含有绝对值的不等式

含有绝对值的不等式（精选14篇）

含有绝对值的不等式 第1篇

教学目标

（1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法；

（2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法；

（3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法；

（4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

① 本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神．

②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点．

三、教学建议

（1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的`证明举例．

（2）课前复习应充分．建议复习：当 时

；

；

以及绝对值的性质：

，为证明例1做准备．

（3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究： 是否等于 ？大小关系如何？ 是否等于 ？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论．

（4）不等式 的证明方法较多，也应放手让学生去探讨．

（5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论 ．

（6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神．

教学设计示例

含有绝对值的不等式 第2篇

知识与技能：

1.理解绝对值的三角不等式，2．应用绝对值的三角不等式．

过程方法与能力：

培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；提高分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观：

让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。

教学重点：理解绝对值的三角不等式

应用绝对值的三角不等式．

教学难点：应用绝对值的三角不等式．

教学过程：

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）abab（2）abab

a

bab（3）abab（4）(b0)

请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质abab和a

ba

b(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直

接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？ 显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

定理（绝对值三角形不等式）如果a,b

是实数，则

ab≤ab≤ab

注：当a、b为复数或向量时结论也成立.特别注意等号成立的条件.定理推广：

a1a2an≤a1a2an

当且仅当都a1，a2，，an非正或都非负时取等号.探究：利用不等式的图形解不等式1.x1x11;2．x2y1..3．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x4x3

二、典型例题：

例

1、证明（1）abab，（2）abab。

证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根据（1）的结果，有abbabb，就是，abba。所以，abab。

例

2、证明 ababab。例

3、证明 abacbc。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？

（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例

4、已知 xa

c

2,yb

c2，求证(xy)(ab)c.证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xa

c2,yb

c2c2，c2

c（2）

∴xayb

由（1），（2）得：(xy)(ab)c 例

5、已知x证明x

a4a4,y

a6a6

.求证：2x3ya。

a2,3ya2a2a

2,y，∴2x，a。

由例1及上式，2x3y2x3y

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

三、小结：

借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。

四、练习：

1、已知Aa

2、已知xa

c2c

4,Bb,yb

c2c6

.求证：(AB)(ab)c。

.求证：2x3y2a3bc。

五、作业： 1．求证

ab1ab



a1a



b1b

ab1ab

.2．已知a1,b1.求证：1.3．若,为任意实数，c为正数，求证：(1c)(1

1c)

.（



2

2，而c2



1c



c

2

1c

）

4.a、b、c均为实数,ab,bc,ac,5.已知函数f(x)ax2bxc,当0≤x≤1时,f(x)≤1 求证:abc≤17 作业：导学大课堂练习

课后反思：绝对值不等式的证明

求证:≤

ab2cbc2aca2b

abbcca

含有绝对值的不等式 第3篇

命题1:函数f (x) 可导, 函数F (x) =f (x) (1+|sinx|) , 则f (0) =0是F (x) 在[-1, 1]内可导的充要条件。

证明:

所以F (x) 在[-1, 1]内可导等价于F (x) 在0点可导, 即F+' (0) =F-' (0) , 等价于f' (0) +f (0) =f' (0) -f (0) , 即f (0) =0。

命题2:函数f (x) 可导, 函数F (x) =f (x) (1+|sinx|) , 则f (0) =0不是F (x) 可导的充要条件。

证明:首先由已知条件显然有函数f (x) 在整个实数集上可导、连续。

其次根据函数sinx的性质可以知道

并且注意到三角函数性质:

接下来分别就点2kπ和点2kπ-π (k=0, ±1, ±2, …) 上的可导性进行分析

所以在点2kπ (k=0, ±1, ±2, …) 上, 函数F (x) 可导等价于F-' (2kπ) =F+' (2kπ) ,

等价于f (2kπ) =0。

所以在点2kπ-π (k=0, ±1, ±2, …) 上, 函数F (x) 可导等价于F-' (2kπ-π) =F+' (2kπ-π) ,

等价于f (2kπ-π) =0。

而在除点kπ (k=0, ±1, ±2, …) 以外的区域上函数F (x) 显然是可导的。

综上F (x) 在实数集可导等价于f (kπ) =0。

在实数集上可导的充要条件。

进一步, 可以推广到更为复杂的函数表达式里面含有三角函数和绝对值的求导问题, 该类问题的核心是在分段点上回到导数的定义去求解, 并注意把握三角函数自身的一些属性对求导的影响。

摘要：介绍了了一类特殊表达式中的含三角函数和绝对值的函数求导问题, 给出了该类问题可导的充要条件。

关键词：求导,三角函数,绝对值,充要条件,导数定义

参考文献

[1]赵树嫄.微积分 (第三版) [M].北京:中国人民大学出版社, 2007.

探究绝对值不等式的解法 第4篇

例1 解不等式[|x+3|-|2x-1|

分析 利用零点分段法求解.

解 （1）当[x≤-3]时，

原不等式化为[-（x+3）-（1-2x）][

解得[x<10]，∴[x≤-3].

（2）当[-3

原不等式化为[（x+3）-（1-2x）

解得[x<-25]，∴[-3

（3）当[x>12]时，

原不等式化为[（x+3）-（2x-1）

解得[x>2]，∴[x>2].

综上，不等式解集为[{x|<-25或x>2}.]

点拨 形如[|x-a|+|x-b|≥c]（或[≤c]）型的不等式主要有三种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为[（-∞，a]，（a，b]，（b，+∞）]（此处设[ac]（[c>0]）的几何意义，数轴上到点[x1=a]和[x2=b]的距离之和大于[c]的全体点. （3）图象法：作出函数[y1=|x-a|+|x-b|]和[y2=c]的图象，结合图象求解.

例2 设函数[f（x）=|x-1|+|x-a|]，

（1）若[a=-1]，解不等式[f（x）≥3]；

（2）如果[?x∈R]，[f（x）≥2]，求实数[a]的取值范围.

分析 零点去绝对值法适用于含有多个绝对值的不等式的求解问题.

解 （1）当[a=-1]时，[f（x）=|x-1|+|x+1|]，

由[f（x）≥3]得：[|x-1|+|x+1|≥3]，

方法一：由绝对值的几何意义知，不等式的解集为[{x|x≤-32或x≥32}].

方法二：不等式可化为

[x≤-1，-2x≥3，]或[-11，2x≥3，]

∴不等式的解集为[{x|x≤-32或x≥32}].

（2）若[a=1]，[f（x）=2|x-1|]，不满足题设条件.

若[a<1，f（x）=-2x+a+1， x≤a，1-a， a

[∴f（x）]的最小值为[1-a].

若[a>1，f（x）=][-2x+a+1， x≤1，1-a， 1

[∴f（x）]的最小值为[a-1].

所以[?x∈R]，[f（x）≥2]的充要条件是[|a-1|≥2]，

从而[a]的取值范围为（-∞，-1]∪[3，+∞）.

点拨 含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根.把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间.按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集.

含参数的绝对值不等式问题

例3 已知不等式[|x+1|-|x-3|>a].

（1）若不等式有解；

（2）不等式的解集为[R]；

（3）不等式的解集为?，分别求出[a]的取值范围.

分析 利用绝对值的几何意义，求出[|x+1|-|x-3|]的最值，结合题目条件求解.

解法一 因为[|x+1|-|x-3|]表示数轴上的点[P（x）]与两定点[A（-1）]，[B（3）]距离的差，

即[|x+1|-|x-3|=PA-PB].

由绝对值的几何意义知，[PA-PB]的最大值为[AB=4]，

最小值为[-AB=-4]，即[-4≤|x+1|-|x-3|≤4].

（1）若不等式有解，[a]只要比[|x+1|-|x-3|]的最大值小即可，故[a<4].

（2）若不等式的解集为[R]，即不等式恒成立，

只需[a]比[|x+1|-|x-3|]的最小值还小，即[a<-4].

（3）若不等式解集为[?]，则[a≥4.]

解法二 由[|x+1|-|x-3|≤|x+1-（x-3）|=4]可得

[-4≤|x+1|-|x-3|≤4].

（1）若不等式有解，则[a<4].

（2）若不等式的解集为[R]，则[a<-4].

（3）若不等式解集为?，则[a≥4].

点拨 含参数的不等式有解是存在性问题，只要求存在满足条件的[x]即可. 不等式的解集为[R]是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为?的对立面（如[f（x）>m]的解集是空集，则[f（x）≤m]恒成立）也是不等式的恒成立问题，这两类问题都可转化为最值问题，即[f（x）f（x）max]，[f（x）>a]恒成立?[a

绝对值不等式的证明

例4 设[a∈R]，函数[f（x）=ax2+x-a（-1≤x≤1）]，

（1）若[|a|≤1]，求证：[|f（x）|≤54]；

（2）求[a]的值，使函数[f（x）]有最大值[178].

分析 （1）[|f（x）|]是一个多项式的绝对值，所以可以考虑利用绝对值三角不等式的性质进行放缩，然后再用配方法求解.（2）从[f（x）]的最大值为[178]入手分析，[a<0]时，[f（x）]在对称轴上取得最值.

解 （1）方法一：∵[-1≤x≤1]，∴[|x|≤1].

又∵[|a|≤1]，

∴[|f（x）|=|a（x2-1）+x|]

[≤|a（x2-1）|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|]

[=-（|x|-12）2+54≤54].

方法二：设[g（a）=f（x）=ax2+x-a=（x2-1）a+x].

①当[x=±1]，即[x2-1=0]时，

[|f（x）|=|g（a）|=1≤54].

②当[-1

∵[|a|≤1]，∴[-1≤a≤1].

∴[g（a）max=g（-1）=-x2+x+1][=-（x-12）2+54].

[g（a）min=g（1）=x2+x-1=（x-12）2-54].

∴[|f（x）|=|g（a）|≤54].

（2）当[a=0]时，[f（x）=x].

当[-1≤x≤1]时，[f（x）]的最大值为[f（1）=1]，不满足题设条件，∴[a≠0].

又[f（1）=a+1-a=1，f（-1）=a-1-a=-1]，

故[f（1）]和[f（-1）]均不是最大值.

∴[f（x）]的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得.

∴命题等价于[a<0，-1<-12a<1，f（-12a）=178.]

∴[a=-2].

《含绝对值不等式的解法》教案 第5篇

本课件依据我校高三数学第一轮复习用书《步步高高考总复习—数学》及另选部分题目制作而成，全部内容都经过了课堂教学的检验，为教学过程的实录。

本节课首先给出复习目标、重点解析及知识要点，并给出了绝对值不等式||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|中等号成立的充要条件，对其中较难理解的情况给出了分析或证明。

然后给出了3道典型例题，每道例题后选配训练题帮助学生巩固、掌握所复习的知识。

最后以备选题的形式给出了12道训练题(其他教师使用本课件时可根据所教学生情况的不同，选取其中的题目作为例题)。大多数题目给出了不只一种的解题方法(思路)。

含有绝对值的不等式 第6篇

班级姓名

一、学习目标

1、体会绝对值的几何意义

2、会用变量代换的思想方法解含绝对值的不等式

二、重点、难点

重点：会用变量代换的思想方法解含绝对值的不等式 难点：会用变量代换的思想方法解含绝对值的不等式

三、课前预习

1、x3的根是

2、a的几何意义是

四、课堂探究

探究：

1、某工厂生产直径为10cm的传动轴，误差不超过0.02cm为合格产品。若某技师生产的传动轴直径为dcm，经检测属合格品，则d满足什么条件？

2、不等式x3与x3的解集在数轴上怎样表示？

总结1：不等式xa(a0)的解集是

总结2：不等式f(x)a(a0)可化为

不等式f(x)a(a0)可化为问题解决：

商品房买卖合同上规定：（1）面积误比差，即

产权登记面积-合同约定面积的绝对值在3%内（含3%）的，据实

合同约定面积

结算房款；

（2）面积误比差的绝对值超过3%时，买房人有权退房。

王先生买房时合同约定的面积为120cm2，那么房屋竣工后，现场实测产权登记面积结果在什么范围内时，他必须据实结算房款？结果在什么范围时，他有权退房？

五、课堂练习

1、填空：

（1）不等式x4的解集是（2）不等式x9的解集是

不等式xa(a0)的解集是例题剖析

例1解下列不等式

（1）2x10（2）

例2解不等式2x37例3解不等式2x5

（3）不等式2x10的解集是

2、解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集：

x2 3

（1）x5（2）x25

（3）2x3（4）2x31

六、课后作业

必做题：书p34习题1、2；指导用书p28A组 选做题：指导用书p29B组

含有绝对值的不等式 第7篇

[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是

{x|-a0)的解集是{x|x>a或x<-a}。把不等式|x|a(a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。

求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。

x2+3x-4<0(x+4)(x-1)<0 或 或-4

原不等式解集为{x|-4

x2+3x-4<0

(x+)2<

|x+|<-

原不等式解集为{x|-4

[例题分析与解答]

例1．解关于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。

[分析与解答]：|ax-2|<4属于|x|0)型。∴-4

当a>0时，-x>，当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。

故a>0时不等式解集是{x|-

例2．解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。

[分析与解答] 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号，符号的正与负是以0为分界点，所以x=3和

x=-是绝对值内两个代数式值的符号的分界点。用3和-将全体实数划分成三个区间，则在每一个区间上都可确定去掉绝对值的结论，由此分情况求解。

(1)

-4≤x<-。

(2)

-≤x≤-。

(3)。

综上，原不等式的解集为{x|-4≤x<-}∪{x|-≤x≤-}={x|-4≤x≤-}。

例3．解关于x的不等式x2+(2-a)x-2a<0,其中a∈R。

[分析与解答] 设y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,抛物线与x轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是-2或a。下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集。

x2+(2-a)x-2a<0

(x+2)(x-a)<0

当a>-2时，原不等式解集是{x|-2例4．已知不等式ax2+bx+c>0的解是-3

[分析与解答] 二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a的符号）又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，通过代入法求解不等式。

由ax2+bx+c>0的解集是-3

且-3，1是方程ax2+bx+c=0的两个根，∴-3+1=-

∴ b=2a, c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a<0，∵ a<0，∴ x2-x-2<0,(x-2)(x+1)<0，∴-1

x2+(1+)x+6(-1)>0，将=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2<0，以下同上面解法。

在本题条件下，要求解每一个字母a,b,c的值是不正确的。由于满足条件的二次函数只要开口向下，与x轴交于点(-3,0)和(1,0)即可，而这样的二次函数有无穷多个，故a,b,c无唯一解。

例5．解关于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R。

[分析与解答] a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。

当a=0时，不等式化为8x+1>0。不等式的解为{x|x>-,x∈R}。

当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。

(1)若016时，Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为。

不等式的解为{x|x<或x>}。

(2)若4

(3)若a=4时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-。不等式的解为{x|x≠-,x∈R}。

(4)若a=16时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根为x=。不等式的解为{x|x≠,x∈R。}。

(5)若a<0, Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向下，此时方程ax2-(a-8)x+1=0的两根大小关系是<, 不等式的解集是：

{x|

[本周参考练习]

1．关于x的不等式|ax+1|≤b的解是-

2．解不等式1<|x-2|≤7。

≤x≤，求a，b的值。

3．不等式ax2+bx+c<0的解为x<α或x>β，其中α<β<0，求不等式cx2-bx+a>0的解。4．不等式x2-ax-6a>0的解为x<α或x>β，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围。

[参考答案]： 1．解：由|ax+1|≤b, ∴-b≤ax+1≤b，∴-b-1≤ax≤b-1。当a>0时，≤x≤。

∴ , 不满足a>0,舍去。当a<0时，≥x≥。

∴

当a=0时，不合题意，所以a=-2，b=2。

2．解由1<|x-2|≤7,∴1

3．解：必有a<0，则x2+

x+>0的解为x<α或x>β，∴α+β=-, α·β=。

将cx2-bx+a>0两边同除以a(a<0)，∴

x2-x+1<0, ∴ αβx2+(α+β)x+1<0，∵ αβ>0，∴ x2+（）x+<0，∴(x+)(x+)<0, ∵ α<β<0, ∴，即<, ∴->-，不等式解为-

4．解：由α≠β，∴ 方程x2-ax-6a=0有两不等根，且α，β是其两根（β>α）。

高中数学绝对值不等式的五类解法 第8篇

不等式是中学数学教学中的重点内容之一, 在初中与高中阶段的数学教学中都会涉及不等式的内容. 绝对值不等式的内容出现在人教版高中数学选修4-5中, 学生在此之前已经对不等式有了广泛了解, 绝对值不等式在一定程度上可以认为是先前学习过的不等式内容的升华.近年来, 绝对值不等式逐渐成为各省高考的必考内容由此可见其地位之重要. 绝对值不等式的突出特点是其绝对值符号的存在, 去掉不等式中的绝对值符号, 将其转化为学生在必修课本中学习过的不等式形式是解决绝对值不等式的基本思路. 所以掌握去绝对值符号的方法和途径就成为解题的关键.

二、问题的分类

1.分段讨论法

一般地, 把f (x) =0的解叫做|f (x) |的零点.分段讨论法的基本解题思路是先求出绝对值内因式的零点, 实数集被零点分割为若干区间, 在每个区间上分别对不等式求解, 最后求出各区间解的并集, 即为原不等式的解集.分段讨论法是解决绝对值不等式的基本方法, 具有一般性的特点, 对各种绝对值不等式的求解均具有普遍适用性.需要注意的是, 去除绝对值过程中, 划分区间是其中重要环节, 在此过程中, 学生往往一时疏忽而忽略掉某个区间端点值, 造成解题错误, 因此, 在运用此方法过程中, 不遗漏区间端点值是解题成功的关键.

例1:设函数f (x) =|2x+1|-|x-4|. (1) 求不等式f (x) >2的解集; (2) 求函数f (x) 的最小值.

综上可知, 不等式的解集为.

点评:基于上题可以看出, 划分区间段的重要性, 在区间段的划分过程中, 宜坚持“不重不漏”原则, 求解每个区间上的不等式时要和区间取交集, 最后的结果是要将每个区间段的结果取并集.

2.平方法

平方法是解决绝对值不等式问题的另一种常用方法, 一般应用于不等号的两边含有或者通过转化可以使两边含有单项绝对值的不等式, 这类方法的基本思想是利用|x|2=x2去掉绝对值符号.

例2:求不等式的解集.

解析:由不等式, 得, ∵|x|≥x,

∴x-|x|≤0,

∴原不等式的解集为.

点评:该方法对于不等式两边均为正数的情况较方便, 而当无法确定不等式两边的正负情况时, 则需要对其进行分类讨论, 因此对不等式两边正负性的判断及分类讨论是此类方法的突出特点.

3.绝对值定义法

此方法的核心是利用绝对值的定义解决不等式问题, 此种方法主要可以借助两个基本情形去掉绝对值符号.

情形1:

情形2:

例3:设函数f (x) =|x-a|+3x, 其中a>0. (1) 当a=1时, 求不等式f (x) ≥3x+2的解集; (2) 若不等式f (x) ≤0的解集为{x|x≤-1}求a的值.

解析: (1) 当a=1时, f (x) ≥3x+2可化为|x-1|≥2, 由此可得x-1≥2或- (x-1) ≥2,

∴不等式f (x) ≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.

(2) 由f (x) ≤0 得|x-a|+3x≤0. 此不等式可化为不等式组或即或∵a>0, ∴不等式组的解集为.

由题设可得-a/2=-1, ∴a=2.

点评:解形如的不等式, 在g (x) ≠0的前提下, 可转化为|f (x) |≤a|g (x) |求解.转化的依据是g (x) ≠0, |g (x) |>0, 于是, 即|f (x) |≤a|g (x) |.

4.换元法

在解决绝对值不等式问题时, 不等式常常会涉及复杂参数, 与其他数学知识相类似, 我们可以采用换元法进行讨论, 将复杂的参数问题转化为简单的不等式再进行求解, 在此方法中, 换元是解题成功的关键.

例4:已知a>0且a≠1, 解关于x的不等式.

解析:令logax=t, 则原式变为2|t-1|-|t-2|<2.

(1) 当t>2时, 有2 (t-1) - (t-2) <2, ∴t<2∴无解.

(2) 当1<t≤2时, 有2 (t-1) + (t-2) <2, ∴3t<6, ∴t<2, ∴1<t<2.

(3) 当t≤1时, 有-2 (t-1) + (t-2) <2.∴-2t+2+t-2<2, ∴t>-2,

∴-2<t≤1.

综上可知, -2<t<2, ∴-2<logax<2.

若a>1, 解为;若0<a<1, 解为.

点评:换元法对于解决复杂的绝对值不等式行之有效, 但换元法的使用需要学生具有较强的观察力和扎实的基础知识, 因此学生平时对换元法题型的积累必不可少.

5.数形结合法

数形结合是高中数学的基本解题思想之一, 在解决绝对值不等式的过程中, 也可以利用此种思想.其基本思路是根据绝对值的几何意义在数轴上找到符合不等式的数, 并能够形成数集或构造函数.在此基础上画出数集或函数图像, 根据图像得到未知数的取值范围, 从而得到最终解集.在一些情况下, 利用绝对值的几何意义解决绝对值不等式可使问题变得简单、明了.

例5:设函数. (1) 求不等式f (x) >2的解集; (2) 若不等式的解集非空, 求实数a的取值范围.

解析: (1) 原不等式等价于或或

解得原不等式的解集为 (-∞, 1/3) ∪ (3, +∞) .

(2) f (x) 的图像如图所示, 其中A (1, 1) , B (3, 2) .

直线y=a (x+1/2) 绕点 (-1/2, 0) 旋转, 由图可得不等式f (x) ≤a (x+1/2) 的解集非空时, 实数a的取值范围为 (-∞, -3/2) ∪[4/7, +∞) .

点评:此种方法对于图像的准确性与完整性要求相对较高, 因此需要学生在使用此方法解决绝对值不等式问题时做到细致、用心.

三、结语

绝对值不等式问题因其特点不同需采用不同的解题方法, 学生只有在对各种方法均有较深了解的情况下才能实现各种方法的灵活使用, 因此在教学过程中, 加强方法训练是实施该知识点教学的重要举措.

摘要：绝对值不等式解题的关键是去掉绝对值符号, 本文给予去掉绝对值符号, 使其一般化这一思想, 提出求解绝对值不等式的五类方法, 即分段讨论法、平方法、绝对值定义法、换元法和数形结合法, 并总结出每类解法的适用条件.

一类绝对值不等式的另解 第9篇

普通高中数学课程标准对|x-c|+|x-b|≤a、|x-c|+|x-b|≥a型不等式的要求是：会利用绝对值的几何意义求解|x-c|+|x-b|≤a、|x-c|+|x-b|≥a型的不等式.这是新课程第一次对该类型不等式提出了具体要求.该类型的不等式的常用解法有：分类讨论法，分类讨论的关键是由|x-c|=0,|x-b|=0的根把R分成若干小区间，在这些小区间上解去掉绝对值符号的不等式，这一解法具有普遍性，但比较繁琐；几何解法，几何解法的关键是理解绝对值的几何意义；图象法，图象法的关键是构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点.几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况.以上三种方法各有千秋，都是我们应该掌握的.下面再介绍一个方法：

点评 本例是[1]中1.3.2节例1(p.14）.教材上是用了分类讨论法和函数图象法，都比较麻烦.运用定理2使问题变得简捷明了.

例2 解不等式|x+2|+|x-1|<4.

解析 由定理1，原不等式等价于|2x+1|<4①，且|3|<4.由①解得-4<2x+1<4.即-52

点评 本例是[1]中1.3.2节例2(p.16）.教材上是用了分类讨论法和几何解法，都比较麻烦.运用同解定理1也非常简捷求解.

作者简介 齐相国，男，本科学历，1992年参加工作，中学一级教师.06年被济南市教育局授予“济南市优秀教师”荣誉称号、有3次被区政府评为“优秀教师”、被区人事局、区教育局评为“教学能手”、区教育局“骨干教师”、被区教育局评为“优秀班主任”、“数学学科带头人”，“课堂教学先进个人”，多次获公开课一等奖，在课件制作、教具制作等方面也多次获奖.至今已在省、国家级报刊杂志上发表各类文章200余篇.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”

含有绝对值的不等式 第10篇

[重点难点]

1．实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>a

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3．常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)

|f(x)|<|g(x)|

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例题选讲:

例1．解不等式 |x2+4x-1|<4.............①

解:①-4g(x)； f2(x)

-a

-5

即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。

例2．解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①

即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。

例3．解不等式|

|≤1...........①-33

x<1或x>3。x2-3<-2x或x2-3>2x

x2+2x-3<0或x2-2x-3>0

解: ①

(2)

(3)(x+4)(3x+2)≤0,x≠1。

]。

-4≤x≤-|2x+3|2≤|x-1|2

(2x+3)2-(x-1)2≤0

(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0。

∴原不等式的解集为[-4，-

例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①

分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。

解:将不等式①化为三个不等式组

（I）

-2

（II）

-1≤x≤2；

（III）

2

∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。

例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。

解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式无解。

说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。

例6．已知:|a|<1, |b|<1。求证:|

证法1：欲证①，只需证

只需证(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需证-(a2-1)(b2-1)<0............②

∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立，∴ 原不等式成立。

证法2：欲证①，只需证-1<

只需证（只需证

·

<0, +1）（-1）<0，<1, <1，|<1.........①

只需证|a+b|<|1+ab|, 只需证(a+b)2<(1+ab)2, 只需证(a+b)2-(1+ab)2<0，只需证

<0，只需证

<0............③

∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0，又(1+ab)2>0, ∴③式成立，∴ 原不等式成立。

例7．求证:

证法1:

∵

∵ 上式显然成立，∴

又

证法2：这里只证明

分析:观察两式结构均为y=

≤

=

+

≤

成立。≤ |a+b|≤|a|+|b|。

|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)

≤

≤

+。

≤+。

∴ 原命题成立。的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明函数在[0，+∞）上单调递增即可。

证明:设0≤x1≤x2, 则

-=，∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴

≥0。

∴-≥0, 即≥，设x1=|a+b|, x2=|a|+|b|

∵ |a+b|≤|a|+|b|，∴

参考练习:

≤。

1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。

2．解不等式 |x+7|-|x-2|<3。

3．解不等式 |

4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5．求y=

6．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|<

7．已知|x|<

参考答案:

1.[-6,-2]∪[-1, 3]；

2.(-∞,-1)；

3.[

4.提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，]∪[，3）。, 2)∪(6, +∞)； , |y|<, |z|<,(ξ>0)。求证:|x+2y-3z|<ξ。, |f(2)|<, |f(3)|<,不可能同时成立。的值域。

-3|>1。

5．提示:可用反解法解出sinx=

6．提示:用反证法

略证:假设|1+a+b|< , |4+2a+b|<，则解不等式||≤1得y∈[-4,-]。, 及|9+3a+b|<同时成立。

由题设a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z，∴ 1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3, b=2。但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同时小于

绝对值不等式 第11篇

(2)证明绝对值不等式主要有两种方法：

A)去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法;

绝对值不等式教案 第12篇

教学目标：

1．理解并掌握axbc与axbc(c0)型不等式的解法，并能初步地应用它解决问题。

2．培养数形结合的能力，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力；

3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新

精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

重点：xa与xa(a0)型不等式的解法。

难点：绝对值意义的应用，和应用xa与xa(a0)型不等式 的解法解决axbc与axbc(c0)型不等式。过程：

实数的绝对值是如何定义的？几何意义是什么？ a,a0 绝对值的定义： | a | = 0,a0

a,a0 |a|的几何意义：数轴上表示数a的点离开原点的距离。|x-a|(a≥0)的几何意义是x在数轴上的对应点a的对应点之

间的距离。

实例：按商品质量规定，商店出售的标明500g的袋 装食盐，其实际数与所标数相差不能超过5g，设实际数是xg，那么，x应满足什么关系？能不能用绝对值来表示？

x5005,（由绝对值的意义，也可以表示成500x5.x5005.）

意图：体会知识源于实践又服务于实践，从而激发学习热情。

引出课题 新课

1．xa(a0)与xa(a0)型的不等式的解法。先看含绝对值的方程|x|=2 几何意义：数轴上表示数x的点离开原点的距离等于2.∴x=⊥2 提问：x2与x2的几何意义是什么？表示在数轴上应该是怎样的？

数轴上表示数x的点离开原点的距离小（大）于2-2O2x-2O2x

即 不等式 x2的解集是x2x2

不等式 x2 的解集是xx2,或x2.类似地，不等式xa(a0)|与xa(a0)的几何意义是什么？解集又是什么？

即 不等式xa(a0)的解集是xaxa;不等式xa(a0)的解集是xxa,或xa 小结：①解法：利用绝对值几何意义 ②数形结合思想 2．axbc,与axbc(c0)型的不等式的解法。

把 axb 看作一个整体时，可化为xa(a0)与

xa(a0)型的不等式 来求解。

即 不等式axbc(c0)的解集为

x|caxbc(c0);不等式axbc(c0)的解集为

x|axbc,或axbc(c0)例题

例1：解不等式x5005.解：由原不等式可得5x5005, 各加上500，得495x505, ∴原不等式的解集是x495x505.例2：解不等式2x57.解：由原不等式可得2x57,或2x57.整理，得x6,或x1.∴原不等式的解集是xx6,或x1.练习：P52 1、2（1），（2）3（1）（2）小结

1．xa与xa(a0)型不等式axbc与

axbc(c0)型不等式的解法与解集；

含有绝对值的不等式 第13篇

绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，学生虽然在初中接触过绝对值的定义与几何意义，但对于绝对值不等式没有深入学习过，所以本节课的知识对学生来说比较新鲜．绝对值三角不等式是一个基本的结论，利用几何意义探究发现并归纳出绝对值三角不等式的思路，对学生来说具有挑战性．因此，我将本节定理教学课的课堂模式设计为数学探究课，采用探究、自主学习的探究式学习方式，重点放在定理的形成与证明的探究上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值，培养学生的思辨能力．

1 教学内容分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5》（人教A版）第1讲“不等式和绝对值不等式”第3课时，绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义．绝对值三角不等式既是一个基本的结论，又是知识承上启下的一个生长点．承上：学生在初中里就已经接触和学习了绝对值的定义与几何意义，这里继续沿用；启下：绝对值三角不等式是证明有关绝对值不等式的基础和基本方法．

2 教学目标设置

知识与能力了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式及推导方法，并会进行简单的应用．

过程与方法通过对绝对值三角不等式的探究与证明过程，培养学生的观察、类比、猜想证明的数学思维方法，通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用．

情感、态度与价值观体验不等式的美感，提高推理能力，同时培养学生合作与交流的能力，增强学习兴趣；能运用所学的知识，正确地解决相关的问题．

3 教学重难点

重点 定理1生成与绝对值不等式的几何意义．

难点 定理1和定理2的发现与证明．

4 教学设计分析

树立以学生为主体的意识，实现有效教学．现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学．根据教学内容等方面的分析，这节课的重点应是对定理1的发现、探究等知识体系的生成过程．为此，我选用的是问题引动、数形结合、启发式教学与探究式学习相结合的教学设计，从学生最近发展区开始设置问题与情境，即从绝对值定义和几何意义开始设置问题，铺设情境，然后通过“探究1—探究2—探究3”问题串的形式引导学生进行探究式学习，教学过程中遵循学生的认知规律，让学生在自我发现、自主探究、合作交流的过程中感受知识与方法，通过探究知识的发生发展过程，增强学生的认知力．

5 教学过程

这节课我的教学主线是：创设情境提出问题问题探究形成结论数形再认识类比探究与推导定理运用．

5.1 情境引入

设计意图美国数学家哈尔莫斯说：问题是数学的“心脏”．数学教学当围绕问题展开，利于激发学生的学习兴趣，调动起学生的学习积极性．

师生活动1）思考问题：你会求函数y=|x+5|+|3-x|的最小值吗？可以用绝对值的运算性质解决这个问题吗？

2）复习旧知．

请同学们回忆一下绝对值|a|的定义和几何意义．

|a|的几何意义是：表示数轴上，坐标为a的点A到原点O的距离．

若a,b是任意两个实数，请同学们考虑|a-b|的几何意义．

|a-b|几何意义是：

表示数轴上，坐标为a和b的两点A和B之间的距离．

请同学们回忆一下绝对值的运算性质．

3）类比猜想：由绝对值乘法和除法的运算性质展开联想并猜想|a+b|=|a|+|b|是否成立．

教师活动1）播放投影，借助名言引入问题，激发学生进行探究的兴趣．

2）复习回顾|a|与|a-b|定义与几何意义及绝对值乘除法的运算性质．

3）提出问题：根据绝对值乘除法的运算性质．猜想：|a+b|=|a|+|b|是否成立，绝对值不等式由此展开．

学生活动观看投影，复习旧知，并猜想|a+b|=|a|+|b|是否成立．

学情预设研究绝对值不等式的基础是实数绝对值和两个实数的差的绝对值的几何意义，正如教科书指出的，可以把“距离大小”作为解决绝对值不等式的出发点，因此通过复习绝对值的定义及几何意义，激起学生对旧知的回忆，也为后面的几何探究埋下伏笔．通过类比绝对值乘除运算性质，猜想加减运算性质是否成立，形成思维冲突，从而提出问题，进行探究．

5.2 自主探究、建构数学

探究1你能发现|a|，|b|，|a+b|这3者之间的关系吗？

设计意图通过学生自己动手，观察、类比猜想得出结论，让学生体会由特殊到一般的思维方法，发展学生的理性思维能力；同时从代数推理的角度给出证明，验证了结论的可靠性，由此得到定理1．经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程．

师生活动1）通过实际例子猜想|a|，|b|，|a+b|这3者之间的关系．

猜想：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

2）利用数轴验证猜想．

3）思考：如何证明猜想：|a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≥0时等号成立）．

教师活动1）投影出探究1，将学生分成若干小组，并给一定的时间，引导学生利用数轴分ab>0,ab<0,ab=0,3种情况验证|a|，|b|，|a+b|之间的关系．这个探究过程也是绝对值三角不等式的一种几何证法，教师借助几何画板课件，动画演示给予展示．

当ab=0时，则a=0或b=0，易得

2）引导学生根据不等式的基本性质，从代数推理的角度给出绝对值三角不等式严格的证明方法．从而得到定理1，教师在黑板上演示方法2的证明的过程．投影学生方法1的证明过程．

已知a,b是实数，证明：|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

方法1分析法．两边平方

所以（a+b)2≤（|a|+|b|）2当且仅当ab≥0时，等号成立．

方法2 10．当ab≥0时，

20．当ab<0时，

综合10,20知定理成立．特别地，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

学生活动1）分组讨论探究1，在教师的组织下派代表说明讨论结果．

2）学生在老师引导下探究出定理1的证明方法．

学情预设|a|，|b|，|a+b|这3者之间关系的探究是本节课的重点，也是难点，学生可从数的特例上去发现关系，也可比较两者平方的大小发现关系，也可以从几何意义上发现．教学中我让学生自由选择探究方式，这是对学生的尊重，也是遵循了学生的认知规律，当学生用自己的方法探究出3者关系之后，再引导学生从另外的角度认识和论证关系式．

探究2如果把定理1中的实数向量a,b分别换为向量a,b能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？

设计意图一个新知识点的学习，需要从多方面认识，从而内化到自己的知识体系中，定理1描述的是实数和的绝对值与绝对值的和之间的关系，它与向量和的模及模的和很类似．将向量不等式看成绝对值不等式的一种几何背景，从而让学生体会到知识之间的联系，学会用类比的思想分析问题．同时让学生的思维从一维问题扩展到了二维问题．

师生活动当向量a,b不共线时，由向量的加法法则，向量a+b,a,b构成三角形，因此我们有|a+b|<|a|+|b|，即|a+b|<|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．特别地，其中当向量aa,b同向时，|a+b|=|a|+|b|，当向量a,b异向时，|a+b|<|a|+|b|．那么，当向量a,b共线时，|a+b|≤|a|+|b|．

由定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等式为绝对值三角不等式．

教师活动1）投影出探究2，引导学生复习向量三角不等式及其几何意义．

2）利用向量的知识给不等式|a+b|≤|a|+|b|命名为：绝对值三角不等式．

学生活动复习向量三角不等式及其几何意义．

学情预设为了使学生更深刻地认识绝对值不等式，借助向量知识给出不等式的几何意义，这个过程体现“联系”的思想，使学生从不同角度观察、研究同一个问题，这有利于学生深刻理解和掌握绝对值不等式．

基于前面的探究学习，我们提出了探究问题3，即探究|a|，|b|，|a+b|，|a-b|之间有其他关系吗？

探究3你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系吗？

设计意图这个问题设计处在学生的最近发展区，意在教会学生自己提出探究问题和研究问题的方法．学生可以通过模仿定理1的得出和证明过程，通过自主探究获得结论和证明．实际上，对于实数a,b，有|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|成立．

师生活动1）根据定理1：|a+b|≤|a|+|b|，有|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|，得到推论1．也就是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|．

2）进一步，将b换为-b得到推论2，也就是|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|．

教师活动1）投影出探究3，让学生分组讨论．

2）组织学生说明讨论结果并加以完善．

学生活动1）分组讨论探究3.

2）在教师的组织下派代表说明讨论结果．

学情预设学生的学习应该是个螺旋式上升的过程，数学课堂只是学生学习的一个载体，教师需要把学生送往理性思考和创造的彼岸．学生不仅关注结论的得出，还关注到了探究的手段与方法，提升了自我提出问题，探究问题，解决问题的意识．

5.3 数学运用、巩固新知

设计意图学生对新知识的接受和理解，需要经历实例或练习的体验才能真正同化知识．接下来在学生成功体验之后，呈现了例1，即把定理2以例题的形式给出，让学生体验定理1的作用，也认识到定理2可看成定理1的一个推论，且更具有一般性，并再次让学生从形的角度对定理2进行几何认识，并再次体验知识之间的联系．例2是前面提出的问题，学生可借助问题的解决再次体验所学定理的作用，并发现解题技巧，在解题时学会联系条件和结论，确定目标．

师生活动1）投影例题1，给一定时间让学生尝试解决．让学生体验定理1的作用，

2）思考：你能给出定理2的几何解释吗？

3）投影例题2，解决前面提出的问题．让学生再次体验所学定理的作用．

教师活动1）投影例题1，教师引导学生讨论例1的解题过程，并且在黑板上演示证明过程．并由例1解决得到定理2.

例1如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当（a-b)(b-c）≥0时，等号成立．

证明由于a-c,a-b,b-c都是实数，且a-c=(a-b)+(b-c），那么，根据定理1，有

当且仅当（a-b)(b-c）≥0时，等号成立．

由此得到：

定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当（a-b)(b-c）≥0时，等号成立．

2）思考：你能给出定理2的几何解释吗？

设A,B,C为数轴上的3个点，分别表示数a,b,c，则线段|AB|≤|AC|+|BC|，当且仅当B在A,C之间时，等号成立，即|a-c|=|a-b|+|b-c|；当B不在A,C之间时，|a-c|<|a-b|+|b-c|．

3）回顾解决前面问题，投影例2.

例2求函数y=|x+5|+|4-x|的最小值．

当且仅当（x+5)(4-x）≥0，即-5≤x≤-4时等号成立，故ymin=9.

学生活动1）分组讨论例1的证明过程，体验定理1的作用．

2）在老师的引导下给出定理2的几何解释．

3）分组讨论例2的解题过程，体验定理1的作用，规范解题步骤．

学情预设例1的处理，先让学生思考，并用实物投影仪投影中等生解题过程．例2的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，通过例题解析，培养学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力；并由教师板书的目的规范学生解题步骤．

5.4 课堂小结

设计意图采取让学生开放式小结的形式，不同的学生应有不一样的收获．然后从知识点、思想方法和数学研究的一般方式上加以总结．

师生活动1）绝对值三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|（注意取等条件ab≥0及证明方法）．

2）本节课用到的数学思想方法：类比猜想（猜想结论及不等式命名）；数形结合（验证结论）；分类讨论（猜想结论及证明结论）．

5.5 课后思考

设计意图巩固本节所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时给有余力的学生留出自由发展的空间．

学生活动1）如何求函数y=|x+a|+|x+b|的最小值．

2）如何求函数y=|x+a|-|x+b|的最大值．

3）求函数的最小值．

6 教后思考分析

含有绝对值的不等式 第14篇

关键词：不等式组；含绝对值不等式；解法

一、关于一元一次不等式组及其解法

1.概念

老师们大多是用两个一元一次不等式组成一个不等式组，来引进一元一次不等式组的概念，之后可能会进行下一环节的教学，因此建议在概念引进之后，可以再举一些由三个或四个一元一次不等式所组成的不等式组，让学生明白，“几个”是指两个或两个以上，而不仅限于两个，而对于解法，目前，课本展示的是由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，然而这种解法对由两个以上的不等式组成的不等式组也同样适用。

2.教学重点和关键

一元一次不等式组的教学重点是它的解法，在教学时必须使学生理解一元一次不等式组的解集的意义，特别强调解一元一次不等式组的方法是：先求出每一个不等式的解集，然后再找出这些解集的公共部分，“公共部分”就是不等式组的解集。对这一环节学生很容易接受，而困难的是怎样求出解集的公共部分，这就要依赖数轴了，若公共部分不存在，不等式组就无解，因此，教师在不等式的教学活动中，应要求学生必须把不等式的解集在数轴上表示出来，直到熟练为止。

3.归纳总结

在学生掌握了一元一次不等式的解法之后，引导学生进行归纳，由两个一元一次不等式组成的不等式组有以下四种类型：

x>ax>b x>axb x

其解集分别是x

二、关于含有绝对值的不等式的解法

在教学中不妨把含绝对值不等式的概念及其解法作为补充内容介绍给学生，供那些学有余力的学生用课余时间进行探讨，以提高他们学习数学的兴趣。这种|x|>a，|x|>a（a>0）类型的不等式的解法的基础是绝对值的意义和一元一次不等式组的解法。绝对值的定义及它的几何意义（数轴上不同方向上的点到原点的距离）。为了让学生理解这两种绝对值不等式的解法，教学时先给a以具体的数字，结合绝对值的几何意义，利用数轴来说明，辅导学生归纳出结论：|x|a的解集是x<-a或x>a即可。