非线性噪声范文

非线性噪声范文（精选3篇）

非线性噪声 第1篇

由管道、阀门和支架等几个部分组成的管路系统是航空航天系统、工业系统中最常用的设备之一,可以方便、快捷地近距离传输各种气体或液体。作为控制流体流动的关键部件,阀门在开启和关闭时会引起管内压力的变化,流体的流动发生紊乱,并伴随着管道冲击噪声的产生[1]。其中低频端冲击噪声具有不易衰减的特性,沿着管道传播很远,更容易引起管道的共振,破坏与管路相连的设备等。在工程实际中多采用在声源附近安装消声器的方式消除此类噪声。

由一个刚性腔体和一段开口短管构成的亥姆霍兹消声器,在管道系统中也叫滤波器,是一种能有效消除低频噪声的线性消声器[2]。当声波的频率和自身的固有频率重合时,该消声器能产生较大的声阻抗, 反射大部分声波能量返回到声源处[3,4,5] 。目前,该消声器以结构简单、不需要施加额外能量等优点,在工程实际中被广泛用来消除固定频率的噪声。

亥姆霍兹消声器的工作频带较窄,只能有效降低以自身固有频率为中心的小段频率范围内的噪声。为了克服这个缺点,很多学者基于亥姆霍兹消声器的固有频率取决于开口处的截面面积、有效长度和腔体的有效体积等几何模型参数的特点,设计了多种模型修改方案。文献[6]在腔体中加入固定面和带有马达的旋转面,通过后者的旋转来改变腔体的体积, 设计成一种自适应被动控制噪声装置。文献[7]则把腔底改装成一个可以自由活动的活塞。活塞通过马达控制, 设计出一种电动可调频率的亥姆霍兹消声器。文献[8]研究了两个腔体相连的消声器, 共用的腔壁设计成了一个活塞,改变活塞的位置,可以同时改变两个腔体的体积。文献[9]把声压放大器放置在亥姆霍兹消声器的腔底,通过适时控制腔内压强,去匹配腔口处的压强,以此扩大固有频率。总之,目前用于主动或半主动控制的设计方案都是通过改变消声器的固有频率去匹配噪声的频率, 通过反射声波能量达到消除噪声的目的。缺点是亥姆霍兹消声器不适合降低冲击噪声。据笔者所查资料,目前还没有针对单个亥姆霍兹消声器降低冲击噪声的研究。

由于非线性系统的内共振特性,适当的设计系统参数,弱连接的线性系统和非线性系统之间会发生模态局域化现象[10,11]。模态局域化现象说明非线性系统可以获得比线性系统更多的振动能量,为吸收后者的能量提供了一种可行性方式。

现将一个拥有强弹簧的非线性振子和亥姆霍兹消声器结构模型组合在一起,利用模态局域化特性,设计出一种新型的非线性消声器,用来有效吸收道内冲击声压,降低管冲击噪声。新型消声器具有反射声压能量和吸收声压能量两种降噪方式,而且后一种方式通过机械装置实现,而不是吸声材料,最大限度保持了亥姆霍兹消声器的共振特性。首先通过两种不同的组合方式设计两种非线性消声器模型a、b,而后从物态方程出发建立模型的数学描述方程,最后通过数值仿真研究了非线性消声器作为声管旁支时的抗冲击噪声性能,证明了系统在无阻尼状态下有模态局域化现象发生,恰当设计模型参数,消声器可以有效降低冲击噪声,双消声器配合工作,可以有效吸收冲击噪声。

1 消声器模型

图1(a)所示是亥姆霍兹消声器的结构模型。假设亥姆霍兹消声器几何尺寸远小于激励声波的波长[12], 则短管中的流体可以看作一个振子,体腔内的空气看作空气弹簧,力学模型如图1(b),在声压P的作用下, 振子的运动方程为

$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(1)$

参数m=ρ0Sle , F=PS,k= ρ0c02S2/V,le=l+1.7a。其中m 是等效质量; ρ0是空气密度;S是短管的横截面积;le是短管的等效长度;k是等效刚度;c0是声音在空气中的传播速度速;V是腔体体积;l是短管长度;a是短管半径;c是系统阻尼,一般情况下数值很小,可取零值。

1.1 消声器模型a

图2所示模型是按照第一种组合方式设计的消声器模型a, 亥姆霍兹消声器的腔底设计成活塞,即振子2,通过一个弱弹簧εk和非线性振子3相连。模型中线性部分由短管内的振子1和振子2组成。假设腔内的原始压强为P0,假设短管处振子1的位移为x1,振子2的位移为x2,那么腔体的压强增加了δP,体积由V0变成了V0-S1x1+S2x2 ,S1 、S2分别是短管和活塞的横截面积。由气体绝热过程的物态方程可知:

(P0+δp)(V0-S1x1+S2x2)γ=P0V${}_0^{\gamma }$ (2)

式(2)中γ是定压比热与定容比热之比。此处V0>>-S1x1+S2x2,式(2)可以写成:

$\begin{array}{l}\frac{{\rm P}{}_0+\delta p}{{\rm P}{}_0}=\left(\frac{V{}_0}{V{}_0-S{}_{1}x{}_1+S{}_{2}x{}_2}\right){}^{\gamma }=\\ \left(1+\frac{-S{}_{1}x{}_1+S{}_{2}x{}_2}{V{}_0}\right){}^{-\gamma }\approx 1-\gamma \frac{-S{}_{1}x{}_1+S{}_{2}x{}_2}{V{}_0}(3)\end{array}$

得到:

$\delta p=-\rho {}_{0}c{}_0^2\frac{-S{}_{1}x{}_1+S{}_{2}x{}_2}{V{}_0}=k{}_1(x{}_1-\beta x{}_2)(4)$

式(4)中$c{}_0=\sqrt{\frac{\gamma {\rm P}{}_0}{\rho {}_0}},k{}_1=\frac{\rho {}_{0}c{}_0{}^{2}S{}_1^2}{V{}_0},\beta =\frac{S{}_2}{S{}_1}$。分析振子1,振子2和振子3,得到描述消声器模型a的运动方程为

$\{\begin{array}{l}m{}_1\ddot{x}{}_1+c{}_1\dot{x}{}_1+k{}_{1}x{}_1-k{}_1\beta x{}_2=S{}_1{\rm P}\\ m{}_2\ddot{x}{}_2+c{}_2\dot{x}{}_2-k{}_{1}x{}_1+k{}_1\beta x{}_2+\epsilon k(x{}_2-x{}_3)=0\\ m{}_3\ddot{x}{}_3+c{}_3\dot{x}{}_3+k{}_{3}x{}_3^3+\epsilon k(x{}_3-x{}_2)=0\end{array}(5)$

为了更好的研究对冲击噪声的降噪性能,把消声器模型a作为旁支放到横截面积为S0的声管中,如图3所示,管中声波为平面波。考虑到声管中的声压连续条件和体积连续条件[13] ,图3所示系统的控制方程为:

$\{\begin{array}{l}{\rm P}{}_{\text{i}\text{n}}-\frac{S{}_1}{2S{}_0}\rho {}_{0}c{}_0\dot{x}{}_1-{\rm P}{}_t=0\\ {\rm P}{}_{\text{r}\text{e}\text{f}}=-\frac{S{}_1}{2S{}_0}\rho {}_{0}c{}_0\dot{x}{}_1\\ m{}_1\ddot{x}{}_1+c{}_1\dot{x}{}_1+k{}_{1}x{}_1-k{}_1\beta x{}_2-S{}_1{\rm P}{}_t=0\\ m{}_2\ddot{x}{}_2+c{}_2\dot{x}{}_2-k{}_{1}x{}_1+k{}_1\beta x{}_2+\epsilon k(x{}_2-x{}_3)=0\\ m{}_3\ddot{x}{}_3+c{}_3\dot{x}{}_3+k{}_{3}x{}_3^3+\epsilon k(x{}_3-x{}_2)=0\end{array}(6)$

式(6)中Pin,Pt 和Pref 分别是输入声压,透射声压和反射声压。

1.2 消声器模型b

按照第二种组合方式设计消声器模型b,结构如图4所示。亥姆霍兹消声器腔底被直接设计成消声器模型中的非线性振子2,消声器的空气弹簧设计成连接线性系统和非线性振子的弱弹簧,其中活塞的横截面积和短管的横截面积相等。模型中线性部分只含有短管内的振子1。消声器模型b的结构更简单,占有空间较小,工程中更有应用价值。

假设腔体内的压强为P0,短管处振子1的位移为x1,振子2的位移为x2,腔体的压强增加了δP,体积由V0改变为V0-S1x1+S2x2, S1是短管内壁和活塞的横截面积。由气体绝热过程的物态方程出发,可以得到:

$\delta p=-\rho {}_{0}c{}_0^2\frac{-S{}_{1}x{}_1+S{}_{1}x{}_2}{V{}_0}=\epsilon k(x{}_1-x{}_2)(7)$

式(7)中$c{}_0=\sqrt{\frac{\gamma {\rm P}{}_0}{\rho {}_0}},\epsilon k=\frac{\rho {}_{0}c{}_0{}^{2}S{}_1^2}{V{}_0}$,分析振子1和振子2,得到模型b的控制方程为

$\{\begin{array}{l}m{}_1\ddot{x}{}_1+c{}_1\dot{x}{}_1+k{}_{1}x{}_1+\epsilon k(x{}_1-x{}_2)=S{}_1{\rm P}\\ m{}_2\ddot{x}{}_2+c{}_2\dot{x}{}_2+k{}_{2}x{}_2^3+\epsilon k(x{}_2-x{}_1)=0\end{array}(8)$

消声器模型b作为旁支的声管系统如图5所示。同样考虑声管中的声压连续条件和体积连续条件,图5所示声管系统的控制方程为

$\{\begin{array}{l}{\rm P}{}_{in}-\frac{S{}_1}{2S{}_0}\rho {}_{0}c{}_0\dot{x}{}_1-{\rm P}{}_t=0\\ {\rm P}{}_{\text{r}\text{e}\text{f}}=-\frac{S{}_1}{2S{}_0}\rho {}_{0}c{}_0\dot{x}{}_1\\ m{}_1\ddot{x}{}_1+c{}_1\dot{x}{}_1+k{}_{1}x{}_1+\epsilon k(x{}_1-x{}_2)=S{}_1{\rm P}{}_t\\ m{}_2\ddot{x}{}_2+c{}_2\dot{x}{}_2+k{}_{2}x{}_2^3+\epsilon k(x{}_2-x{}_1)=0\end{array}(9)$

此外,还研究了由两个消声器模型b组成的非线性消声器模型c,如图6所示。消声器b1和消声器b2相距L,在消声器b2的短管处安装有压力阀门。在A端输入冲击噪声,当声波通过消声器b2的短管处时,压力阀关闭,消声器b2不工作,声波继续传播;当声波通过消声器b1的短管处时,消声器b1工作,产生反射声压和透射声压,透射声压在B端被输出,反射声压沿声管返回;当反射声压通过消声器b2的短管处时,压力阀门打开,消声器b2开始工作,产生反射声压和透射声压,透射声压在A端输出,反射声压则沿声管传向消声器b1处;消声器b1又会产生反射声压和透射声压,如此反复下去,声压一直在消声器b1和消声器b2之间反复传递,直到声压能量消耗完毕。消声器b1处和消声器b2处的系统控制方程见式(9)。

2 数值仿真

消声器模型的描述方程中含有三次项,因此在频域中分析消声器的方法不再适用。本节的仿真均在时域中。通过模型a的三个具体算例,研究以下三个问题,一是不同的冲击时间下,消声器的消声效果如何;二是消声器模型中的非线性振子是否能获得较多的能量;三是消声器消声过程中,反射、透射和吸收的声压能量各占输入声压能量的比值是多少。此外还研究了模型b和双消声器模型针对冲击噪声的消声性能。

2.1 消声器模型a

2.1.1 算例1

冲击噪声选取半个正弦波,表达式见式(10)。

$\begin{array}{l}{\rm P}(t)=\\ \{\begin{array}{l}0‚0<t0.1\\ \sin \frac{\text{π}(t-0.1)}{A},0.1t0.1+A\\ 0,0.1+A<t2\end{array}(10)\end{array}$

冲击在时刻0.1秒处开始,冲击时间为A,幅值1 Pa,约94 dB。取声管系统参数为

S1=0.02 m2,Le=0.025 m,c0=340 m/s,

V0=0.37 m3,ρ0=1.29 kg/m2,

S2=0.02 m2,S0=0.02 m2,m2=0.04 kg,

m3=0.01 kg, k3=8 550 000 N/m,

εk=135 N/m,c1=0 Ns/m, c2=0.001 Ns/m,c3=1 Ns/m。

仿真结果表明当冲击时间段在0.002～0.012秒内时,即频率在42～250 Hz的低频段内,输出声压幅值已经降低到0.2 Pa以下,传递损失约14 dB,如图7所示,说明新型非线性消声器可以有效降低低频段的冲击噪声。

2.1.2 算例2

输入声压见式(11),

${\rm P}(t)=\{\begin{array}{l}0,0<t0.1\\ \sin \frac{\text{π}(t-0.1)}{0.003},0.1t0.103\\ 0,0.103<t1\end{array}(11)$

取声管系统参数为:

S1=0.02 m2,Le=0.025 m,c0=340 m/s,

V0=0.37 m3,ρ0=1.29 kg/m2,

S2=0.02 m2,S0=0.02m2,m2=0.04 kg,

m3=0.01 kg,k3=8 550 000 N/m,

εk=135 N/m,c1=0 Ns/m,

c2=0 Ns/m,c3=0 Ns/m。

为了更好的观察模态局域化现象,振子2和振子3的阻尼参数均设置为零值。仿真结果显示消声器模型a中振子2和振子3响应很快,振动平衡位置偏移初始位置,并且随着时间的推移,逐渐趋向初始位置,如图8所示。初始响应的一段时间里,振子1和振子2的振幅快速衰减,而后开始缓慢衰减,振子3的振幅缓慢衰减,说明振子3获得了振子1和振子2的能量,而且能量没有返回到线性系统。声管系统是非保守系统,振子1的振动产生输出声压,虽然系统阻尼系数设置为零,总体能量还是缓慢减少,所以三个振子的振幅缓慢减小。仿真结果还显示振子2的速度迅速衰减,振子3共振很快,衰减率很小,如图9所示,再次证明了模态局域化现象发生在线性系统和非线性系统之间。此例说明消声器中有模态局域化现象发生,非线性振子获得较多的能量可以实现。

2.1.3 算例3

输入声压见式(12),

${\rm P}(t)=\{\begin{array}{l}0,0<t0.1\\ \sin \frac{\text{π}(t-0.1)}{0.003},0.1t0.103\\ 0,0.103<t0.4\end{array}(12)$

声管系统参数参照算例1,其中振子3设置了较大的阻尼值,验证能否实现能量吸收和能量消耗同时进行。仿真结果显示振子3位移响稍小于振子2,速度响应却大于振子2,如图10、图11所示,说明振子3获得了振子2的大部分能量。此外振子3的位移响应和速度响应均衰减迅速,说明振子能量消耗较快。振子消耗能量计算公式

Ei=∫${}_0^t$cix'i2(γ)dγ;i=1,2,3 (13)

式(13)中ci,xi′分别是振子的阻尼和速度。仿真结果表明振子3在0.1 s内,能量消耗值已达2.270 510-9J,远远大于振子2,如图12。此例说明恰当设计的系统参数,可以实现消声器可以同时实现声压能量吸收和能量消耗。

声管系统是个能量非保守系统,声波的传递过程实质上是一个能量传递过程。半正弦形式的冲击声压,如式(10)所示,能量计算如式(14):

$E=\frac{{\rm P}{}^{2}SA}{\rho {}_{0}c{}_0}(14)$

P、S、A分别是幅值,声管的横截面积和冲击时间。由于输出声压和反射声压的第一个峰值远远大于此后的其它峰值,如图13所示,整个声压的能量可以近似等于第一个峰值的能量。仿真得到的声管系统各部分能量为:

Ein=1.36810-9 J,Eout≈2.616 510-7 J,

Eref≈1.259 310-7 J,

E2=1.868 810-11 J,E3=2.270 510-9 J。 由于振子2消耗的能量远远小于振子3消耗的能量,消声器模型a吸收的能量近似等于振子3消耗的能量。由上述数据可以知道,消声器模型a反射92%的冲击声压能量,吸收了约1.6%的能量,说明模型a反射声压的功能占主导地位。

消声器模型a的吸声功能不佳,但是它至少证明了消声器可以有效降低冲击噪声,降噪过程中伴有模态局域化现象发生,能实现能量的吸收和消散同步进行。此外模型a对设计其它模型具有一定的参考意义。

2.2 消声器模型b

以式(12)为输入冲击声压,取声管系统参数为:

S1=0.02 m2,Le=0.05 m,c0=340 m/s,V0=0.5 m3,ρ0=1.29 kg/m2,S=0.02 m2,

k1=0 N/m,m2=0.000 2 kg, k2=100 000 N/m,c1=0.001 Ns/m, c2=0.2 Ns/m。

数值仿真结果表明振子1和振子2的位移响应首先偏离平衡位置,在冲击过后缓慢回到平衡位置,如图14所示。由于振子2设置了大阻尼系数,其位移和速度响应稍微小于振子1的位移和速度,但是其消耗的能量远远大于振子1,如图15、图16。与模型a相比,模型b中非线性振子吸收的能量有很大的提高,已达3.46610-9J,约占输出冲击能量的2.5%。但是如图17所示,大部分能量还是以反射声压的方式回到声压输入端。

消声器模型a和b吸收的声压能量远小于反射的声压能量,主要原因不是由消声器结构造成的,而是由于亥姆霍兹消声器的本身特点决定的。短管内的振子1只需要很小的位移,就可以产生较大的反射声压,也就是说,振子1自身的动能远小于反射声压的声能。消声器模型c,就是利用了反射声压较大的特性,让声波在两个消声器之间来回反射,振子1可以 多次获得声压能量,自然提高了消声器对能量的吸收率。

以式(12)声压表达式为输入声压,模型b的系统参数,采用双消声器模型,如图6所示,两模型距离L=1.02 m。仿真结果显示,在0.2 s内,消声器b1吸收1.910 210-8J的能量,消声器b2吸收1.744 610-8 J的能量,如图18。消声器c1和c2共吸收的能量约占总输入能量的26.7%,表明双模型可以较好的迅速吸收冲击声压能量。其它能量以声波形式在声管两端输出,如图19所示。此例说明消声器模型c能够很好的吸收声压能量,而且声管两端的输出声压幅值较小。

3 结 论

针对管道冲击噪声,设计了两种具有机械式反射和吸收冲击声压能量的非线性消声器:将亥姆霍兹消声器的腔底设计成线性振子,通过弱弹簧和非线性振子相连,设计出消声器模型a;将亥姆霍兹消声器的“空气弹簧”设计成弱弹簧,腔底直接设计成非线性振子,设计出消声器模型b。而后从物态方程出发,建立了两个模型的数学描述方程,并通过数值仿真研究了模型消除冲击噪声的消声性能。仿真结果显示,选择适当的模型参数,消声器模型a和b均能反射大部分冲击声压能量,吸收小部分声压能量。此外,还研究了两个消声器模型b相距一段距离配合工作时的降噪性能,仿真结果表明,两个消声器模型b配合工作,能较好的吸收冲击声压能量,消除冲击噪声。

新型非线性消声器结构简单,工作频带宽,具有机械式吸收声压和反射声压两种相互影响较小的工作方式,提高了消声效率,两个消声器配合工作,能有效吸收冲击噪声能量。以上优点说明该消声器在工程中具有较好的应用前景。

非线性噪声 第2篇

目前, 工程中许多包含随机噪声的周期时间序列分析都是建立在以傅立叶及功率谱分析为代表的传统方法基础上的, 这些方法仅在对象数据机制较为简单时是有效的。然而在数据包含了非线性周期序列特征时, 这些方法就会产生不稳定的结果[1]。

非线性算法在一定程度上解决了这一问题, 比如小波分析, 而有关分形维数在这方面的研究却鲜有人涉及。分形维数最初是针对几何现象而被提出的, 它在图像压缩, 工件铸造领域有着显著的研究地位[2], 但是这些研究大都不涉及分形作为非线性方法的数学本质。事实上, 分形作为某种几何视觉现象在数学上表现的描述, 与小波分析方法有众多相似的背景, 但结果的表达则更加直接简单。因此, 分形在非线性周期时间序列分析上有着巨大的研究潜力。

本研究将用盒子维算法实现分形维数计算, 对受到噪声不同影响程度的工程时间序列进行分析和对比, 探讨分形维数在噪声分析上的应用价值。

1 分形维数

1.1 分形与分形维数概述

分形就是指由各个部分组成的形态, 每个部分以某种方式与整体相似, 它具有自相似性和标度不变性[3]。

分形维数是刻画分形体复杂结构的主要工具。分形维数是分形理论中最核心的概念与内容。分形维数与经典维数不同。经典维数必须是整数, 如一个空间几何体的经典维数是3维等等。分形维数有多种定义方法。Hausdorff[4]指出:假设考虑的物体或图形是欧氏空间的有界集合, 用半径为r (r>0) 的球覆盖其集合时, 假定N (r) 是球的个数的最小值, 则有:

$D=-\underset{r0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\ln {\rm N}(r)}{\text{l}\text{n}r}$ (1)

D分形维数的一种表示形式。

综上所述, 分形维数的定义可以理解为:用给定尺度的标准几何体 (正方形或者圆等等) 去覆盖目标图形。当标准几何体的尺度变小的时候, 所需要的标准几何体的数目显然会增加, 而增加的对数速率即是分形维数。

1.2 分形维数的计算

目前, 分形维数的计算方法主要有:尺度法、盒维数法、差分法、功率谱法、结构函数法、小波分析法等方法。本研究选用盒维数算法计算分形维数。

“盒维数” (Box-counting) 的计算方法为:对于给定的时间序列图像, 用边长为r的正方形进行分割, 并且通过计数得出需要包含整个图像所需要的正方形的最小数目N (r) , 然后改变正方形边长的大小, 再次计算出所需要的数目, 依此类推。

盒维数的具体计算方法, 如图1、图2所示。

(1) 第1次计数。

小正方形的尺度为1 (即两点在横轴投影距离) , 以原始数据 (小圆点) 为中心作此正方形。阴影方格是为了保持图像的连续性, 也要参与计数, 这两者之和即为第一次计数的结果。

(2) 第2次计数。

小正方形的尺度变为2时, 所需要的正方形的数目已经大大减少了。阴影部分同样是为了维持图像的连续性而加入计数的。第3次及以后计数可依此类推。通过计数得到了一系列的关于正方形尺度r对于所需要的正方形个数N (r) 的关系。根据维数的定义, 将Log (r) 作为横坐标, 将LogN (r) 作为纵坐标, 作出函数图像, 图像斜率的相反数即为分形维数。

盒维数的计算机实现方法为Higuchi方法[5]。设时间序列为X (i) (i=1, , N) , 分别计算m=1, , k时的Lm (k) :

$\begin{array}{l}L{}_m(k)=\frac{1}{k}\cdot \frac{{\rm N}-1}{k\left[\frac{{\rm N}-m}{k}\right]}\cdot \\ \left({\displaystyle \sum _{i=1}^{\left[\frac{{\rm N}-m}{k}\right]}|}X(m+ik)-X(m+(i-1)k)|\right)(2)\end{array}$

Lm (k) 的平均值$L(k)=\frac{1}{k}{\displaystyle \sum _{m=1}^{k}L}{}_m(k)$, 当曲线具有分形特性时, L (k) =k-D, D为曲线的分形维数。

与图像不同, 在计算时间序列时, 纵轴的意义与横轴不同, 这就涉及了纵轴尺度定义问题。这一问题没有统一的回答, 但应遵循以下原则, 即纵轴范围不能太小, 否则结果就没有意义。时间序列的分维值并没有绝对值上的意义, 只有比较意义。在实际应用中, 对同一类数据应采用同样的处理标准, 最后的比较结果才有意义。

2 分形维数的工程时间序列分析

2.1 实验设计

实验采用随机噪声进行结果对比, 随机噪声的信号由Matlab仿真产生, 其特性有一定的代表性。原始数据为10个人身上采集出的10组心电ECG信号, 均为实际临床数据。采样间隔为0.02 s。每组数据长度均为3 000个。ECG信号虽为周期特征信号, 但比一般电信号数据的非线性特性更为复杂, 且其对噪声更加敏感, 并且目前的ECG信号采集技术较为成熟, 原始数据可靠度较高, 这些使得ECG信号的分析结果在各种工程周期性信号中更具有典型性。这些数据去除了机器和手工断点和故障点, 保证了时间上的连续性。

对于任意的二维曲线, 它的分形维数是介于1和2之间的。一条直线的分形维数就是它的经典维数, 即为1, 而曲线的复杂程度越高, 它的分形维数就越接近于2。可以说, 分形维数是对视觉上复杂现象的数字说明, 同时又可以避免视觉上的直观判断带来的误差。为了显示原始周期信号和噪声的复杂度区别, 实验首先计算ECG信号和随机噪声各自的分形维数, 再将噪声和ECG信号叠加, 计算新的分形维数, 分析噪声的影响, 最后将噪声强度在原有基础上放大10倍后, 再次与原信号叠加并计算分形维数, 得出不同相对强度下分形维数的表现。

2.2 结果与讨论

经过计算, 得到随机噪声的分形维数为1.6。

计算结果对比, 如表1所示。

从表1中各列数据对比可知, 噪声叠加后信号的分形维数有显著改变, 而噪声的强度越大, 这种影响就越明显, 其分形维数也就越接近噪声本身的维数:①当噪声的总体强度相对原信号较小时, 原信号在弱强度时其信号特性受噪声影响较大, 而总体来看规律性相对稳定, 较原先变化不大;②噪声强度变大时, 原信号只有高强度时影响才较小, 整体特性受的影响就大。

故当噪声强度从小强度渐变到大强度时, 原信号受影响的部分就越来越大, 相应的, 规律性就越来越弱, 在分形维数上的表现就是数值越来越大。这种趋势对于工程实践的意义是, 当噪声对原信号的影响有了肉眼或传统方法难以判断的变化时, 分形维数可以反映发生的状况。此外, 分形维数是一个指数, 相比小波分析等得到图像结果的方法更加适合计算机智能判断。

将同样的实验数据用于傅立叶变换, 其中两个样本的原始波形, 如图3所示。变换结果, 如图4、图5所示。每幅图包含3个信号:原始信号、加噪信号和加强噪信号。由图4、图5可知, 没有一个信号表现出明显的频域特征。另外, 各图内曲线经常交叉, 没有明显的图像界限, 故难以从曲线位置判断哪个是原始信号, 哪个又是加噪的。

两组信号的对比, 如图6所示。两组信号的曲线在图中并没有出现群聚趋势, 这点也反映在多组信号的曲线对比中, 这样就很难通过追加曲线组的方式来找到原始信号、加噪及加强噪信号各自频域曲线的共同分布带和变化趋势。

由图4～图6可知, 傅立叶变换结果无法体现出噪声对原始信号的影响[6,7]。

实际应用中, 每台设备的性能各有不同, 每个样本也有不同的波形, 但这并不意味着上述讨论没有意义。小波不同, 分形维不是对细部特征特别敏感的指数, 这一点如图3所示, 即样本1、样本2的实时序列, 二者的波形有显著差别, 但分形维却没有。从计算方法可以看出, 它是一个区域的总体描述, 正常信号由于低A/D转换精度造成的不够平滑曲线, 并不会使得分形维数将其和随机噪混淆。更何况包括ECG在内的采集技术已经如今十分成熟, 精度已经不再是大问题;其次, 样本之间虽有不同, 但对于某类信号, 总有共性。以ECG信号为例, 正常采集的ECG信号分形维基本不超过1.1, 人的心跳也不可能表现出随机噪一样的特性。显然存在和随机噪分形情况类似的非线性信号, 但在实践中这些信号只是非线性信号家族的一部分, 可以通过同一样本不同设备的分形结果比较二者内部噪声, 或提供同一设备不同时期的数据可信度, 比如, 通过统计得出某设备正常工作时的分形维数区间, 当设备的分形维数超出该区间, 可依超出程度判断出噪声污染情况。

表1还展示了另一个特性, 那就是这3种维数间并没有直接的对应关系, 原始维数较小的加噪后维数反而比原始维数较大的加噪后的维数大。这种不确定的对应关系说明, 分形维数在非线性数据分形复杂度继承关系上并没有绝对的区分能力, 但它能保证区分总体上的准确性。此外, 这种现象也许和ECG信号本身的非线性特性是分不开的, 非线性信号以时间序列形式出现时具有明显的伪随机的特征, 这就使得结果有更多的不确定性。

3 结束语

本研究主要对受到噪声不同影响程度的工程时间序列进行了分析和对比, 探讨了分形维数在噪声分析上的应用价值。

从研究结果可以清楚地看出, 分形维数能用于判断原始信号受噪声影响的程度, 同时, 工程界存在众多非线性特征的周期时间序列, 用分形维数判断噪声影响的程度可为采集到的数据的可信度提供参考依据。

参考文献

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[6]PEITGEN HO, JURGENS H, SAUPE D.Chaos and frac-tals:new frontiers of science[M].[S.l.]:SpringerVerlag, 2004.

电报噪声作用下线性系统的随机共振 第3篇

从广义角度讲,随机共振可以理解为有噪声存在的系统中,系统输出信号是噪声或周期激励信号的某个参数(噪声强度、噪声相关率、频率、激励信号的幅度等)的非单调函数。人们之前研究随机共振现象时,是研究信噪比对噪声参数的非单调依赖关系,输出幅度增益作为电路等研究领域中的特征量之一,也可用于描述随机共振现象[1]。与以往认为噪声削弱系统对信号的检测的观点不同,微弱的信号并没有淹没在背景噪声中,相反经过随机共振,噪声强化了系统的输出能力,从而增强了对弱信号的检测[2,3]。随机共振理论还可以用于在强噪声下提取信息信号[4],对化学反应速度的控制[5]等方面。因此,研究噪声存在系统的随机共振现象有着积极的意义。

在研究随机共振现象方面,近些年有了新的发展[6,7,8]。曹力等在高斯色噪声作用的一阶线性系统中,通过求解相关函数和功率谱,得到了信噪比,从信噪比与噪声强度、信号频率的非单调函数变化曲线上分析共振现象[9]。Hector Calisto等考虑的一阶线性系统模型,是乘性色噪声驱动下的Ornstein-Uhlenbeck过程,通过泛函积分方法,得到了均值的精确解析表达,并从噪声相关率和信号频率对均值的影响这个角度观察共振现象[10]。李敬辉等又研究了非对称二值噪声作用下的线性系统,在将二值噪声对称化的基础上,得到系统相关函数和信噪比,分别从噪声强度和噪声的非对称率这两个指标上分析了共振现象[11]。最近,相对于研究比较深入的一阶系统而言,二阶系统正越来越受到人们的关注,并且更多地趋向于用输出幅度增益来描述随机共振现象。郭峰等考虑在电感受到单个二值噪声扰动的二阶线性系统中,基于信号与系统的理论,得到了输出幅度增益的精确表达,从输出幅度增益随噪声强度、激励信号频率的演化曲线分析了随机共振现象[12]。郭立敏等又在系统固有频率受到噪声扰动的二阶线性系统中,描述了输出幅度增益随系统频率、噪声相关时间变化的函数关系,并发现了随机共振现象[13]。

本文的主要工作是从系统阻尼率、固有频率、激励信号这三个系统参数受到同一个电报噪声作用时的角度分析系统的随机共振现象。在第一、二部分中,对二阶线性模型的动力学性质和研究方法做简要介绍,运用信号与系统的理论,得到输出幅度增益的精确表达;第三部分中,通过数值模拟从输出幅度增益随系统固有频率、阻尼率、激励信号频率、噪声强度函数变化的角度分析随机共振。

1 模型

二阶过阻尼线性系统,设其初始条件为零:

式中为周期激励信号,A和Ω分别为该激励信号的幅值和频率;r和ω分别是系统(1)的阻尼率和固有频率,满足过阻尼条件r>ω。当激励信号受到噪声ξ(t)的调制时,同时系统的阻尼率和固有频率也受到噪声ξ(t)扰动,则式(1)变为:

其中,ξ(t)为随机电报噪声,其均值和相关函数为:

D和λ分别为ξ(t)的噪声强度和相关率。

2 输出幅值增益

根据线性系统理论,式(2)是以为激励时,稳态输出是这个激励与系统冲激响应的卷积积分,x(t)的形式解为:

将式(4)代入式(2)可得:

据Shapiro-Loginov公式、相关删去法,对于随机电报噪声ξ(t),有:

根据式(6),对式(5)两边平均可得:

设X(s)和H(s)分别表示均值和激励信号的拉普拉斯变换,把式(3)代入式(7),并对式(7)两边进行拉普拉斯变换可得:

对式(8)进行拉普拉斯逆变换,可得系统(2)平均输出满足的微分方程:

设方程(10)的解为:

将式(11)代入式(10)可以得到系统(2)平均输出幅值增益为:

3 数值模拟

由式(12)可见,统输出幅度增益G是关于阻尼率r、系统固有频率ω、激励信号频率Ω、噪声强度D以及噪声相关率λ的非单调函数,如图1~6所示。图中星号线是无噪声时的输出幅值增益曲线,在系统(2)中,有噪声时的输出幅值增益可以大于没有噪声时的输出幅值增益,故适当的噪声强度,不但不会降低系统输出幅值增益,反而更有利于幅值增益的提高,利用该特性可以在噪声环境下检测和估计弱信号。

图1、2分别为系统固有频率ω、阻尼率r取不同值时,输出幅度增益G与噪声强度D的函数关系曲线。可见G随着D的增大出现了一个最大值,即传统的随机共振现象的本质是由于噪声和信号的相互作用,使噪声的一部分能量转化成信号的结果。另外,ω的增大,输出幅值增益减小,其共振峰向噪声强度减小的方向移动,如图1所示;随着r的增大,输出幅值增益也减小,如图2所示。故较小的r和ω有利于输出幅度的提高。

图3、4为分别为ω、r取不同值时,G与信号频率Ω的函数关系曲线。可见,在噪声存在时,输出G随着的增大出现了一个最大值,即出现随机共振现象。由此可见,噪声在系统中的存在不但没有降低系统的G,反而提高了G。由图3可知,随着ω的增大,G减小,其共振峰向激励信号频率增大的方向移动。由图4可知,随着r的增大,G变大,其共振峰向激励信号频率增大的方向移动。故较小的ω和较大的r,有利于G的提高。

图5、6所示分别为系统ω、r取不同值时,G与噪声相关率的函数关系曲线。由图5、6可知,G也是噪声相关率的非单调函数,即出现了随机共振现象。

4 结论