构造思想方法范文

构造思想方法范文（精选7篇）

构造思想方法 第1篇

近世代数 (又称抽象代数) 是一门研究群、环、域等代数系统的性质和结构的学科, 它所用的方法是抽象的、公理化的方法, 它的特点是概念多、定理多, 论证严密, 逻辑性强。它内容与其它数学学科有着很大的差别, 学过近世代数的学生往往存在诸多困惑。尽管近世代数有着特殊性, 但数学中许多常用的思想方法在这门课程中同样得到了体现, 了解这些思想方法在近世代数中的应用, 将有助于这门课程的学习。构造思想方法是近世代数中用得较多的数学思想方法, 而且在近世代数中有着与其它课程不一样的体现, 本文主要从商域这个内容谈谈构造思想方法在近世代数中的体现。

1 关于商域在教材中的地位和作用

以张禾瑞《近世代数》为例, 商域这一内容是编排在第三章环论的最后一节, 这一节内容主要是讲述怎样由一个没有零因子的交换环R来得到一个域Q——商域的方法, 这一过程是构造一个域Q来包含所给定的环R, 具体的过程是仿照由整数环构造有理数域的方法进行的。这一构造过程需要用到前面所学的从基本概念到环论的多方面知识, 所以这一节内容不仅达到对前面知识的复习效果, 而且能够强化对前面知识的运用。此外, 由于这样构造域的过程是由仿照整数环构造有理数域的方法得来的, 所以这个内容不仅让学生更深刻理解整数环与有理数域之间的结构关系, 而且可以锻炼学生的创造性思维和激发学生创新的欲望。

2 商域中的构造思想

下面简要叙述和分析商域的构造过程的几个步骤, 以体现构造思想方法在其中的运用。

商域的构造过程体现了近世代数中的多种构造方法, 主要体现在定理1的证明中。

定理1[1]每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环。

2.1 构造符号和集合

定理1证明的过程是要构造一个域Q来包含所给定的环R。要得到一个域, 首先要有一个能构成与的集合, 所以第一步是要构造出一个集合, 这样的集合所包含的元素当然也要构造出来, 比较自然的想法是这样的元素的构造应与所给定的环R相关。所以第一步先构造这样的符号和集合:

这里的只是符号, 而没有任何意义, 并不是一般的分数, 在这个证明过程中把它看成一个抽象的符号, 有助于锻炼我们的抽象思维能力。

2.2 构造等价关系

集合中元素的形式跟一般分数形式是一样的, 因为我们构造商域的过程是得益于整数环构造有理数域的方法的。从整数环得到有理数域的过程, 我们规定

容易证明这样的规定是一个等价关系。利用这个等价关系, 可得到集合A的等价类的集合:

2.3 构造代数运算

上面所得的集合Q0与有理数集很相似, 但结构是否相似呢?有理数集中有加法、乘法运算且是一个域, 而Q0目前只是一个集合, 还没有任何代数结构, 所以首先要在Q0中定义两个代数运算, 分别称为加法和乘法:

上面定义的两个法则是非常自然的, 即与我们普通的分数的加法和乘法相类似。但这样的法则均是代数运算仍需要证明, 这是因为定义涉及的对象是等价类, 而等价类的代表元一般不唯一, 所以必须要证明这两个法则与代表元选取无关, 且要说明运算的结构仍是Q0中的元素。

2.4 构造同构

在Q0中定义加法和乘法之后, 就可以考虑Q0对这两个运算能构成什么样的代数结构了。按照加群、环、域的定义, 可以验证Q0对这样的加法和乘法是一个域。但域Q0是否我们要找的域呢, 即是否满足定理1的域呢?答案是否定的, 因为Q0的元素和R的元素完全不一样, R不可能包含在Q0中。那么, 由环R和域Q0能否得到一个包含R的域呢?我们自然会想到挖补定理, 由挖补定理, 只须在Q0中找到一个子环R0, 使得R艿R0, 这样就可以用环R来代替Q0的子环R0, 得到一个包含R的域Q。实际上, 可以在Q0中找到这样的子环, 其中q是R的一个固定的元。

定义, 则可证明覫是R与R0之间的同构映射, 即R艿R0。因此由挖补定理, Q= (Q0R0) ∪R就是一个包含R的域。

2.5 构造反例

上面所构造出的Q的结构似乎很复杂, 其实不然。

由定理2, Q中元素的形式与有理数的形式是一样的, 这里的R就好像整数环而Q就好像有理数域一样, 由整数环构造有理数域的方法推广而得到的这样一般的域Q的结构刚好跟有理数域的结构一样, 这样的推广构造非常成功。这样由R所得的域Q也有一个特殊的名称——商域, 又叫分式域。

定义[1]一个域叫做一个环R的商域, 假如Q包含R, 并且

例1有理数域是整数环的商域, 有理数域是偶数环的商域。

因为:每个有理数都形如 (a, b是整数) , 也都形如 (a, b是偶数) 。

为了更清楚地说明商域的定义, 举如下反例。

例2实数域不是整数环的商域。

因为:实数域中的无理数不能写成 (a, b是整数) 的形式。

3 构造思想方法与创造性思维的培养

近世代数课程中存在诸多构造思想方法的体现, 如存在性的构造、反例的构造等, 商域这一节是构造思想方法用用得比较多的一节, 从中可以看到构造思想方法在近世代数中的重要作用。构造思想方法的本身就包含着创新的性质, 认真体会构造的方式、构造的特点, 对学好近世代数和培养创造性思维有着很大的帮助。从商域的教学得出用构造思想方法锻炼创新性思维应注意以下几个方面。

3.1 加强基础知识的学习, 打牢创新的基石

无论在哪个学科, 创新都是建立在牢固的基础知识之上。在商域这个内容里面, 我们发现要得到商域的构造, 需要用到前面所需的代数运算、等价关系、分类、同构映射、群、环、域、挖补定理等诸多的知识, 如果没有牢固的知识基础, 就做不到对知识的熟练运用。

近世代数是一门符号、概念、定理非常多且极为抽象的学科, 要打牢近世代数基础, 首先要理解概念, 如映射、代数运算、等价关系和等价类、同态等近世代数中最基本的概念及群、环、域等代数系统的定义;其次, 通过学习各代数系统的性质, 掌握它们的结构, 掌握它们的联系和区别, 并在其中锻炼抽象的思维能力。

3.2 以“旧”引“新”, 激发学生兴趣和创新欲望

新知识是由旧知识发展得来, 几乎每个学科都遵循这样的发展原则。数学的很多结论是数学家们在总结旧知识的基础上, 经过推广创新得来。对旧知识的深刻理解是创新的基础和源泉动力。在教学中“旧”引“新”, 让学生觉得新知识来得并不突然, 便能够激起学生的联想和创新欲望。

例如, 理解了整数环和有理数域的关系, 学生对构造一个域来包含一个无零因子的交换环就会得到很大启发, 心里自然有强烈的创造兴趣和冲动。

3.3 从简单开始锻炼创造性思维

创新是在旧知识基础上的一个创造性活动, 其过程要比学习旧知识困难得多, 所以创新的过程应遵循循序渐进、先简后难的原则。先从较简单的创新开始做, 让学生掌握一些较简单的创新的思想方法, 尝尝创新的甜头, 建立起创新的信心和勇气。

例如商域的构造是一种推广过程, 是比较简单的创新, 它的每一步构造都来自于整数环构造有理数域的思想, 每一步都显得比较自然, 学生较易于接受, 会觉得创新不是很困难。

再例如整环里的因子分解, 这一内容是在一般的整环里面建立因子分解理论, 而我们熟悉的因子分解理论是整数环中的因子分解理论, 很自然地我们会先熟悉整数环中的因子分解理论的建立过程, 再把这样的过程试着推广到整环上, 而要完成这样的推广, 首先得建立相关概念, 如整除、素元等概念。在学习已推广的整除、素元等概念时, 学生会觉得这样的概念跟整数中的概念非常相似, 会觉得创新原来也可以这么简单。

3.4 用严密的论证保证创新的正确性

辩论家们在提出每一个观点的时候, 都会找若干理由来“自圆其说”。科学理论的发展也是一样, 新的理论的建立必须有严密的论证作支撑。而近世代数是论证严密、逻辑性强的一门学科, 其新知识的建立也要做严密的证明。这是培养学生创新素质的一个非常重要的方面。

例如商域的构造过程中的每一步虽然得益于整数环构造有理数域的方法, 但这样每一步构造的合理性仍需要严格的证明, 而不是照抄旧知识的结论就可以了的。教师在教学中对每一步构造的证明会加深学生对近世代数的论证严密这一特点的进一步认识, 且对其创新思维产生重要的影响。

参考文献

[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社, 1978.

[2]唐高华, 主编.近世代数[M].北京:清华大学出版社, 2008.

[3]刘良华.试论数学构造思想方法及其在教学中的作用[J].咸宁学院学报, 2005, 25 (3) :12-14.

利用构造思想解决函数问题 第2篇

一、由选项提供信息构造函数

【例1】已知f (x) 为R上的可导函数, 且x∈R均有f (x) >f' (x) , 则有 ( ) .

二、由题中提供的已知条件构造函数

【例2】函数f (x) 的定义域为R, f (-1) =2, 对任意x∈R, f' (x) >2, 求f (x) >2x+4的解集.

解析:由题意设F (x) =f (x) - (2x+4) , 则F (-1) =f (-1) - (-2+4) =2-2=0, F' (x) =f' (x) -2.对任意x∈R, 有F' (x) =f' (x) -2>0, 即函数F (x) 在R上单调递增, 则f (x) >0的解集为 (-1, +∞) , 即f (x) >2x+4的解集为 (-1, +∞) .

三、由导数的公式构造

【例3】已知函数y=f (x) 是定义在实数集R上的奇函数, 且当x>0时, f (x) +xf' (x) >0 (其中f' (x) 是f (x) 的导函数) , 设, 请判断a, b, c的大小关系.

四、由导数的几何意义构造函数

示点 (p+1, f (p+1) ) 与点 (q+1, f (q+1) ) 连线的斜率.因为0<p<1, 0<q<1, 所以1<p+1<2, 1<q+1<2, 即函数图象在区间内任意两点连线的斜率大于1, 即f' (x) >1在 (1, 2) 内恒成立.

五、由要证的结论出发构造

【例5】证明对任意的正整数n, 不等式都成立.

构造函数法和导数思想的结合应用 第3篇

一、导数工具有助于学生把握函数性质

在高中阶段, 学生主要通过学习函数的定义域、值域等性质, 来理解函数.函数的这些性质都可通过图像表示, 因而, 通过函数的图像, 函数的性态也容易掌握了。但是, 对于非初等函数, 不易作出图像, 学生就可以利用函数的导数判定单调区间、极值点、最值点, 再结合描点法, 就能大概作出函数的图像.在直观上提高学生对函数性质的掌握。

二、微分方法与函数模型法相结合的作用

通过数学模型建立函数关系, 然后用导数作为工具, 可以解决数学上用初等数学方法不能解决的许多问题, 充分发挥微分思想在中学数学解题中的作用, 从而提高解决问题的能力.以导数作为工具, 结合函数模型法思想, 在不等式的证明、数列的求和问题, 以及实际问题等方面有非常重要的作用。

1. 利用结合思想可以证明不等式。

在新课程的高考中, 与不等式的证明等相关的问题, 包含的信息量较大.利用微分思想来证明, 可以先构造一个辅助函数, 使函数和不等式建立联系.然后对函数求导, 得到单调性, 使所解决问题转化为比较函数值大小的问题。

例1.证明:若x>0, 则有

证明:构造函数, 可求得其定义域为 (-1, +∞) , 可以计算得f' (x) ≥0, 即f (x) 在 (-1, +∞) 上是单调递增。所以当x>0时, f (x) >f (0) =0, 故不等式成立。

2. 利用结合思想可以求实常量的取值范围。

求实常量的取值范围是数学中的一个重要内容, 求实常量取值范围的很多问题依靠常规的方法很难处理, 利用结合思想, 处理起来非常方便, 下面通过例子来具体说明。

例2.若对x∈R, 不等式x4-4x3>2-m恒成立, 求出实数m的取值范围。

分析:将含参数的不等式问题转化为函数问题, 利用导数求得函数最小值, 方可确定出参数的范围。

解:构造辅助函数f (x) =x4-4x3, 再设f' (x) =0, 可求得x=0或x=3.

当x<0时, f' (x) <0;当0<x<3时, f' (x) <0;当x>3时, f' (x) >0.所以x=3时, f (x) 取得极小值为-27, 从而f (x) 有最小值为-27, 则f (x) |min=-27>2-m, 故有m>29.

注:构造多项式函数是解决本题的关键。

3. 利用结合思想可以解决数列问题。

通过数学模型建立函数关系, 然后用导数作为工具, 可以解决学生难以掌握的、有时技巧性很高或者计算十分烦琐的数列的和的问题。

例3.求和:Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…n Cnn (n∈N*) .

解:因 (1+x) n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn, 则该式两边都是关于x的函数, 两边都对x求导得:n (1+x) n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+n Cnnxn-1, 令x=1, 即得Sn=n·2n-1

4. 利用结合思想可以研究方程根的情况。

通过数学模型建立函数关系, 然后用微分思想可以很容易确定方程根的问题, 具体方法为:观察函数的图形变化, 得出函数的图像与x轴的交点个数, 最后得出所求范围内方程解的个数。

例5.若a>3, 则方程x3-ax2+1=0在[0, 2]上有多少个根?

解:设f (x) =x3-ax2+1, 求导可得:当a>0, x∈ (0, 2) 时, f (x) 在 (0, 2) 上单调递减, 且f (0) ·f (2) <0, 故f (x) 在[0, 2]上有且只有一个根。

5. 利用结合思想近似计算。由导数的定义知, 当Δx充分小时, f (x0+Δx) ≈f (x0) +f' (x0) ·Δx.

例6.不查表, 求sin46°的值。

解:令y=sinx, 取x0=45°, x=45°+1°, 代入上式即可得结论。

6. 利用结合思想是学好理科其他课程的前提。

微分学发展初始, 就与物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等学科密不可分。只要涉及到变化问题, 就可以利用导数讨论该过程的变化情况。所以, 无论物理还是化学问题都可以通过微积分的思想来解决了。

7. 利用结合思想解决立体几何中的问题。

例7.设A, B是球面上的两点, 弧Am B是过A、B两点的大圆的劣弧, 弧An B是过A、B两点的任意小圆的弧。设小圆的半径为r, 圆心为o';大圆的半径为R, 圆心为o, 大圆面与小圆面交于A、B。求证:弧Am B<弧An B。分析:这道题把导数和立体几何的知识结合在了一起, 再根据球面距离的定义, 最终得证。

因为R>r, 由题意, 又弧Am B=Rα, 弧An B=r B.

现在只要证明Rα<rβ即可.

为此构造函数, x∈ (0, π) .

因为f' (x) <0, 即f (x) 在 (0, π) 上是减函数, 结论得证。

8. 建立微分模型是解决实际问题的关键。

“学以致用”, 只有懂得数学如何去应用, 才是提高学生对数学感兴趣的关键。万事万物都在变化, 大多数实际问题都可通过建立微分模型来解决。具体为:翻译实际问题, 建立微分模型, 通过求导运算, 得到问题的解决。新课程实行以来, 逐渐加大了对实际问题的考查力度, 比如优化问题、路线问题等, 通过建立微分模型来解决非常方便。

例8.用PVC材料制作一个立方体容器, 其长为12m, 要求容器的底面长、宽差1m, 当高为多少时, 容积最大?并求出Vmax.

解:设容器长为xm, 则宽为 (x+1) m, 高为 (2-2x) m.

设容器的容积为Vm3, 则有V=-2x3+2x2, (0<x<1) , 求导可得, 当x∈ (0, 2/3) 时, V'>0;当x∈ (2/3, 1) 时, V'<0.

因此, 当x=2/3时, Vmax=8/27, 这时高为2/3, 故高为时容器的容积最大, 最大容积为

摘要：利用构造函数模型的思想, 讨论微分思想在中学数学解题中的作用, 从而增加学生的解题方法, 提高学生学习数学的趣味性, 推动学生的解题能力。

关键词：函数模型法,微分思想,数学模型

参考文献

[1]北京师范大学数力系.数学分析 (上册) [M].第三版.北京:高等教育出版社, 1998.

[2]祁丽娟.谈在高中数学课程中开设导数及其应用的必要性[J].甘肃教育, 2006, (4) .

解析构造思想在中学数学中的应用 第4篇

数学思想方法是初中数学日常教学的核心内容,诸如整体思想方法、分类讨论思想方法、转化思想方法、函数与方程思想方法、数形结合思想方法等等。然而作为重要的思想方法,构造思想方法在我国数学发展史上发挥着重要的作用,但是随着西方现代数学思想方法的引入,从而抑制了构造思想方法的发展。在初中教学中,许多学生存在“知其然,不知其所以然”的现象,而构造思想方法不同于常见数学思想方法,其实质是先构造,再说明其合理性。因此,笔者认为构造思想方法与其他思想方法相比较,更符合学生的认知规律,从而在日常教学中有着极大的实践意义。同时,构造思想方法并不是孤立存在的,而是与其他思想方法紧密相连,存在着广泛的理论基础。笔者将从这一角度来论述构造思想方法在初中数学中的应用及其影响。

1 利用整体思想方法,构造图形

整体思想方法主要侧重于利用问题整体结构与局部特征之间的相互关系。那么,在数学教学中,如何利用整体思想方法中整体结构与局部特征的联系,构造图形解决问题?笔者认为如何促使学生通过构造符合整体结构与局部特征联系的图形,抓住问题实质。下面通过案例来说明如何利用整体思想方法构造图形。

【例题1】如图1,在Rt△ABC,∠C=90°,AC=BC,AD是∠A的平分线。

求证:AC+CD=AB。

【分析】关于此类问题,一般情形利用整体思想方法,构造线段解决。

方法一:通过“部分—新整体—整体”的思维方式,利用构造思想方法,构造一条新线段使其长度满足“AC+CD”,从而证明新线段与AB的等量关系。

解:如图2,延长BC到E使得DC=EC,

∵AD是∠A的平分线∴∠DAC=22.5°,

方法二:通过“整体—新部分—部分”的思维方式,利用构造思想方法,构造两条新线段使其长度分别与AC,CD相等,从而证明AC+CD=AB。

解:如图3,过点D作DE⊥AB交AB于点E.

∵AD是∠A的平分线∴∠DAC=∠DAE,

【点评】这个题目的两种解决方法,体现了整体思想方法的两个方面。同时,这两个方面也延伸构造出两种图形,展现了构造思想方法的发散性。

2 利用转化思想方法,构造图形

转化思想方法主要侧重于把数学对象在一定条件下转化为另一数学对象,从而促进数学问题的解决。那么,在数学教学中,我们通常利用这种转化思想方法,构造学生熟悉的图形,把数学对象转化到相对简单的问题模式。例如:

【例题2】如图4,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,E,F分别为AB,CD的中点。探索EF,AB,CD之间的关系。

【分析】对于梯形问题,我们一般通过转化思想方法,构造三角形或平行四边形,把问题简单化。

解:如图5过点C作CG∥AD,CH∥EF,分别交AB于点G,H。

3 利用分类讨论思想方法、数形结合思想方法,构造图形

分类讨论思想主要侧重依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解;而数形结合思想主要侧重依据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化,使复杂问题简单化,抽象问题具体化的一种重要思想方法。那么,在数学教学中如何结合分类讨论、数形结合等思想方法,构造所需图形,这将是一个难点。因为这不仅综合地考验学生基础知识水平,而且考查学生观察能力、灵活性。下面通过案例来展现如何利用分类讨论、数形结合的思想方法构造图形,从而解决问题。

【例题3】如图6Rt△ABC,∠A=90°,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P做PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R,当Q与点C重合时,点P停止运动。设BQ=x,QR=y。

(1)求点D到BC的距离DH的长;

(2)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);

(3)是否存在点P使得△PQR为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值。若不存在,请说明理由。

【分析】关于此题的关键在于第三问题,我们将用分类讨论及数形结合的思想方法构造所需图形。

解:(1)如图7过点A作AO⊥BC于点O,则AO=4.8

(3)分类讨论

当PQ=QR时,如图8,即y=2.4时,由(*)式得x=6;

当QR=PR时,如图9,分两步进行。

第一步:QR+PR>PQ,即2y>2.4,解得x<8;

第二步:∵QR=PR∴R是PQ的中垂线与AC的交点

当PQ=PR时,如图10,作PF⊥RQ,PG⊥AE分别交RQ,AE于点F,G。则2PG=2RF=RQ

综上所述,当x=6、7.5、3.6时△PQR为等腰三角形。

【点评】关于第三步问题的解决,实质上在于考虑△PQR作为等腰三角形的各种类中,如何灵活利用等腰三角形的性质。特别是图9,图10两种情况的思维方式。

辅助函数构造方法列举 第5篇

一、直接构造

例1设常数k∈R,讨论关于x的方程ex= kx实数解的个数.

解析构造函数y = ex,寻求其几何意义:

将直线l: y = kx绕原点从y轴按顺时针方向旋转,与曲线y = ex依次相交于两点、相切、无公共点、再相交于一点.

以切线定位,若直线y = kx与曲线y = ex相切,设切点坐标为( a,ea) ,切线斜率为y'∣x = a= ea,则切线方程为y =eax,将切点坐标代入得ea= eaa,解得a = 1,即切点坐标为( 1,e) ,切线斜率为e.

因此有如下结论: ( 1) 当k > e时有两个不同实数解;( 2) 当k = e或k < 0时有唯一实数解; ( 3) 当0≤k < e时无实数解.

例2求证: 对任意x∈R,恒有,这里常数G > 0.

解析本题可改述为: 求证: 不等式ex≥ex对任意x∈R恒成立. 由例1知,结论成立.

利用不等式可以证明著名的平均值不等式:

二、稍作变形后构造

例3已知P( x,y) 为函数y = lnx图像上一点,O为坐标原点. 记直线OP的斜率k = f( x) .

( 1) 同学甲发现: 点P从左向右运动时,f( x) 不断增大.试问: 他的判断是否正确? 若正确,请说明理由; 若不正确,请给出正确的判断;

( 2) 求证: 当x > 1时,

评析在第( 2) 问中构造函数g( x) 时,并不是简单地令,这样做虽然容易想到,但后面的路却被堵死了. 原因是lnx没有独立出来,求导数后仍然有lnx,很难判断g'( x) 的符号. 这种变形后再根据具体情景巧妙构造函数的方法值得借鉴.

例4设函数

( 1) 求函数f( x) 的单调区间;

( 2) 已知对任意x∈( 0,1) 成立,求实数a的取值范围.

解析 ( 1) 略去.

( 2) 若直接构造函数,则求导困难,可将不等式作如下等价变形:

评析观察所给式子的结构特征,寻找( 2) 中不等式与( 1) 的联系,通过取对数转化为求函数f( x) 的最大值问题.( 所构造函数就是f( x) ) .

三、化离散为连续再构造

例5证明: 对任意的正整数n,不等式都成立.

四、二次构造

例6已知函数,求函数f( x)的单调区间.

不能直接判断符号,作第一次构造:

还不能判断符号,再作第二次构造:

当 - 1 < x < 0时,h'( x) > 0,h( x) 在( - 1,0) 上为增函数,当x >0时,h'( x) <0,h( x) 在( 0,+ ∞ ) 上为减函数. 所以h( x) 在x = 0处取得最大值,而h( 0) = 0,即h( x) ≤h( 0) = 0.

所以g'( x) < 0( x≠0) ,函数h( x) 在( - 1,+ ∞ ) 上为减函数,

于是当 - 1 < x < 0时,当g( x) > g( 0) = 0,当x > 0时,g( x) < g( 0) = 0.

所以,当 - 1 < x < 0时,f'( x) > 0,f( x) 在( - 1,0) 上为增函数; 当x > 0时,f'( x) < 0,f( x) 在( 0,+ ∞ ) 上为减函数.

故函数,f( x) 的单调递增区间为( - 1,0) ,单调递减区问为( 0,+ ∞ ) .

评析由本题可以看出,在考查单调性需要求导判断符号而难以直接判断时,可以考虑进行二次构造甚至三次( 多次) 构造. 本题是用构造方法转化并解决问题的典型例题.

五、变换主元构造

例7求和:

六、适当放缩后再构造

例8已知函数,其中n∈N+.

求证: 对任意的正整数n,当x≥2时,有f( x) ≤x - 1.

证法二当x≥2时,对任意的正整数n,恒有

构造思想方法 第6篇

1构造辅助函数, 利用函数的单调性

有些不等式的证明和比较大小等问题, 如果能根据其问题结构特征, 构造相应的辅助函数, 从函数的单调性或者最值入手, 再去分析、推理, 判断, 证明过程可能就会变得既简单又明了。

例1:若要证明下面数学中常用的两个常用的重要极限公式

只需要证明一下两个不等式, 当x0时,

以下是用通过构造函数法给出上面两个不等式的证明。

(1) 构造辅助函数f (x) xsin x, 则f (x) 1cos x≥0, 所以函数f (x) 在 (0, ) 上单调递增, f (x) f (0) 0所以xsin x0, 即sin xx。

(2) 构造辅助函数f (x) =x-ln (1+x) , 则。所以函数f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增, f (x) >f (0) =0, 所以x>ln (1+x) , 即ln (1+x) <x, 要证不等式两边取对数, 即证事实上:可设则因此得不等式, 可构造辅助函数下面证明需要函数g (t) 在 (1, +∞) 上恒大于0。因为所以g (t) 在 (1, +∞) 上单调递增, 从而g (t) >g (1) =0, 使得即所以因此证毕。

说明:有些不等式的证明, 如果采用常规方法, 往往不容易下手或者比较冗繁, 但是若从函数思想的角度去考虑, 按照函数的某些性质适当构造函数模型, 从而就能使问题就可能变得容易解决。

2构造特征函数巧妙证明不等式

不等式的证明是数学中的一个难点, 除了教材上常见的比较法、分析法、综合法、反证法外, 若能根据试题形式结构的特征, 构造合适的函数, 从函数的单调、对称性、可导性等等方面入手分析, 就有可能进行快速准确的证明, 这样既培养了学生的创新能力又解决了不等式的证明问题。

例2:已知为b正实数, 证明:

证明:可设, 即可构造特征函数, 由于b为正实数, 可得, 由函数在区间[1, +¥) 上是单调递增, 可得当x=4时, 函数f (x) 取得最小值, 不等式证毕。

说明:利用构造函数法证明不等式, 解题的关键在于能够敏锐的观察不等式的结构特征, 联想并构造合适的函数, 由于不等式和函数之间并没有直接的相关关系, 因此, 究竟应该如何寻找解题的突破口, 如何构造合理可行的函数, 也就成为解决问题的关键所在, 该例题为证明不等式, 在这里借助构造特征函数的方法进行处理, 首先巧妙构造特征函数, 再利用其单调性进行问题的证明, 实际效果绝佳, 思路既清晰又简洁[1]。

3构造类型特征函数, 巧解三角函数不等式

在不等式的证明中三角函数不等式也是常见的类型, 抓住三角函数的奇偶性、周期性和对称性这些特殊性质。在解题过程中只要充分利用三角函数的这些特殊性质就可以既轻松又快速的解决问题。

例3:设0a1, 0x, 试证 (2a1) sin x (1a) sin (1a) x≥0。

解析:可将原式等价转化为

即证不等式:, 从而可由构造特征函数, 因此只需通过导函数在区间 (0, π) 为减函数, 从而可证明函数在内为减函数, 即:可完成上式的证明。

说明:在日常的教学活动中, 要注意积累素材, 一定要熟悉典型的函数模型, 培养学生的“类型题”的意识, 使学生养成良好的数学学习与思考的习惯, 这样才能在解决数学问题时, 才能做到游刃有余, 构造最合适的函数模型来解决问题[2]。

4方程根的存在性的证明

例4:证明方程:在区间 (0, 1) 内存在唯一的实根。

解析:由题意可构造函数, 判断该函数在题目要求的区间内满足根的存在性定理, 那么就能说明在此区间内至少存在有根, 若再能证明在该范围内此函数是单调的, 即可说明根的唯一性。

证明:令函数

因为f (0) =-1<0, f (1) =1>0, 所以f (0) ×f (1) <0, 由根的存在性定理可知:至少存在一点ζ∈ (0, 1) , 满足f (ζ) =0又因为当x∈ (0, 1) 时, , 所以函数f (x) 在区间0, 1上单调递增。故f (x) 在区间 (0, 1) 内有且只有一个零点, 即, 此方程存在有唯一的根的证, 证毕。

说明:零点定理是数学中一个非常重要的定理, 使用此定理, 能快速准确的解决很多复杂数学问题, 因此要重视培养学生习惯利用定理、性质等数学工具解决数学问题[3]。

总之, 函数思想是数学中最重要的数学思想, 函数思想的建立使常量数学进入了变量数学, 学会用函数和变量来思考问题, 学会转化已知与未知的关系, 利用函数的性质做工具去发现问题、分析问题、解决问题。一个人仅仅学习了函数的知识, 他在解决问题时往往是被动的, 而建立了函数思想, 才能主动的去思考一些问题。因此, 在解决数学问题时, 构造辅助函数是基本的数学思想, 构造的对象和类型可以是多样的, 由于构造法是一种创造性的思维活动, 对个人的能力要求特别高并且构造思路又因不同的题型而不同, 所以要求我们从问题的实际出发, 抓住问题的本质, 打破思维常规创造性利用所学的数学知识去解决新的问题[4]。

参考文献

[1]祁祺.巧借构造函数破解高中数学难题[J].中学数学教学参考, 2014 (7) :92-93.

[2]毛巨根.证明不等式的一种巧妙方法[J].绍兴文理学院学报, 2009 (9) :21-25.

[3]王琪.构造函数, 探索解题新路[J].兰州石化职业技术学院, 2005 (2) :26-27.

构造思想方法 第7篇

本节课要求掌握整体思想解题的解题模式:“观察条件与所求代数式选取适当的整体模型采取适当的变形构造整体模型”，会运用解题模式求解代数、几何与图形中整体思想问题，并掌握一些构造整体模型的变形方法.

学生自主探索、归纳得出整体思想解题的解题模式，设置强化解题模式的练习题，避免学生只满足于得到答案，因此在训练过程中不断提醒学生，要求学生从三个方面思考练习题1: (1) 如何选取整体，为什么要这样选? (2) 怎样变形构造整体模型? (3) 还有其他方法吗?以此方式突破本节课的难点与重点，整体思想解题模式在几何与图形中的运用，促进学生思维能力升华.

一、激发学习兴趣，迸出思维火花

列夫托尔斯泰曾经说过:“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣.”可见，兴趣确实是学生学知识长能力的内在动机，培养和激发学生的兴趣无疑也是提高教学质量的一条重要途径.

如环节 (一) :已知方程组的解是怎样求方程组的解?方程组的解是多少?

本环节通过常规思路求方程组的解与运用整体思想求解比较，让学生体验运用整体思想解题的优越性:化难为易，化繁为简的功效.在实施过程中，从学生流露的表情来看，学生产生学习整体思想解题的浓厚兴趣，迸出思维火花.

启示之一:如果教师在每节课前都静心思考如何创设问题情景，在课堂上调动学生的学习积极性、激发求知欲，相信我们的数学课堂会十分精彩的、高效的.

课后反思:学生并不知道什么是整体思想，此题引入的不仅仅是方法，应该针对整体概念进行举例说明.

课后改进:通过举例学生领悟什么是整体，如代数式中，可以把ab或a+b视为整体，也可以把视为整体.既可加强整体概念的理解，也可分散例题1的难点.

二、探究整体思想解题模式，培养思维能力

“数学就是对模式的研究.” (怀德海) 在学习数学过程中，学习者所积累的知识、方法、经验经过加工、融合，会得出具有长久保存价值的或基本的典型结构与重要类型模式.若能将其有意识地记忆固化，形成固有的模型和通法，当遇到一个新题目时，只需辨认它属于哪一类基本模式，联想此模式的通法，在记忆储存中提取相应的方法加以解决，就能举一反三，以简驭繁，融会贯通.学生通过对例题1自主探索，归纳得出整体思想解题的解题模式，在探究解题模式的过程中培养学生的思维能力.

例如环节 (二) 中例题1 (代数中的整体思想) :已知则的值等于 () .

这道题目的设计意图主要有三点: (1) 根据条件显然无法计算出a, b的值，通过变式，构造整体模型，采用整体代入简洁明快，让学生体验到整体思想在解题中的优越性，进一步激发学习热情. (2) 让学生归纳得出整体思想解题的解题模式. (3) 让学生掌握一些基本的变形方式.依据条件利用等式的基本性质去分母进行变式得到a+b, ab，或所求代数式利用分式的基本性质得到的形式;学生想利用条件求出a或b，但计算过程比较复杂，学生无心往下算.尝试利用整体思想求解，在探究整体思想解题的过程中，培养学生的思维能力.

(1) 在观察条件与所求代数式中，培养思维能力.在教学中引导学生从多个角度观察已知条件与求代数式的结构特点，选择整体模型，培养学生敏锐的观察力. (2) 在构造整体模型中，培养思维能力.从不同角度发生整体模型，不同变形方式构造整体模型的过程中，培养学生的发散思维. (3) 在解题模式归纳中，培养思维能力.本节课让学生通过对例题1的求解，在老师的引导下，小组讨论后，由学生归纳得到整体思想解题的解题模式，培养学生的语言表达能力和归纳能力.虽然学生说得不够严谨，但这并不重要，重要的是能用自己的语言表达自己所发现的规律.老师补充完善形成大家认同的整体思想解题的基本模式.

(4) 在练习中，强化整体思想解题模式，形成固有思维模式.挑选的练习题是学生比较熟悉的常见题型.为强化整体思想解题模式，形成固有模式，明确要求运用整体思想的解题模式求解，并思考:如何选取整体，为什么要这样选?还可以如何选取整体?通过怎样的变形构造整体模型?避免了学生只满足求出答案，而忽略模式的训练，至于本节的重点与难点无法突破.

启示之二:茫茫题海，何处是岸，苦苦思索，如何引导学生挣脱题海，摒弃题海战术、强化模式在解题中的典范作用是一剂良方.

课后反思:练习题选取的是一些常规题型，比较熟悉的.在教学实施的过程中发现部分学生按自己原有思路求解，并只满足求出答案，没有深入从多个角度思考，如何选取整体，如何变形构造整体模型，而且完成练习1后缺乏归纳总结变形的方式.常用的恒等变形:因式分解、等式的基本性质、通分、配方等等.

课后改进:课后分析发现，因为学生的习惯性思维及不良的审题习惯造成不按题意作答，课后的再教设计中，对环节 (二) 中的练习题做如下修改:

(1) 练习前引导学生认真看清题目要求，在解答的过程中，不断地提醒学生按要求思考问题.

(2) 把第1题“已知代数式x2+3x的值为2时，代数式3x2+9x的值是”，改为:已知代数式3x2+9x的值为1，代数式x2+3x的值是.

(3) 把第3题“已知an=2，则a4n=”改为:已知a4n=16，则an=.

将平时练习题适当的进行变式，避免了学生用习惯思维解题，同时也起到了举一反三的效果.构造整体模型的关键是适当恒等变形，因此要进行归纳总结常用的恒等变形.

三、几何与图形中运用解题模式，促思维升华

在几何与图形中进行整体思想解题模式的渗透与训练，使学生对构造整体模型的理解达到深刻、灵活、严密，具备对问题整体全局的洞察力，具有敏锐的直觉性和独创性的构造，促进学生数学思维的升华.

如环节 (三) 例题2:如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF, GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P，若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积. (只需列式计算，不需书写说理)

(1) 方法 (一) :设GB=x, BF=y，则GF=1-x-y，利用勾股定理得x2+y2= (1-x-y) 2，由 (1-x-y) 2=[1- (x+y) ]2可知，视 (x+y) 为整体展开得1-2 (x+y) + (x+y) 2，整理得到x2+y2=1-2x-2y+x2+2xy+y2，化简方程整理，得:2x+2y=1+2xy，得x+y=+xy或xy=x+y-，以 (x+y) 或xy为整体，将其整体代入S矩形EPHD=1-x-y+xy，易求得面积.

(2) 方法 (二) :设DE=x, DH=y，则BG=1-y, BF=1-x, GF=x+y-1，利用勾股定理得 (1-x) 2+ (1-y) 2= (x+y-1) 2，视 (x+y) 为整体展开整理得2xy=1，以xy为整体，将其代入S矩形EPHD=xy，易求得面积.

(3) 方法 (三) :DE=x, BG=y，则BF=1-x, DH=1-y, GF=x-y，利用勾股定理得 (1-x) 2+y2= (x-y) 2，整理得1-2x=-2xy，而S矩形EPHD=x (1-y) =x-xy，可以视xy为整体，将xy=x-整体代入求得面积;也可视x-xy为整体，即x-xy=.

此题由2009年广州中考题24题改编而成，是一道综合性比较强的题.通过本例灵活多变的设元，多角度选择整体模型，多方法构造整体模型，让学生领悟在几何与图形中整体思想解题的灵活性、创造性，促进学生思维的升华.并进一步补充整体思想在解决几何问题的解题模式“用代数式表示所求问题建立相关方程观察条件与所求代数式选取适当的整体模型采取适当的变形构造整体模型”.

启示之三:反思是形成教师智慧的重要途径，教师通过行动后的反思，逐渐提高自己的专业品质，形成实践智慧，向智慧型教师迈进.

课后反思:本题综合性强，涉及面广，难度大，在教学实施过程中发现学生列不出方程，造成无法实现教学目标，因此这里应该搭好脚手架，让学生顺利建立出方程，再将方程变形，整体代入求解.

课后改进:搭如下脚手架.

方法 (一) :设GB=x, BF=y，则GF=______，SEPHD=______.

利用勾股定理得方程:______.

方法 (二) :设DE=x, DH=y，则BG=______，BF=______, GF=______, SEPHD=______.

利用勾股定理得方程:______.

方法 (三) :DE=x, BG=y，则BF=______，DH=______, GF=______, SEPHD=______.

利用勾股定理得方程:______.

这节课还有其他不如意的地方，例如引入环节耗费时间较多，几何与图形中整体思想选题比较偏难.在总结中思考，在实践中学习，在反思中进步!

参考文献

[1]韩以菊.初中数学教学反思[J].吉林教育, 2009 (7) .

[2]杨强诗.巧用整体思想解题——整体思维在解题过程中的特殊作用[J].连云港教育学院学报, 2000 (2) .