求出它与函数图像的交点分别为-8.485686、-4.485686、-0.485686、3.514314、7.514314、9.514314, 仍然具有同样的规律, 交点的纵坐标不变, 横坐标仍然依次相差4。
再展示其他学生的结果, 也有同样的结论, 于是我们认识到要得到相同的函数值, 只要自变量的值相差是4的整数倍就可以, 也就是同一段图像每隔4就重复出现。
如果我们任意确定一个x值, 依次加上4后, 它们所对应的函数值是不是一样呢?
步骤三:验证结论
学生按照上述要求动手实验, 完成后教师请同学展示结果。
学生3任意确定一个初始值-17.493817, 设置步长为4, 显示函数值表 (图5和图6) , 发现函数值都是1.17767873。再任意取定初始值-5.739617, 显示函数值表, 发现函数值都是0.95799962, 函数值总是相等。
展示其他学生的结果, 也有同样的结论, 那么我们认识到对于确定的任意一个x值, 依次加上4后, 它们对应的函数值是相等的。
步骤四:抽象出函数周期性概念
教师:从上面的实验看出, 对于任意一个自变量x的值加上4以后函数值都是一样的, 这里的常数4就是这个函数周期性变化的间隔, 4称为这个函数的周期, 我们把函数的这种性质称为函数的周期性。
师生共同分析, 将上述结论用数学语言来表达就是:对任意一个自变量x, 都有f (x+4) =f (x) 。
教师再引导学生回想函数的单调性、奇偶性定义, 引导学生给一般函数的周期性下定义。
学生:如果存在一个常数T (T≠0) , 使得函数y=f (x) 在定义域内的每一个x都有:f (x+T) =f (x) , 则称函数y=f (x) 是周期函数, 称常数T为周期。
在讨论过程中学生会忽略T≠0的条件, 教师要适当举出反例帮助学生认识。例如:若T=0, 那么每个函数都满足条件, 都是周期函数, 这一结论显然不对, 比如y=x, 这个函数就不是周期函数。
周期函数怎么判断 第5篇
1、根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的`，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。
例：f(X)=cosx 是非周期函数。
2、一般用反证法证明。(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。
例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使true ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数
证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(>0)，使之true，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有sin(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴(+1)2
抽象函数的对称性与周期性 第6篇
关键词：函数；对称性；周期性
一、抽象函数图像本身的对称性
1.若函数y=f（x）定义域为R，?摇?摇?坌x∈R都有f（a+?棕x）=f（b-?棕x）?摇（?棕≠0）?摇?摇?摇成立，则函数y=f（x）的图像关于直线?摇x=?摇■?摇对称.特别地，当?摇?棕=1时，f（a+x）=f（b-x），?摇y=f（x）的图像关于直线x=?摇■对称.
2.若函数y=f（x）的图像关于直线x=m对称，则y=f（?棕x+k）（?棕＞0?摇?摇）的图像关于直线x=?摇■对称.
3.若函数?摇y=f（?棕x+k）（?棕＞0）的图像关于直线x=m对称，函数y=f（x）的图像关于直线x=?摇?棕m+k对称.
4.若函数y=f（x）定义域为R，?坌x∈R都有f（a+?棕x）+f（b-?棕x）＝c成立，则函数y=f（x）的图像关于（■，■）对称.特别地，当?摇?棕=1且c=0时，函数?摇y=f（x）的图像关于（■，0）对称.
5.若函数?摇y=f（x）的图像关于点（m，n）对称，则y=f（?棕x+k）（?棕＞0）的图像关于点（■，n）对称.
6.若函数y=f（?棕x+k）（?棕＞0?搖?摇）的图像关于点（m，n）对称，则函数y=f（x）的图像关于点（?棕m+k，n）对称.
二、两个抽象函数图像的对称性
1.若函数y=f（x）定义域为R，则g（x）=f（a+?棕x）与h（x）=?摇f（b-?棕x）（?棕≠0）的图像关于直线x=?摇■?摇对称.
2.若函数y=f（x）定义域为R，则?摇g（x）=f（a+?棕x）与h（x）=c-f（b-?棕x）（?棕≠0）的图像关于点（■，?摇■）对称.
三、抽象函数的周期性
1..若函数y=f（x）定义域为R，且满足条件f（?棕x+a）=f（?棕x+b）（?棕＞0），则y=f（x）是以T=a-b为周期的周期函数.
2.若函数y=f（x）定义域为R，且满足条件f（?棕x+a）=-f（?棕x+b）（?棕≠0），则y=f（x）是以T=2a-b为周期的周期函数.
3.若函数y=f（x）定义域为R，且满足条件?摇f（?棕x+a）=±■（?棕≠0，a≠0），则y=f（x）是以T=2a为周期的周期函数.
四、抽象函数的对称性与周期性
1.若函数y=f（x）的图像关于直线x=a与x=b（a≠b)对称，则?摇y=f（x）是以T=2b-a为周期的周期函数.
2.若函数y=f（x）图像关于点（a，0)与点（b，0）（a≠b)对称，则y=f（x）是以T=2b-a为周期的周期函数.
3.若函数y=f（x）图像关于直线x=a与点（b，0）（a≠b)对称，则y=f（x）是以T=4b-a为周期的周期函数.
五、高考题模拟题选
例1.（2010辽宁朝阳）已知函数y=f（x）定义域为R，且满足f（3+2x）=-f（3-2x）
f（8+5x）=-f（6-5x），?摇?摇f（1）=3，则f（2010）=
解：∵?摇f（3+2x）=-f（3-2x）∴?摇y=f（x）的一个对称中心是（3，0）
∵f（8+5x）=-f（6-5x）∴y=f（x）的一个对称中心是（7，0）
∴y=f（x）的周期T=23-7=8
∴f（2010）=f（8×251+2）=f（2）=3
例2.（2008四川卷11）设定义在R上的函数f（x）满足?摇?摇f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（?摇?摇）
（Ａ）13?摇 （Ｂ）2 （Ｃ）■ （Ｄ）■?摇
周期函数的周期性在题解中的应用 第7篇
一、求函数的周期
引理1:若周期函数f (x) 有最小正周期T, 则kf (x) +c (k≠0) , 1/f (x) 也有最小正周期T;函数f (ax+b) (a≠0) 有最小正周期T/|a|.
例1.求y=tgx+ctg2x的最小正周期
分析:将函数解析式化为只含有一个三角函数式的形式, 再求最小正周期.
解:y=tgx+ctg2x=sinx/cosx+cos2x/sin2x=cos (x-2x) /cosxsin2x=1/sin2x
函数y=sinx的最小正周期为2π
函数y=sin2x的最小正周期为π
函数y=1/sin2x的最小正周期为π
故函数y=tgx+ctg2x的最小正周期为π
由例1可知解这类问题的一般方法是将解析式化为只含有一个三角函数的形式, 通过三角函数的周期, 求所给函数的周期.
二、求函数的定义域
引理2:若f (x) 有最小正周期T, 则f (x) 的任何正周期T1一定是T的整数倍.
例2.求函数y=1/ (1+tgx) 的定义域
分析:分式有意义的条件是分母不为零, 还要注意正切函数本身要有意义.
解:要使函数y=1/ (1+tgx) 有意义, 则1+tgx≠0且x≠kπ+π/2 (k∈Z)
要使1+tgx≠0即tgx≠-1,
又∵函数y=tgx的周期是π
∴在 (-π/2, π/2) 内, x≠π/4
∴x≠kπ+π/4 (K∈Z)
故函数y=1/ (1+tgx) 的定义域为{x|x∈R, 且x≠kπ+π/4, x≠kπ+π/2, k∈Z}.
因为周期函数在定义域内形态呈周期变化, 所以研究这种函数时, 不必分析其整个定义域内的情况, 而只需在一个定义域内讨论特解.
引理3:如果f (x) 是g (x) 定义在同一个集合M上的周期函数, 周期分别为T1和T2, 且T1/T2=a, 而a是有理数, 则它们的和、差、积也是周期函数, 且T1和T2的公倍数为其一个周期.
三、求函数的极值
例3.求函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的最大值
解:设函数y1=sinx+cosx, y2=sinxcosx
∴y1的周期是T1=2π
有∵y2=sinxcosx=sin2x/2, y2的周期T2=π
∴当x=kπ (k∈Z) 时, y2有最大值1/2
又∵T1与T2的公倍数为2π
由上述定理可知, 2π是函数y=1+y1+y2的一个周期, 而在[0, 2π]内, y1、y2都只有一个最大值点x=π/4
四、解方程
例4.解方程tg10x+tg2x=0
解:设y1=tg10x, y2=tg2x, 则他们的最小正周期分别为T1=π/10、T2=π/2
由上述引理可知, 它们的最小公倍数π/2就是函数y=tg10x+tg2x的一个周期.在[0, π/2]内, 方程无意义的点的集合是M={π/20, 3π/20, π/4, 7π/20, 9π/20}
将方程改写为tg10x=tg (-2x)
10x=k-2x, 即x=kπ/12 (k∈Z)
当k取0, 1, 2, 3, 4, 5, 6时, x在[0, π/2]上的值分别为0, π/12, π/6, π/4, π/3, 5π/12, π/2, 但π/4∈M, 故不能是方程的根.
原方程的根是x=nπ/2+kπ (0≤k≤6, k≠3, k∈Z, n∈Z)
五、解不等式
例5.解不等式cos3x+2cosx≤0
解:∵cos3x+2cosx=2cos2xcosx+cosx=cosx (2cos2x+1) ≤0
由cosx=0, 得x=kπ+π/2 (k∈Z)
由 (2cos2x+1) =0得x=kπ±π/3 (k∈Z)
又y=cosx的周期T1=2π, y=2cos2x+1的周期T2=π, 它们的最小公倍数2π, 故在[0, 2π]上, cosx=0的根为π/2, 3π/2; (2cos2x+1) =0的根为π/3, , 2π/3, 4π/3, 5π/3, 所以cos3x+2cosx=0在[0, 2π]有6个根, 它们分别为π/2, 3π/2, π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3故不等式的解集为:
M={x|2kπ+π/3≤x≤2kπ+π/2}∪{x|2kπ+2π/3≤x≤2kπ+4π/3}∪{x|2kπ+3π/2≤x≤2kπ+5π/3} (k∈Z)
从以上几类可以知道, 从三角形的周期性解决数学问题, 借助三角形周期性这一特殊性质可以解决相关数学问题并且使之简单化, 所以当我们利用三角形函数周期性解决这些问题时, 前提是必须理解和掌握三角形的周期性.
参考文献
[1]姚伟国.用图像法巧求三角函数的周期[J].职业技术教育, 1999, (04) .
[2]杨绍业.三角函数周期的求法[J].师范教育, 1991, (06) .
抽象函数的周期性探析 第8篇
近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目,大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中学生对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以本文尝试归结抽象函数的周期性问题的几个常见的结论并给予简单的证明,并通过几个例题说明简单的应用,供大家参考.
一、三个结论
结论1(递推式与周期关系结论)
(1)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|;
结论2(对称性与周期关系结论)
(1)若f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2|b-a|;
证明:∵f(x)关于直线x=a和x=b对称,
将上式的-x以x代换得f(2a+x)=f(2b+x),x∈R,
(2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|;
证明:∵f(x)关于点M(a,0)对称,f(2a-x)=-f(x),x∈R,
将上式中的-x以x代换,得f(2b+x)=-f(2a+x),x∈R,
∴f(x)是R上的周期函数且4 b-a是它的一个周期.
(3)f(x)关于点M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|ba|.
证明:∵f(x)关于M(a,0),N(b,0)对称,
将上式中的-x以x代换,得f(2a+x)=f(2b+x),x∈R,
结论3(奇偶性与周期关系结论)
(1)f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|;
证明:∵f(x)是偶函数,故f(x)关于x=0对称,又关于x=a对称,
二、应用举例
分析f(x)是偶函数的实质是f(x)的图像关于直线x=0对称,又f(x)的图像关于x=1对称,由结论2中的(1)可得f(x)是周期函数.
解析(Ⅰ)解略.
(Ⅱ)证明:依题设y=f(x)关于直线x=1对称,故f(x)=f(2-x),x∈R,
又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x).
将上式中-x以x代换,得f(x)=f(x+2),x∈R.
这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.
例2(求值)(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2008,求f(2009)的值.
(2)已知函数f(x)=f(x+2)+f(x-2)对于x∈R恒成立,且f(1)=5,求f(2005)的值.
∴由1+2得f(x+4)=-f(x-2).即f(x+6)=-f(x).
由结论1(3)知T=12,故有f(2005)=f(1+12×167)=f(1)=5.
A.是奇函数而不是偶函数
B.是偶函数而不是奇函数
C.是奇函数又是偶函数
D.不是奇函数也不是偶函数
例4(求解析式)已知偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且x∈[3,4]时f(x)=2x-1,求当x∈[14,15]时,f(x)的解析式.
从以上例题可以发现,抽象函数周期性的考查往往与函数的奇偶性、对称性等联系在一起,范围较广,能力要求较高.但只要对函数基本性质熟练,并掌握上述有关的结论和类型题目的相应解法,则会得心应手,事半功倍.
参考文献
[1]祁正红.抽象函数的周期[J].中学数学教学,2005(05).
[2]李金菊.利用函数的周期性解抽象函数题[J].昭通师范高等专科学校学报,2005(02).
一致概周期函数的两个性质 第9篇
研究概周期微分方程
的概周期解的存在性问题时, 需要考虑含参数x的关于t是概周期的函数f (t, x) , 在[1]中已对不含参数的概周期函数f (t) 的定义以及相关的性质进行了讨论.本文将给出一致概周期函数f (t, x) 的两个性质及证明.
En表示Rn或Cn, D是En中开集或D=En。C (RD, En) 表示定义在RD上取值于En中的连续函数类。
2 基本结果[3,4]
先回顾一下一致概周期函数的定义及一个已知的结果。
定义设f (t, x) ∈C (RD, En) , 如果对任给ε>0和D中任一紧集S, 集合
是相对稠密的, 即对任给ε>0和D中任一紧集S存在数l=l (ε, S) , 使得R上长为l的任意区间内总有τ使
对一切 (t, x) ∈RS成立, 则称f (t, x) 对x∈D关于t是一致概周期的.即f (t, x) 是t的概周期函数, 对x∈D是一致的.
上述τ称为f (t, x) 的ε移位数或ε概周期.T (f, ε, S) 叫做f (t, x) 的ε移位数集或ε概周期集.l (ε, S) 称为T (f, ε, S) 的包含区间长。
定理 (已知的结果)
设f (t, x) ∈C (RD, En) 对x∈D关于t是一致概周期的, 则f (t, x) 在RS上有界且一致连续, 这里S是D的任一紧集.
以下是引言中提到的两个性质
定理1设f (t, x) ∈C (RD, En) 对x∈D关于t是一致概周期的, 对每个给定的ε>0, T (f, ε, S) 都含有由ε概周期组成的相对稠密的子区间.这些子区有同一长度η=η (ε) 即存在正数L=L (ε, S) , 对任一a∈R使得在区间[a, a+η]都有子区间[a, a+η]奂T (f, ε, S) .此外, 对整数k, 相对稠密集U={kη}奂T (f, ε, S) .
定理2设f (t, x) , g (t, x) ∈C (RD, En) .对x∈D关于t是一致概周期的, 那么对于任意ε>0, T (f, ε, S) ∩T (g, ε, S) 是非空相对稠密集, 其中S是D的任一紧集.
3 定理1、2的证明
定理1的证明[1,5]由f (t, x) 在RS上是一致连续的, 对任给ε>0, 存在δ (ε) >0, 坌 (t1, x) , (t2, x) ∈RS, 只要|t1-t2|<δ (ε1) , 就有
因此, 对, 有[a, a+η]奂T (f, ε, S) , 所以任意长度均为η, 故在每一个这样的子区间上都可取f (t, s) 的ε一致概周期等于η的整数倍.证毕!
定理2的证明[4]已知f (t, x) , g (t, x) 对x∈D关于t是一致概周期的, 由定理可知f (t, x) , g (t, x) 在RS上一致连续.即对ε>0, 以及紧集S奂D可取两组数 (ε, δ1) 和 (ε, δ2) , 其中分别表示的包含区间长, 取η=min{δ1, δ2}, Li=li+η (i=1, 2) , L=max{L1, L2}由定理1可知, 对于任意a∈R在任一长度为L的区间[a, a+L]上, 可分别找到f (t, x) , g (t, x) 的ε/2一致概周期τ1=mη和τ2=nη其中m, n为整数, 并且|τ1-τ2|≤L, 令m-n=u, 则u只能取有限个整数值u1, u2, , up, 对应的τ1和τ2分别记为τ1 (j) 和τ2 (j) , 即τ1 (j) -τ2 (j) =ujh, j=1, 2, , p.
对任一a∈R在长度为L的区间[a+T, a+T+L]上可分别取f (t, x) , g (t, x) 的ε/2一致概周期τ1和τ2必有某个整数uj, 使, 于是τ (ε) ∈[a, a+L+2T], 并且对一切t∈R, x∈S有
这就证明了在任一长度为 (L+2T) 的区间[a, a+L+2T]至少有τ=τ (ε) 使t∈T (f, ε, S) ∩T (g, ε, S) .
摘要：关于概周期函数的Bohr定义及其基本性质等一些古典结果可在任何一本概周期函数的书中找到, 见文[2]的第一章或文[1]。关于概周期函数的常见的等价定义和性质可参见文[3].利用紧性准则来刻画概周期函数的想法是由Bochner首先提出的见文[1]。研究概周期微分方程概周期解的存在性问题须考虑含参数x的一致概周期函数f (t, x) 。这里给出一致概周期函数的两个紧致性结果及证明。
关键词：一致,概周期函数,概周期微分方程
参考文献
[1]何崇佑.概周期微分方程[M], 北京:高等教育出版社, 1992.
[2]A.M.Fink, Almost Periodic Differential Equations[M].LectureNotes in Math.377, Springer-verlag, 1974.
[3]A.M.Fink, Almost Periodic function invented for specific pur-poses[J].SIAM Review 14, 4.1972, 572-581.
[4]周同藩.完全非线性一阶概周期系统概周期解的存在唯一性[J].西北师范大学学报:自然科学版, 2004, 2:7-9.
周期函数及其推广 第10篇
现代数学认为, 拓扑空间的性质, 可以由其上的函数空间来刻画, 而其函数空间的性质, 也受其拓扑结构的影响。经典的周期函数的研究, 其实质是要研究空间的对称性, 而调和分析则是研究群的表示理论[1], 群即意味着对称, 因此, 从对称性或群作用这一观点看, 周期函数自然可以有非常自然地推广, 而这现代数学中, 虽然研究许多函数不是研究古典的周期函数, 但实质上还是与古典的周期函数有着莫大的关联。
2. 古典情形
这三种定义都有文献作相应的讨论。在形式上看, 这三个定义是做了逐渐的推广, 当然也就不等价。后面我们将看到, 从定义1推广到定义2, 是对周期函数的定义域进行扩展, 从定义2推广到定义3, 是对周期函数的周期集进行扩展, 这种扩展也有相应的文献进行讨论, 但基本上只是细节上的小推广, 并不是本质的问题, 而定义1则是相当本质的, 而在定义1的基础上, Fourier分析就相应的建立了起来。
3. 主要结论
命题1, 定义1与定义2刻画的周期函数的周期集是实数加群的加法子群, 定义3所刻画的周期函数的周期集是实数加群的子半群。
4. 周期函数的推广
由群论的凯莱定理, 我们知道, 定义4与定义5在本质上是一回事。当然, 定义4的定义还可以将群G推广成半群, 但是, 在许多情形之下, 这仅是技术上的需要。
为了能在更广阔的范围内应用周期函数的思想, 本文给出以下的推广。
5. 应用
摘要：本文将剖析周期函数的概念, 并在群作用的观点基础上对其进行推广。
关键词：周期函数,对称性,群作用
参考文献
[1]曹锡华, 叶家琛.群表示论[M].北京:北京大学出版社.1998, 1.
[2]张筑生.数学分析新讲[M]第三册北京:北京大学出版.1991, 308.
[3]王昆扬.简明数学分析[M]北京:高等教育出版社.2001, 34.
[4]华东师范大学数学系.数学分析[M], 第三版.北京:高等教育出版.2001, 19.
[5]陈纪修, 於崇华.数学分析[M]第二版.北京:高等教育出版.200420.
函数·奇偶性与周期性 第11篇
1. 已知[f（x）]是奇函数，[g（x）]是偶函数，且[f（-1）+g（1）=2]，[f（1）+g（-1）=4]，则[g（1）]等于（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，当[x≥0]时，[f（x）=3x+m]（[m]为常数），则[f（-log35）]的值为（ ）
A. 4 B. -4 C. 6 D. -6
3. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，若对于[x≥0]，都有[f（x+2）=f（x）]，且当[x∈[0，2]]时，[f（x）=ex-1，][f（2013）+f（-2014）=]（ ）
A. [1-e] B. [e-1]
C. [-1-e] D. [e+1]
4. 已知函数[f（x）]的定义域为[（3-2a，a+1）]，且[f（x+1）]为偶函数，则实数[a]的值可以是（ ）
A. [23] B. 2 C. 4 D. 6
5. 已知奇函数[f（x）=3x+a（x≥0），g（x）（x<0），]则[g（-2）]的值为（ ）
A. -6 B. -8 C. 4 D. 6
6. 定义运算[ab=a2-b2，][ab=][（a-b）2]，则[f（x）=2x（x2）-2]为（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 常函数 D. 非奇非偶函数
7. 已知函数[f（x）=12（ex-e-x）]，则[f（x）]的图象（ ）
A. 关于原点对称 B. 关于[y]轴对称
C. 关于[x]轴对称 D. 关于直线[y=x]对称
8. 函数[f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1-x），]则[f（x）-g（x）]是（ ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既不是奇函数又不是偶函数
D. 既是奇函数又是偶函数
9. 已知定义在[R]上的函数[f（x）]，对任意[x∈R]，都有[f（x+6）=f（x）+f（3）]成立，若函数[y=f（x+1）]的图象关于直线[x=-1]对称，则[f（2013）=]（ ）
A. 0 B. 2013 C. 3 D. -2013
10. 已知定义在[R]上的函数[y=f（x）]满足以下三个条件：①对于任意的[x∈R]，都有[f（x+4）=f（x）]；②对于任意的[x1，x2∈R]且[0≤x1 A. [f（4.5） B. [f（7） C. [f（7） D. [f（4.5） 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 若函数[fx=ax2+bx+3a+b][（a-1≤x≤][2a）]是偶函数，则点[a，b]的坐标是 . 12. 已知函数[f（x）]是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且[x∈（-32，0）]时，[f（x）=] [log2（-3x+1）]，则[f（2014）]= . 13. 定义在[[-2，2]]上的奇函数[f（x）]在[（0，2]]上的图象如图所示，则不等式[f（x）>x]的解集为 . 14. 给出定义：若[m-12 三、解答题（共4小题，44分） 15. （10分）设[a]为实数，函数[f（x）=x2+|x-a|][+1]，[x∈R]. （1）讨论[f（x）]的奇偶性； （2）求[f（x）]的最小值. 16. （12分）已知函数[f（x）=-x2+2x，x>0，0，x=0，x2+mx，x<0]是奇函数. （1）求实数[m]的值； （2）若函数[f（x）]在区间[[-1，a-2]]上单调递增，求实数[a]的取值范围. 17. （10分）已知函数[f（x）]的定义域是（[0，+∞）]，且满足[f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=1]，对于[0 （1）求[f（1）]； （2）解不等式[f（-x）+f（3-x）]≥-2. 18. （12分）设函数[f（x）=ax-（k-1）a-x（a>0][且a≠1）]是定义域为[R]的奇函数. （1）求[k]值； （2）若[f（1）<0]，试判断函数单调性并求使不等式[f（x2+tx）+f（4-x）<0]恒成立的[t]的取值范围； （3）若[f（1）=32]，且[g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）]，在[[1，+∞）]上的最小值为-2， 求[m]的值. 对于导函数, 在我们的教学中往往只关注导数的应用, 特别是导数在处理函数的单调性、极值 (最值) 、不等式的证明等问题中别具一格的应用, 更是把导数的“本色”刻划得淋漓尽致.其实, 导函数本身也许多独特的性质, 如导函数的周期性与奇偶性在最近几年的高考数学试题中考查便是一大“亮点”, 本文主要罗列其中的性质, 再作简单的应用. 1 定理再现 定理1 已知函数y=f (x) 是可导的周期函数, 则其导函数y=f′ (x) 也为周期函数且与y=f (x) 具有相同的周期. 证明 因为函数y=f (x) 是可导的周期函数, 所以f (x+T) =f (x) (T为周期) , 利用复合函数导数运算法则得f (x+T) (x+T) ′=f′ (x) , 因此f′ (x+T) =f' (x) . 定理2 已知函数y=f (x) 是可导的偶函数, 则其导函数f′ (x) 是奇函数;反之, 如果函数f (x) 是可导的奇函数, 其导函数f′ (x) 是偶函数. 证明 因为函数y=f (x) 是可导的偶函数, 所以f (-x) =f (x) , 利用复合函数导数运算法则得f′ (-x) (-x) ′=f′ (x) , 即f′ (-x) =-f′ (x) , 因此f′ (x) 是奇函数.反之同理可证. 这2个定理刻划了原函数与导函数之间的周期性与奇偶性的内在关系, 在我们解题中具有广泛的应用, 下面通过例题来加以说明. 2 定理应用 例1 (2007年福建高考数学理) 已知对任意实数x, 有f (-x) =-f (x) , g (-x) =g (x) , 且x>0时, f′ (x) >0, g′ (x) >0, 则x<0时, ( ) . (A) f′ (x) >0, g′ (x) >0 (B) f′ (x) >0, g′ (x) <0 (C) f′ (x) <0, g′ (x) >0 (D) f′ (x) <0, g′ (x) <0 分析 由定理2知:函数f′ (x) 是偶函数, 函数g′ (x) 是奇函数.又因为当x>0时, f′ (x) >0, g′ (x) >0, 所以x<0时, f′ (x) >0, g′ (x) <0.选B. 例2 (2006年湖南高考数学理) 若 解法1 由偶函数的定义知:f (-x) =f (x) 对定义域中任何一个x都成立.即 解法 评注 如果直接去解答这类问题往往要利用偶函数的定义, 这就需要涉及到比较大的计算量.但转化为导函数后, 其导函数为奇函数, 就可以奇函数的特性来解答问题, 不仅开阔思路, 而且简化运算, 真是一举两得的事情.高三阶段的复习不仅需要“温故”, 更需要“知新”, 通过前后知识的整合, 剖析了知识间的内在联系, 重新构建起学生的知识网络, 避免了盲目的“题海战术”, 是提高复习效率的关键所在. 例3 (2007年江西高考数学理) 设函数f (x) 是R上以5为周期的可导偶函数, 则曲线y=f (x) 在x=5处的切线的斜率为 ( ) . (A) -1/5 (B) 0 (C) 1/5 (D) 5 分析 曲线y=f (x) 在x=5处的切线的斜率为f′ (5) , 由定理1与2知:f′ (x) 是奇函数且周期为5.所以f′ (5) =f′ (0) =0, 选B.关注导函数的周期性与奇偶性 第12篇
函数周期的学习
声明：除非特别标注，否则均为本站原创文章，转载时请以链接形式注明文章出处。如若本站内容侵犯了原著者的合法权益，可联系本站删除。
