极限定理范文

极限定理范文（精选8篇）

极限定理 第1篇

一、学生学习中心极限定理的困难

中心极限定理这一节的教学目标是要求学生理解中心极限定理,并熟练运用该定理进行事件概率的近似计算,然而在讲解这一内容只有2个课时, 学生又不熟悉相应的概率基础,导致无论是数学专业还是非数学专业的学生对该知识点都存在疑惑,主要表现在:不知道中心极限定理是什么意思,具体形式是什么,怎么用.针对这三方面的问题,教师首先应该要理解深刻,概括恰当,简明扼要.

1.中心极限定理的背景

在实际问题中, 许多随机现象都是由大量微小的相互独立的随机因素综合影响所产生的,比如误差受到材料、环境、设备、操作者等因素的影响,每个因素都是微小的、随机的,但综合起来就产生实验过程中的误差, 即误差是大量的随机因素的总和, 我们关心误差就是关心大量独立随机变量和的问题.中心极限定理告诉我们,大量独立随机变量和的极限分布是正态分布. 这一点突出了正态分布在概率论与数理统计中的重要地位,在应用中凸显了正态分布的许多优势,同时在总体为非正态的统计问题中发挥着重要的指导作用. 在实际问题中,首先分析随机现象,将其可分解成大量的随机变量的和,那么无论随机变量服从正态还是非正态,其和近似看做正态分布,进而求相关的概率计算问题.学生对此不理解,主要是因为太抽象、太笼统,在教学中可让学生自主探讨,发现总结.

2.中心极限定理的具体形式

中心极限定理探讨的是随机变量和的极限分布, 教材中给出了不同条件下的中心极限定理的多种结论,其形式复杂,证明繁琐,但总结起来本质是一个形式.

(Lindeberg-Levy中心极限定理 ) 设 {Xn} 是独立同 分布的随机 变量序列 , 且E (Xi) =μ ,Var (Xi) =σ2>0 , 若记,则对任意实数y,有

(棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理 ) 设n重伯努利试验中 ,事件A在每次试验中出现的概率为p(0≤p≤1),记sn为n次试验中事件A出现的次数,且记,则对任意实数y,有

棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理是Lindeberg-Levy中心极限定理的特例, 两个中心极限定理归根到底是说独立同分布的随机变量和的极限分布为正态分布, 可变形为标准正态分布.

3.中心极限定理的应用

学生对中心极限定理内容不理解, 也导致无法将理论用于实践,偶尔的依葫芦画瓢并没有掌握其实质.中心极限定理常用作概率近似计算, 需要根据问题的实际含义定义多个随机变量并给出分布,然后变为独立随机变量和,再利用中心极限定理和正态分布的查表求概率.只有在教学中选择恰当的例题,深入分析,合理总结,才能取到良好的效果.

中心极限定理包含极限理论, 因此理论上利用中心极限定理处理极限问题.在经济问题中,质检问题中也有广泛的应用.教学中可引申生活实际等有趣的问题,让学生体会学以致用的乐趣.

二、中心极限定理的教学设计

首先利用简单的引例,让学生自主探索,总结规律.

例1:有一个总体X,它是取值于[2,8]的随机数,在等可能被取出的假设下,总体X的分布为均匀分布U(2,8).

从总体中重复取两个数X1,X2,计算两数之和X1+X2,这样的和有无数多个,任取500个,得X1+X2的直方图,如图1.

类似地操作从中有放回地重复地取10个数, 计算这样的和取500个,得的直方图,如图2.

学生自主观察直方图的特点,得出的规律是“中间高,两边低,左右基本对称”.

比照正态分布的密度曲线:

上述直方图轮廓曲线,用如下概率函数表示关于u对称的钟形曲线最合适.

该曲线中间高,两边低,左右对称,由参数u,σ2完全确定,称为正态分布密度曲线.

将这一规律概括起来就是中心极限定理:

无论X1,X2…Xn是什么分布, 只要该分布的均值和方差是有限的,相互独立同分布,则当n→∞,其和服从正态分布N(μ,σ2).

其具体形式体现出三个定理.

(1)中心极限定理是用极限理论反映的一个重要定理 ,其优势体现在非正态分布或不知道分布类型时, 为数理统计的学习奠定基础.

(2)主要应用两方面 :第一 ,求随机变量之和落在某区间的概率;第二,已知随机变量之和的概率,求.

(3) 解题中分析随机总体可分解为许多独立随机变量的和的形式甚为关键.

例2:某保险公司有2500个人参加保险,每人每年付1200元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.002,死亡时其家属可向保险公司领得20万元,问保险公司亏本的概率.

学生处理实际问题的难点就在于不知如何进行问题的转化.提示两点:第一,将问题用随机变量表示,每个人参保是随机的独立的,如何刻画? 第二,保险公司所得的总收益如何表示,学生经整理后发现,所求总收益正好可以看成2500个独立同分布随机变量之和,n=2500足够大,故想到用中心极限定理将其近似为正态分布.求出变量和的期望和方差,利用正态分布查表求概率.

为了加强对中心极限定理的理解和巩固, 对学生提出如下思考:

1.若X1,X2…Xn相互独立,试用归纳推理理解中心极限定理.

2.列举贴近生活实例 ,让学生巩固练习 ,加 以总结.

3.学有余力拓展中心极限定理的应用领域.

通过本节的学习,让学生自主发现规律,善于总结,容易接受,形成解决实际问题的统计思维,熟悉中心极限定理和正态分布相关理论很有必要.

摘要：中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理,也是学生学习过程中的难点,因此教学也有一定的难度.本文首先分析学生学习的主要困惑,其次针对性地理解了中心极限定理的实质,教学过程中设计了具体事例鼓励学生自主发现探索,从而对中心极限定理容易接受,最后用实例巩固中心极限定理的应用.

中心极限定理证明 第2篇

高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且

那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理

设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立

称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明

其中.由于,因此

故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理

在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则

用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得

第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?

解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:

因为很大,于是

所以

利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得，故取.于是

取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有

其中,即有

四、林德贝格-勒维中心极限定理

若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有

证明:设的特征函数为,则的特征函数为

又因为,所以

于是特征函数的展开式

从而对任意固定的,有

而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令

用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有

设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有

由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:

p222EX32,33,34,3

5五、林德贝尔格条件

设为独立随机变量序列,又

令,对于标准化了的独立随机变量和的分布

当时,是否会收敛于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又，这时

(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有

(2)若是离散型随机变量,的分布列为

如果对于任意的,有

则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则

于是

从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有

这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件

设是独立随机变量序列,又，称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理

引理1对及任意的,证明:记,设,由于

因此，其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有

证明:显然

因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地

证明定义随机变量

其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理

定理设为独立随机变量序列,又.令,则

(1)

与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分

记

(2)

显然(3)

(4)

以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)

这时

因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)

现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明

(7)

先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:

(8)

事实上,由(3)知,又因为

故对一切,把在原点附近展开,得到

因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有

(9)

这时

(10)

对任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性

先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)

右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此

(14)

对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性

由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)

上述被积函数的实部非负,故

而且

(16)

因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得

故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理

设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有

高斯过程函数的中心极限定理与应用 第3篇

关键词 导数算子； Malliavin随机变分；中心极限定理；高斯过程

中图分类号 O211 文献标识码 A

Central Limit Theorem for Function of Gaussian Process and Its Applications

SUNLin

(Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangdong, Guangzhou 510090, China)

AbstractUsing two operators and the relative identity of Wiener space, this paper presented a new method to provethe central limit theorem for function of Gaussian process. Furthermore, the applications of this central limit theoremwere presented.

Keywords derivative operator; Malliavin calculus; central limit theorem; Gaussian processes

1引 言

前苏联著名概率论学者Gnedenko和Kolmogrov曾说过“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示,没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义” [1].因此研究统计量或者随机变量的统计特性，最重要的就是研究其极限理论.而实际问题中所获得的很多数据都可以认为来自高斯过程函数总体，比如来自正态随机变量就可以看成来自关于高斯过程恒等映射的总体.从而自上世纪30年代起，概率极限理论已获得完善的发展.近年来关于高斯过程函数的统计特性成为研究中的热门方向之一，大量学者研究了关于高斯过程函数的极限定理，如Nualart和Peccati (2005)[2]，Nualart和Ortiz-Latorre (2008)[3]， Peccati (2007)[4] ，Hu和Nualart(2005)[5] ，Peccati和Taqqu (2008)[6]以及Peccati和Taqqu (2007)[7].大量的文献如Deheuvels、Peccati与Yor (2006) [8]，Hu和Nualart(2009) [9] 应用了该定理.

本文首先利用Malliavin随机变分法，通过导数算子和散度型算子，并利用恒等式构造了证明高斯过程函数的中心极限定理的新方法，该证明避免了采用Dambis-Dubins-Schwarz以及Clark-Ocone公式.进一步结合具体实例，给出了该中心极限定理的应用.

2 主要结论及其证明

定理 1[3]：设定k≥2，且Fnn≥1为k阶维纳混沌中平方可积随机变量序列.若lim n→+

EF2n=‖fn‖2H⊙k→σ2，则当n→

时，下面命题是等价的：

ⅰ）Fn→N(0,σ2)；

ⅱ）lim n→

EF4n→3σ2；

ⅲ）对于所有的1≤l≤k－1，有

lim n→+

‖fnlfn‖2H2(n－1)=0；

ⅳ）‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

kσ2，

其中，fn是关于随机变量Fn的平方可积核函数，

fnlfn表示两核函数的l次指数压缩.

证明 将采用下面的证明路线:ⅳ)ⅰ)ⅱ)ⅲ)ⅳ).

1）ⅳ)ⅰ)

不失一般性，令σ2=1，则由已知条件‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

σ2，待证当n→+

时，有依分布收敛Fn→ε～N(0,1)成立.也就是说对于任意二次连续可微有界函数φ•有下面式子成立：

lim n→+

Eφ(Fn)=Eφ(ε). (1)

对于0≤t≤1，定义

ψt=EφtFn+1－tε.(2)

注意到ψ0=Eφε且ψ1=EφFn，由微积分基本定理知

EφFn－Eφε

=ψ1－ψ0=∫10ψ′tdt. (3)

另一方面，利用Malliavin随机变分恒等式

δDF=kF与E［〈DF(ξ),u((ξ))〉］=E［DF(ξ)δu(ξ)］，易知∫10ψ′(t)dt可以表示为：

∫10ψ′tdt=∫10ddtEφtFn+1－tεdt

=∫10EddtφtFn+1－tεdt

=12k∫10Eφ″tFn+1－tε‖DFn‖2dt

-12∫10Eφ″tFn+1－tεdt

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt. (4)

由式(3)和式(4)知

EφFn－Eφε

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt.(5)

两边取绝对值，并利用φ•的二阶导的有界性以及假设条件‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

k，则有

EφFn－Eφε

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt→0.

故lim n→+

Eφ(Fn)=Eφ(ε)成立，即有当n→

时，Fn→N(0,σ2).

2）ⅰ)  ⅱ)

首先由参考文献Nualart（2006）知对于任意p≥2，有

EFnp≤ckEFn2， (6)

其中，ck∈R且与n独立.

式（4)结合假设条件lim n→+

EF2n=σ2可得当n→

时，

EFnp≤ckEFn2→ckσ2.(7)

则对于任意p≥2，有

sup nEFnp<+

.(8)

进一步根据假设当n→

时，Fn→η～N(0,σ2)，根据期望的连续性有EF4n→Eε4，从而要证明lim n→

EF4n→3σ2，只需证Eη4→3σ2即可.

令X～N(0,σ2)且Y=Xσ～N(0,1)，则对于任意n≥0，有

Eηn=EXn=σnEXσn=σnEYn.

另一方面，随机变量Y的特征函数可以表示为

φt=EeitY=e－t22=∑+

n=0－1nt2n2nn!

=∑+

n=01n!φn0tn=1－t22•1!+

t422•2!－t623•3!+…，

其中，φn00,n=2k+1，

－1k2k!2kk!,n=2k.

从而

EYn=φn0in=0,n=2k+1，

2k!2kk!=n!!,n=2k.(9)

令n=4，则有EYn=4!222!=3.

3）ⅱ)ⅲ) 见参考文献Nualart和Peccati(2005).[2]

4）ⅲ)ⅳ) 见参考文献Nualart和Ortiz-Latorre(2008).[3]

3应用实例

由定理1可知：若Fnn≥1为k≥2阶维纳混沌中平方可积随机变量序列.且lim n→+

EF2n→σ2，则如果要证明当n→

时，Fn→N(0,σ2).只需证明‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

kσ2即可.该定理在证明统计量以及随机变量的函数满足中心极限定理时非常有用.下面给出该定理的应用例子.

首先由于林德伯格—勒维中心极限定理在概率中有着重要地位，是数理统计中大样本统计推断的理论基础.该定理说明如果现实生活中的某个量是由许多独立的因素影响叠加而成的，而其中偶然因素的影响又是一致得微小，则可以断定这个量近似服从正态分布.可采用定理1来证明该定理.

实例1(林德伯格—勒维定理) 设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列, 且

E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ2,i=1,2,…,n,…

则∑ni=1Xi－nμσn→N(0,1).

证明 该定理表明：当n充分大时, n个具有相同期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.虽然在一般情况下, 很难求出X1+X2+…+Xn分布的具体形式, 但当n很大时, 可求出其近似分布.由定理结论有

∑ni=1Xi－μn→N(0,σ2).(10)

采用定理1来证明式(10).证明的关键在于找到合适的函数序列Fn∈Hk使得当n→

时：有EF2n→σ2且‖DFn‖22L2(Ω)kσ2.

对于任意k≥1，令ξi=Xi－μ,i=1,2,…,n，则ξi为独立且服从标准正态分布的随机变量.进一步令Fn=1nhkξ1+hkξ2+…+hkξn，这里k≥1且hk•为厄米多项式(详见参考文献Nualart (2006)).另一方面，

EF2n=E1nhkξ1+hkξ2+…+hkξn2

=1nnEh2kξ1=1k!=σ2. （11)

同时根据导数算子的定义知，对于1≤i≤n，有DiFn=0,…,1nh′kξi,0…0，故

‖DFn‖22=D1Fn2+D2Fn2+…+

DnFn2→Eh2k－1ξ1

=1k－1!=kσ2.(12)

由式(11)和式(12)知EF2n→σ2且‖DFn‖22L2(Ω)kσ2成立，从而林德伯格—勒维定理证毕.

实例 2(高斯移动平均)考虑独立高斯时间序列Znn≥0，满足EZn=0且

VarZn=σ21－λ,n=0；

σ2,n≥1，

这里λ2<1.再定义迭代过程

X0=Z01－λ2,Xn=λXn－1+1－λ2Zn,n≥1.

则Xn可以表示为

Xn=∑nj=0cn－jZj .

其中cn－j=λn－j.易证Xn是平稳遍历时间序列且满足

EX0=0,

VarXn=1.

下面证明∑ni=1Xin→N(0,1).利用定理1，需要构造合理的Fn，令

Fn=1nhkX0+hkX1+…+hkXn，

其中，k≥1且hk•为厄米多项式(详见参考文献Nualart (2006))，则显然Fn∈Hk，且有

EF2n=E1nhkX0+hkX1+…+hkXn2

=1nnEh2kX1=1k!=σ2，

以及

‖DFn‖22=D1Fn2+D2Fn2+…+DnFn2

→Eh2k－1X1=1k－1!=kσ2.

根据定理1知Fn→N(0,1).取k=1以及利用厄米多项式h1x=x知∑ni=1Xin→N(0,1).

实例 3 (带漂移项的布朗运动)20世纪初，Bachelier采用带漂移的布朗运动来刻画股票的价格行为模式，即：

St=s0+σBt，t∈0,T.

显然St为均值为S0，方差为σ2的高斯过程.固定观察间隔h，得到观察量Sh,…，Sjh，…，Snh,令 t=h,…，jh,…,nh′，Bt=Bh,…，Bjh,…,Bnh′，S0=s0,…，s0，…，sn′与S=Sh,…Sjh…Snh′.从而该随机向量的联合分布密度函数可以表示为

LS;σ2=2π－n2Γ－12•

exp－12S－S0′Γ－1S－S0，(13)

其中，

Γ=［Cov［Si,Sj］］i,j=1,2,…,n=σ2［Cov ［Bi, Bj］］i,j=1,2,…,n =σ2［i∧j］i,j=1,2,…,n.

对式(13)两边取对数，并对σ2求导可得其极大似然估计量

2=1nS′Γ－1St′Γ－1t－t′Γ－1Y2t′Γ－1t.(14)

于是利用定理1得出由式(14)给出的估计量的中心极限定理.令

Fn=1σ2n22－σ2

=1σ2n21nS′Γ－1St′Γ－1t－t′Γ－1Y2t′Γ－1t－σ2，

显然有

lim n→

EFn=E1σ2n2σ^2－σ22

=1σ4n2σ4nnn+2－2n+2+3+σ4－2σ2n－1nσ2

=1.(15)

另一方面将St=s0+σBt代入式(15)并对其求Malliavin导数可得

DFn=12n2DB′tΓ－1Bt－2t′Γ－1Btt′Γ－1DBtt′Γ－1t，(16)

其中

DBt=(1［0,h］(s),1［0,2h］(s),…,1［0,nh］(s))′.由式(16)知

‖DFn‖2H=2n‖DB′tΓ－1Bt‖2H+t′Γ－1Bt2‖t′Γ－1DBt‖2Ht′Γ－1t2－2t′Γ－1DBt〈DB′tΓ－1Bt,t′Γ－1DBt〉Ht′Γ－1t

=2nB′tΓ－1Bt－t′Γ－1Bt2t′Γ－1t=22σ2. (17)

根据式(15)和式(17)，结合定理1知

Fn=1σ2n2σ^2－σ2～N0,1

4结 论

本文主要采用了新的方法证明了关于高斯过程函数的中心极限定理，并将给出了该定理的具体应用.虽然本文只给出了一维情况下的中心极限定理，但对于多维情况，可以得到类似的结论.当然，除了研究高斯过程函数的几乎处处中心极限定理之外，对高斯过程函数的几乎处处大偏差性质、几乎处处局部中心极限定理及几乎处处中心极限定理收敛度等问题需进一步研究.

参考文献

［1］ B V GNEDENKO, A M KOLMOGORV. Limit distributions for sums of independent random variables [M]. Addison-Wesley, 1954.

［2］ D NUALART, G PECCATI. Central iimit theorems for sequences of multiple stochastic integrals [J]. Annals of Probability. 2005, 33(1)： 177-193.

［3］ D NUALART, S Ortiz-Latorre. Central iimit theorems for multiple stochastic integrals and malliavin calculus [J]. Stochastic Processes and their Applications. 2008, 118(4)：614-628.

［4］ G PECCATI. Gaussian approximations of multiple integrals [J]. Electronic Communications in Probability. 2007, 34(12): 350-364.

［5］ YHU, D NUALART. Renormalized self-intersection local time for fractional Brownian motion [J]. Annals of Probability. 2005, 33(3): 948-983.

［6］ G PECCATI,MTAQQU. Stable convergence of multiple Wiener-It integrals [J]. Journal of theoretical probability. 2008, 21(3): 527-570.

［7］ GPECCATI, M S TAQQU. Stable convergence of generalized  L2 stochastic integrals and the principle of conditioning [J]. Electronic Journal of Probability. 2007, 12(15): 447-480.

［8］ P DEHEUVELS, G PECCATI, M YOR. On quadratic functionals of the Brownian sheet and related processes [J]. Stochastic Processes and their Applications. 2006, 116 (3): 493-538.

［9］ Y HU, D NUALART. Parameter estimation for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes [J]. Statistics and Probability Letters. 2010, 80(11-12), 1030-1038.

［10］D NUALART. The malliavin calculus and related topics [M]. 2nd Edition. Berlin: Springer-verlag, 2006.

中心极限定理及其应用举例 第4篇

1.1独立同分布下的中心极限定理

林德伯格-莱维中心极限定理:设{Xn}是独立同分布的随机变量序列, 且E (Xi) =μ, D (Xi) =σ2>0, (i=1, 2, …n) , 记, 则对任意实数y, 有

也可记作.

1.2二项分布的正态近似

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理:设n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中出现的概率为p (0<p<1) , 记μn为n次试验中事件A出现的次数, 且记, 则对任意实数y, 有

也可记作.

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理是概率论历史上的第一个中心极限定理, 它是专门针对二项分布的, 因此又被称为“二项分布的正态近似”, 与泊松定理给出的 “二项分布的泊松近似”相比, 一般地, 当p较小时, 用泊松分布近似较好, 而当np>5时, 用正态分布近似较好.

2.应用举例

2.1社会保险问题

例1.某地有2500人参加人寿保险, 每人在年初向保险公司交付保险费12元, 若在这一年内死亡, 则由家属从保险公司领取2000元, 设该地人口死亡率为2‰, 求保险公司获利不少于10000元的概率?

解:设X表示“投保中死亡的人数”, 则X-B (2500, 0.002) , , 由中心极限定理, 公司获利不少于10000, 必须满足:2500×12-2000X>10000, 即X<10

即保险公司盈利不少于10000元的概率大约是0.9874, 这个概率还是挺大的.

2.2商品订购问题

例2.某商店负责供应某地1000人的商品, 此种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.7, 问商店至少要进多少件商品才能以99%的把握不脱销?

解:设Xi表示第i个人购买与否, 则

设商店备货a件, X=X1+X2+…+Xn (n=1000) , 则X~B (1000, 0.7) , E (X) =np=700, , 由中心极限定理,

查正态分布表得, 故a取731.

2.3医药测试问题

例3.某药厂断言, 该厂生产的某种药品对于医治某种疾病的治愈率为0.9, 医院化验员随机抽查100个服用此药品的病人, 如果多于85人治愈, 就接受这一断言, 否则就拒绝接受.如果检查结果是这种疾病的治愈率为0.9, 则接受这一断言的概率是多少?

解:设X表示其中治愈病人的人数, 则X~B (100, 0.9) , E (x) =np=90, , 由中心极限定理,

故接受这一断言的概率为0.952.

中心极限定理在实际中应用广泛, 以上仅说明了其在三个方面的应用. 中心极限定理就是用来描述随机变量和的概率分布的极限定理, 阐述了一些原来并不服从正态分布的独立随机变量, 它们的和的分布近似服从正态分布.正是这个定理使得正态分布在概率统计中占有重要地位.

参考文献

[1]李子强.概率论与数理统计教程.科学出版社, 2012:137-138.

中心极限定理和概率统计 第5篇

依概率收敛

n若0，有P(XnX)0。准确的表述是，0，0，N,nN，有P(XnX)成立

（3）几乎必然收敛

如果有P(limXnX)1。准确的表述是，除掉一个0概率集A，对所有的A，n

有limXn()X()成立。这是概率空间上的点收敛。n

定理1。（切贝雪夫大数律）{Xn}相互独立，且有相同的期望和方差，（不一定同分布）

1nPE(Xn)uD(Xn)，n,记YnXi，则Ynu。ni1

2统计发生——事物某方面的定量记录事前是不确定的，发生后的数据由真值和误差两部分构成，X。X是数据，是真值，是误差。导致误差的原因有：

1． 系统性误差：偏离真值的本质性错误，有内在原因所致；

2． 随机性误差：偏离真值的偶然性错误，没有内在原因，是纯偶然因素所致。

总体就是一个特定的随机变量

通过抽样，获得样本，构造样本统计量，由此推断总体中某些未知的信息

从总体中抽样是自由的，且当总体数量足够大，有放回与无放回抽样区别不大，有理由认为，取得的抽样观察值是没有关系的。所以，样本在未抽取前它们是与总体X同分布的随机变量，且是相互独立的，称此为随机样本。

定义2。设x1,,xn是取自总体X的一组样本值，g(x1,,xn)是Borel 可测函数，则称随机变量g(X1,,Xn)是一个样本统计量。

如果总体X中分布函数有某些参数信息是未知的，我们用统计量g(X1,,Xn)去推断这些信息，称此问题为统计推断问题。

给样本值x(x1,,xN),y(y1,,yN)，定义：（1）样本均值

(xi/n)

i

1n

（2）样本方差

1n

ˆx)ˆvar((xi)2 n1i1

ˆ样本标准差

s.e.e)

x)i(y)

1n

（3）样本协方差cˆov(x,y)(1x

n1i1

样本相关系数

xy

ˆ(x,y)cov

1/2

ˆ(x)varˆ(y)][var

1nk

（4）样本k阶矩 Akxi k1,2,

ni11n

（5）样本k阶中心矩 Bk(xi)k

ni1



k1,2,

X的左侧分位点F，P(XF)dF(x)。左分位点的概率含义是，随机变量

F

不超过该点的概率等于

设总体X分布已知，但其中有一个或多个参数未知，抽样X1,,Xn，希望通过样本来估计总体中的未知参数，称此为参数估计问题，它是统计推断理论中最重要的基础部分。

用样本矩作为总体矩的估计量，以及用样本矩的连续函数作为总体矩的连续函数的估计量，这种方法称为矩估计法，这是一种最自然的估计方法。

ˆ(x,,x))对任意成立。当样本是称ˆ是参数的一个无偏估计，如果E(1n

有限的时候，我们首先要考虑的是无偏性。

n1n22

ˆS(Xi)2才是方差的无偏估计。故我们在样本统计量中定义n1n1i1

S2为样本方差。

ˆ是参数的一个一致估计，如果依概率有limˆ(x1,,xn)对任意成立。

n

有效性

在所有关于参数的无偏估计类中0，或所有的一致估计类1中，如果存在ˆ*是参数的一个无偏有效估计或一ˆ*)D(ˆ)对任意ˆ或任意ˆ成立，称D(01

ˆ具有最小方差性。致渐近有效估计。即

*

。无论总体X分布是什么，任意样本Xi和都是X的无偏估计，但比单独的样本估计Xi更有效。

DXi，所以n

设总体X关于分布F(x,)存在两类问题，一类是分布的形式未知，一类是分布的形式已知但参数未知，提出的问题是，需要对分布的形式作出推断，此称为非参数检验的问题； 或需要对参数作出推断，此称为参数检验问题。

奈克—皮尔逊定理告诉我们，当样本容量n固定，若要减少犯第一类错误的概率则犯第二类错误的概率会增加，要使两类错误都减少当且仅当增加样本容量。

超过了我们设定的F，（如，体温超过37度。）此意味一个小概率事件发生了。于是，我们有理由拒绝命题H0是真的。

X~N(u1,12)，Y~N(u2,2)，且相互独立，取样有(x1xn1),(y1yn2)。

欲检验H0:u1u2，或更一般，H0:u1u2u（u已知）。如何检验？

2（1）若12、2已知

因为~N(u1,1

2n

1)，~N(u2,22

n2)，且相互独立，所以~N(u1u2,122

n1



n2)，~N(0,1)，所以可找到检验统计量U。

（2）若1222，但未知，欲检验H0:u1u20，因为V



222

[(n1)S(n1)S]~(n1n22)，11222

且与

U

~N(0,1)独立，n11n212

~t(n1n22)，令S2，S12S2

n1n22n1n22可得

V2S2，所以可找到统计量

n1n22

T



~t(n1n22)。

注：如果u未知，问题就变困难了，可以证明此时统计量T就是一个非中心的t分布。

（3）又如何知道1222？

12(n1)(n1)2可做假设检验H0:21。因为12S12~2(n11)，22S2 ~2(n21)且独立。

122

S12

所以，可找到统计量F2~F(n11,n21)。

S2

（4）若122，且未知。问题就变困难多了，我们找不到合适的统计量。如果样本容量

足够大，那么，可以用渐近检验的办法处理。注意，U

中，因为12，2未

知，但已知S12,S2是12，2的一致估计，故用它们代替，有：

n1,n2

limU

~N(0,1)。

从而当n1,n2充分大时可用渐近正态检验。

又当n1n2n较小时，可以证明，~t(n)，注意，此与T



~t(n1n22)

自由度不同。此意味当期望、方差相同时，样本可以合并，认为X,Y属于同一总体。当期望相同，方差不同时，样本不能简单合并。

注：关于H0:u1u2u，或H0:u1u2u，统计量相同，并采用单侧的右分位点或单侧的左分位点检验。

ˆ是无偏线性估计类中的有效估计。OLS

ˆ 的极大似然估计在基本模型假定下就是OLS

关于中心极限定理教学的体会 第6篇

一、教学过程中学生存在的问题

首先, 在前面学习的几部分内容中, 有些学生没有完全理解概念和定理, 以致于对概率论的认识处于朦胧状态。在学习中心极限定理时, 看到定理内容复杂, 结论较多, 从而产生一种惧怕学习的心理。

其次, 学生没能从本质上理解中心极限定理描述的是大量独立同分布的随机变量的和服从或近似服从正态分布。在求解具体问题中的概率时, 不能准确找出独立同分布随机变量序列, 难以用正态分布的概率计算结论求解该问题中的概率。

二、中心极限定理

由于中心极限定理的抽象性, 先给出引例, 激发学生学习兴趣, 引导学生分析问题和解决问题, 进一步引出中心极限定理。例如:某保险公司有10000人投保, 每人每年付12元保险费, 已知一年内投保人死亡率为0.006, 如死亡, 公司付给死者家属1000元, 问保险公司亏本的概率是多少?

依据条件表述的不同, 有下面两个中心极限定理。

(1) 林德伯格列维中心极限定理

由于学生理解定理结论 (1) 式比较困难, 因此将结论 (1) 改写为:

当时, n个独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.常见概率计算归纳如下:

(2) 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理

设在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为, X为n次试验成功的次数, 则对任意实数x, 有

该定理说明了当时, 二项分布的极限分布是正态分布, 故有:

若X~B (n, p) , 当时, X~N (np, np (1-p) ) .常见概率计算归纳如下:

三、中心极限定理的应用

例1某食品店有三种蛋糕出售, 由于出售哪一种蛋糕是随机的, 因而, 售出一只蛋糕的价格是一个随机变量, 它取1 (元) , 1.2 (元) , 1.5 (元) 各个值得概率分别为0.3, 0.2, 0.5。某天售出300只蛋糕,

(1) 求这天的收入至少为400 (元) 的概率;

(2) 求这天售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。

解:分析:由题知一只蛋糕的价格是一个随机变量, 300只蛋糕的价格是独立同分布的随机变量序列, 且期望和方差相同, 因而可用林德伯格列维中心极限定理求解第 (1) 问;每个价格为1.2元的蛋糕有可能卖出和未卖出, 可引入300个随机变量都服从参数为0.2的两点分布, 也可直接设300个蛋糕中售出价格为1.2元的蛋糕的个数为随机变量, 利用棣莫弗拉普拉斯中心极限定理求解第 (2) 问。具体解答如下:

(1) 设Xi为该食品店售出第i只蛋糕的价格, i=1, 2, 300, 则独立同分布。Xi (i=1, 2, 300) 的分布律为:

(2) 设X为300只蛋糕中售出价格为1.2元的个数, 则X~B (300, 0.2) 。

例2设某单位内部有1000台电话分机, 每台分机有5%的时间使用外线通话, 假定各个分机是否使用外线是相互独立的, 该单位总机至少需要安装多少条外线, 才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用?

解:把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验, 则各次试验相互独立, 设X为1000台分机中同时使用外线的分机数, 则X~B (1000, 0.05) ,

根据题意, 设N为满足条件的最小正整数

即该单位总机至少需要62条外线, 才能以95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用。

四、小结

中心极限定理在一般的条件下证明了无论随机变量Xi, i=1, 2, 服从什么分布, n个随机变量的和时的极限分布是正态分布。学生对中心极限定理只是一知半解, 只能参考例题生搬硬套的做题。在授课时, 给出实际问题, 引导学生分析和解决问题, 进而引出中心极限定理的内容, 从实例中来, 到实例中去, 激发学生学习的积极性。在其他内容的讲授中也可采用这种案例教学法, 选取恰当实例, 发挥学生的主导性, 达到更好的教学效果。

参考文献

[1]谢安, 李东红.概率论与数理统计[M].清华大学出版社, 2012.

[2]吴赣昌.概率论与数理统计[M].中国人民大学出版社, 2009.

极限定理 第7篇

高等数学是工科院校最重要的基础课程，又是理工科学生进入大学首先必须接触的课程之一，具有高度抽象性、严密逻辑性和广泛适用性。它既是学习后继课程的基础，又是对大学生思维习惯和学习方法的训练。而且，中学与大学的学习方式和思考问题的方法有较大的区别。所以，从中学升到大学的学生，常常对大学的教学方式感到困惑或难以适应。因此，高等数学教师就必须承担起让他们尽快从中学的学习和思维方式转变到大学的学习和思维方式的引导任务。高等数学的教学就需要从思维习惯和学习方法上加以改变，教学应以培养分析思维能力、解决实际问题的能力为主要目标。

函数极限是高等数学中最抽象的概念，是高等数学的难点和重点，高等数学中的许多概念和定理都与极限有关。从连续到导数、从微积分到级数等都是用极限来定义的，极限贯穿了高等数学的始终。因此，全面掌握函数与求极限的方法及技巧是学好高等数学的基本要求。下面两个定理在求解函数极限时起了极其重要的作用。

定理1[2]：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

定理2[2]:设函数y=f (g (x) ) 由函数u=g (x) 与函数y=f (u) 复合而成, g (x) 的值域包含在f (u) 的定义域中。若且函数y=f (u) 在u=u0连续, 则:

我在教学过程中发现有部分学生对上述定理只是单纯地记忆和应用, 只是机械性地去计算极限, 而不是加以理解性地应用, 这与锻炼数学的思维方法和解题思路相违。因此, 为了加深学生对上述两个定理的理解和应用的熟练程度, 教师需要适当地讲解一些相关例题, 让他们加深理论基础、计算方法的能力和技巧。

2. 利用定理巧解函数极限

下面我从几个实例来阐述在教学过程中对这两个定理的应用。

分析:当x∞时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用。但把与sinx的乘积, 由于为当x∞时的无穷小, 而sinx是有界函数, 则根据上述定理1就有:

定理2的结论可以看作求连续复合函数的极限时, 连续函数符号与极限符号交换次序的理论基础, 即先取极限后求函数值, 该方式可简化求复合函数极限的过程。

3. 结语

本文将教学过程中遇到的困惑提出来，目的是提醒学生不能只重视计算方法，应把计算过程及方法的理论基础弄清楚，奠定扎实的理论基础。我们通过对例题的分析和求解方法分析，使学生加深了对道理的理解，加强了定理的应用能力，达到了预期的效果。

参考文献

[1]王开荣, 王新质.高等数学教学模式研究[J].重庆大学学报 (社会科学报) , 2003, (9) :138-140.

[2]同济大学数学系.高等数学 (第六版, 下册) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[3]于坚.高等数学探究性学习模式的研究与实践[J].教育与职业, 2006, (11) .

极限定理 第8篇

文献[3]、文献[4]提出了一种在多径信道下利用编码辅助实现帧同步的算法;文献[5]、文献[6]从编码的校验关系出发,利用软信息设计了一种QC-LD-PC编码系统的帧同步算法;文献[7]改进了传统算法,通过单帧判断同步位置的做法,利用多帧数据进行分析,在一定程度上减少了同步识别的模糊性;文献[8]~文献[10]利用编码辅助信息提出了期望最大化等算法。这些算法很好地解决了单一数据编码方式下数据的帧同步问题,但是对编码方式可变的大气激光通信自适应系统而言,不同的校验矩阵对应的约束关系不同,上述算法的适用性受到限制。

考虑上面的因素,从大气激光通信的信道特点入手,建立了大气激光通信信道模型;利用此模型,对输出电平矩阵每一列的数据分布情况进行了讨论,提出了相应的帧同步算法;特别地,针对输出电平矩阵帧数较少的情况,从输出电平矩阵和值的概率分布情况出发,提出了基于中心极限定理的帧同步算法。

1 基本原理

1.1 数据帧的基本结构

大气激光通信中的数据是按照一定的帧格式进行传输的,典型的帧结构简化模型如图1所示。每一帧包括帧头部分和数据部分,长度分别为L与N-L。在发射端用s=(s1,s2,s3,…,sL)表示同步码字序列,用d=(dL+1,dL+2,dL+3,…,dN)表示数据序列。应当指出,对于不同的帧,同步码字序列一般具有固定性,而数据序列一般是随机的。

1.2 大气激光通信信道模型

大气激光通信系统主要受到大气衰减和大气湍流的影响。大气衰减效应使得激光在传输主轴方向上的辐射强度受到很大衰减;强湍流引起的光强起伏会造成较大的误码率和短时间通信中断,严重影响光通信的稳定性和可靠性[11]。对于每一帧数据,经过大气信道后用光电探测器得到的输出电平用r=(rs,1,rs,2,…rs,L,rd,L+1,rd,L+2,…rd,N)表示,在大气激光通信OOK调制下,有下式

其中,I0为无湍流情况下接收到的光功率;n是光电转换过程以及接收机电路等系统引入的加性噪声,近似服从均值为0,方差为σ2的高斯分布;η为接收机光电转换效率;α=I/I0是光强起伏造成的乘性噪声,在弱湍流条件下服从对数正态分布[12],此时α的概率密度函数为

在强湍流条件下服从K分布[13,14],此时α的概率密度函数为

其中,Γ(∙)为gamma函数,Κt-1(∙)是t-1阶第二类贝塞尔函数。t是与闪烁指数σl有关的信道参数,表达式为

σl是Rytov方差,在平面波条件下满足

式中,k是波数;L为传输距离;Cn2是大气折射率结构常数。

2 帧同步算法

2.1 基于信道特征的帧同步算法

为方便起见,举一具体实例进行说明。如图2所示,假设发送端数据帧长为100,帧同步码序列为13位巴克码[1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1],即图中虚线框中所示部分;数据部分长度为87,即图中实线框中所示部分。

从图2中可以很明显看出,帧同步码序列具有固定性,而数据部分具有随机性。对于帧同步码来说,数据矩阵中相同的列对应的元素相同,为0或1;对于数据部分来说,数据矩阵中相同的列对应的0和1元素均匀分布。

由1.2节中的知识,对于发送数据,在接收端得到的输出电平值为

那么对于帧同步码中0元素或1元素来讲,由于其在发送数据矩阵中所在列的位置相同,因此,参照1.2节中大气激光通信的信道分布特点,对应的列中的元素都应服从r=n或r=ηαI0+n分布;而对于随信息数据的部分来说,由于数据的随机性,对应列中的元素等概率也服从不同的分布规律。自然想到,对于帧同步码所在列和随机数据所在列来讲,其每列对应的输出电平均值是不同的:即对于帧同步码中1元素所在列其输出电平均值最高,帧同步码中0元素所在列其输出电平均值最低,而随机数列所在列其输出电平均值应位于两者之间。记数据矩阵每列对应的输出电平求和值为S=s1,s2,⋯,sn(n=1,2,⋯,100),图3分别给出了针对图2所示的帧同步位置时帧数分别为100和20时各列输出电平的求和值示意图。

由图3可以看出,当可获得的数据矩阵帧数达到100帧时,帧同步码中的全“0”或者全“1”码对应的求和值有明显的不同,可以轻易的从数据矩阵中找出帧同步码的起始和结束位置,如图3a所示;但当帧数下降到20时,由于数据量较少,数据矩阵中每一列的数据统计特性没有充分显现出来,帧同步码被混杂到数据数据矩阵中难以分开,如图3b所示,这时需要新的算法实现帧同步。

2.2 基于中心极限定理的帧同步算法

对于均值为μ,方差为σ2>0的独立同分布随机变量X1,X2,…,Xn,且E(Xk)=μ,D(Xk)=σ2>0(k=1,2,⋯),其标准化变量定义为

当n充分大时,有Yn~N(0,1),或者Xn~N(μ,σ2/n)。那么,在数据矩阵中,对于帧同步码的每一个“0”元素其对应的输出电平X1,X2,…,X20来讲服从分布Xk=n,即E(Xk)=0,D(Xk)=σ2>0(k=1,2,⋯,20),则Xn~[N(0,σ2/20)]。由正态分布的概率密度图可知,当随机变量Xn服从均值为μ,方差为σ2/20的正态分布时,Xn落在区间的概率为99%以上。若将求和值判定阈值设定为,那么当sum≥T,si=1;否则,si=0。最后在序列S中找出帧同步码的起始与结束位置,即完成了帧同步的过程。

3 仿真结果与分析

在本节中利用Matlab软件,通过1 000次蒙特卡洛仿真来对帧同步算法的性能进行仿真。图4a、图4b分别给出了基于信道特征和中心极限定理的帧同步算法在码长为200,帧同步码为13位巴克码情况下,不同帧数时的识别性能示意图。

其中,从图4a中可以看出,基于信道特征的帧同步算法在帧数较多的情况下性能较好,当信道比达到6 d B时帧同步识别率可达到100%;但是,随着帧数的减少,其帧同步识别率迅速下降,在信噪比达到8 d B时识别率仍小于60%,这是由于帧数减少,数据信道特征不显著所造成的。从图4b中可以看出,基于中心极限定理的帧同步算法性能受帧数影响较小,在信噪比大于7 d B时,即使帧数下降到20,其帧同步识别率仍可达到100%,这说明了算法有效性。

图5给出了基于中心极限定理的帧同步算法在不同长度帧同步码情况下的识别性能示意图。

从图中可以看出,不同长度的帧同步码对应的帧同步识别率差别不大,算法具有通用性。

4 结论