随机共振范文

随机共振范文（精选7篇）

随机共振 第1篇

1 物理系统内禀随机性:混沌

20世纪50年代, 美国麻省理工大学气象学家洛伦兹研究大气流体流动模型, 从而解释物理参数变化对天气预报结果的影响。由于时代的限制, 当时的单行打印机打印速度非常慢, 每10秒钟才能打印一行。为了加快计算, 洛伦兹只打印了部分数据, 虽然计算机计算到小数点后六位, 而洛伦兹打印结果只精确到三位数, 他认为舍去的数字并不会影响系统解的精度, 将经过舍位之后的计算机计算结果作为初始值中途输入计算机继续计算。按照确定论观点, 这样得到的计算结果应该和计算机原来运行结果应该是一致的。然而, 洛伦兹发现新一轮的计算机计算结果很快从初始值处发生扩散。经过深入研究, 洛伦兹认为问题的根源在于系统对于初始条件的敏感依赖性, 即使初始值的微小变化, 经过系统之后, 系统解轨迹出现巨大差别, 这一现象非常好地解释了天气预报的复杂性[1,2,3]:初始条件的任何误差被系统迅速放大, 以至于具有实际价值的可预测性大大降低。这类系统的内禀随机性被称为混沌现象[1,2,3], 它比纯粹的可预测性更加符合我们的日常经验, 比如中长期的天气预报准确率是非常低的, 因为天气初始条件微小变化使得几周之后天气情况在本质上是无法预测的[1,2,3]。

洛伦兹系统的动力学方程

变量x (t) 和y (t) 与大气温度的竖直和水平变化相关, 而变量z (t) 与大气对流有关, σ是普兰特数, γ是规范化瑞利数, 而常数b和研究区域的几何形状相关[1,2,3]。该确定性系统只有线性项和二次项, 没有外部随机性输入, 然而此系统有着复杂的类随机动力学行为。比如取参数σ=10, γ=28, b=8/3, 其轨迹完全由上述参数和初始条件 (x0, y0, z0) 确定, 但是其特性很难预测。方程 (1) 的数值解法采用4阶龙格-库塔法, 如图1所示, 初始条件为 (1.01, 1.0, 1.0) , 洛伦兹系统三维相图表明其轨迹在三维相空间中是有界的, 但是无周期性且不相交, 混乱地来往于两个吸引子之间。这是因为整体上系统能量是耗散的, 其轨迹趋向一个零体积集合, 而两个吸引子是不稳定的, 导致其轨迹的不断褶叠、翻转和延伸, 因此出现了总体的混沌现象。这类系统的内禀随机性表现在初始值的敏感性:即使初始值的微小变化经过系统放大之后, 随着时间的变化二者的轨迹出现完全不相干的性质。比如将初始条件 (1.01, 1.0, 1.0) 改为 (1.011, 1.0, 1.0) , 如图2所示, 在两种初始条件下变量x (t) 随时间演化, 尽管其误差仅有1‰, 但是二者轨迹在21秒处发生改变, 实线和虚线分别代表上述两类不同初始条件下的状态变量演化, 随着时间继续增加, x (t) 状态发生很大改变且没有相关性, 其他变量y (t) 与z (t) 也类似, 这也是混沌系统长时间行为不可预测的本质。

2 随机系统的内在有序性:随机共振

随机共振概念最早是由邦济[4,5]在研究太阳对于地球的随机作用力是如何引起冰川期和暖期的周期性变化时提出的。地球的冰川期大约105年, 这个周期和地球由于星系间的引力引起的轨道偏心率一致, 但是偏心率不足以使得地球气候发生如此大的变化。邦济发现由于地球每年气候涨落 (如太阳的辐射) 而引起的气候变化和偏心率能够达到了一种“共振”, 从而使得地球的冰川期和暖期发生周期性变化, 此现象称为随机共振现象。随机共振现象第一次证实了随机涨落对于宏观变量 (如地球气候) 影响能够起到决定性作用[4,5]。

经典随机共振模型为质量是m粒子在双稳态势阱内运动过程, 其随机微分动力学方程满足[4,5]:

当阻尼系数λ>>m, 称为过阻尼系统, 不失一般性地设λ=1, 式 (2) 可简化为一阶随机微分方程:

dx/dt=-d V (x) /dt+s (t) +ξ (t) (3)

这里信号为s (t) , 白噪声ξ (t) 的强度为D, 数值解法采用Euler-Maruyama随机微分解法[4,5]。双稳态对称势函数V (x) =-x2/2+x4/4, 具有两个稳态xm=±1和能量势垒ΔV=1/4, 当信号s (t) 存在时, 此势函数成为被s (t) 调制为V (x, t) =-x2/2+x4/4-s (t) x。设弱信号s (t) =Acos (Ωt) 的幅值和频率Ω<<1, 势函数V (x, t) 的变化如图3所示, 对应幅值从零变化为+A, 然后又从零变化为-A的过程。在没有噪声的帮助下, 此信号不能够使得粒子越过势垒达到另外一个稳态, 也就是说粒子是不能进行阱间跃迁的。然而, 随着噪声ξ (t) 的加入, 粒子能够从相对浅的势阱进入相对深的势阱里去, 当噪声强度达到一个最优值时 (如图4中噪声强度为D=0.09) , 此时系统响应如信噪比、响应幅值等达到最大值, 我们可以看出此时系统输出x (t) 能够从统计意义上反映了信号幅值正负的周期变化。故借鉴力学中“共振”一词, 称这种现象为随机共振。随机共振现象表明, 在非线性系统中, 外部噪声环境有时不是系统性能的阻碍, 反而是一种积极的促进, 能够使得系统特性和输入微弱信号达到协同, 成为建设系统序的重要因素, 这也是非线性系统内在随机性向有序性转化的有力例证。

3 总结

上述两种随机效应给现代物理带来了巨大冲击:一是, 混沌打破了物理学以往可预言的确定论观点, 它让人们理解了某些物理系统长时间预测是无意义的, 系统内部的随机性深化了人们对必然和偶然的认识, 更全面地理解自然界的统一性;二是, 随机共振打破了噪声是有害的观念, 在某些非线性系统中噪声能出人意料地产生积极影响, 对于系统的演化反而起到决定性作用, 对于系统序的建立是有益的, 使得人们更加重视微观尺度的运动对于宏观量演化的影响, 而不能简单地依据尺度和强度大小而忽略它。简言之, 混沌表现了确定性系统的内禀随机性, 而随机共振表现了随机系统的内在有序性, 本文通过这两类物理现象计算, 使得我们能够达到更好地理解物理系统的两类随机效应。

摘要：针对现代统计物理中两种非线性动力学行为, 即混沌和随机共振, 本文利用数值解法进行了模拟和解释。混沌是确定性系统中内禀随机性的一种体现, 深化了人们对必然和偶然的认识, 而随机共振是随机系统的内在有序性体现, 改变了人们对于噪声的观念, 证实了噪声对于系统序的建立具有建设性作用。这些结果对于学生通过物理计算更好地理解物理系统特性具有参考意义。

关键词：混沌,随机共振,确定性系统,随机系统

参考文献

[1]R.C.Robinson.An Introduction to Dynamical Systems[M].New Jersey:Pearson Education, Inc, 2004:207-244.

[2]胡岗.随机力与非线性系统[M].上海:上海科技教育出版社, 1994:219-254.

[3]刘式达, 梁福明, 刘式适, 辛国君.自然科学中的混沌和分形[M].北京:北京大学出版社, 2003:1-70.

[4]R.Benzi, A.Sutera, and A.Vulpiani.The mechanism of stochastic resonance[J].Journal of Physics A:Mathematical and General, 1981:L453-L457 (14) .

随机共振信号恢复研究 第2篇

自1981年Benzi[1]等人研究古气象冰川问题时提出随机共振 (SR) 概念以来, 有关随机共振理论、实验和模型的研究[2]已成为二十多年来非线性科学研究的一个热点。在信号处理领域, 随机共振可用来提取有效信号的特征频率, 因此在微弱信息的检测、放大、传输等方面具有独特的优势。但同时, 由于系统对周期信号的响应输出畸变为含高频成分的矩形 (或梯形) 波, 给非方波周期信号的后续处理带来了诸多不便。

文献[3]实现了对双稳随机共振系统波形失真输出的恢复。但由于其驱动信号仅限为正弦信号, 因此对于非正弦信号 (特别是非周期信号) 驱动的随机共振系统的恢复具有一定的局限性。能否对于工程实际处理中普遍遇到的被噪声污染的采样信号进行有效的恢复, 是本文的出发点和主旨所在。

本文以含噪信号为处理对象, 提出了基于信号分类的随机共振恢复方法, 既对类正弦信号和类脉冲信号, 分别选择级联双稳随机共振和单稳随机共振提取被噪声污染的信息, 然后求取参数可调或者参数固定的恢复系统对随机共振输出的响应, 从而实现工程中对含噪信号的特征提取。

1 系统化的随机共振恢复方法

随机共振现象反映了噪声和信号在非线性条件下表现出来的协同效应。事实证明, 在双稳系统的阱内随机共振[4]中, 噪声也会对系统行为产生积极的影响[5]。从这种意义上说, 双稳系统是否处于随机共振状态, 并不是以发生阱间跃迁为标志, 而是看噪声是否对系统输出产生了有利的影响, 这种影响既发生在阱间, 也发生在阱内。因此, 本文中我们称双稳系统中没有发生阱间跃迁的情况为单稳随机共振, 有阱间跃迁发生时称为双稳随机共振。

文献[3]中对于正弦信号驱动下的双稳系统采用了级联双稳随机系统和参数调节的恢复系统。由于恢复方法的选择与信号特性相关, 对于工程实际处理中普遍遇到的被噪声污染的采样信号, 本文提出了基于信号分类的随机共振恢复方法。首先对待处理信号进行初步的分析。如果信号中包含有限几个周期成分, 并且这几个成分集中于某一频段, 其时域波形表现为较平滑的曲线, 不含阶跃成分, 我们定义这类信号为类正弦信号, 采用级联双稳随机共振和参数调节的恢复系统对有效的时域波形进行恢复。如果信号包含较多或者无限多的周期成分, 覆盖很宽的频域范围, 其时域波形中含有脉冲的信号形式, 我们定义这类信号为类脉冲信号, 采用单稳随机共振和参数固定的恢复系统实现波形的恢复。操作流程如图1所示。

需要说明的是, 该分类方法对于信号是否是周期信号没有限制。下面我们将就两种方法的分别进行讨论。

2 类正弦信号的恢复方法

在外界驱动力s (t) 和由双稳系统势函数U (x) (28) -1/2ax2 (10) 1/4bx4决定的能量势场的作用下, 过阻尼的布朗粒子其运动满足朗之万方程:

变量上方的“”表示对时间t求导。典型的随机共振模型中, 驱动信号s (t) (28) Asin (2f 0t) , n (t) 是强度为D的高斯白噪声。

在绝热近似条件下[2], 粒子在U (x) 中的运动轨迹近似满足:

可见, 粒子的运动轨迹x (t) 不再严格遵循s (t) 的时间历程, 对此, 文献[3]给出恢复公式:

对于类正弦信号的恢复我们可以采用文献[3]中提出了级联双稳随机共振[6]与参数调节的恢复系统, 但其对于恢复系统参数的调节并没有做具体的研究。本文将在其基础上首先研究利用级联双稳随机共振和参数调节的恢复系统中参数的选取问题。具体操作为[7]:

1) 将含噪信号s (t) (10) n (t) 送入级联双稳系统, 调节系统参数a、b和二次采样频率fsr, 使得双稳系统输出达到随机共振状态。其中, 两级双稳系统参数相同, 输出分别为x (t) 和y (t) 。

2) 求解参数调节的恢复系统对级联输出y (t) 的响应。从还原粒子运动轨迹角度出发, 为满足:

需要满足:

在信号处理中, 经过A/D转换, 连续的时间历程x (t) 和y (t) 被离散为序列:

其中, N为采样点数。

于是, 条件 (5) 变为对任意的0iN-1满足:

取离散序列的样本均值:

带入上式, 仍然成立。注意到方程 (7) 中分母不能为零, 根据文献[3]的分析, 要求ix以及iy的取值不包括双稳系统的拐点。在绝热近似条件下, 粒子经过系统拐点时会发生极快的跃迁, 所以我们在计算样本均值时应该去掉阱间跃迁的部分, 即分别计算系统输出在正、负势阱中的样本均值。由于跃迁运动是对称的, 两个势阱中样本均值的绝对值相等, 分别定义为。于是, 最优的恢复参数满足

令, 把的值代入式 (8) , 得到参数组合:

文献3中描述的正是在这组参数取值下的恢复波形, 可以有效的实现信号的恢复。

因此, 我们可以提出“类正弦信号”的恢复方法, 具体恢复过程如图2所示。

3 类脉冲信号的恢复方法

对于振动测试常见到周期或者非周期冲击信号, 时间越小, 对应的频谱范围越广。这种特性决定了一旦信号中含有脉冲形式, 就很容易被噪声干扰。图3中的时间历程含有三个高度为1的脉冲, 脉冲位置随机。

添加强度D (28) 0.1的白噪声后, 我们得到了图4 (a) 所示的混合信号, 显然, 我们无法从时域波形中提取到任何关于脉冲的信息, 从频谱看, 有效的信息也被噪声湮没, 如图4 (b) 所示。

考虑到双稳系统可以改变信号谱图的能量分布, 使得响应信号的频谱呈现罗伦兹分布的特性, 而恢复系统在一定程度上可以恢复被放大或缩小的幅值, 我们采用随机共振的信号恢复方法对图4 (a) 中的含噪信号进行处理, 取双稳系统参数a=b=1, 二次采样频率fsr (28) 12Hz, 我们得到图5 (a) 中的随机共振输出。

由图5 (a) 可以看出, 在上述参数下, 系统行为受单阱调制, 输出始终为正, 此时系统处于单稳随机共振状态。这里, 我们有意避开双稳共振状态, 是由于一方面噪声强度比较小, 单稳随机共振也可以使系统输出达到一个较为理想的状态;同时从时域看, 对于非周期的脉冲序列, 我们很难衡量何时为最佳的双稳共振状态, 以指导参数的调节方向。

为了恢复得到脉冲的准确位置和大小, 我们采用参数固定的恢复系统, 即直接利用恢复公式 (3) 。选择恢复参数a (4) (28) a和b (4) (28) b, 得到图5 (b) 所示的结果, 可以发现脉冲的位置和高度都得到了较为精确的提取。考虑到重复性可作为判定实验结果是否有效的标准之一, 我们提出了类脉冲信号的恢复方法, 如图6所示。

4 实验验证

4.1 仿真实验一

对于单自由度振动系统, 加上阻尼装置后, 图7所示, 其质点位移x (t) 可表示为:

上式称为有阻尼的自由振动方程, 将其作为我们的目标信号。该信号是一个瞬变非周期信号, 它不是一个等幅的简谐振动, 其幅值按指数衰减。由于测试设备、环境等带来的干扰, 采集到的信号含有大量的噪声。

对于含噪待处理信号图8 (a) , 我们采用类正弦信号的恢复方法, 选择参数系统为a (28) b (28) 1以及二次采样频率fsr (28) 4Hz[9], 得到级联双稳输出。求解样本均值x和y, 代回到方程 (9) 中, 得到恢复参数组合a (4) (28) 1.68和b (4) (28) 1。对于图8 (b) 的恢复结果, 经过合理的线性插值、拟合[10]等后处理, 最终得到图8 (c) 所示的时域波形。可以清楚地看出原始信号的时域特征, 判定可知恢复结果与目标信号即振动衰减信号相符, 并可以计算所测结构的特征参数。

4.2 实验二

图9记录的是金属切削过程的振动信号, 工程背景参见文献[6]。通过对实验背景的初步判断, 我们知道, 当刀具切削到棒料工件的硬点时, 将产生周期性的脉冲冲击, 其频率为机床主轴转频, 这里将待识别的目标信号归入类脉冲信号, 采用图6中的恢复方法进行处理。

保持双稳系统参数a (28) b (28) 1和恢复系统参数不变, 在非最佳共振状态任取3个二次采样频率50Hz、100Hz和150Hz, 分别得到图10 (a) 、 (c) 、 (e) 中的双稳输出信号, 以及对应的3个恢复波形, 如图10 (b) 、 (d) 、 (f) 所示。观察双稳系统输出波形的纵坐标可以看出, 对应上述3个二次采样频率, 系统都处于单稳随机共振状态, 粒子始终在负势阱中运动。随着二次采样频率的增大, 脉冲的高度值逐渐减小, 到fsr (28) 150Hz时, 如图10 (e) , 脉冲高度变得很小, 个别位置不能确认。经过参数固定的恢复系统后, 除去开始的瞬态响应, 3个恢复波形中都能很清晰地分辨出周期性冲击振动信号的存在, 并且脉冲序列的外轮廓线基本一致。因此, 脉冲序列的位置和相对大小具有可重复性, 我们可以计算得到该信号的周期约为T (28) 0.8s, 与实际主轴旋转的周期60/754 (28) 0.079s相符。

由此可以看出, 对于本实验中的周期性脉冲信号, 类脉冲信号的恢复方法都可以得到较为理想的处理结果。由于单稳共振状态的参数调节范围远远大于双稳共振状态的调节范围, 并且只需要改变二次采样频率的大小以获取重复性的时域信息, 极大的降低了调节参数的数量和难度, 因此与级联双稳随机共振相比, 类脉冲信号的随机共振恢复方法具有更大的实用价值。

5 结论

本文把工程实际中普遍遇到的含噪信号分为“类正弦信号”和“类脉冲信号”, 针对两类信号给出了不同的恢复方法, 这两种方法的区别在于是否达到双稳共振状态, 以及恢复系统参数是否固定。实验证明, 基于信号分类的随机共振恢复方法, 可实现工程中对含噪信号的特征提取。与二次采样和参数调节随机共振方法结合, 亦可扩展到大频率范围内, 对于噪声强度也具有一定的适应性。由于该法具有随机共振在信号处理中异于常规方法的优势, 并且对信号周期性没有要求, 因此有望在信号的时域处理中得到更加广泛的应用。对于类脉冲信号, 建立二次采样频率fsr和最佳恢复效果的关系, 是下一步工作需要解决的问题。

参考文献

[1]R.Benzi, A.Sutera, et al.The Mechanism of StochasticResonance[J], J.Phys.A, 1981, 14 (11) :L453-4572.

[2]L.Gammaitoni, P.H nggi, et al.Stochastic Resonance[J], Rev.Mod.Phys., 1998, 70 (1) :223-285.

[3]张莹, 王太勇, 等.双稳随机共振的信号恢复研究[J], 力学学报, 2008, 40 (4) :528-534.

[4]Alfonsi L., Gammaitoni L., Santucci S., et al, Intrawellstochastic resonance versus interwell stochastic resonancein underdamped bistable systems, Phys.Rev.E, 2000, 62 (1) :299-302.

[5]Gammaitoni L., H nggi P., Jung P., et al, StochasticResonance, Rev.Mod.Phys., 1998, 70 (1) :223-285.

[6]HE HL, WANG TY, et al.Study on non-linear filter characteristic and engineering application ofcascadedbistable stochastic resonance system[J], Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21 (7) :2740-2749.

[7]ZHANG Y, WANG TY, et al.Application of StochasticResonance Signal Recovery[J], Chinese Journal ofMechanical Engineering, 2009, 22 (4) :542-549.

[8]冷永刚, 王太勇, 级联双稳系统的随机共振特性Stochasticresonance behaviors of bistable systems connected inseries.

[9]冷永刚, 王太勇, 等.二次采样随机共振频谱研究与应用初探[J].物理学报, 2004, 53 (3) :717-723.

基于随机共振的微弱信号检测研究 第3篇

微弱信号的检测是人类认识自然的重要手段, 也是科学技术自身发展的重要手段[1]。微弱信号一般是被强噪声淹没的小幅值信号, 其信噪比比较低。微弱信号检测方法就是研究噪声产生的原因和规律、被测信号的特点、相关性及噪声的统计特性, 以寻找从背景噪声中检测有用信号的方法。对于微弱信号的提取需要在抑制噪声的条件下, 增大微弱信号的幅度, 提高信噪比, 从而提取有用的信号[2]。传统的检测方法一般致力于减少噪声在电路或通信系统的作用, 但是随机共振原理指出在一定的环境下, 噪声实际上有利于微弱信号的检测。在一些非线性系统中 (包括电路和生物学传感器) , 噪声成分有助于微弱信号的检测, 而且其在物理、电子和生物医学等领域的应用均有着重要的意义[3]。

1 随机共振概述

随机共振 (Stochastic Resonance, SR) 的概念最初是由Benzi于1980年在研究地球的冰河时代问题时提出, 用来解释地球远古气象中每隔10万年左右冰川期与暖气候周期交替出现的现象[4]。在随后一些研究中进一步指出在一个一般的动态系统中, 小幅值的周期信号可以通过环境噪声的波动而被放大。1983年, SR原理第一次在施密特触发器电路中得到应用, 并将SR现象用信噪比来描述。随后, SR原理在物理系统中得到了广泛的应用, 且SR理论得到进一步的发展完善, 并于1997年首次提出SR延伸概念:在某类系统中, 随着噪声的加入信噪比会出现多个最大值, 从而可以检测出多个微弱信号[5]。

1.1 随机共振用于微弱信号检测的原理

在非线性系统中, 当输入信号和噪声达到某种匹配时, 噪声将有利于微弱信号在系统中的传输, 并使得系统输出端的信噪比得到提高, 实现从噪声中检测出有用的微弱信号, 这种现象称之为随机共振。随机共振的特征是系统对噪声的响应, 其响应程度用信噪比来描述。在系统的输入端加入噪声, 系统输出端的信噪比急剧上升, 当噪声强度达到一个理想值时, 信噪比达到最大值, 之后随着噪声强度的增大信噪比逐渐下降。信噪比和噪声强度之间的关系曲线取决于信号的频率和系统的参数。当输入零强度的噪声时, 系统没有输出[5]。

需要特别指出的是SR现象只在非线性系统中才会发生, 对于线性系统, 当输入噪声强度增大时, 其信噪比会降低。文献[6]指出SR效应的发生需具备三个因素:阈值 (在自动系统中能产生一个校正动作的临界值) ;非线性系统;噪声。

1.2 双稳态系统中的随机共振

双稳态系统是一种典型的非线性系统, 在自然学科领域有着广泛的应用。具有双势阱性质的朗之万方程是描述双稳系统的典型模型[7]:

阈值是系统中能产生一个校正动作的临界值。在上述系统中:

(3) A≠0, Γ (t) ≠0, 当, 系统静态触发阈值) 时, x (t) 将在势阱间内按输入频率f0变化输出;当A>Ac或0<f01, 0<D1时, x (t) 将克服势垒在势阱间按频率f0切换输出。x (t) 在势阱间内按输入频率f0切换输出时, 一部分噪声能量转化为信号能量, 从而提高了微弱信号的信噪比。信噪比可以是电压比和功率比, 在SR中一般采用功率比。

文献[5]描述一般动力机制中小周期扰动信号在大的环境波动中会得到较大的放大。文献[9]研究了在一种双向环形激光器中的SR效应, 通过增加输入噪声可以提高信噪比。利用Matlab仿真在双稳态系统中分别输入添加噪声的正弦信号和不添加噪声的正弦信号, 其输出信号的功率谱如图1所示。由仿真结果可知利用SR效应可以有效地将淹没在噪声中的微弱信号频率成分凸显出来, 从而实现微弱信号的检测。

2 随机共振在微弱信号检测中的应用研究现状

随机共振在微弱信号检测的应用主要有两类系统:人工系统和自然系统。人工系统指人类利用计算机技术、电子技术等技术建立的设备或仪器中的系统, 如发动机的转子系统;自然系统是大自然中本来就存在的系统, 非人为制造, 如人自身的神经元系统。从学科的角度来看, 这两类系统遍布物理、工程和生物医学等领域。SR原理在这些领域的应用研究对人类认识自然和推动科学技术自身的发展具有重要的意义。

SR概念从自然系统的地球冰河时代问题问世, 到人工系统的施密特触发器的SR效应应用, SR的应用研究是在双稳态环激光器的SR实验的成功之后激发了科学家们的研究热情[10]。文章通过科学引文索引工具对2000年起收录的关于SR应用研究文献研究发现:SR的应用主要有系统中故障诊断、生物学等方面。

SR用于预测转子早期的碰撞故障, 通过在信号中加入强度D=3的白噪声, 成功分辨出故障微弱信号的频率[11]。SR用于故障诊断的研究主要是研究人工系统中的微弱信号的检测, 其有利于推动科学技术自身的发展。利用科学引文索引工具获得自2000年以来SR在故障诊断方面的应用研究状况如图2所示。

SR在生物学方面的应用研究对象主要是人和动物。如大鼠神经元的研究, 文献指出利用SR机制, 噪声可以协助检测神经元微弱信号, 并通过实验证明在加入白噪声、1 f噪声和1 (2f) 噪声时大鼠感觉神经元的SR效果得到体现[12]。对鱼的研究, 文献通过对水下生物 (匙吻鲟幼鱼) 感觉神经系统的SR效应研究, 为水生动物的科学喂养和捕捉的进一步成功提供依据[13]。SR在人类行为的应用研究包括视觉、听觉、平衡性等方面。文献[14]研究SR机理在人类视觉控制中的应用, 在高噪声水平下, 增加眼睛的运动率可以补偿远距离观察的不足。文献[15]指出一个微弱的视觉信号的检测是不同级别的听觉噪声强度的倒U功能。利用SR原理, 听觉噪声可以用于视觉微弱信号的检测, 从而有利于人眼的视力恢复。文献[16]研究了SR原理在人体自身控制系统中的应用, 比如研制基于SR的防不平衡性鞋垫, 可以帮助老年人像年轻人一样的平稳站立。文献研究了SR在人类神经网络系统中的作用, 指出当亚阈值振荡的固有频率与起搏器频率相匹配时, 弱信号通过有噪声的系统传输达到峰值。科学引文索引工具对近年来SR在生物方面的应用研究文献分析结果如图3所示。

从图2和图3的对比分析可以得出:总体来说近年来SR的应用研究呈逐年增长的趋势。从近年来每年所出版的文献数量来看, 在SR的应用研究中研究人员比较倾向于先在人工系统中研究。从近年来每年的引文数来看, 近年来科学人员对SR在生物方面的应用研究关注度非常高, 从上述文献分析可以看到其涉及到生物的生存和人类医学方面的应用研究。

3 结语

随着人类社会和科学技术的不断发展, 人们对检测的精度要求会越来越高, 但是环境噪声却具有不可完全抑制性, 如何从大噪声环境中检测出有效的微弱信号具有非常重要的实际意义。随机共振理论在微弱信号检测中的应用为解决微弱信号的检测提供一种有效的方法, 通过文献研究可以展望随机共振理论在生物医学方面的应用研究将为改善人类的生活质量提供积极的作用。

摘要：微弱信号是淹没在噪声中的小信号, 且一般其信噪比比较低。微弱信号的检测在物理、电子和生物医学方面都具有重要的意义。依据随机共振理论, 噪声在一定的条件下有利于微弱信号的检测。研究了随机共振的原理、双稳态系统中的随机共振现象及随机共振的应用研究现状。

神经元模型随机共振特性研究 第4篇

关键词：神经元模型,随机共振,数值仿真,含噪神经元系统

0 引言

在传统的去噪方法中, 噪声被人们普遍当成一种干扰而加以消除。当随机共振现象被Benzi等提出来后[1], 人们才发现噪声在一定情况下可以增强有用信号的提取。而随机共振现象也受到人们更多关注。随机共振现象是指在非线性系统中, 通过噪声做媒介引起微弱周期信号与自身系统的协同作用, 来增强对微弱信号的提取。显然, 随机共振对噪声的处理与其他抑制或消除噪声的处理方法不同。随机共振并没有消除噪声, 它是充分利用噪声来强化弱信号。而抑制方法则是尽可能地消除噪声。随机共振现象存在许多方面, 如工业、医学、生物学等, 而近些年的研究表明, 生物神经系统中是有噪声存在的, 同时也存在着随机共振现象。

20世纪50年代Hodgkin和Huxley就建立了著名的Hodgkin-Huxley即 (H-H) 神经元模型来研究神经元的放电特性。而Fitz Hugh和Nagumo通过简化H-H模型提出了Fitz Hugh_Nagumo即 (FHN) 神经元模型。1994年, Wiesenfeld等在FNH神经元模型中发现了随机共振的存在[2], 通过这些模型人们了解到神经元当中也存在随机共振现象。生物神经系统向来是被认为有噪声存在的, 比如经典的小龙虾尾部神经元随机共振实验就是由Douglass等发现的[3]。Marks等研究了阈值系统在图像增强方面的应用[4], 发现在阈值系统中存在一个噪声强度, 使得含噪图像具有最佳视觉效果;Hongler等的研究表明, 视觉系统中随机共振的存在有助于图像边缘检测, 这些结果都为图像复原增强提供了新思路[4]。

Hodgkin-Huxley (H-H) 神经元模型是一种定量描述神经细胞膜电位与离子流参数关系的数学模型。而Fitz Hugh-Nagumo (FHN) 模型是H-H神经元模型的简化版本, 但同样描述了神经电信号在轴突间的传递过程[5]。本文通过建立H-H神经元模型和FHN神经元系统模型, 研究在高斯白噪声下, 阈值上信号和阈值下信号刺激神经元模型产生的随机共振现象及其特性, 并探究神经元模型的随机共振机制。将其等效为一个两态的阈值跨越模型。

1 神经元模型的随机共振研究

随机共振概念自被提出以来, 已有了较大发展。本文以FHN神经元模型和H-H神经元模型为研究对象来研究神经元随机共振特性。

在仿真实验中, 选用方波信号和正弦信号作为周期信号输入, 所添加的噪声均为高斯白噪声, 噪声强度D表示方差的大小。

正弦信号表达式为:

式中:I表示信号的幅值;f表示信号的频率。

方波信号占空比为50%, 表达式为:

式中:I为信号的幅值;f为信号的频率。

非周期信号选用脉冲序列信号, 表达式为:

1.1 FHN神经元模型随机共振研究

FHN神经元模型表达式如式 (4) 所示:

研究FHN神经元模型随机共振时各参数取值如下[6]:ε=0.005, γ=1, a=0.5, b=0.15, AT=0.11 m V, B=0.07 m V;在受到外界刺激时, 如果V正向跨越阈值V=0.5 m V, 则表示神经元模型在外信号的刺激下发放动作电位[7], 若未跨越阈值, 则认为神经元的响应为0。

1.1.1 FHN神经元模型阈值下随机共振

设刺激信号S (t) =I sin (2πft) 。幅值为I=0.08μA/cm2, 频率f=15 Hz。输入噪声类型为高斯白噪声。当噪声强度D不同时, FHN神经元模型输出响应如图1所示。

其中, 图1 (a) 表示原始刺激信号S (t) 。从图1 (b) 中可以看出, 当D=0时, 神经元模型未被激活, 并无动作电位的发放。图1 (c) ~图1 (e) 分别表示D=0.4×10-6, D=1.8×10-6, D=15×10-6时的输出响应。可以看出, 当噪声不断加强时, 输出响应与输入信号之间的关系从好逐渐变差。其中, 噪声强度略大于零或过大时, 神经元模型的输出响应与输入信号的关联性都不是很好。只有适当的噪声强度才能使这种输出响应与输入信号之间的关系达到最大化。

从图1中可以看出, 周期输入时信号在阈值下时, 互信息率随着噪声强度的增大呈现出单峰性, 在某一非零范围内存在最大值, 这表明, 当输入阈值下周期信号时, FHN神经元模型具有典型的随机共振特性。

1.1.2 FHN神经元模型阈值上随机共振

设刺激信号S (t) =I sin (2πft) 。幅值为I=0.1μA/cm2, 频率f=15 Hz。输入噪声类型为高斯白噪声。当噪声强度D不同时, FHN神经元模型输出响应如图2所示。

其中, 图2 (a) 表示原始刺激信号S (t) 。从图2 (b) 中可以看出, 当D=0时, 神经元模型未被激活, 并无动作电位的发放。图2 (c) , 图2 (d) 分别表示D=1.2×10-6, D=5×10-6时的输出响应。可以看出, 当噪声不断加强时, 输出响应与输入信号之间的关系从好逐渐变差。其中, 噪声强度略大于零或过大时, 神经元模型的输出响应与输入信号的关联性都不是很好。只有适当的噪声强度才能使这种输出响应与输入信号之间的关系达到最大化。这也说明FHN神经元模型中存在着随机共振现象。

1.2 H-H神经元模型随机共振研究

H-H神经元模型的表达式如下:

其参数取值如下:

1.2.1 H-H神经元模型阈值下随机共振

以信号幅值I=0.8μA/cm2, 频率f=15 Hz, 占空比为50%, 恒定偏移量I0=0.5μA/cm2的方波为刺激电流。输入噪声为高斯白噪声。当噪声强度D不同时, H-H神经元模型输出响应如图3所示。

其中, 图3 (a) 表示原始刺激信号S (t) 。从图3 (b) 中可以看出, 当D=0时, 神经元模型未被激活, 并无动作电位的发放。图3 (c) ~图3 (e) 分别表示D=0.3, D=1.5, D=18时的输出响应。可以看出, 当噪声不断加强时, 输出响应与输入信号之间的关系从好逐渐变差。当噪声强度超过一定范围时, 神经元模型放电次数过于频繁, 呈现出随机发放的状态, 失去了与信号的关联性。

1.2.2 H-H神经元模型阈值上随机共振

以幅值I=1.2μA/cm2, 频率f=15 Hz, 占空比为50%, 恒定偏移量I0=0.6μA/cm2的方波为刺激电流。噪声强度不同时, H-H神经元模型响应如图4所示。

从图4可以看出, 与输入阈值下信号不同, 噪声为0时, H-H神经元模型已经被激活, 表明此时收到的为阈值上信号刺激。图4 (c) , 图4 (d) 分别表示D=1.8, D=12时的输出响应。可以看出, 当噪声不断加强时, 输出响应与输入信号之间的关系从好逐渐变差。当噪声强度超过一定范围时, 神经元模型放电次数过于频繁, 呈现出随机发放的状态, 失去了与信号的关联性。这表明H-H神经元模型在阈值上能检测到随机共振现象。

2 结语

通过实验可以知道, 利用外加周期信号控制随机共振的方法在涡街频率检测中的应用是可行和有效的, 同时该方法也适用于其他涉及强噪声中的微弱信号检测, 因而具有良好的应用前景[10]。本文通过对FHN神经元模型和H-H神经元模型阈值上和阈值下信号的研究和分析, 得出一些结果。从实验结果来看:FHN神经元模型在阈值下时, 周期信号最好效果在D=1.8×10-6;在阈值上时, 周期信号最好效果在D=1.2×10-6。而H-H神经元模型在阈值下时, 周期信号最好效果在D=1.5;在阈值上时, 周期信号最好效果在D=1.8。

通过本文实验同时可以得出, 在阈值上用不同强度的周期信号和非周期信号加以刺激时, H-H和FHN神经元模型的仿真结果均出现了一种由低到高再到低的一种趋势, 也就是所谓的单峰性。这表明在阈值上H-H神经元模型和FHN神经元模型具有很好的随机共振现象。同时在阈值下用不同强度的周期信号和非周期信号加以刺激时, 也出现了同样的效果, 说明H-H神经元模型和FHN神经元模型在阈值上和阈值下都具有很好的随机共振现象。这就可以将神经元系统等效为类似于二值系统, 该系统在信号处理上有可能更加简单和方便。但本实验还存在一定的不足之处, 对于在实际的信号处理上本文并没有做一实验, 这也将是本文在今后研究的主要方向。

参考文献

[1]胡岗, 郝伯林.随机力与非线性系统[M].上海:上海科技教育出版社, 1994.

[2]WIESENFELD K, PIERSON P, PANT AZE LOU E, et al.Stochastics on ance on a circle[J].Physical Review Letters, 1994, 72 (14) :2125-2129.

[3]DOUGLASS J K, WILKEN S L, PANTAZELOU E, et al.Noise enhancement of the information transfer in cray fish mechano receptors by stochastic resonance[J].Nature, 1993, 365 (6444) :337-340.

[4]薛凌云, 段会龙, 向学勤, 等.基于Fitz Hugh-Naguno神经元随机共振机制的图像复原[J].浙江大学学报:工学版, 2010 (6) :1103-1107.

[5]王海玲, 范影乐, 陈可, 等.基于FHN神经元随机共振的低剂量肺部CT图像增强[J].航天医学与医学工程, 2012 (2) :1002-1005.

[6]梁军利, 杨树元, 唐志峰.基于随机共振的微弱信号检测[J].电子与信息学报, 2008, 28 (6) :1068-1072.

[7]张广军, 徐建学, 王相波, 等.Fit Hugh-Nagumo神经元模型非阈下响应的随机共振[J].空军工程大学学报:自然科学版, 2006, 7 (4) :79-81.

[8]MCCULLOUGH W S, PITTS W.A logical calculus of ideas immanent in nervous activity[J].Bull Math Biophys, 1943, 5:115-133.

[9]王俊琦.阈值神经元模型的随机共振[D].合肥:合肥工业大学, 2010.

电报噪声作用下线性系统的随机共振 第5篇

从广义角度讲,随机共振可以理解为有噪声存在的系统中,系统输出信号是噪声或周期激励信号的某个参数(噪声强度、噪声相关率、频率、激励信号的幅度等)的非单调函数。人们之前研究随机共振现象时,是研究信噪比对噪声参数的非单调依赖关系,输出幅度增益作为电路等研究领域中的特征量之一,也可用于描述随机共振现象[1]。与以往认为噪声削弱系统对信号的检测的观点不同,微弱的信号并没有淹没在背景噪声中,相反经过随机共振,噪声强化了系统的输出能力,从而增强了对弱信号的检测[2,3]。随机共振理论还可以用于在强噪声下提取信息信号[4],对化学反应速度的控制[5]等方面。因此,研究噪声存在系统的随机共振现象有着积极的意义。

在研究随机共振现象方面,近些年有了新的发展[6,7,8]。曹力等在高斯色噪声作用的一阶线性系统中,通过求解相关函数和功率谱,得到了信噪比,从信噪比与噪声强度、信号频率的非单调函数变化曲线上分析共振现象[9]。Hector Calisto等考虑的一阶线性系统模型,是乘性色噪声驱动下的Ornstein-Uhlenbeck过程,通过泛函积分方法,得到了均值的精确解析表达,并从噪声相关率和信号频率对均值的影响这个角度观察共振现象[10]。李敬辉等又研究了非对称二值噪声作用下的线性系统,在将二值噪声对称化的基础上,得到系统相关函数和信噪比,分别从噪声强度和噪声的非对称率这两个指标上分析了共振现象[11]。最近,相对于研究比较深入的一阶系统而言,二阶系统正越来越受到人们的关注,并且更多地趋向于用输出幅度增益来描述随机共振现象。郭峰等考虑在电感受到单个二值噪声扰动的二阶线性系统中,基于信号与系统的理论,得到了输出幅度增益的精确表达,从输出幅度增益随噪声强度、激励信号频率的演化曲线分析了随机共振现象[12]。郭立敏等又在系统固有频率受到噪声扰动的二阶线性系统中,描述了输出幅度增益随系统频率、噪声相关时间变化的函数关系,并发现了随机共振现象[13]。

本文的主要工作是从系统阻尼率、固有频率、激励信号这三个系统参数受到同一个电报噪声作用时的角度分析系统的随机共振现象。在第一、二部分中,对二阶线性模型的动力学性质和研究方法做简要介绍,运用信号与系统的理论,得到输出幅度增益的精确表达;第三部分中,通过数值模拟从输出幅度增益随系统固有频率、阻尼率、激励信号频率、噪声强度函数变化的角度分析随机共振。

1 模型

二阶过阻尼线性系统,设其初始条件为零:

式中为周期激励信号,A和Ω分别为该激励信号的幅值和频率;r和ω分别是系统(1)的阻尼率和固有频率,满足过阻尼条件r>ω。当激励信号受到噪声ξ(t)的调制时,同时系统的阻尼率和固有频率也受到噪声ξ(t)扰动,则式(1)变为:

其中,ξ(t)为随机电报噪声,其均值和相关函数为:

D和λ分别为ξ(t)的噪声强度和相关率。

2 输出幅值增益

根据线性系统理论,式(2)是以为激励时,稳态输出是这个激励与系统冲激响应的卷积积分,x(t)的形式解为:

将式(4)代入式(2)可得:

据Shapiro-Loginov公式、相关删去法,对于随机电报噪声ξ(t),有:

根据式(6),对式(5)两边平均可得:

设X(s)和H(s)分别表示均值和激励信号的拉普拉斯变换,把式(3)代入式(7),并对式(7)两边进行拉普拉斯变换可得:

对式(8)进行拉普拉斯逆变换,可得系统(2)平均输出满足的微分方程:

设方程(10)的解为:

将式(11)代入式(10)可以得到系统(2)平均输出幅值增益为:

3 数值模拟

由式(12)可见,统输出幅度增益G是关于阻尼率r、系统固有频率ω、激励信号频率Ω、噪声强度D以及噪声相关率λ的非单调函数,如图1~6所示。图中星号线是无噪声时的输出幅值增益曲线,在系统(2)中,有噪声时的输出幅值增益可以大于没有噪声时的输出幅值增益,故适当的噪声强度,不但不会降低系统输出幅值增益,反而更有利于幅值增益的提高,利用该特性可以在噪声环境下检测和估计弱信号。

图1、2分别为系统固有频率ω、阻尼率r取不同值时,输出幅度增益G与噪声强度D的函数关系曲线。可见G随着D的增大出现了一个最大值,即传统的随机共振现象的本质是由于噪声和信号的相互作用,使噪声的一部分能量转化成信号的结果。另外,ω的增大,输出幅值增益减小,其共振峰向噪声强度减小的方向移动,如图1所示;随着r的增大,输出幅值增益也减小,如图2所示。故较小的r和ω有利于输出幅度的提高。

图3、4为分别为ω、r取不同值时,G与信号频率Ω的函数关系曲线。可见,在噪声存在时,输出G随着的增大出现了一个最大值,即出现随机共振现象。由此可见,噪声在系统中的存在不但没有降低系统的G,反而提高了G。由图3可知,随着ω的增大,G减小,其共振峰向激励信号频率增大的方向移动。由图4可知,随着r的增大,G变大,其共振峰向激励信号频率增大的方向移动。故较小的ω和较大的r,有利于G的提高。

图5、6所示分别为系统ω、r取不同值时,G与噪声相关率的函数关系曲线。由图5、6可知,G也是噪声相关率的非单调函数,即出现了随机共振现象。

4 结论

随机共振在高频信号中检测中应用 第6篇

噪声严重影响了测量系统的工作和有用信号的正确测量。所以信号检测, 尤其是强噪声背景下的微弱信号的检测, 国内、国外都已形成了相当完整的学科体系, 比如线性放大和线性滤波, 以及最佳检测技术等, 但当噪声很强时, 微弱信号几乎被“淹没”, 采用一般的线性系统技术已无能为力。采用非线性处理技术是解决上述问题的一种有效途径, 目前常用的是在线性滤波中加入非线性放大环节, 但由于它并没有从根本上摆脱滤波抑噪的限制, 因此在背景噪声较强的场合仍不能充分发挥作用。

随机共振机理表明, 对于低频率周期信号, 根据绝热近似或线性响应理论, 双稳态系统的输出在时域和频域中都有着明显的随机共振表现形式。合适的噪声强度可以使得弱周期信号驱动下的非线性系统的输出信噪比达到某一最佳。在一定噪声强度范围内, 输出信噪比随噪声强度的增强而增大。其本质是部分噪声能量转化为信号能量的结果, 是输入信号与噪声的协作效应。从这一点来看, 利用随机共振系统中噪声和信号的协同作用, 实现强噪声背景下弱周期信号的检测就变得可行、方便。

然而频谱能量均匀分布的白噪声, 经过非线性双稳态系统, 其频谱结构发生变化, 不再是均匀分布, 能量向低频区域集中。因此, 在高频段, 没有足够的噪声能量使布朗粒子越过势垒以在双稳态系统的两势阱之间以信号频率作跃迁, 也就不能观察到随机共振现象。同时随机共振也是刚刚发展起来的非线性系统学科分支, 当前随机共振的研究还处在探索阶段, 它的理论还未成熟, 尤其是随机共振的应用性实验研究刚刚起步, 许多特性和演化规律还有待人们去进一步证实。因此本项目的目的就是通过计算、仿真、实验等方式使强噪声背景下的高频信号也能利用随机共振现象检测出来, 进而解决目前很多工程上的高频信号检测难题。

本文设计总体思路是针对高频输入信号的随机共振现象不明显的问题, 提出了频移随机共振。即利用傅立叶变换的频移特性, 先将信号的频率搬移到一个较小的频率值, 再利用随机共振系统中噪声和信号的协同作用, 实现强噪声背景下高频周期信号的检测。基于Matlab7.0软件中的Simulink工作平台, 分析随机共振的数学模型郎之万 (Langevin) 方程。通过对随机共振的数学模型郎之万 (Langevin) 方程中参数的调整, 得到相关结论。

2 设计方法

2.1 研究内容

在高频段, 没有足够的噪声能量使布朗粒子越过势垒以在双稳态系统的两势阱之间以信号频率作跃迁, 也就不能观察到随机共振现象。此研究的目标就是利用傅里叶变换的频移特性, 先将信号的频率搬移到一个较小的频率值, 再利用随机共振系统中噪声和信号的协同作用, 使强噪声背景下的高频周期信号也能利用随机共振现象检测出来。

2.2 研究路线 (图1)

2.2.1

描述非线性随机共振系统的郎之万 (Langevin) 方程的求解, 将变步长Runge-Kutta算法应用于非线性微分方程的近似求解, 利用simulink软件的强大功能模拟随机共振系统, 无须编程直接实现此算法。结合工程信号测量实际将其应用于强噪声背景下的弱信号检测中。

2.2.2

为了解决高频周期输入信号的随机共振现象不明显的问题, 利用傅里叶变换的频移特性, 先将信号的频率搬移到一个较小的频率值, 再利用随机共振系统中噪声和信号的协同作用, 使强噪声背景下的高频周期信号也能利用随机共振现象检测出来。

2.3 设计步骤

2.3.1 频移随机共振的理论分析, 利用傅里叶变换实现频谱搬移。

2.3.2

利用Simulink软件平台, 仿真频移后的随机共振数据及波形, 分析仿真结果, 如图2所示。

2.3.3 根据实际工程信号调整频移随机共振系统中的各参数。

利用傅里叶变换实现把高频周期信号的频率向小频率搬移, 然后通过随机共振系统的协同作用实现大频率信号的检测。基于Matlab 7.0软件中的Simulink工作平台, 分析随机共振的数学模型郎之万 (Langevin) 方程。通过对随机共振的数学模型郎之万 (Langevin) 方程中参数的调整、波形的分, 得到相关结论。

摘要：利用傅里叶变换的频移特性, 先将信号的频率搬移到一个较小的频率值, 再利用随机共振系统中噪声和信号的协同作用, 使强噪声背景下的高频周期信号也能利用随机共振现象检测出来。研究方法是将变步长Runge-Kutta算法应用于非线性微分方程的近似求解, 利用simulink软件的强大功能模拟随机共振系统。结合工程信号的实际测量将其应用于强噪声背景下的高频弱信号检测中。

关键词：随机共振机,傅里叶变换,非线性微分方程,simulink软件

参考文献

[1]胡岗.随机力与非线性系统[M].上海:上海科技教育出版社, 1994:218-253.

[2]丰海, 温孝东, 等.随机共振实验[J].2000, 20 (10) :5-6, 24.

随机共振 第7篇

耦合振子的研究涉及很多领域, 例如数学、生物、神经科学、机器人以及电子电路方面等等。 (1) (2) (3) 从物理体系到生物系统, 自然界中到处都是耦合系统的存在。组分间的能量或物质的直接交换, 或者通过外部周期力都能够实现耦合作用, 这个外部周期力可以是某种周期信号, 也可以是一种随机信号即噪音。近年来, 耦合体系中由噪声引起的非线性动力学行为被广泛研究, 并延伸至各个非线性领域, (4) (5) 同时, 耦合体系也为研究随机共振现象提供了一个控制参量, 即耦合强度的大小能够影响系统对外界干扰的反应, 对此, 有研究发现当将多个同样的随机共振子沿一维链线性耦合在一起后, 在合适的耦合强度下, 可以增强单个振子中的随机共振行为, 体现了非线性系统、外信号、噪声和耦合四者间的协作效应, 并且这种效应能够反映出耦合系统的集合动力学行为, 即使整个系统出现时空同步现象。 (6) 本文针对经典FHN神经元的理论模型, 通过模拟计算研究了噪声对两个单边耦合的FHN神经元的影响。在耦合体系中, 内随机共振行为可以沿着一维耦合链传输, 适中的耦合强度还可以使内随机共振行为在传输过程中被放大, 但是超过某个临界耦合强度后, 内随机共振行为不再被放大并维持在某个水平上。系统内出现时空同步, 两个子系统对噪音表现出相同的反应, 神经元之间的信息交流达到饱和状态。

1 微分方程动力学模型

FHN模型是Hodgkin-Huxley模型的一种简化, FHN以一种更简单的形式描述了细胞膜的电行为, 同时也保持了由H-H模型定量描述的膜特性, 保留了易兴奋神经细胞再生激发机制的主要特征。该模型具有两个变量, 一个快变量, 一个慢变量。快变量称为刺激变量, 慢变量称为恢复变量。模型假设钠通道改变得非常快以至于系统可用两个微分方程描述, FHN神经元的细胞模型用方程表示为:

其中, v为快变的膜电压变量, w为慢变的恢复变量。对于单个的FHN神经元, 如果∣a∣>1, 系统处在稳定态, 如果∣a∣<1, 则为极限环振荡态。本章采用单边线性耦合的方式连接两个FHN神经元, 在其中一个神经元上输入噪音信号, 并将该神经元视为驱动信号, 另一个神经元与之耦合, 称为响应信号。这两个神经元的方程表达式分别为:

其中, kc为耦合强度, β为具有零均值和单位方差的高斯白噪音的噪音强度。

2 模型方程的数值结果

这里我们设置a为0.5, 此时体系表现出周期振荡, 即所说的内信号。我们要研究的内容是耦合的神经体系中内信号对外部扰动的反应。我们用Euler方法对方程 (1) 和 (2) 进行数值求解, 为表征随机共振, 我们通过快速傅立叶变换来分析最后的17642个点以获得相应变量的频谱图。基于该频谱图, 信噪比signal-to-noise (SNR) 被定义为SNR= (/) 1, 我们通过30次独立运算求取SNR值, 以确保模拟结果的准确性。

当主系统即驱动系统受到外部扰动时, 我们从图1可以看到, 该系统表现出明显的内随机共振现象, 说明在一定噪音强度下内信号和噪音之间达到最佳匹配。从方程 (1) 可以看到主系统的动力学行为只受到噪音的作用, 并不会被耦合所影响, 也就是说在一定噪音范围内, 驱动系统的内随机共振效应是不变的。

图2画出了每个振子的功率频谱图, 从图中我们可以看出, 接收系统的谱图轮廓比驱动系统的轮廓要光滑, 即耦合在内信号间的能量传递过程中有某种过滤噪音的作用, 其中虚线表示驱动子1, 实线表示接收子v2。耦合强度kc=0.001, 噪音强度。随着耦合水平的加强, 驱动系统的内信号随机共振行为不会发生改变, 系统的动力学行为不会被耦合水平调控, 其原因与前面所提到的相同。但是, 接收系统的内信号随机共振行为在不同的耦合水平下的表现有所不同。

图3表现了接收系统2在不同耦合水平下的信噪比, 通过耦合的传递作用, 驱动信号将其信息传达给接收信号。我们可以得到这样的结论, 尽管耦合具有某种过滤噪音的功能, 但是同时也具有传递信息的作用, 将驱动信号的信息有效地传递给另一信号。神经网络中两个神经元间的交流通常被看作是, 一个释放信息, 另一个接收信息。因此, 神经元与神经元之间的关联强度的重要性是不容忽视的, 即耦合水平对神经网络中的信息传递有着重要的影响。因此, 前面提到的接收神经元2的随机共振行为在耦合影响下所表现出来的趋势意味着, 在合适的耦合水平下, 相关联的神经元之间的能量和信息可以被最优传递, 接收神经元2对所接收到的随机信息的反应能够被最有效地放大。 (7) 因此, 以上研究有助于我们进一步理解和探索耦合水平在神经系统中的信息处理和信息传导上的重要意义。

从图3 (a) 我们看到的是较小的耦合水平下第二个神经元对噪音的反应, 那么随着耦合的进一步加强, 会有什么现象出现呢?我们进一步加强了两个神经元之间的连接, 结果发现第二个神经元对噪音的反应在不同的强耦合水平下表现一致, 似乎意味着同步现象的出现, 其中。我们在图3 (b) 中展示了这种一致性为, 并用体系的内随机共振效果来表现。我们可以推测, 在较大的关联基础上, 驱动神经信号传递给接收神经元信号的能量不再发生变化, 接收系统的内随机共振行为将不再有所改善。也就是说, 包括驱动系统在内的整个神经系统能够抵制耦合的影响, 维持自身的周期振荡过程。前面我们提到过耦合能够使混沌系统同步, 在这里我们通过改变耦合水平的强度能够使两个振荡系统达到同步, 这似乎也意味着耦合通过过滤噪音, 使各系统最终得到相同能量的扰动信号并对扰动做出相同的反应, 并且这种过滤噪音的性能随着耦合水平的增加而逐渐稳定, 当耦合水平kc≥0.04时, 系统、噪音和耦合三者之间的协同作用非常稳定, 不再受耦合水平改变的影响。 (8) 通过对图3 (a) 和 (b) 的比较我们发现, 随着耦合强度的增加, 信号和噪声背景总体上都是升高的, 但我们可以看到这样一个趋势, 即系统的内随机共振行为随着耦合的增大先加强后减弱。这意味着耦合强度增大到一定值时, 噪声背景会有大幅度的升高, 因此存在一个合适的耦合水平, 使得在信号增强的同时, 噪声背景又不至于大幅度升高, 从而更有利于信号的传递和增强。而当耦合水平达到某个临界情况时, 信息流的传递达到饱和, 信号不再被增强, 驱动系统和响应系统达到同步。

与最优耦合水平下的表现不同, 此时系统和噪音间的协同效应表现稳固, 耦合不能再对这种协同效应产生影响, 神经元间的信息传递达到饱和。从图3中很容易看出噪音强度和耦合强度的这种最佳匹配。在较强的耦合水平下, 接收系统的信噪比的大小在相同的扰动下是不变的, 这有助于我们更好地研究耦合在可激发性生物体系中的作用, 同时提供这样的可能性:通过调控系统间的相关性来获得体系对环境扰动的最佳表现。耦合的变化不会影响驱动系统, 只对接收系统的随机共振效果产生影响, 表现为先增后降。但是, 接收系统在经历了最优和逐渐稳定的过程后, 其内随机共振效果接近于驱动系统的相应效果, 尽管此时的信号表达不是最优, 但在两个子系统之间出现了同步现象。 (9) 我们从图4可以看到, 在耦合水平0.04和0.1的情况下, 两个子系统对噪音的反应即随机共振效果相同。这说明体系间的关联性对于体系的动力学行为表现有着重要的影响, 我们既可以通过调节这种关联性使某个子系统行为达到最佳表达, 也可以通过对耦合水平的控制使系统的集合动力学行为变得一致。

我们对两个系统的同步区域做了描绘, 通过噪音强度对耦合强度作图 (图5) , 这里仍然取=0.01, =0.5。我们可以看到在不同匹配的噪音与耦合下, 系统表现出同步或不同步行为。此外, 由于接收系统的内随机共振效果在超过临界耦合水平后 (=0.04) 表现一致, 以及驱动系统的随机共振行为不受耦合调控, 这意味着大于临界耦合强度后, 整个耦合神经系统在不同耦合条件下对环境的扰动具有相似的反应, 即神经系统的对噪音的集合动力学行为表现一致。

处于振荡态的神经系统中的内随机共振行为可以被传递与放大。通过调节耦合水平的大小, 第二个神经元的内随机共振行为被放大的程度能够在一定范围内被调控, 但是, 超过某临界耦合水平后, 这种神经系统内部的信息传递将达到饱和状态, 无调节的序列放大随机共振能够出现。在两个子体系中能够出现同步现象, 并进一步找到了不同耦合水平下的同步区域。当参数条件轻微改动时, 能从不同状态的子体系中的得到相似的结论, 由此可见, 系统对噪音的反应所表现出的内随机共振现象以及耦合现象对于生物系统中的信号处理、信息传递和信息维护具有重要的意义。

自然界的许多复杂系统都可以用耦合的流动化学或生物化学反应来模拟。脑是我们至今遇到的最为复杂的信息处理装置, 神经元对感觉系统传来的信息进行处理, 转换为一系列的脉动作用势, 以进一步传给其它神经元。当体系处于不同的耦合水平时, 系统的内随机共振行为和同步行为受到影响。合适的耦合水平下, 内随机共振的行为表现达到最优, 意味着神经元之间的信息传递最有效。当耦合超过某个临界水平后, 在两个神经元之间出现同步, 即对噪音表现出相同的反应。子系统之间的信息传递不再被耦合所改善, 信息交流达到饱和。

3 结论

本文研究了两个耦合的神经元中的内随机共振现象, 其中, 第一个神经元受到外界环境的扰动, 第二个神经元通过单边耦合与第一个神经元连接。耦合对于研究非线性体系中的动力学行为具有重要意义。在某种程度上, 耦合水平可以作为一种随机共振的调节参数。通过调节耦合参数, 振荡体系所表现出的内随机共振行为可以被放大、抑制和维持, 也就是说, 系统间的信息将经历一个最有效的传递过程, 然后逐渐达到饱和。神经系统是生物体的调节系统。神经系统感受机体外界、内部的信息变化, 然后整合、加工并对感觉到的信息进行反应。

摘要：神经元对外界信号的反应不可能仅由某一个神经细胞发起, 而是由这一系列神经元之间微妙的互相调控使得神经信息能够稳定传播, 这也是人体神经系统区别于其他生物的一个重要特征。本文主要在FHN神经元模型为例建立了反映神经系统非线性特性的神经元耦合振子系统的微分方程, 通过数值结果探讨了FHN神经元模型中噪音和信号的耦合协同效应, 研究结果对于了解神经系统内部的信号处理有重要的指导意义。

关键词：随机共振,神经系统,微分方程,耦合系统

注释

1LiQ S, Li YP.Internalstochastic resonance in two coupled liquidmembrane oscillators.Phys.Rev.E, 2004, 69:031109-031114.

2Salis H, Kaznessis Y.Accurate hybrid stochastic simulation of a system of coupled chemical or biochemical reactions.J.Chem.Phys., 2005, 122 (5) :054103.

3ZhouCS, KurthsJ, HuB.Frequencyandphaselockingofnoise-sustainedoscillations in coupled excitable systems:Array-enhanced resonances.Phys.Rev.E, 2003, 67:030101.

4Li QS, Liu Y.Enhancement and sustainment of internal stochastic resonance in unidirectional coupled neural system.Phys.Rev.E, 2006, 73:016218.

5KrawieckiA, StemlerT.Stochasticresonancewithspatiotemporalsignalcontrolled by time delays.Phys.Rev.E, 2003, 68:061101.

6Buzsaki G, Draguhn A.Neuronal oscillations in cortical networks.Science, 2004, 304 (5679) :1926-1929.

7ShenKZ, KozellL B, JohnsonSW.Multipleconductancesaremodulatedby5-HT receptor subtypes in rat subthalamic nucleus neurons.Neuroscience, 2007, 148 (4) :996-1003.

8CruzA V, MalletN, Magill PJ, et al.Effects of dopaminedepletion on information flow between the subthalamic nucleus and external globus pallidus.J Neurophysiol, 2011, 106 (4) :2012-2023.