互斥与独立论文-盘古文库

互斥与独立论文（精选4篇）

互斥与独立论文第1篇

作为新教材刚增加的内容概率, 年年高考都有大题出现, 可见其重要性.下面以近几年的高考题为例说明其应用.

一、互斥事件和独立事件的区分

注:对“互斥一定不独立, 独立一定不互斥”的解释, 若事件A、B互斥, 即AB=Ø, P (AB) =0, 而P (A) P (B) ≠0, P (AB) ≠P (A) P (B) , 所以事件A、B一定不独立;若事件A、B独立, 有P (AB) =P (A) P (B) , 则事件A、B一定不互斥 (否则事件A、B互斥, 有AB=Ø, P (AB) =0, 即P (A) P (B) =0, P (A) =0或P (B) =0矛盾) .

二、互斥事件和独立事件的应用

例1 (2000年天津) 甲、乙二人参加普法知识竞答, 共有10个不同的题目, 其中选择题6个, 判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题.

(Ⅰ) 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?

(Ⅱ) 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

解: (Ⅰ) 甲从选择题中抽到一题的可能结果有C $_{6}^{1}$ 个, 乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C $_{4}^{1}$ 个, 故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有C $_{6}^{1}$ C $_{4}^{1}$ 个;又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为C $_{10}^{1}$ C $_{9}^{1}$ 个, 所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为 $\frac{C_{6}^{1} C_{4}^{1}}{C_{10}^{1} C_{9}^{1}} = \frac{4}{15}$ , 所求概率为 $\frac{4}{15}$ ;

(Ⅱ) 甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为 $\frac{C_{4}^{1} C_{3}^{1}}{C_{10}^{1} C_{9}^{1}}$ , 故甲、乙二人中至少有一人抽取选择题的概率为 $1 - \frac{C_{4}^{1} C_{3}^{1}}{C_{10}^{1} C_{9}^{1}} = \frac{13}{15}$ , 所求概率为 $\frac{13}{15}$ .或 $\frac{C_{6}^{1} C_{5}^{1}}{C_{10}^{1} C_{9}^{1}} + \frac{C_{6}^{1} C_{4}^{1}}{C_{10}^{1} C_{9}^{1}} + \frac{C_{4}^{1} C_{6}^{1}}{C_{10}^{1} C_{9}^{1}} = \frac{1}{3} + \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{13}{15}$ , 所求概率为 $\frac{13}{15} .$

本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.

例2 (2001年天津) 如图1, 用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时, 系统N1正常工作;当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时, 系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80, 0.90 , 0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.

解:P (A) =0.80, P (B) =0.90, P (C) =0.90.

(Ⅰ) 因为事件A、B、C是相互独立的, 所以, 系统N1正常工作的概率P1=P (ABC) =P (A) P (B) P (C) =0.800.900.90=0.648.故系统N1正常工作的概率为0.648.

(Ⅱ) 系统N2正常工作的概率 $Ρ_{2} = Ρ (A) [1 - Ρ (\bar{B} \cdot \bar{C})] = Ρ (A) [1 - Ρ (\bar{B}) \cdot Ρ (\bar{C})]$ , 因为 $Ρ (\bar{B}) = 1 - Ρ (B) = 1 - 0.90 = 0.10, Ρ (\bar{C}) = 1 - Ρ (C) = 1 - 0.90 = 0.10$ .所以P2=0.80[1-0.100.10]=0.800.99=0.792.

故系统N2正常工作的概率0.792.

本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法, 考查运用概率知识解决实际问题的能力.

例3 (2003年新课程卷文) 有三种产品, 合格率分别是0.90、0.95和0.95, 各抽取一件进行检验.

(1) 求恰有一件不合格的概率;

(2) 求至少有两件不合格的概率. (精确到0.001)

解:设三种产品各抽取一件, 抽取合格产品的事件分别为A、B和C.

$(1) Ρ (A) = 0.90, Ρ (B) = Ρ (C) = 0.95, Ρ (\bar{A}) = 0.10, Ρ (\bar{B}) = Ρ (\bar{C}) = 0.50$ .因为事件A、B、C相互独立, 恰有一件不合格的概率为

$Ρ (A \cdot B \cdot \bar{C}) + Ρ (A \cdot \bar{B} \cdot C) + Ρ (\bar{A} \cdot B \cdot C) = Ρ (A) \cdot Ρ (B) \cdot Ρ (\bar{C}) + Ρ (A) \cdot Ρ (\bar{B}) \cdot Ρ (C) + Ρ (\bar{A}) \cdot Ρ (B) \cdot Ρ (C) = 2 0.90 0.95 0.05 + 0.10 0.95 0.95 = 0.176 .$

答:恰有一件不合格的概率为0.176.

(2) 解法1:至少有两件不合格的概率为 $Ρ (A \cdot \bar{B} \cdot \bar{C}) + Ρ (\bar{A} \cdot B \cdot \bar{C}) + Ρ (\bar{A} \cdot \bar{B} \cdot C) + Ρ (\bar{A} \cdot \bar{B} \cdot \bar{C}) = 0.90 0.05^{2} + 2 0.10 0.05 0.95 + 0.10 0.05^{2} = 0.012$

解法2:三件产品都合格的概率为

P (ABC) =P (A) P (B) P (C) =

0.900.952=0.812

由 (Ⅰ) 知, 恰有一件不合格的概率为0.176, 所以至少有两件不合格的概率为1-[P (ABC) +0.176]=1- (0.812+0.176) =0.012.

答:至少有两件不合格的概率为0.012.

例4 (2002年天津) 某单位6个员工借助互联网开展工作, 每个员工上网的概率都是0.5 (相互独立)

(1) 求至少3人同时上网的概率;

(2) 至少几人同时上网的概率小于0.3

解: (1) 至少3人同时上网的概率 $C_{6}^{3} 0.5^{6} + C_{6}^{4} 0.5^{6} + C_{6}^{5} 0.5^{6} + C_{6}^{6} 0.5^{6} = \frac{21}{32}$ , 或 $1 - C_{6}^{0} 0.5^{6} - C_{6}^{1} 0.5^{6} - C_{6}^{2} 0.5^{6} = \frac{21}{32} .$

(2) 至少4人同时上网的概率 $C_{6}^{4} 0.5^{6} + C_{6}^{5} 0.5^{6} + C_{6}^{6} 0.5^{6} = \frac{11}{32} > 0.3$ , 至少5人同时上网的概率 $C_{6}^{5} 0.5^{6} + C_{6}^{6} 0.5^{6} = \frac{7}{64} < 0.3$ .因此至少5人同时上网的概率小于0.3.

本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法, 考查运用概率知识解决问题的能力.

总之, 概率高考题有时考查互斥事件的概率, 如例1, 也有时考查独立事件的概率, 如例2, 也有时综合考查事件的概率, 如例3、例4, 因其题型以解答题出现, 因此应稍有点难度, 特别要用好对立事件的概率, 另外上海高考题一直是以填空题的形式考查概率, 以后全国高考题也必然会出现这种形式, 不管哪一种题型, 解题的基础是等可能事件的概率.

互斥与独立论文第2篇

关键词：互斥与独立事件；彼此独立

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1671-864X（2014）09-0101-02

关于互斥与独立事件的相关文章有许多，其中有些概念或提法有些模糊。希望在本文中做些分析。

一、概念判断问题

互斥概念清晰明确，这里不再赘述。一般只要判断两事件的关系即可。

对于独立事件的概念的定义有如下几种提法：（1）指事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。又可表述为：在同一试验下的两个事件，如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。（见中学数学教材（人教版）。在下文中称此定义为定义1。（2）当时，，称事件B独立于事件A。此时当时，可推，称事件A独立于事件B。即当事件A与B满足，时，若，称事件A与B相互独立。在下文中称此定义为定义2。（3）事件A与B相互独立的一个充要条件是。在下文中称此定义为定义3。说明：对于概率大于零的事件，定义2、3等价。且需要通过计算来判断事件的独立性。定义2不能用于概率为零的事件。

问题1：如何判断两个事件是否相互独立？

（1）当利用已知或经验能够用定义1判断事件的独立性时，可由实际意义或题目说明。此法应用广范。毋庸置疑，否则易陷入循环论证的矛盾中。

例如：某射手进行设计练习，设其击中目标的概率为p，考虑2次射击，求连中两枪的概率。

解：由实际意义，我们一般把各次击中看作相互独立事件，故解为。

（2）当不能利用已知或经验用定义1判断时，不能轻易判断两个事件独立与否。用定义2或3判断事件的独立性时，会出现很多我们事先无法直觉判断的情况。举例如下：

ⅰ、同一类事件可能独立，也可能不独立。

例如：袋中有4张相同的卡片，分别标有1、2、3、4，从中任取一张。设事件A=“取到1或2”，B=“取到1或3”，C=“取到1、2或3”，D=“取到2、3或4”，讨论A与B、C与D的独立性。

解：，。即事件相A、B相互独立。

而，。即事件相C、D不独立

用定义3来判断也一样。

ⅱ、同样两个事件，在不同的试验下，可能独立，也可能不独立。

例如：在有两个孩子的家庭中，假设生男孩和生女孩是等可能的。设A表示“一个家庭既有男孩又有女孩”，B表示“一个家庭至多有一个女孩”，讨论A与B的独立性。

解：对两个孩子的家庭来说样本空间

={（男、男），（男、女），（女、男），（女、女）}

A={（男、女），（女、男）}

B={（男、男），（男、女），（女、男）}

所以AB={（男、女），（女、男）}

显然有，，而。所以

事件A、B相互不独立。

若将上例改为三个孩子的家庭，做同样的讨论。

解：对三个孩子的家庭来说样本空间

={（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男），（女、女、男），（女、男、女），（男、女、女），（女、女、女）}

A={（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男），（女、女、男），（女、男、女），（男、女、女），}

B={（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）}

所以AB={（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）}

显然有，，，

事件A、B相互独立。

由以上的讨论可知，在对独立性的判断上，可用定义1判断的不必再作其它判断。如文①（概率计算中乘法问题的商榷马恩林连四清数学通报2007年第8期）中例1。而不能用定义1判断的则不能按经验推理。此时对每两个事件的独立性判断必须经过计算来判断。

二、两个概念在应用情况表述中的问题

关于两个概念的关系有如下的一些提法：

文②（比较研究，相互独立事件教学的有效举措马林数学通报2008年第4期）认为两者应用不同，互斥指一次试验中的不同事件，而独立指两次或多次不同试验下出现的不同事件。

问题2：上述说法正确吗？正确的说法是什么？

本人认为上述说法不正确，反例如下：

（1）多次试验中可有互斥事件。

例现有10张分别写有1至10数字的卡片.现从中依次取出两张.观察取出卡片的数字.设事件A=“第一次取得1号卡片”，B=“第二次取得1号卡片”.

解：事件A=“第一次取得1号卡片”={12，13，14，…110}，

B=“第二次取得1号卡片” ={21，31，41，…101}.

显然，事件A、B互斥。

（2）一次试验中的两个事件也可独立。

例现有10张分别写有1至10数字的卡片.现从中任意取出一张.观察取出卡片的数字.设事件A=“取得1或2号卡片”，B=“取得偶数号卡片”.

解：B=“取得偶数号卡片”=“取得2、4、6、8或10号卡片”.

则，P（A）==，，，即事件A、相互独立。

由以上的讨论可知，两个互斥或独立的事件即可以是同一试验中的不同事件，也可以是两次或多次不同试验下出现的不同事件。

三、两个概念在推广中的问题

我们已经知道，几个事件两两互斥则定义为彼此互斥。因此两两互斥则彼此互斥。反之亦然。而独立则不同。彼此独立则两两独立，而两两独立不能推出彼此独立。反例很多，不再赘述。

问题3：上述结论有例外吗？

文③（浅析事件的互不相容与相互独立刘琳数学通报2006年第8期）中有如下例题

例 n对夫妇任意的排成一列，求每一个丈夫都排在他的妻子后面的概率。

此题可用古典概率求解，但解法较繁琐。

此题另可应用事件间的独立关系来求解，解法如下：

以A记事件第i对夫妇丈夫排在妻子的后面，则P（A）=，

进一步假设是相互独立的，即默认每对夫妇都是独立的，因而可得：P（）=.

显然，上例应用了多个事件相互独立的概念。那么何时能够应用呢？

高中教材中（人教版）对于相互独立概念的定义是，指事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。又可表述为：在同一试验下的两个事件，如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。（见中学数学教材（人教版）。

中学教材（人教版）中对n个事件互斥的定义为：如果事件中的任何两个都是互斥事件，此时即称事件彼此互斥。即承认只要由两两互斥即可推出彼此互斥。而对于n个事件相互独立的概念，只是定义两个事件独立的概念（事件发生的概率彼此没有影响），并不提及条件概率的定义，并由此直接应用n个事件相互独立的概念。

实际上，对于概率大于零的事件，用中学教材中的独立定义（我们在前文将其称为定义1）所得的事件间的独立，我们不妨称为绝对独立。用其它定义（我们在前文将其称为定义2、3）所推出的独立我们不妨称为相对独立。显然，两个事件绝对独立一定相对独立。反之不成立。而且对于绝对独立的事件只要两两独立一定相互独立。这一条显然成立不需要证明。而这一条也是应用的重要依据，可用来解很多较为复杂的题，如上例。而相对独立事件不存在这样的性质。

四、两个概念在多次试验中的联系问题

如上所述文②（比较研究，相互独立事件教学的有效举措马林数学通报2008年第4期）认为两者应用不同，互斥指一次试验中的不同事件，而独立指两次或多次不同试验下出现的不同事件。此说法不妥上文已指出。文④（浅谈独立事件许景彦石家庄职业技术学院学报 2002年6月）认为：对于分别来自n次试验的事件，一定两两独立且相互独立。此种提法正确吗？由此我们得到如下的问题。

问题4：一次试验中的两个事件，在多次试验有怎样的关系？

（1）一次试验中的两个事件，即使是互斥的关系，在多次试验中也不一定是相互独立的。

例如：一个盒子里放有3个红球，4个黄球，现从中依次取出两个球。事件A：第一次摸出的是红球；事件B：第二次摸出的是黄球，显然有：事件A、B并不相互独立。

（2）一次试验中的任何两个事件，即使非互斥的关系，在多次独立重复试验中的不同次试验中一定是相互独立的。

例如：一个盒子里放有3个红球，4个黄球，6个绿球。现从中每次取出一个球，取后放回，连取4次。事件A：第一次摸出的是红球；事件B：第四摸出的不是绿球，显然有：事件A、B相互独立。

显然，对于不是来自同一次试验的两个事件不一定是相互独立的，更无法判断其两两独立一定相互独立。因而，关键不是是否来自几次试验，关键是是否来自几次不同的独立重复试验。而且对于来自几次不同的独立重复试验的事件，两两独立且相互独立。

五、教学中的建议

可见两个概念既有相同又有不同，同时还有联系。简单总结如下：

相同点：同样是描述两个事件间的关系；都可以是指在同一次试验中，也都可以指多次试验中的不同事件。

不同点：定义不同；判断方法不同；推广条件不同；一个多应用在事件加的概率计算中，一个多应用在事件乘的概率计算中。

针对概率大于零的事件，“绝对独立”的事件间两两独立即相互独立。而“相对独立”的事件不具有这样的性质。而且对于来自几次不同的独立重复试验的事件，两两独立一定相互独立。而对于不是来自几次不同的独立重复试验的事件间不一定具有这样的性质。

在教学中需要注意两个概念的异同，避免出现错误概念。同时还要在比较和应用中加强两个概念的理解和应用能力。

事件独立的定义和判断显然更为复杂。故本文针对概率大于零的事件提出了“绝对独立”与“相对独立”的概念，以避免不必要的混乱。在数学教学中宜更多应用“绝对独立”概念（不一定提出此名词），但对“相对独立”概念应以举例说明为宜。互斥与独立的区别与联系也较为复杂，教学中可根据情况注意比较、渗透，帮助学生建立正确清晰的知识脉络，培养学生的能力。

参考文献：

[1]马恩林.连四清概率计算中概率乘法问题的商榷[J].数学通报，2007年，第8 期.

[2]马林.比较研究，相互独立事件教学的有效举措[J]. 数学通报2008年，第4期.

[3]刘琳.浅析事件的互不相容与相互独立[J]. 数学通报2006年第8期.

[4]许景彦.浅谈独立事件[J]. 石家庄职业技术学院学报 2002年6月.

[5]金天寿.对事件独立性的再认识[J]. 数学通报2012年，第3期.

[6]人民教育出版社中学数学室编著.全日制不同高级中学教科书数学[M].北京：人民教育出版社，2004.

进程同步与互斥的教学方法探讨第3篇

1 信号量的透彻理解

信号量:用于表示资源数目或请求使用某一资源的进程数, 以下用S代表信号量。信号量S是一整数, 当S大于等于零时代表可以使用资源的数量, 当S小于零时表示正在等待使用该临界区的进程数。牢记信号量的值要么是可用资源数 (S≥0) , 要么代表等待使用该资源的进程数 (S<0) 。信号量按用途可分为两种:公用信号量和私有信号量。公用信号量, 初值通常为1, 用于实现进程互斥。私有信号量, 初值通常为0或正整数 (代表可用资源数) , 多用于并发进程同步。给出信号量定义后, 多举例讲解信号量初值代表的含义, 这样有助于学生对进程同步及互斥关系的确定。

2 同步与互斥

进程互斥是指多个进程不能同时使用同一资源。进程同步指多个合作进程为了完成同一个任务, 使得一个进程的执行依赖于另一个进程的消息, 它们相互合作、相互等待, 使得各进程按一定的速度执行的过程称为进程间的同步。讲解进程关系时多举例说明, 进程互斥主要是因为两个或多个进程要竞争使用独享资源, 如:几个同学去图书馆借同一本书、交叉路口抢车道、争抢篮板球等;进程同步多指两个进程间需要交互信息, 协调才能完成, 如:4*100接力赛、工厂的流水线等。

3 PV原语操作

P原语操作功能:对S减1;若S减1后仍大于等于零, 则进程继续执行;若S减1后小于零, 则该进程被阻塞插入到等待S信号量使用的队列中, 然后转入进程调度。V原语操作功能:对S加1;若加1后S大于零, 进程继续执行;若S小于等于零, 则从该信号的等待队列中唤醒一个等待进程, 然后继续执行原进程或转进程调度。在讲解PV操作时反复对PV原语功能进行详细讲解, 结合实例让学生理解好P操作的作用及进程遇到P操作时可能的运行轨迹, 学生只有理解好P操作的功能, 才能很好地用PV操作来实现进程的同步与互斥。

4 进程间同步与互斥的确定

具有同步关系的进程间信号量是私有信号量, 且对同一个信号量的PV操作不在一个进程中;互斥关系所用信号量是公共信号量, 对同一个信号量的PV操作在一个进程中。经过多年总结, 作者按如下思路讲解, 学生听起来更容易理解和接受, 应用起来也不会觉得无从下手。归纳如下:

(1) 先对问题进行分析, 确定共有几个进程?

(2) 进程间所用信号量有几个?

(3) 确定信号量初值;

(4) 分析进程间的同步与互斥关系;

(5) 进程同步与互斥的PV原语实现

例1:过独木桥问题。

依照解题思路分析共有两类进程, 从A端到B端的进程P1和从B端到A端的进程P2, 临界资源是独木桥, 信号量S=1 (当桥上没人时才可以通过, 只能一次一个人过) , 进程间属于互斥关系, PV操作实现如下:

例2:问题描述:计算进程和打印进程共同使用同一缓冲区Buf。计算进程反复地把每次计算结果放入Buf中, 而打印进程则把计算进程每次放入Buf中的数据通过打印机打印输出。Buf中每次可以存放一个数据。在这个问题中, (1) 有两个进程:计算进程;打印进程; (2) 当计算进程还未把新数据放入Buf之前, 要取数据的打印进程需等待;当打印进程还未把数据取走之前, 要放数据的计算进程需等待。因此, 在计算进程要往Buf中放数据前, 先要检测一下Buf中的数据是否已被打印进程取走;在放完数据后.要通知打印进程:Buf中已有数据。打印进程在从Buf中取数据之前, 要先检测一下Buf中是否有数据;在取走数据之后, 还要通知计算进程:数据已被取走。所以需要两个私有信号量:一个表示Buf状态empty, 一个表示是否有数据full。 (3) 经过分析, empty代表可用的缓冲区资源, 初值为l;full代表可用的数据资源 (计算进程计算出的数据) , 初值为0。 (4) 进程间有信息交互, 所以属于同步关系。 (5) 用PV原语描述如下:

计算进程:计算数据;P (empty) ;放入缓冲区;V (full) ;打印进程:P (full) ;从缓冲区中取数据;V (empty) ;打印数据。

这个问题是一个典型的进程同步问题:两个进程相互合作完成一个任务, 一个进程的执行受到另一进程的影响。在该问题中也暗含有互斥的关系:一个进程在放 (取) 数据时, 不允许另一进程同时进行。但在该问题题中不需要设置互斥信号量, 这是因为缓冲区或数据的数量最多是l, 在执行P操作时, 已起到了互斥的作用。如果缓冲区数是n (n>1) 时, 增设一个互斥信号量S=1, 而empty初值设置成n, 在放、取数据前对S进行P操作, 放、取数据后对S进行V操作即可。

在长期的教学经验中, 笔者按上述思路进行讲解进程同步问题, 循序渐进, 边分析边讲解, 再通过课堂讨论, 让学生自己分析解决问题的办法, 自己发现算法中存在的问题, 同时让学生课下练习大量题目, 课堂再讲解对照, 发现错误所在。通过这样的方法, 提高了学生学习的兴趣, 提高了课堂教学质量。

结束语

进程管理是操作系统课程中非常重要的一部分内容, 也是老师难讲、学生难学的内容。进程同步的概念较抽象, 学生掌握起来难度很大。在教学中作者用本文所述的教学方法, 重点强调信号量、P操作的含义, 从简单问题开始, 循序渐进举例分析, 使学生在分析中逐渐掌握进程同步与互斥问题的实现思路。实践证明:采用该方法, 教学效果良好, 学生更容易理解进程间的关系, 也很有兴趣学习该部分内容, 在遇到类似问题时, 能够具有了一定的解题思路, 教学效果良好。

摘要：对于操作系统课程, 进程同步与互斥的内容是其中一个重点和难点。进程概念较为抽象, 进程同步与互斥更是老师难讲、学生难学的内容。作者经过多年的教学总结, 在该文中阐述了如何用P、V原语实现进程同步与互斥的教学方法, 按该方法从易到难, 循序渐进, 边分析边讲解, 教学效果良好, 学生能够更好地理解进程同步与互斥关系的实现。

关键词：操作系统,进程,同步与互斥,原语,教学方法

参考文献

[1]张尧学, 史美林.计算机操作系统教程 (第3版) [M].北京:清华大学出版社, 2006.

互斥与独立论文第4篇

关键词：互斥方案决策,净现值无差别点折现率,修正的内含报酬率

一、结论相悖案例

案例: 现有甲、乙两个互斥投资项目,它们每年的净现金流量见表1。根据各年的净现金流量,利用差值法测算了甲项目和乙项目的内含报酬率( IRR) 分别为16. 05% 和19. 67% ; 当折现率为8% 时,计算出甲项目与乙项目的净现值( NPV) 分别为19 709. 65元和11 921. 69元( 计算过程从略) 。

从表1的计算结果可得出结论: 假若只比较净现值NPV ( 当折现率为8% ) ,应该选择甲项目、放弃乙项目; 假设仅考虑内含报酬率IRR,则应选择乙项目、放弃甲项目。那么在评价互斥投资项目时,究竟应该以哪个指标为准呢?

二、探讨解决方案

1. 净现值无差别点折现率法

第一步,将甲项目与乙项目各年的净现金流量对应相减,计算出各年的差额净现金流量。即:

第二步,将各年差额净现金流量分别乘以折现率( i) 下的复利现值系数。即:

第三步,计算各年差额净现金流量的现值之和。

第四步,令各年差额净现金流量的现值之和等于0。。解出折现率i,即为净现值无差别点折现率。

将甲项目与乙项目各年净现金流量对应相减,得到表2中各年差额现金流量。依照净现值无差别点折现率法的前四个步骤,计算出净现值无差别点折现率为13. 28% ( 计算过程不赘述) 。

第五步,将净现值无差别点折现率、表1中甲项目和乙项目的内含报酬率,从小到大进行排序,折现率划分区间:(0,13.28%),(13.28%,16.05%),(16.05%,19.67%),(19.67%,+∞),分区间进行讨论。图1中A点横坐标为甲项目的内含报酬率,B点横坐标为乙项目的内含报酬率,C点为甲、乙项目净现值无差别点。

第六步,互斥方案决策。图1表明,投资者必要报酬率在( 0,13. 28% ) 区间时,应选择甲项目; 投资者必要报酬率在( 13. 28% , 16. 05% ) 区间时,应选择乙项目; 投资者必要报酬率在( 16. 05% ,19. 67% ) 区间时,应该选择乙项目( 甲项目净现值为负值) ; 投资者必要报酬率在( 19. 67% , + ∞ ) 区间时,虽然乙项目比甲项目好,但甲项目、乙项目都得放弃,因为它们的净现值均为负数。

2. 修正的内含报酬率函数法

修正的内含报酬率( Modified Internal Rate of Return,MIRR ) 是指在一定贴现率的条件下,将投资项目的未来现金流入量按一定的贴现率( 再投资率) 计算至最后一年的终值,再将该投资项目的现金流入量的终值折算为现值, 并使现金流入量的现值与投资项目的现金流出量达到价值平衡的贴现率。

利用Microsoft Excel软件的MIRR ( values, finance rate,reinvest rate) 函数,计算甲项目、乙项目在不同折现率( 假设finance rate = rein- vest rate) 情况下的MIRR值,计算结果见表3。

当折现率为12% 时,甲项目、乙项目的MIRR分别为14. 14% 和13. 75% ,均大于折现率12% ,投资者应选择MIRR值更大的甲项目; 当折现率为15% 时,甲项目、乙项目的MIRR分别为15. 56% 和16. 07% ,也都大于折现率15% ,应选择MIRR值更大的乙项目; 当折现率为18% 时,甲项目、乙项目的MIRR分别为16. 97% 和18. 39% ,甲项目MIRR值小于18% , 乙项目MIRR值大于18% ,应选择MIRR值更大且超过折现率18% 的乙项目; 当折现率为20% 时, 甲项目、乙项目的MIRR分别为17. 90% 和19. 92% ,甲项目和乙项目的MIRR值都小于折现率20% ,因此甲项目、乙项目均应被舍弃。

三、研究结论

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