二次函数的图象和性质教学设计

二次函数的图象和性质教学设计（精选14篇）

二次函数的图象和性质教学设计 第1篇

二次函数图象和性质的教学反思

本节课的复习目标是：①能根据已知条件确定二次函数的解析式、开口方向、顶点和对称轴。②理解并能运用二次函数的图象和性质解决有关问题。本节课的重、难点是：二次函数图象和性质的综合应用。我立足于学生自主复习，师生合作探究的形式完成本节课的教学任务。

首先我让学生课前完成二次函数图象和性质的基础训练，促使学生对二次函数图象和性质的知识点全面梳理和掌握。课上我用投影仪检查一名学生完成课前复习情况，其他学生交换批改，发现最后一小条有部分学生有问题，我及时评讲分析，帮助学生解决。

接着，师生合作探究本节课的例题。本例是用已知抛物线解决7个问题，这7个问题是我从全国2009年中考试题中整理出来的，它代表了中考的方面。问题1是用顶点式求出抛物线的解析式再通过解析式求与坐标轴的交点，通过观察图象我又提出了x为何值时，y>0，y<0？以及图中△AOC与△DCB有何关系，进一步培养学生发现问题解决问题的能力。问题

2、问题

3、问题4是抛物线的平移、轴对称和旋转的题目。主要是让学生抓住抛物线的顶点和开口方向来完成。这种类型的题目也有少数同学从坐标点的对称角度来解决也是可行的，并且方便记忆，对于这两种方法我让学生作了及时的归纳小结。问题5和问题6是关于抛物线的最值问题。问题5是利用抛物线的对称性解决三角形的周长最小的题目。学生通过作图能独立解决并求出点的坐标。问题6是本节课的重点，它通过建立目标函数解决四边形面积的极值。本题目关键是引导学生如何设点的坐标，将四边形的面积转化成我们熟悉的三角形（或直角梯形）来建立函数关系式。通过这条题进一步培养学生建立函数模型的思想。本题让学生充分合作交流，最后，让学生在自主探索中获取新的知识。通过观察图象求出了四边形的面积后，我又提出如何求△BCF的面积的最大值的问题，让本题得到进一步的升华，培养学生的创新思维。问题7是在抛物线上探求点存在性问题，引导学生先作出符合条件的平行四边形，再判断点是否在抛物线上，本题着重培养了学生数形结合的思想方法。

这7个问题由浅入深，循序渐进推出，符合学生的认知规律，使学生对二次函数图象和性质有了进一步的理解和提高。

本节课完成后，我感到也有不足的地方：课堂容量稍有点偏大，学生没有时间独立完成作业。虽然我对每个问题及时小结、归纳，但没有留一定时间让学生整理消化。通过这堂公开课，我受益匪浅，感受颇多，让我在如何备复习课，准确把握重点，突破难点方面有了很大的提高，同时在驾驭课堂能力方面有了很大的进步。今后我将在如何提高有效课堂效率方面多下功夫，使自己教育教学水平更上一个台阶。

二次函数的图象和性质教学设计 第2篇

四、教学目标

根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：

1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够借助于具体的二次函数应用所学知识解决简单的函数问题，理解和掌握从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质和从函数解析式性质去研究函数图象这两种从不同角度研究函数的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。

3、情感、态度、价值观：让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

教学重点：使学生掌握二次函数的概念、图象和性质；熟悉从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

教学难点：借助于二次函数的解析式通过配方对函数性质的研究来分析推断二次函数的图象。

六、教学过程：

（一）创设情景、提出问题

本节课一开始我就让学生直接总结出二次函数的性质与图象，并指出如何得到函数的相关性质。学生在初中学习的基础上很容易就完成。就在学生回答后，教

师提出一个让大家意想不到的问题：既然大家已经学习也掌握了二次函数的图象和性质，那我们今天还有必要再重复吗？编者的失误？还是另有用意呢？

【设计意图：一方面可以激发学生学习热情和探索新知的欲望；另一方面也给学生传递一个学习目标方面的信息。在学生感觉很疑惑的时候，教师再次设问，把问题引向深入。】

【学情预设：学生可能很疑惑，或者有一些猜测】 你能独立完成问题2吗？。

问题2:试作出二次函数的图象。

要求学生按照自己处理二次函数的方法独立完成。

【设计意图：充分暴露学生的问题，突出本节课的重要性，激发学生学习的动力。】

【学情预设：一部分学生使用描点法作图；另一部分学生只确定对称轴和开口、只利用对称轴和y轴的交点等不是很规范的方法作图。】

在总结交流的基础上教师指出：有的同学用描点作图的方法作出函数的图象，从方法上没有问题，但是需要描出大量的点才能得到较为准确的图象；有的同学只是找到函数的对称轴判定开口方向就画出一个图象，或者是找到函数的对称轴和y轴的交点确定开口方向就画出函数的图象等等，这种不是很规范的作图方法，感觉很快，但是往往得到的图象不是很准确的，为什么呢？

（学生稍作思考）

师：实质上函数的性质是函数自身特殊对应关系的体现，而体现函数的对应关系的方法有解析式法、图象法和列表法。既然能够用解析式结合图象得到函数的性质，那么能否借助于解析式直接分析其性质，然后推断出图象的特征呢?在推断函数的图象时要考虑函数的哪些主要性质呢？我想这也是今天这节课的意图所

在，如何利用函数性质的研究来推断出较为准确的函数图象，大家是否有兴趣和能力来探讨这个问题呢？

带着这样的问题我带领学生进入下一个环节——师生互动、探究新知。

（二）师生互动、探究新知

在这个环节上，我引用课本所给的例题1请同学们以学习小组为单位尝试完成。

例

1、试述二次函数的性质，并作出它的图象。

要求：按照解析式----性质----推断函数图象的过程来探讨，【设计意图是：以便于学生在对比中进一步理解函数性质的应用，突破应用函数的性质来推断函数图象这一难点。同时体验分析障碍和获得成功的快乐，激发学生的学习兴趣。】

在学生学习小组的一番探讨后，教师选小组代表做总结发言，要求说出利用解析式得到性质的分析过程。

（其他小组作出补充，教师引导从以下几个方面完善）：

（1）定义域（2）开口方向（3）值域（顶点）及最值（4）对称轴（5）单调性（6）奇偶性（7）零点（8）图象

【设计意图是：让学生在师生互动，共同探讨的过程中逐步实现知识的迁移，基本上形成新的认知。】

【学情预设：因为是第一次尝试利用解析式分析性质并推断图象，学生对于某些性质不能准确的阐述出分析过程，对对称轴的确定、单调区间及单调性的分析等可能存在困难。】

这时教师可以利用对解析式的分析结合多媒体引导学生得到分析的思路和解决的方法，进而突破教学难点。

根据实际情况教师可以引导学生从二次函数的配方结果来分析：（1）单调性的分析：

在=时，自变量越小，中当

就越大，时，就越大，即

取得最小值-2，当就越大；当就越大； 时，自变量越大，就越大，就越大，即这样单调性及单调区间（分界点）自然可以解决，结合单调性的定义可给出严格的证明；同时也可以帮助我们说明开口的方向是向上的。（2）对称性的分析：

在=时，即，=

也就是，则

中当和时，如果

成立。

时，一定有也就是因此可以令成立，这就是说二次函数应的点为对称中心的两个点对应的两个数的自变量在轴上取两个关于-4对和

时，函数值

对称。总是成立的，这就说明函数的图象关于直线在对解析式分析的同时借助于几何画板课件演示，让学生直观感受：

然后在教师的引导之下推广并得出一般结论：如果函数任意都有

成立，则函数

对定义域内的对称。的图象关于直线在得出对称性的一般结论这一副产品后，为了强化对这个结论的认识和理解，教师可以安插一个练习题：

练习：试用以上结论来概括函数___________________________.应该满足的结论是在完成以上各环节后，教师再次提出任务：既然我们把二次函数的相关性质都分析完成，那么根据以上性质请同学们再次分析如何利用二次函数的性质推断出二次函数的图象? 用二次函数的性质推断函数的图象时需要研究分析二次函数的哪些主要性质才能比较准确地画出图象？

【设计意图是：学生自主探究、小组讨论、发现知识间的内在联系．教师针对学生的讨论，对学生思维上进行恰当的启迪，方法上进行及时的点拨，让学生真正实现知识的迁移，形成较为完整的新的认知体系。鼓励学生积极、主动地探究，以顺利地完成整个探究过程．】

各学习小组再次探讨后，请学习小组代表回答，教师引导完成图象：

在这个过程中，考虑到各学习小组的水平可能有所不同，有同学可能提出图象为什么是曲线而不是直线等问题，教师要说明其实这也是研究函数要考虑的一个重要的性质，是函数的凹凸性，后面我们将要给大家介绍，有兴趣的同学可以阅读课本第110页的探索与研究。

【设计意图是：为后面的探索与研究打下伏笔，同时也给学生留下一个思考与探索的空间，培养学生课外阅读、自主研究的能力，增强学生学习数学的积极性．】

【学情预设：有同学可能提出图象为什么是曲线而不是直线的质疑。】 在得到函数的图象之后，教师再请同学们以学习小组为单位，分析讨论利用二次函数解析式结合图象分析性质和利用解析式分析性质然后推断函数图象的两种研究过程的流程图.学习小组代表回答，教师引导完成以下内容：

【设计意图是：①把具体的数学问题进一步梳理并加以提炼、抽象、概括，使问题得以升华，拓宽学生的思维，形成新的认知。

②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】

在学生形成认知的基础上，为了让学生抓住问题的本质，把这种方法真正的内化，拓宽学生的认知结构，教师再次提出问题：

教师提出问题：研究函数（比如今天的二次函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？特别是：如果用函数的性质推断函数的图象时需要研究分析函数的哪些主要性质才能比较准确地画出图象？

在教师的引导中得出结论：可以根据具体的函数从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。

【设计意图是：在教师的组织引导下通过合作交流、共同探索,使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．最终寻求到解决问题的方法。】

（三）独立探究，巩固方法

师：既然通过上面的学习使我们认识到学习研究函数的性质与图象可以从不同的角度完成，那么同学们是否可以按照例1的方法---先分析性质再推断图象来独立完成下一个问题呢？由此将带领学生进入本节课的第三个环节——独立探究，巩固方法，这也是本节课所要突破的一个难点。

例

2、试述二次函数的性质，并作出它的图象。

要求：每位同学都按照从解析式出发、分析研究性质从而推断图象。最后将研究所得到的结论写出来以便交流。

【设计意图：例2在题目的设置上变换二次函数的开口方向，目的是一方面使学生加深对知识的理解，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．学生在例1的基础上从极值点，零点，单调区间，对称性等方面目标明确地研究性质再比较准确的画出图象，使新知得到有效巩固．强化方法的同时训练学生灵活应用的意识和能力。通过自主探索、不仅让学生充当学习的主人更可让学生充分经历知识的形成过程，从而加深每位同学对所得到结论的理解和认识。形成自己对本节课难点的理解和解决策略，培养学生的直觉和感悟能力。让学生上台汇报研究成果，是让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养。】

【学情预设：考虑到各位同学的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别同学可做适当的指导。】

在学生分析解决的过程，教师巡视，帮助有困难的同学，之后进行交流总结。师：下面我们分享各位同学的研究成果!教师选择一些具有代表性的同学上台展示研究成果。对于从解析式、性质推断函数图象的研究，某些同学可能对于某些环节仍有问题，需要老师进一步引导完善。

通过前面几个环节，学生已基本掌握了本节课的相关知识，教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。但对二次函数的奇偶性的分析，有同学可能提出质疑，教师可利用奇偶性的定义同时借助于几何画板的演示，得出一般性结论。为此我将带领学生体验运用新知识去解决问题的乐趣，进入本节课的下一个环节——强化训练，加深理解。

（四）强化训练，加深理解

例

3、求函数的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？它的奇偶性如何？

学生独立完成，教师最后做出点评分析。

【设计意图是：把教科书的例3进行改变．在教学过程中，利用函数奇偶性的定义，借助于多媒体的演示，引导学生分析函数中的参数b对奇偶性的影响，既解决了学生对二次函数的奇偶性的质疑，也强化了学生对函数的奇偶性的理解及运用，同时也把具体的函数问题推广到一般模式，使学生巩固了新知识，灵活运用了所学知识，培养了学生思维的深刻性和灵活性．】 【学情预设：①首先对于函数的值域、对称轴及单调性的确定问题不会太大；

②对二次函数的奇偶性的分析，有同学可能提出质疑，教师可借助于几何画板演示，得出一般性结论。】

通过本例题的探讨，学生不仅对二次函数的奇偶性有个新的认识，对本节课所强调的借助于函数解析式研究性质进而推断函数图象的研究方法基本内化，同时对函数奇偶性概念也会有更为深刻的理解。本节课的教学目标基本完成，紧接着我将带领学生进入下一个环节----小结归纳，拓展深化

（五）小结归纳，拓展深化

在小结归纳中我将从学生的知识，方法和体验入手，带领学生从以下几个方面进行小结：

师：通过本节课的学习，你对二次函数有什么认识？研究二次函数的方法有哪些？你有什么收获？

师生共同总结二次函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。

在收获方面教师强调拓展今天所学习的方法实际上是研究函数性质图象的一般方法，对于一些陌生的或较为复杂的函数只要借助于合适的方法得到相关的性质就可以推断出函数的图象。

【设计意图：①让学生再一次复习条理对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

②总结本节课中所用到的数学思想方法。

③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】

【学情预设：学生可能只是把二次函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】

（六）布置作业，提高升华

作

业：课本62页习题2．2A组第4、5题。

探究作业：已知抛物线的对称轴

（1）求m的值，并判断抛物线开口方向；（2）求函数的最值及单调区间。

【设计意图是：作业分层落实.巩固题让学生复习解题思路，完善解题格式，以便举一反三．探究题通过对教材例题的改编,供学有余力的学生自主探索，提高他们分析问题、解决问题的能力．】

七、教学反思

1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到二次函数的性质，更

重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出二次函数的系数的动态过程，让学生直观观察系数对二次函数单调性、对称性、奇偶性的影响。

二次函数图象性质教学策略的改进 第3篇

在现实教学中, 二次函数安排在九年级, 课时紧张、教学任务繁重, 学生也被各学科的学习任务所压抑, 对老师、学生的脑力、体力都有较大强度的考验, 这是九年级学习、教学的特点。在这种情况下, 部分老师采取了较为直白的教学策略, 按照课本上的教学流程, 让学生简单地画几个二次函数的图象后, 直接用“动听”的语言, 引导学生用符号语言表示出二次函数的性质, 然后重点通过习题强化该部分知识, 在较短的时间内完成了教学任务, 理由是为后期的中考总复习预留出富裕的时间。而这样的教学策略的实效呢?一大部分学生不能掌握二次函数图象、性质的真谛, 为将来用二次函数解决实际问题埋下隐患, 造成后期学习障碍, 有部分学生丧失学习数学的信心, 这样的教学策略需要改进。

章巍老师说:我们的教学不能简单地把学术形态的知识动听地解释给学生, 而应该寻找一种能够激发学生进行“火热思考”, 引发其共鸣的教育形态。突破二次函数这个重难点的关键是让学生掌握二次函数的图象 (抛物线) , 解决途径就是寻找一种教学策略, 让学生充分动起来, 从不同角度、不同层次画出抛物线, 感受、归纳图象的性质, 让学生在“做中感悟, 概括中感悟”, “火热思考”教学应遵循中学生的认知规律, 加强知识形成过中的感悟, 以促进学生全面、持续、和谐地发展为基本出发点。

因此, 二次函数的图象性质教学, 可以采用以下的教学策略。

一、画标准图象, 归纳性质

图形语言与文字语言、符号语言一样是一种数学语言, 具有直观形象、反映信息容量大、易记忆和联想等优点, 这是文字语言、符号语言不能比拟的, 图形语言充分体现了数学中的数形结合思想。抛物线是用图形语言表述二次函数, 可以全面反映二次函数的性质, 在二次函数的教学过程中, 一定要注重抛物线的体验, 充分发挥图形语言的作用。

(一) 画y=ax2 (a≠0) 型二次函数的图象

给学生提供多个表 (1) 与坐标系 (1) , 让学生经历列表、描点、连线的过程, 画下列二次函数的图象:y=x2、y=2x2、y=12x2、y=-x2、…等y=ax2 (a≠0) 型二次函数, 这样严格按照画函数图象的步骤得到较为标准的图象, 让学生感受抛物线。

画完后, 为学生提供表 (2) , 让学生小组研讨得出二次函数的图象性质, 其中包括抛物线的开口方向、顶点、对称轴、与x轴交点坐标、与y轴交点坐标、增减性、最值七条信息。

(二) 画y=ax2+c、y=a (x-h) 2+k、y=ax2+bx+c (a≠0) 型二次函数的图象

在学生掌握了y=ax2 (a≠0) 型二次函数图象性质的基础上, 按上述要求, 针对y=ax2+c、y=a (x-h) 2+k、y=ax2+bx+c (a≠0) 型二次函数的图象进行研究, 归纳出这些类型二次函数的图象与性质, 并探究这些类型二次函数间的变换关系。

通过上述两个过程, 引导学生经历了从数到形, 从形到数的转化, 体验图形语言、文字语言、符号语言的互化, 从特殊到一般的思想。

二、表述性质、画草图

草图, 是指不经过严格的画图象步骤, 在简易坐标系中画出, 能够完全反映二次函数性质七条信息的抛物线。草图是解决各种实际问题简单易行的工具, 也是将来在高中学习二次不等式、函数单调性等知识的基础。

为学生提供表 (2) 与坐标系 (2) , 让学生进行探究, 下面通过例题说明。

例:画出y=2x2+4x+1的大致图象。

分析:画大致图象, 即画草图, 前提是由解析式判断二次函数的七条信息, 并填表, 然后在简易坐标系中画出草图。

解: (1) 填表

(2) 草图如图所示。

这样完成二次函数表示间 (解析式法、图象法之间) 的转化, 加深学生对二次函数及其性质的理解, 再次体会数与形的结合, 理解图形语言的特点。

三、观察图象, 求解析式

给出二次函数的抛物线, 求二次函数的解析式, 引导学生完成图象法与解析式法间的转化, 体验形与数的结合。

例:根据如图抛物线, 求二次函数的解析式。

分析:观察抛物线可知, 该抛物线的顶点坐标为 (1, 1) 、对称轴为x=1、与x轴的交点坐标为 (0, 0) 、开口方向向下、当x<1时, y随x的增大而增大、当x>1时, y随x的增大而减小、当x=1时, y最大=1。根据以上抛物线的特点, 可以判断该二次函数符合顶点式的特点, 也可用待定系数法进行求解。

二次函数的图象和性质 第4篇

对二次函数图象与性质的考查一直是中考命题的传统题目，解决此类问题的方法是数形结合，这也是解决函数问题极为重要的方法。

1.图象的识别

【例1】 （2006 福州）已知实数s、t满足s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么，二次函数y=x2+x-2006的图象大致是（ ）。

【分析】 依题意得s、t是方程x2+x-2006=0的两实根，由求根公式可得两根一正一负，故可能是A、B.又x=-b[]2a=-1[]2×1=-1[]2<0，∴抛物线对称轴在y轴的左侧。

解：B.

【小结】 这是一道结合一元二次方程考查二次函数图象和性质的试题。二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当y＝0时，即为一元二次方程，如果此方程有两不同实根，则二次函数图象与x轴有两个交点。

【例2】 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4ac-b2[]4a=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.

正确的序号是.

【分析】 从图象中易知a>0，b<0，c<0，③正确；抛物线顶点纵坐标为-1，∴ ①对；当x=-1时y=a-b+c，由图象知（-1，a-b+c）在第二象限，∴ a-b+c>0，④正确；设C（0，c），则OC=|c|，∵ OA=OC=|c|，∴ A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故②正确。

解：正确的序号为①②③④.

【小结】 我们研究二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的时候，首先要明白二次函数图象与x、y轴的交点坐标以及顶点坐标、对称轴与系数a、b、c的关系。

【例3】 （2006 武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且00；②b＜c；③3a+c>0，其中正确结论两个数是（ ）.

【分析】 这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象，∵ 00正确；∵-b[]2a=-1，∴ b=2a，∴ b-a=2a-a=a>0.∴ b>a>c，故②不正确；把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0， ∴ ③正确；故答案为2个.

【小结】 将“数”转达化为“形”是本题的难点，将等量与不等量有机的结合是解决本题的关键。

2.性质的应用

【例4】 （2006 山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2与y=x2-mx-m2+2[]2，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点。

（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；

（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

【分析】 解第（1）问时用b2-4ac是否大于0即可判断；解（2）时把A点坐标代入第（1）问求出的结果即可；解（3）时根据对称轴和开口方向可以判断。

解：（1）对于关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2，b2-4ac=(-m)2-4×1×m2+1[]2=-m2-2<0，

∴ 此函数的图象与x轴没有交点。

对于关于x的二次函数y=x2-mx-m2+2[]2,b2-4ac=(-m)2-4×1×(-m2+2[]2)=3m2+4>0，

∴ 此函数的图象与x轴有两个不同的交点，故图象经过A、B两点的二次函数为：y=x2-mx-m2+2[]2

（2）将A（-1，0）代入y=x2-mx-m2+2[]2得1+m-m2+2[]2=0，整理得m2-2m=0，∴ m=0或m=2.

当m=0，y=x2-1， 令y=0，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1，

此时B点的坐标是（1，0）.

当m=2，y=x2-2x-3， 令y=0，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，

此时B点的坐标是（3，0）.

（3）当m=0，y=x2-1，抛物线开口向上，对称轴为x=0，

∴ 当x<0时，y随x的增大而减小.

当m=2，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的开口向上，对称轴为x=1，

∴ 当x<1时，y随x的增大而减小。

二次函数的图象和性质教案 第5篇

（一）梅

一、教学目标

1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．

2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．

3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．

二、重点、难点

1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 2．难点：三角形相似的预备定理的应用． 3．难点的突破方法

（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，ABBCCA每个比的前

ABBCCA项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；

（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；

（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；

（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：

如△ABC∽△A′B′C′的相似比ABBCCAk，那么△A′B′C′∽△ABC

ABBCCA的相似比就是ABBCCA1，它们的关系是互为倒数．这

ABBCCAk一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．

三、例题的意图

本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．

例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．

四、课堂引入

1．复习引入

（1）相似多边形的主要特征是什么？

（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．

在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCAk．

ABBCCA我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCA．

ABBCCA（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明． 3．【归纳】

三角形相似的预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

五、例题讲解

例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．

（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．

解：略（AD=3，DC=5）

例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．

分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有ADAE，又由AD=EC可求出AD的长，再根据DEAD求出DE的长．

ABACBCAB解：略（DE103）．

六、课堂练习

1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）

A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形

C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形

2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．（CD= 10）

七、课后练习

1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．

3．如图，DE∥BC，）

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

二次函数的图象和性质教学设计 第6篇

海洲初级中学 初三数学备课组

内容来源：初中九年级《数学（上册）》教科书 教学内容：二次函数图像与性质复习课时：两课时 教学目标：

1.根据二次函数的图象复习二次函数的性质，体会配方、平移的作用以及在解决相关问题的过程中进一步体会数形结合的数学思想。2.会利用二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。

3.在解决二次函数相关问题时，渗透解题的技巧和方法，培养学生的中考意识。教材分析：

二次函数是学生在中学阶段学习的第三种函数，是中考的重要考点之一，它与学生前面所学的一元二次方程有密切的联系，也是初中数学与高中数学的一个知识的交汇点。本节课通过二次函数的图象和性质的复习，从特殊到一般，再由普遍的一般规律去指导具体的函数问题，加深学生对函数图象和性质之间的联系，构建知识网络体系，发展技能，归纳解题方法，让学生在练习中体会数形结合思想。学情分析

学生具有初步的、零散的关于二次函数的图象和性质的知识基础，但是还没有形成系统的知识体系，缺乏解决问题有效的、系统的方法，解决问题办法单一，较难想到运用函数的图象解决问题。本节课针对班级学生特点采取小组合作进行教学，通过小组的交流、讨论和展示，提高学生学习的积极性和有效性。通过本节课的学习使学生把函数的图象和性质紧密联系在一起，掌握解决一类问题的常用方法。教学过程

一、旧知回顾

1、已知关于x的函数y=

2、已知函数y=-2x-2,化为y=a

+3x-4是二次函数，则a的取值范围是.+k的形式：

此抛物线的开口向，对称轴为，顶点坐标 ； 当x= 时，抛物线有最 值，最值为 ；

当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减少。

3、二次函数y=-3的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到

抛物线的解析式为

4、若二次函数y=2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是

5、抛物线的顶点在（-1，-2）且又过（-2，-1），求该抛物线的解析式。

6、抛物线经过三点（0，-1）、（1,0）、（-1,2），求该抛物线的解析式。

思维导图：

二、例题精讲：

1、（2016.新疆）已知二次函数y=

+bx+c(a)的图

象如图所示，则下列结论中正确的是（）A、a＞0 B、c＜0 C、3是方程a+bx+c=0的一个根

D、当x<1时,y随x的增大而减小

2：二次函数图象过A,C,B三点，点A的坐标为（-1,0），点B的坐标为（4,0），点C在y轴正半轴上，且OB=OC.(1)求C的坐标；

(2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值。C

(3)一次函数的图象经过点C,B,求一次函数的解析式；

（4）根据图象，写出满足二次函数不小于一次函数值的x的取值范围；

（5）若该抛物线顶点为D,y轴上是否存在一点P，使得PA+PD最短？若存在，求出P点的坐标；

（6）若该抛物线顶点为D，x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短？若存在，求出P点的坐标；

二次函数的图象与性质教学反思 第7篇

增城二中赖灶兰

这节课是人教版九年级数学下册的一节探究课。在教学中我采用了体验探究的教学方式，在教师的配合引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。整个教学过程主要分为三部分：第一部分是前置性作业，前

2yax置作业是前一天发给学生的，主要涉及如何作图、复习二次函数性质等问

题。我的设计目的是让学生在复习这些知识的过程中体会从函数图像来研究函数性质。应该说这样设计既让初三同学复习了旧知又使他们体会到如何研究函数，从哪些方面研究函数，从思维层面锻炼了学生的探究能力。第二部分是学习探究，2yaxc的性质以及和二次函数yax只要是图象让学生感受2的联系与

区别。第三部分是通过练习和我的展示让学生锻炼了自我学习的能力和出题的能力。我的优点主要包括：

1、教态自然，能注重身体语言的作用，提问具有启发性。

2、教学目标明确、思路清晰，注重学生的自我学习培养和小组合作学习的落实。

3、能运用现代化的教学手段教学，尤其是能用几何画板等软件突破重难点

4、二次函数上下左右的平移是我觉得上的比较成功的一部分，主要是借助多媒体的动态展示了二次函数的平移过程，让学生自己总结规律，很形象，便于记忆。我的不足之处表现在：

1、目标定位不好，本节课通过画图，由图象观察总结出对称轴、顶点坐标、开口方向等。

2、课堂上讲的太多。有些过程，让学生自主观察总结是完全能收到好的效果的，但是我都替学生总结了，学生还是被动的接受。其实这还是思想的问题，说明我没有真的放开手。真正让学生有了空间，他们也会给我们很大的惊喜。

3、有些内容偏离教学大纲，导致差生吃不好，优生吃不饱。课堂上有个别同学的学习态度不尽人意。

4、备课不够细心，“图象”两个字变成“图像”。

5、课堂应急处理不够老练，同学提出的问题没有及时解答

二次函数的图象和性质教学设计 第8篇

在进行二次函数入门学习的时候, 学生已经学过了一次函数的相关课程.尽管一次函数和二次函数在图像和性质方面有很多不同, 但是一次函数的学习为学生接触函数提供了先验的学习模式.教师可以利用这个模式, 帮助学生制造对函数的熟悉感, 从而引导学生进入二次函数的学习.因此, 课程的开始可以这样设计:

教师:同学们还记得我们学过的一次函数吗?

学生:记得.

教师:有谁能帮忙回忆一下一次函数的表达式呢?

学生A:一次函数是y=kx+b.

教师:很好.那有谁能记得我们怎么画出一次函数的图像呢?

学生B:取x为任意值求得y的结果, 把每一对相应的数值定位到坐标轴上的点, 然后连点成线.

教师:非常好, 一次函数的作图过程给我们一个启示, 如果要模拟出函数的图像, 可以求出足够多的点坐标, 连接这些点, 就能够获得函数的图像.

学生回忆了一次函数的作图方法之后, 课堂就能顺利地过渡到二次函数作图的学习.也就是说, 教师给学生总结了一种函数作图方法, 能够将一次函数的心得学以致用.

二、数形结合, 循序渐进

笔者再三强调二次函数的抽象性, 就是希望师生能够对二次函数的图像给予足够的重视.换句话说, 在二次函数的学习中, 要时刻引进数形结合的方法, 把二次函数的表达式及其图像结合起来学习.通过不断地训练学生数形结合的能力, 使学生看到函数表达式, 就迅速反映到它对应的图像模式, 熟悉它的各要素.这样一来, 面对综合习题, 学生就能够快速有效地整理函数图像信息, 调动自己的思路, 为答题带来便利.

养成数形结合的思维方式不是一蹴而就的, 需要教师在课堂教学的时候有意识地设计学生动手作图的环节.同时, 教师也必须考虑到初三学生入门学习时的模仿能力和接受能力, 逐步锻炼学生的作图过程, 使学生充分消化知识.以二次函数的图像为例:

1. 教师把y=2x2作为例子, 列出一个表格:

要求学生求出相应的y值, 再利用这些点坐标画出y=2x2的图像.

2. 同样采用上面的表格, 计算y=-2x2的函数值.并且和第1小题的函数值结果的比较, 猜想y=-2x2的函数图像, 再进行画图验证.

3. 照第2小题的过程, 画出y=-2x2+1和y=-2x2-1的图像.

4. 在上面3题的基础之上, 让学生考虑y=2 (x-1) 2可以选取那些点坐标作图.此时, 教师可以适当引导学生, 发现图像的轴对称性质, 启发学生思考本小题函数图像的对称轴会在哪里.

5. 学生经过了上述学习, 大致掌握了二次函数作图的基本步骤.此时教师可以帮助学生进行能力拓展, 思考y=-2x2-4 x+2的二次函数图像, y=-2x2-4 x+3的图像, 以此类推.

通过循序渐进地学习, 使学生最终彻底掌握一般二次函数的作图方法.而且, 在不断变换二次函数的形式进行作图的过程中, 学生可以感受到二次函数的具体变换过程, 也就比较容易理解二次函数的表达式变化原理.

三、根据图像推导函数性质

笔者在论述的第一部分就已经提示过, 可以类比一次函数的方式, 鼓励学生积极发现二次函数的性质.因此, 在掌握第二部分函数作图的基础上, 对函数的性质的理解就变得容易得多了.例如:教师可以设计一个y=2x与y=2x2的图像对比.先让学生说出一次函数的图像的性质.

学生:一次函数的图像, y的值随x的增大而增大, 是一条递增直线.

接下来, 教师可以让学生借此类比二次函数.

学生C:x<0时, y的值随x的增大而减小;x>0时, y的值随x的增大而增大.x=0时, y=0, y的值最小.

教师:完全正确.那么, 大家仔细观察图像, 还能发现图像的哪些特点?

学生D:图像是一个抛物线, 开口向上.

学生E:图像是一个轴对称图形.

教师:那么它的对称轴该怎么表示?

学生F:它的顶点在它的对称轴上.

先通过最基本的二次函数图像, 让学生自主地寻找抛物线的对称轴, 顶点坐标, 函数的最小值, 等等.再采用第二部分中提到的循序渐进的方法, 慢慢转换到二次函数的一般形式, 使学生一步一步总结出一般形式下二次函数的抛物线的形式、开口、顶点、对称轴、递增和递减的情况.

学生总结出函数图像的性质之后, 教师把学生的总结分别进行归类.利用y=-2x2与y=2x2的图像进行对比, 得出抛物线的开口与系数的关系;利用y=2x2与y=2x2+1, y=2x2-1进行对比, 了解图像的平移变换过程, 对比函数表达式的变化, 最后得出对称轴的一般表达式.

因此, 推导二次函数的图像的性质其实经历了一个从抽象到具体再到抽象的过程.教师把图像作为一种过渡方式, 使学生对知识的掌握更加直观, 运用时更加得心应手.

参考文献

§3.5 二次函数的图象和性质 第9篇

二次函数的图象和性质教学设计 第10篇

这节课采用了“问题探究”的教学模式，教学过程注重学习方法、思维方法，注重探索方法，注重到学生的思维起点，搭建平台，同时渗透数形结合的思想，增强学生运用数学思想方法解决问题的意识，让学生主动获取知识，同时也让学生知道这些知识是如何被发现的，结论是如何获得的，体现了“方法比知识更重要”。

本节课从学生回忆一次函数、反比例函数的图象入手，展示生活中与二次函数图象相关的图片激发学生的学习热情引入新课让学生进入独学过程。每个小组成员各自在同一个坐标系内作出一组二次函数图象。在第二部分合作探究的学习过程中教师设计了三个问题：(1)通常怎样作一个函数的.图象，要特别注意什么?(2)二次函数y=ax2的图象是什么?所画的图象有何相同点，不同点?(3)在同一个坐标系中画函数y=ax2与y=-ax2的图象怎样画简便?教师的教学设计思路清晰，注意了学生的知识生成点，教师在整个教学过程中起到一个引领的作用。学生是在围绕教师的教学设计中进行有序地学习，在小组讨论中学生积极参与，体现了学生良好的学习习惯，从学生的课堂反应看，课堂教学效果是比较理想的。

本节课值得商榷的问题

1.学生是第一次接触二次函数，在第一个环节独学过程中学生画出二次函数的图象部分学生是有困难的，有的学生即使能画出来但也不规范，在这一个环节中教师可以结合学生作的图象进行展示说说优缺点，并进行适当的引导和课件示范起到画龙点睛的作用，规范作法和注意事项。

二次函数的图象和性质教学设计 第11篇

龙潭镇第一初级中学 黄海东

在讲授了二次函数y=ax2+k、y=a（x-h）2的图象时，有点感触：

1、先诱导学生比较二次函数y=ax2+k与二次函数y=ax2在形式结构上有什么异同点，很容易发现二次函数y=ax2+k与二次函数y=ax2后多加一个k，同一个自变量值相应函数值增加或减少常数K的绝对值，即是将二次函数y=ax2图象向上/向下平移常数K的绝对值个单位长度，至于向上还是向下就取决于K的正负性。

2、比较二次函数y=a（x-h）2和二次函数y=ax2的异同点，不难发现只有平方项的底数不同而已，也就是说对于同一个函数值相应自变量由0变为h，我们清楚知道改变自变量值就相当于左/右平移，把问题实质转向看如何平移时关键是看顶点的平移，顶点如何平移那么图象就如何平移。先由解析式求出顶点坐标，再看平移的问题。如二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标为（0，h）和二次函数y=ax2的顶点坐标为（0，0）, 由坐标（0，0）变成坐标（0，h）相当于把顶点从（0，0）平移到（0，h），至于左/右平移就看h的正负性，h正就往右移，相反就往左移。

通过本节课我觉得：

1、要想教好数学单凭经验是远远不够的，一定要让同学动起来；

对数函数的图象和性质教学设计 第12篇

北京十八中 王丽敏

教学目标：

①认知性学习目标：理解对数函数概念，掌握对数函数的图象和性质。②技能性学习目标：通过对数函数的学习，培养学生用类比的方法探索研究数学问题的素养，树立相互联系，相互转化的观点；渗透数形结合的思想，提高数学发现能力；能初步利用对数函数的图象和性质解决简单问题。

③体验性学习目标：培养学生良好的心理素质，在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作，拉近学生之间、师生之间的情感距离，提高学生对数学的兴趣。

教学重点：掌握对数函数的图象，利用对数函数的图象研究对数函数的性质是本节课的教学重点。

教学难点：正确画出对数函数的图象，结合对数函数图象，得出对数函数性质。教学过程：

1、创设情境，导入新课：

利用以下三个问题，由指数函数引出对数函数，并且明确指数函数和对数函数间的关系。

1问题1：你能把y2 和y改为对数形式吗？

2xx1问题2：函数ylog2x和y2；函数ylog1x和y有什么联系？

22xx问题3：为何限定底数a0且a1？对数函数的定义域值域分别是什么？

在明确了对数函数概念以及对数函数和指数函数的关系的基础上继续引导学生进行以下探索。

2、实验探索，寻找规律：

问题4：用尽量多的方法画出对数函数ylog2x及ylog1x的图象。

2当学生掌握对数函数图象的画法后，继续提出以下问题，让学生讨论。问题5：利用TI图形计算器研究当函数的底数变化时，函数图象如何变化？ 设计意图：本节主要内容都是在观察对数函数图象基础上展的。多种作图方法相对比，能加深学生对对数函数图象的认识。显然利用TI图形计算器最为快捷，避免了复杂的运算，为接下来的探索做了准备。

3、根据探索所得形成规律：

问题5：根据图象总结对数函数图象的特点。

选几个小组汇报自己观察得到的结论，教师对各组的结论进行总结： ①图象位于y轴的右侧； ②图象经过定点（1，0）；

③当a1时，ylogax的图象与ylog2x的图象类似；当0a1时，函数ylogax的图象与函数ylog1x类似；

2④当a1时，底数越大函数的图象越接近x轴；当0a1，底数越小越函数的图象接近x轴；

．．．．．．

当学生基本掌握了对数函数的底数变化时函数图象变化的特点后，要求学生类比指数函数性质，结合前面讨论的结果，归纳对数函数的图象和性质。

设计意图：利用传统的“纸笔——计算——描点——作图”能完成这一工作。但是存在两个问题，如果函数图象画得太少，则难发现“数、形”之间的联系；如果画得太多，则大量冗长的计算和描点操作又会影响学生的观察。TI图形计算器强大的图形处理能力却能弥补这些不足，不但节省了时间，而且有利于突出重点，突破难点。

如果这样还不能体现出TI图形计算器的优势的话，那么接下来的问题是传统纸笔很难轻松完成的。

4、实践检验，升华认识：

教师提出新的问题：函数yax和ylogax（a0且a1）互为反函数，两函数的图象可能相交吗？若相交，交点个数怎样？

学生在学习完本节内容后，对指数函数yax与对数函数ylogax的图象是否会相交的问题始终存在错觉。因为从课本及其它很多参考书上所给的在同一坐标系内指数函数yax与对数函数ylogax的图象看，当a1时，两函数的图象似乎是不相交的。

学生利用TI图形计算器绘出大量图象很容易会发现正确结论。

三次函数的图象性质及其应用 第13篇

一、三次函数的图象性质

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),f'(x)=3ax2+2bx+c,f'(x)=0的判别式Δ=4(b2-3ac),f"(x)=(f'(x))'=6ax+2b(f"(x)是f(x)的二阶导数).

性质1:由f"(x)=0得.任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都是中心对称图形,其对称中心是.

性质2:若a>0,当x+∞时,f(x)+∞;当x-∞时,f(x)-∞.

(1)Δ>0时,f'(x)=0有两个不同实根x1,x2,y=f(x)有两个极值点,不妨设x1是极大值点,x2是极小值点.

f(x)=0有一个实根⇔y=f(x)的图象与x轴有一个交点⇔f(x2)>0或f(x1)<0;

f(x)=0有两个不同实根⇔y=f(x)的图象与x轴有两个交点⇔f(x2)=0或f(x1)=0;

f(x)=0有三个不同实根⇔y=f(x)的图象与x轴有三个交点

(2)Δ0时,f'(x)=3ax2+2bx+c≥0对任意x∈R恒成立,f(x)在R上是单调递增函数,y=f(x)的图象与x轴只有一个交点.

性质3:若a<0,当x+∞时,f(x)-∞;当x-∞时,f(x)+∞.

(1)当Δ>0时,f'(x)=0有两个不同实根x1,x2,y=f(x)有两个极值点,不妨设x1是极大值点,x2是极小值点.

f(x)=0有一个实根⇔y=f(x)的图象与x轴有一个交点⇔f(x2)>0或f(x1)<0;

f(x)=0有两个不同实根⇔y=f(x)的图象与x轴有两个交点⇔f(x2)=0或f(x1)=0;

f(x)=0有三个不同实根⇔y=f(x)的图象与x轴有三个交点.

(2)Δ0时,f'(x)=3ax2+2bx+c0对任意x∈R恒成立,f(x)在R上是单调递减函数,y=f(x)的图象与x轴只有一个交点.

二、应用

例1已知f(x)=x3-3x2+6x-6,且f(a)=1,f(b)=-5,则a+b=______.

解:任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都是中心对称图形,其对称中心是(-,f(-)).

而-2,

所以f(x)=x3-3x2+6x-6的图象的对称中心是P(1,-2).由f(a)=1,f(b)=-5知:点A(a,1),B(b,-5)在函数的图象上.P(1,-2),A(a,1),B(b,-5)三点中,点P(1,-2)的纵坐标满足中点坐标公式,所以A,B关于点P对称,由中点坐标公式得a+b=2.

例2已知f(x)=x3-x,

(1)求y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;

(2)若a>0,如果过点(a,b)可以作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a

解:(1)f'(x)=3x2-1,y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线斜率

k=f'(t)=3t2-1.

在点M(t,f(t))处的切线方程是

y-f(t)=(3t2-1)(x-1),

即y=(3t2-1)(x-t)+t3-t.

(2)知点(a,b)在切线上,故有

b=(3t2-1)(a-t)+t3-t,

即2t3-3at2+a+b=0.

如果过点(a,b)可以作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2t3-3at2+a+b=0有三个不同实根,即g(t)=2t3-3at2+a+b的图象与横轴有三个交点.

由g'(t)=6t2-6at=0,得t1=0,t2=a,可知t1和t2分别是极大值点和极小值点.

二次函数的图象和性质教学设计 第14篇

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段

【教学过程】

八、教学反思

初次阅读这篇教材内容，只觉得教学内容少、难度小，又由于本课之前学生已学习过正余弦函数、单调性、奇偶性、周期性等内容，好像没什么可细究的，也出不了什么新东西。但是再次详细阅读课本和教参后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函数按照从函数定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，而正切函数先利用诱导公式和单位圆讨论性质，然后再利用性质作图像，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维活动的载体，贯彻体现数学教育新理念，促进学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习。

其次，加强相关知识的联系性，加强几何直观，强调数形结合的思想方法。为了更好的体现数形结合思想，教学中充分发挥单位圆和三角函数线的直观作用，使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯。同时引导学生体会从正切函数的定义和几何意义出发，发现正切函数的性质，再想象正切函数图像的样子，直到画出函数图像后，再次总结函数性质，每个环节之间的转换都渗透着数形结合的思想方法。数形结合的思想方法是这节课的精髓。

再次，使用信息技术，符合新课程的基本要求。为了突破难点，本节适当使用了信息技术。多媒体教学的呈现方式不仅在课堂上为学生留出了更多的思考和讨论的时间，还加强了知识的发生发展过程，加深了对有关概念的认识，突破了学习中可能遇到的困难。特别是几何画板的一步步地使用，积极引导学生学习和使用计算机及专业工具和软件，以突破难点。

最后，加强学生学习的“过程性”，使数学思想的学习和数学能力培养落到实处。通过学生对五个思考题的各个击破，得出了主要性质；通过学生想象图象、描点画出图象，计算机软件画出图象，对图象有了深刻的印象，也增强了想象力；通过两组讨论和探究，深化知识，升华思想。教师提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行了具体示范、引导，学生或看、或说、或想、或听、或写、或画完成了每个过程。

【参考资料】

[1]《数学（A版）教师培训手册》，人民教育出版社.

（作者单位：甘肃省嘉峪关市第一中学）

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段

【教学过程】

八、教学反思

初次阅读这篇教材内容，只觉得教学内容少、难度小，又由于本课之前学生已学习过正余弦函数、单调性、奇偶性、周期性等内容，好像没什么可细究的，也出不了什么新东西。但是再次详细阅读课本和教参后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函数按照从函数定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，而正切函数先利用诱导公式和单位圆讨论性质，然后再利用性质作图像，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维活动的载体，贯彻体现数学教育新理念，促进学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习。

其次，加强相关知识的联系性，加强几何直观，强调数形结合的思想方法。为了更好的体现数形结合思想，教学中充分发挥单位圆和三角函数线的直观作用，使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯。同时引导学生体会从正切函数的定义和几何意义出发，发现正切函数的性质，再想象正切函数图像的样子，直到画出函数图像后，再次总结函数性质，每个环节之间的转换都渗透着数形结合的思想方法。数形结合的思想方法是这节课的精髓。

再次，使用信息技术，符合新课程的基本要求。为了突破难点，本节适当使用了信息技术。多媒体教学的呈现方式不仅在课堂上为学生留出了更多的思考和讨论的时间，还加强了知识的发生发展过程，加深了对有关概念的认识，突破了学习中可能遇到的困难。特别是几何画板的一步步地使用，积极引导学生学习和使用计算机及专业工具和软件，以突破难点。

最后，加强学生学习的“过程性”，使数学思想的学习和数学能力培养落到实处。通过学生对五个思考题的各个击破，得出了主要性质；通过学生想象图象、描点画出图象，计算机软件画出图象，对图象有了深刻的印象，也增强了想象力；通过两组讨论和探究，深化知识，升华思想。教师提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行了具体示范、引导，学生或看、或说、或想、或听、或写、或画完成了每个过程。

【参考资料】

[1]《数学（A版）教师培训手册》，人民教育出版社.

（作者单位：甘肃省嘉峪关市第一中学）

本课例是现代信息技术与课程内容有机整合的一次有效实践，几何画板软件的应用起到了突破难点的作用；在引导学生完成性质到图像和图像到性质转化的两个关键环节中，充分渗透了数形结合的思想和方法；引导启发学生积极运用观察、思考、猜想、讨论、推理、运算等多样化的学习策略，发展了学生的计算能力、空间想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函数的性质和图像。

【教学资源】

教材；教参；课程标准；多媒体；投影仪；几何画板软件。

【教学目标】

1.知识与技能目标：利用已学的正切函数的知识探究性质；学会画正切函数的图像；掌握正切函数的性质；通过函数性质到图像和图像到性质的转化，体会数形结合的基本数学思想和方法。

2.过程与方法目标：通过想象图象、描点画出图象、计算机软件画出图象，研究函数图象的方法有了基本的认识，也增强了想象力；体会从性质到图象和从图象到性质两种研究函数的不同思路。

3.情感态度与价值观目标：借助几何画板，动态演示单位圆中的正切线的变化和正切函数准确图象，让学生亲身经历数学研究的过程，体会探索的乐趣，增强学习数学的乐趣；独立解答和分组讨论相结合的学习方式，增强学生自主创新和团结协作的精神。

【教学重难点】

1.重点：正切函数的主要性质和图像及画法。

2.难点：通过性质掌握图像特点，观察图像总结函数性质。

【教学方法】

主要采取类比、讨论、启发等教学方式，并借助多媒体辅助手段

【教学过程】

八、教学反思

初次阅读这篇教材内容，只觉得教学内容少、难度小，又由于本课之前学生已学习过正余弦函数、单调性、奇偶性、周期性等内容，好像没什么可细究的，也出不了什么新东西。但是再次详细阅读课本和教参后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函数按照从函数定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的顺序展开，而正切函数先利用诱导公式和单位圆讨论性质，然后再利用性质作图像，这样做的目的是为了使学生体会可以从不同角度讨论函数。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、反思与建构等思维活动的载体，贯彻体现数学教育新理念，促进学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习。

其次，加强相关知识的联系性，加强几何直观，强调数形结合的思想方法。为了更好的体现数形结合思想，教学中充分发挥单位圆和三角函数线的直观作用，使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯。同时引导学生体会从正切函数的定义和几何意义出发，发现正切函数的性质，再想象正切函数图像的样子，直到画出函数图像后，再次总结函数性质，每个环节之间的转换都渗透着数形结合的思想方法。数形结合的思想方法是这节课的精髓。

再次，使用信息技术，符合新课程的基本要求。为了突破难点，本节适当使用了信息技术。多媒体教学的呈现方式不仅在课堂上为学生留出了更多的思考和讨论的时间，还加强了知识的发生发展过程，加深了对有关概念的认识，突破了学习中可能遇到的困难。特别是几何画板的一步步地使用，积极引导学生学习和使用计算机及专业工具和软件，以突破难点。

最后，加强学生学习的“过程性”，使数学思想的学习和数学能力培养落到实处。通过学生对五个思考题的各个击破，得出了主要性质；通过学生想象图象、描点画出图象，计算机软件画出图象，对图象有了深刻的印象，也增强了想象力；通过两组讨论和探究，深化知识，升华思想。教师提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行了具体示范、引导，学生或看、或说、或想、或听、或写、或画完成了每个过程。

【参考资料】

[1]《数学（A版）教师培训手册》，人民教育出版社.