2022-2023年上海市浦东新区高一数学上学期期末试卷及答案

2022-2023 年上海市浦东新区高一数学上学期期末试卷及答案一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 3分，否则一律得零分.1. ____________.（用符号“”或“”填空）【答案】2. 已知集合，且，则实数 a 的值为____________.【答案】或3. 函数的定义域是__________.【答案】4. 是 2 的倍数，是 6 的倍数，则是的____________条件（填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”）.【答案】必要非充分5. 用有理数指数幂的形式表示（其中）____________.【答案】6. 设，则关于 x 的不等式的解集是____________.【答案】7. 已知一元二次方程的两个实根为，则____________.【答案】38. 请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.①上海市 2022 年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于 1 的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式的所有正整数解.【答案】①②④9. 设 a、b、c、d 是实数，则下列命题为真命题的是____________.①如果，且，那么；②如果，且，那么；③如果，那么；④如果，那么.【答案】①③④10. 已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是____________.【答案】911. 已知正数 a 和 b 满足，用 a 及 b 表示____________.【答案】12. 某同学在学习了基本不等式和幂指对运算后，通过查阅资料发现了一个不等式“，当且仅当时等号成立”，请借助这个不等式，解答下题：对任意，恒成立，则 b 的取值范围____________.【答案】二、选择题（本大题满分 12 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得 3 分，否则一律得零分.13. 下列函数与函数相同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B14. 下列函数中，值域是的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D15. 关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（ ）A. 幂函数的图象一定经过和B. 幂函数的图象一定关于 y 轴或原点对称C. 幂函数的图象一定不经过第四象限D. 两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点【答案】C16. 已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（ ）A. 在上是严格增函数B. 若，则C. 若，则D. 函数的最小值为 2【答案】A三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 解不等式.【答案】18. 已知集合，集合，用列举法表示集合.【答案】19. 要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽 x（单位：m）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度）【答案】居室的宽为 5m 时，居室的最大总面积是.20. 小明在学习“用函数的观点求解方程与不等式”时，灵光一动，为课本上一道习题“已知为正数，求证：.”得到以下解法：构造函数，因为，当且仅当时取等号；所以对于函数可得，当且仅当时，即，当且仅当时可取等号.阅读上述材料，解决下列两个问题：（1）若实数不全相等，请判断代数式“”的取值是正还是负；（直接写出答案，无需理由）（2）求证：，并指出等号成立的条件.【答案】（1）正 （2）由（1）知：（当且仅当时取等号），，即（当且仅当时取等号）.21. 已知是定义在上的函数，对于上任意给定的两个自变量的值，当时，如果总有，就称函数为“可逆函数”.（1）判断函数是否为“可逆函数”，并说明理由；（2）已知函数在区间上是增函数，证明：是“可逆函数”；（3）证明：函数是“可逆函数”的充要条件为“”.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，，则与恒有两个不同的交点，记为，则，，不符合“可逆函数”定义，不是“可逆函数”.（2）任取，则；在区间上是增函数，，又，，，在区间上是增函数，则当时，恒成立，是“可逆函数”.（3）先证明充分性：当时，，则的定义域为；任取且，则，即，为“可逆函数”，充分性成立；再证明必要性：假设当是“可逆函数”时，，构造关于的方程：，化简可得：，显然与均不是方程的根，又，解方程可得：，，且，则，即，与是“可逆函数”矛盾，假设不成立，即，必要性成立；