分类解析几何直观

分类解析几何直观（精选3篇）

分类解析几何直观 第1篇

空间解析几何是以坐标法和向量法作为主要的研究工具, 用代数方法来研究几何图形的几何学, 而线性代数则是用矩阵和向量等工具来研究多变量之间的线性关系。因此, 空间解析几何与线性代数紧密相关。事实上, 几何为线性代数中许多概念和理论提供了几何背景或几何解释, 而线性代数为几何问题的解决提供了有效的方法。近年来, 国内许多学校相继把线性代数和空间解析几何整合成一门课程。国内把线性代数与空间解析几何较早整合成一门课程尝试的学校是清华大学, 他们出版了教材《代数与几何》[1], 此书观点较高, 并且涉及面较广。黑龙江大学数学系也在空间解析几何教学方面做出了一些尝试, 在多年教学实践的基础上, 在2006年我们又出版了“十一五”规划教材《空间解析几何及其应用》[2]。此书在我校部分院系中使用, 收到了良好的教学的效果。随着信息化时代的到来, 目前的教学基础施设以及教学对象都有很明显的变化:第一, 计算机科学技术的快速发展以及计算机图形学及相关软件进一步完善, 都为计算机辅助教学提供了技术保证;第二, 近年来多数高校都增加了计算机辅助教学方面的投入, 例如多媒体教室等硬件设施基本可以满足教学需要;第三, 现在的学生计算机使用相当普遍, 他们喜欢在计算机上使用相关软件自制小程序模拟演示来解决问题。正是上述相关新形势的出现, 使我们意识到必须把多媒体系统所带来的身临其境的真实感和超越现实的虚拟性融入传统手段中以适应当前教学实际需求。把它和传统的教学方法合理结合使用, 更好地使学生把具体和抽象结合起来促进他们全面深刻的掌握知识, 全面透彻的理解问题。

2《空间解析几何》教学特点

《空间解析几何》课程是大学数学系的主要基础课程之一。主要讲述解析几何的基本内容和基本方法包括:向量代数, 空间直线和平面, 常见曲面, 坐标变换, 二次曲线方程的化简等。空间解析几何不仅是一种工具, 而且是一种空间思维模式;不仅是一种知识, 而且是一种素养。能否运用空间解析几何等数学观念定量思维是衡量一个工科大学生科学文化素质的一个重要标志, 它在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。在教学过程中, 为了直观形象化仅仅教授一些规律与步骤, 这既忽略了数学本身, 也忽略了它的实际应用价值;而传统的教学法注重数学的抽象定义、定理、证明, 而与现实结合很少, 造成相当多的学生觉得数学抽象、晦涩, 从而对数学失去兴趣。如何权衡把科学的教育理念和先进的教学手段相结合, 激发学生的学习兴趣给我们数学教育工作者提出更高的要求。首先我们看一下空间解析几何教学的特点。“数量关系”和“空间形式”在该课程中都得到了充分体现, 注意到空间解析几何中图形的各种性质可用代数的方法来研究, 如平面、直线、曲面、曲线方程的表示与求解。点、线、面的位置关系可用向量来处理, 二次曲面的分类实际上就是化二次型为标准形。这种思想都为计算机辅助设计提供了理论基础。在传统的教学中板书教授的实践证明它在加深学生思维严密性, 提高逻辑思维能力方面有不可替代的优势, 而在处理空间图形时就有很多问题。例如:复杂图形做图难度大, 在黑板上作图不仅浪费宝贵的教学时间而且直观性差。计算机辅助教学通过多媒体课件恰恰能弥补这样的缺陷。因此我们对课程深入研究、分析, 把适合有多媒体教学的内容提炼出来, 充分发挥多媒体技术既能看得见, 又能听得见, 还能用手操作的特点, 使学生能对复杂空间图形建立起空间立体感, 让他们轻松愉快地进行学习。这样 (下转117页) (上接201页) 就把传统的教学手段与现代教学手段相互结合, 取长补短。因此如何根据教学实际合理安排多媒体教学就成了一个十分重要的问题。我们经过实践选用下列内容作为直观性教学的重点内容:二次曲面、曲面截面、曲面交线, 而在其它部分应用板书推演。此方法有如下有点:

a.实现培养学生思维严密性, 提高逻辑思维能力与增强学生学习兴趣和动手能力的有机结合。

b.在强调教师主体地位的同时要求学生的积极参与, 培养学生学习热情。

c.增加学科之间的融合, 在学习空间解析几何的同时兼顾数学实验、数学建模的思想和方法, 注重应用, 使学生能学以致用, 提高他们解决实际问题的能力。

3 实例演示

已知曲面的方程, 研究曲面的几何形状是空间解析几何研究的基本问题之一。而空间曲面相交的情况又是学习中的难点。下面我们通过实例用用matlab三维视图演示曲面相交以及截痕法。

a.半球与圆柱相交, (见图1) 在在直角坐标系下方程为:

b.用平行截面法讨论马鞍面形状 (见图2)

在在直角坐标系下方程为

4 结论

多媒体课件以及计算机模拟是现代直观性教学不可缺少的教学手段。这些现代化的教学手段既易于激发学生的学习兴趣和内部动机, 又能活跃学生的思维, 加深对所学内容的理解, 有助于空间想象能力。这样能减轻学生的学习负担, 使他们轻松愉快地进行学习。这些直观性教学手段提供的外部刺激不是单一的刺激, 而是多种感官的综合刺激, 这对于知识的获取和保持都是非常重要的。多媒体技术既能看得见, 又能动手操作。这样通过多种感官的刺激获取的信息量, 信息和知识是密切相关的, 获取大量的信息就可以掌握大量的知识, 这就是说, 如果既能听到又能看到, 再通过讨论、交流用自己的语言表达出来, 这大大加深了学生对空间解析几何中抽象问题的理解, 同时也促进学生在数学建模和数学实验方面的学习。它是直观性教学发展的一个新趋势。

在教学中我们注重尽可能的选取有典型性、代表性的教学内容, 使它们符合现代教学手段要求, 对于抽象不易理解的知识、复杂而难以用语言表述的内容我们就使用多媒体等手段。我们选择演示的同时, 配以讲授法, 演示与讲授交替进行。在演示模型时, 将抽象的难于形容的问题直观形象的表现出来。先引导学生进行观察, 启发他们思考, 从观察中得出应有的结论;或运用倒叙的方法从教学结论出发, 先讲述书本上的有关知识, 再以直观的形式加以论述验证。在进行直观教学过程中要让学生对所发生的现象和过程进行比较、分类、分析综合、归纳, 使学生在感性认识的基础上形成概念并进行判断和推理从而获得对事物本质和规律的认识能力。在实践中这种把直观性教学与传统教学方式融合在一起的教学方法取得了良好的教学效果。

摘要：主要论述《空间解析几何》教学中直观性教学选材及实践。分析了空间解析几何教学特点, 并在此基础上提出更适合教学实际的教学手段。积极采用多种教学手段, 使传统的教学手段与现代教学手段相互结合, 取长补短。从而提高学生学习兴趣, 使学生加深对问题的理解, 促进教学质量提高。

关键词：直观性,多媒体,选材,空间解析几何

参考文献

[1]萧树铁, 居余马, 李海中.代数与几何[M].北京:高等教育出版社, 2000.

[2]徐阳, 杨兴云.空间解析几何及其应用[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 2006.

[3]黄廷祝, 傅英定, 成孝予.国家精品课程“线性代数与空间解析几何”的建设[J].大学数学, 2006, (2) .

关于几何直观的思考 第2篇

作者：秦德生，„ 文章来源：《中学数学教学参考》2005年第10期 [摘要] 随着数学课程标准提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观已经成为数学教育中的一个关注问题。本文从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念的辨析，追溯几何直观的哲学基础，提倡“直观型”的课程设计，挖掘几何直观能力培养的教育价值。

[关键词] 几何直观；课程标准；哲学基础；教育价值

当前，数学教育界都在关注数学课程标准[1][2]的制订与实施，关注数学课程改革，而几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”这也与康德的“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的”观念是相同的。随着《普通高中数学课程标准》[2]提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观成为数学教育中的一个关注问题；经过适当的发展，相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。

在此，笔者试图从几何课程基本要求的演变出发，探讨几何直观的概念以及与相关概念辨析，追溯几何直观的哲学基础，挖掘几何直观能力培养的教育价值。现将自己的一些想法就正于各位同行专家．

1．我国对几何课程基本要求的演变

我国解放后首次制定(1952年)的中小学数学教学大纲中提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维”，中学数学应“发展学生生动的空间想像力,发展学生逻辑的思维力和判断力”[3]。以后的中小学数学教学在能力培养方面的要求一直是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力”。1963年根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为“计算能力、逻辑推理能力和空间想像力”(传统的三大能力)。1978年的中小学数学教学大纲中，又增加了“培养学生分析问题和解决问题的能力”。1988年的九年义务教育数学教学大纲中，能力培养任务改为“培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念”,这种要求一直持续至今。《义务教育阶段国家数学课程标准》

(征求意见稿，2000年)在发展性领域中，明确提出能力培养任务是思维能力的培养，“应使学生在定量思维、空间观念、合情推理的演绎论证等方面获得发展”。2000年3月颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)》中指出，要“培养初步的思维能力和空间观念”。

2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》[1]提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”[1]．2003年颁布的《普通高中数学课程标准》[2]指出：“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”[2] 从我国几何课程基本要求的演变来看，从空间想象能力到空间观念，再到几何直观能力，对几何教学的要求不尽相同，那么，什么是几何直观，它与直觉、空间观念、空间想像能力等名词之间有联系或者区别么？我们来进一步探讨。

2．几何直观概念的内涵及典型观点辨析 2.1 什么是直观

数学家克莱因认为，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”[4]；而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。

蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态[5]。

徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知[6]。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。

他们从数学、哲学、心理学等角度给直观包括几何直观下了定义，但我们认为直观一般有两种：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联，2

可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定势。

2.2 直观与直觉

直观与知觉在英文中都是单词Intuition，但二者并不是完全相同，直觉不等于直观。

从研究对象来看直觉的对象不一定是可视的对象，直观的对象一定是可视的。从过程来看，直观与个人的经验、经历有关，直观有层次性，直观是从一个层次看到更深刻的层次或本质；在同一个层次不是直观而是直觉，直觉是有原因与结果的关联，是一个平面上的，属于同一个层次。从功能来看，直观是用来发现定理的，而直觉用来证明定理的。

2.3 直观与想象

传统的数学教学中,空间想像力“指的是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力。麦吉(Megee,1979)认为，空间想像力包括“在心理上操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力”，朱文芳认为“空间想像能力是完成空间认知任务的桥梁,空间思维能力起着决定性的核心作用”[7]。心理学家通常认为,想像(imagination)以表象为基本材料,但不是表象的简单再现，是指“在头脑中对已有表象进行加工、改造、重新组合形成新形象的心理过程”。

我们认为，空间想象能力是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力。直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。

所以，我们建议：普通高中数学课程标准中对几何目标的叙述修改为“培养和发展学生的几何直观能力和借助几何直观进行推理论证的能力，从而培养运用图形语言进行交流的能力以及空间想象能力，是高中阶段数学课程的基本要求。”这样叙述应该更恰当和准确。

3．几何直观的哲学分析 3.1 直观主义

直观化，本来是数学基础中的直观主义流派，出于数学概念和方法的“可信性”考虑而提出的基本主张，其中心内容是“存在必须是被构造”。可见数学中的直观主义就是哲学中的康德主义，主张数学的概念由人类理性构造而成。数学对象的构造就是人们先验地在直观中画出与概念相应的图形，所以构造数学对象 3

需要非经验的直观。人们在这种纯粹直观中构造出一个具体的图形，这一图形能够代表所有与某概念相应的图形，这说明人们在纯直观中构造的图形具有与概念相同的普遍意义，因此在几何直观中构造出了具体的图形就是构造出了相应的概念与数学实体。

笛卡儿认为，直观是纯粹理性的，但作为理性的东西并不能完全摆脱或无视某些经验，可见这二者是矛盾的，直观的确定性与与非逻辑性相矛盾，直观不能保证普遍原理的确定性，直观具有发现真理功能，但不能兼备证明真理、确保真理可靠性的功能。

3.2 几何直观的历史性

毕达哥拉斯时代,人们的数学直观里浸透了整数是万物本质的哲理；非欧几何产生以前,人类的数学直观里有着欧氏公理是先验不变的真理的观念；非标准分析又使一度失去了对无穷小的直观在更抽象的层次上恢复；而今计算机造成的外移动的超立体的图象,又对我们关于高维空间的抽象直观充实了具体感性。所以数学直观是历史概念，数学直观在每个历史时期,其抽象性和直观性都具有不同的内涵。

数学中的抽象性带有理论和哲学色彩，几何直观带有经验、思想和感情因素。复数的引入，是因逻辑上的需要而直接引进的“理想元素”，被赋予某种实际意义后，以几何直观解释为中介，同现实世界建立了间接联系，从而提高了它的可信性。复数，在它被引入后的最初两个半世纪中一直“给人虚无缥缈的感觉”，直至维塞尔、高斯等人相继对它作出了几何解释与代数解释，把它与平面向量a+bi或数偶 对应，才“帮助人们直观地理解它的真实意义”，并取得了实际应用．所以，它不仅被数学理论所决定，并随着数学理论的发展而发展，而且它也避免不了当时人类整个文化情境对个人心理上的影响。直观是随着人类理性的进步而进步的。换言之,几何直观的建立和发展是一个历史过程。它并不是一个从古到今就一直存在着的永恒的人类用来认识数学现象的中性框架，几何直观是一种进化的产物，可以进行更高层次的创造性活动。因此一个人在不同年龄阶段所表现出的数学直观能力可以看作是整个人类在这方面历史发展过程的缩影。

3.3 直观与形式的统一

数学作为一门精确科学，其研究活动必须以量和质、形式和内容的分离为前 4

提，把前者从自然界的普遍联系中抽取出来，加以抽象，在不断形式化的过程中实现它的精确性，这个过程就是数学化，换言之，就是数学抽象发展与现实世界的紧密结合，它既可以描述具体问题的数学模型，也可以反映各种层次的数学概念或规律的更高层次抽象．数学抽象概念发展的“直观——形式——直观”模式，是一般科学概念发展的“具体——抽象——具体”模式的特殊表现形式，它深刻地反映了数学活动的基本矛盾，数学通过形式化而实现精确性，又因为形式化而减弱客观性，直观化具有原始的创造性，它的历史性决定不允许完全客观的有理化．

直观与形式之间矛盾的解决，只有在形式化和直观化的矛盾运动中才可能实现，正是二者之间的矛盾推动了数学的发展以及科学的发展。从创造力来看，直观能引出数学的发明,直观能决定理论的形式和研究方向；从在数学证明上看,直观常常提供证明的思路和技巧,有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。数学直观的世界与因果感觉的世界是对立的，数学思维不能完全形式化，数学思想是独立于语言的形式之外，但数学又必须通过形式来表达，使其严格化。因此，数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化而返朴归真，这正是数学发展的辩证过程。

4．几何直观的课程设计

课程设计已经走向多流派、多元化。而强调知识之间有机地融合、依赖几何直观的“直观型”课程成为数学课程设计的主流之一。我国新课程已经把几何直观看作是贯穿高中数学课程的线索之一。从函数的图象教学、三角函数的单位圆、到导数的图象判断；从不等式的直观解释到线性规划的区域刻画，此外，还有数系扩充中复数、概率统计中的直观图以及向量的使用等等。几何课程设计更离不开几何直观。可见，几何直观是高中数学教学中必不可少的有效工具。因此，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。

当然，我们也要注意不能用几何直观来代替证明、注意几何直观带来的认识上的片面性。例如，对指数函数 与直线 的关系的认识，因为教材中通常都是以2或10为底来给出指数函数的图形，在这两种情况下，指数函数 的图形都在直线 的上方，于是，便认为指数函数 的图形都在直线 的上方。教学中应避免这 5

种因特殊赋值和特殊位置的几何直观得到的结果所带来的对有关概念和结论本质认识的片面性和错误判断。[2] 5．几何直观能力培养的教育价值

几何通常被喻为“心智的磨刀石”，几何在数学研究中起着其实、联络、理解、甚至提供方法的作用，而几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学家依赖直观来推动对数学的思考，数学教育家们依赖直观来加强对数学的理解。直观推动了数学和科学的发展。而数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。

首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。

其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础, 有助于学生对数学的理解。借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。

最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。

几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，那么如何培养学生的几何直观能力、如何更好地发挥几何直观性的教学价值，是每个数学教育工作者都应该深思的问题。

培养学生几何直观能力 第3篇

一、依托教材, 培养识图能力

图形是学习数学知识的重要载体, 培养识图能力是培养几何直观的基础。在教学中, 教师应引导学生理解并掌握各种数学符号所表示的数量关系及含义, 能敏锐地从图形中获取相关信息。培养识图能力, 有助于学生借助图形提高分析解决数学问题的能力。

在学习“平面直角坐标系” (北师大版) 一课时, 我设置了一道这样的习题:如图, 在荀ABCD中, AD=5, DC=6。建立直角坐标系, 它的顶点A为 (-4, 0) 。求出点B、C、D的坐标和荀ABCD的面积。

解析:要做好本题, 就要在直角坐标系的内容的教学中, 让学生充分理解两坐标轴的位置关系, 坐标轴上的点与距离的关系。教师可设置一系列问题, 让学生运用观察、思考、表达等方式, 认识直角坐标系的刻画和相应

图形的线段距离之间的联系,

由图形直接得出“OA=4, ∠AOD=90°, OD就是荀ABCD的边AB上的高”等结论, 从而顺利解决问题。教学中教师应充分利用数形结合, 引导学生经历由数到形、由形到数的思维活动, 提高识图能力, 为培养几何直观能力打下坚实的基础。

二、经历活动, 发展几何直观

新课程标准强调, 数学学习强调“基本活动经验”, 让个体在亲历数学活动过程中获得关于数学活动的个性化体验, 是参与数学学习的有效途径。在发展学生几何直观的教学过程中, 更应当让学生经历对几何对象的实际操作、分析和应用过程, 从而更好地借助图像, 形象地表达思考对象的数学关系, 深入浅出地理解相关数学知识内涵。

在学习“完全平方公式”一课时, 可通过设计以下两个环节来引导学生认识这一公式。

第一环节:情景导入

活动内容:出示幻灯片, 提出问题。一块边长为a的正方形试验田, 由于要扩大农田, 将其边长增加b米, 形成四块试验田, 以种植不同的新品种 (如图) , 用不同的形式表示试验田的总面积, 并进行比较。

第二环节:初识完全平方公式

1. 通过多项式的乘法法则来验证 (a+b) 2=

a2+2ab+b2的正确性, 并利用其推导出两数差的完全平方公式: (a-b) 2=a2-2ab+b2。

2. 分析完全平方公式的结构特点, 并用语言来描述完全平方。

3. 参考应用几何解释完全平方公式的过程, 引导利用几何图形来验证两数差的完全平方公式。

第一环节向学生展示源于生活的几何实际环境, 让他们在比较试验田的面积当中引出完全平方公式———突出用几何图形表示代数运算的意图。通过对比试验田总面积的多种表示方法可以使学生对于公式有几何直观的认识。第二环节活动1、2是从代数运算的角度运用多项式的乘法法则, 推导出两数差的完全平方公式, 从而让学生经历了几何解释代数运算, 再到几何解释的活动过程, 可以帮助学生更好地理解完全平方公式的特点, 体会代数运算背景, 有利于发展学生的几何直观。

三、合理运用, 提升几何直观

借助图形有利于描述和分析问题, 可以把复杂的数学问题变得简明。在教学中, 教师可根据所学内容, 鼓励学生尝试通过画图 (线段图、示意图、面积图等) , 去探索解决问题的思路, 培养学生用“数形结合”的思想方法去解决问题的能力。

如:某体育场的环形跑道长400米, 甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车。如果反向而行, 那么他们每隔30秒相遇一次, 如果同向而行, 每隔80秒乙就追上甲一次, 甲、乙的速度分别是多少?

第一环节:出示幻灯片。

第二环节:引导学生通过作图解决问题。

1. 分析题意, 找出数学信息。

2. 作图———分别作出两种关系图。

3. 题意结合图形去分析问题、解决问题。

第一种情况是相遇问题, 甲、乙同时反向而行, 由图形可知, 甲、乙所行的路程之和是全程, 从而可求出甲、乙的速度。第二种情况是追及问题, 甲乙相向而行, 甲的速度比较慢, 乙的速度快, 所以乙追甲, 从图形可知, 甲的路程等于乙所行的路程减去全程, 从而求出甲乙的速度。