平面向量的应用

平面向量的应用（精选12篇）

平面向量的应用 第1篇

平面向量的应用

平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。下面举例说明。

一、用向量证明平面几何定理

例1.用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。

已知：如图1，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°。

证明：联结OP，设向量OAa，OPb，则OBa且PAOAOPab，PBOBOPab PAPBb2a2|b|2|a|20

PAPB，即∠APB＝90°。

二、用向量求三角函数值

例2.求值：cos图

1解：如图2，将边长为1的正七边形ABCDEFO放进直角坐标系中，则OA(1，0)，

224466AB(cos，sin)，BC(cos，sin)，CD(cos，sin)，777777 8810101212DE(cos，sin)，EF(cos，sin)，FO(cos，sin)777777246coscos 777

又OAABBCCDDEEFFO0

图

21cos24681012coscoscoscoscos0 777777

86104122cos，coscos，coscos又cos 777777

24612(coscoscos)0777 2461coscoscos7772

三、用向量证明不等式

222例3.证明不等式(a1b1a2b2)2(a1a2)(bb212)

证明：设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，则|a|

与b的夹角为θ，cos

又|cos|

1222则(a1b1a2b2)2(a1a

22)(b1b2)22a1a2|b|b1b22，2，设aab|a||b|a1b1a2b2aa2122bb2122

当且仅当a、b共线时取等号。

四、用向量解物理题 例4.如图3所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力PA、PB、PC、PD、PE作用于同一点P，求五个力的合力。

解：所求五个力的合力为PAPBPCPDPE，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则POPAPE，由正六边形的性质可知|PO||PA|b，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则PFPBPD，由正六边形的性质可知|PF|3b，且F点在PC的延长线上。

由正六边形的性质还可求得|PC|2b

故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b2b3b6b，方向与PC的方向

相同。

图3

平面向量的应用 第2篇

1 教材与学情分析

“平面向量的应用”这节教材在二期课改课本第 10 章最后一节 10.6，属于拓展内容。教材选取 5 个例题说明向量作为工具在数学、物理中的广泛应用性，其中例 1 和例 2 说明向量在平面几何中的应用，例 3(柯西不等式的证明)说明向量在代数中的应用，例 4 和例 5 说明向量在力学中的应用。已学完“力学”的高二学生对向量在力学中的应用并不陌生，联想向量相等、平行向量的关系、垂直向量的关系等解决平面几何问题让学生感到也较自然，因为这是形形的转化、很直观，而且涉及的向量知识也较容易，学生掌握得也好。而联想向量模的意义、“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”、“数量积的平方小于或等于模的平方的积”、将“向量加法的多边形法则”转化为 “有关坐标的等式”等解决函数最值、不等式和等式证明、三角求值等问题让学生感到比较困难，其原因之一是以上的知识掌握和理解有一定的难度，二是联想构造“数形数”转化的要求高、综合性强、较抽象，三是教学中能力培养不到位，因此在“平面向量在代数中的应用”的教学中能力培养是关键。

本课是在学生已经学习“向量在平面几何中的应用”基础上，学习“向量在代数中的应用”。围绕以上向量的概念和运算性质的应用精心问题，引导学生观察、分析表达式的特征，联想向量知识，通过构造向量将已知条件或结论转化为向量表达、进行向量运算或向量性质的应用将所得的结果转化为所求结论的过程，学生会对数学思想方法中的“数形结合”、“转化”等有更深刻的理解;通过变式教学、特殊与一般的研究，感受数学发现的乐趣;通过错误辨析、一题多解、一题多变的探究，夯实学生基础，达到深刻理解向量的概念，熟练掌握向量的运

算和性质的目的，因而本节课的教学有助于学生能力的提高。

本课的教学对象为松江二中高二学生，他们已较好地理解了向量的概念，比较熟练地掌握向量的运算和性质，并能进行简单应用，有“数形结合”的应用意识，善于思考和发现，有较高的认知水平。因此，有可能也有必要引导他们进行问题探究。关于“数形结合”的思想应用，来源于两个方面，一是已体会到向量本身就是一个数形结合的产物，它兼具代数的抽象、严谨和几何的直观特点，二是通过基本函数的图象与性质的学习，体会到应用“数形结合”研究函数性质、解决函数的零点、方程和不等式的解等问题。正如美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并能创造性思索问题的解法”。所以本节课以“向量在代数中的应用”为载体，进一步让学生体验“数形结合”、“转化”的思想应用为目标，培养学生的探究精神为归宿，促进学生思维能力的提高。

2.教学目标

2.1 学生通过问题探究，深刻理解向量的概念，熟练掌握向量的运算和性质，并能着意联想恰当应用，解决有关代数问题;

2.2 学生通过一题多解、一题多变的研究，揭示向量在代数问题中的应用本质，体验数形结合思想及特殊与一般关系的.应用，感受数学发现的乐趣，培养学生的创新意识。

3.教学重点、难点、注意点

本课重点是加深向量概念、向量的运算和性质的理解，并应用数形结合与转化思想解决有关代数问题;难点是如何数形转化和有关向量模的不等式等号成立的本质理解;注意点要求学生规范表达数形结合解题的步骤。

重点突破：以问题为出发点，观察、分析、展开联想，实践探索，展示学生在讨论、回答过程中的思维活动，体会问题本质。难点突破：复习回顾有关“向量实数化”的特征，如模、数量积、坐标的表示等，通过问题衔接设计，铺垫暗示，一题多解、一题多变、错题辨析、几何画板的应用等达到突破难点目的。

4. 教学方法与教学手段

4.1 充分体现“以学生为主体，教师为主导”的原则

注重问题设计，体现教师的导向功能，展示学生是展开联想的主体;

重视实践探索，体现教师的导律功能，展示学生是揭示规律的主体

应用媒体实验，体现教师的导标功能，展示学生是体验演示的主体

4.2 采取教师指导下的学生实践、探索的模式，把问题作为教学的出发点，指导尝试，总结反思。

4.3 powerpoint、几何画板、多媒体系统

5.课堂设计

5.1 新课引入

(1)用 PPT 在屏幕上显示华罗庚的相片和华罗庚关于“数形结合”的至理名言“数缺形时少直观 形离数时难入微”的话，让学生体验数形结合是数学中非常重要的思想和解决问题的常用策略，以数学家的语言激发同学进一步学好数学的愿望;

(2)向量本身就是一个数形结合的产物，它兼具代数的抽象、严谨和几何的直观特点，引导学生回顾有关“向量实数化”的特征，如模、数量积、坐标的表示等，期望能进一步说出有关的不等式和等式，如模的意义、“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”、“数量积的平方小于或等于模的平方的积”、将“向量加法的多边形法则”转化为 “有关坐标的等式”

(3)提出课题，在学习“向量在平面几何中的应用”基础上，学习“向量在代数中的应用”。

5.2 问题探究

出示问题 1. 设 a、b 为不相等的实数， 要求学生自主探索、相互讨论。

预计：学生思路分下列三种类型：(1)有根号想到两次平方分析;(2)由根号内的现性特征，联想向量的模概念，构造向量，将结论转化为向量表达式，从而揭示“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”本质;(3)由根号内的现性特征，联想两点间距离公式，构造点坐标，将结论转化为平面上三点间距离的不等关系，从而揭示“两线段长度之和(差)大于或等于(小于或等于)第三线段的长”本质。

分析：学生讨论三种方法的异同点，期望说出(1)是处理绝对值和根号的一般代数方法;而(2)(3)都是应用数形转化解决，体现本问题的特殊性，且强调(2)(3)两种方法解题原理相同

总结用向量解决代数问题的步骤：

(1)构造向量,将已知条件或结论转化为向量表达式 (数----形);

(2)进行向量运算或向量性质的应用;

(3)将所得的结果转化为所求的结论(形----数).

老师板书示范后，引导学生讨论，条件不变的前提下，由于构造向量或向量性质应用的差异，会得到不同的结论，期望同学一题多变

注意：“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”等号成立的条件，为下面突破难点作好铺垫。

练一练

求函数的 最小值.

由学生的错误答案 13 ，引导学生寻找错误原因，并通过几何画板演示最小值取得的条件。强调最值的验证，揭示数学问题的实质，突破难点。

引导：当看到

出示问题 2，即课本 P50 例 3，让学生讨论总结“数量积的平方小于或等于模的平方的积”的应用，就证明了柯西不等式，此时预计学生比较活跃，课堂进入高潮

变式

并指出等号成立的充要条件.

预计：许多学生已观察出仍然是“数量积的平方小于或等于模的平方的积”的应用，揭示数学本质本质，体会柯西不等式所反映实数关系的奇妙性，感受一般与特殊关系。

注意：“数量积的平方小于或等于模的平方的积”中等号成立的条件，为下面练习铺垫，。

练一练

预计：学生使用计算器，很快发现值为 0

教师因势利导：你能不用计数器解决吗?观察角构成的等差数列的代数特征，公差为 72 ，项数为 5，如果构造五个单位向量且顺次连接，那么将会得到什么图形?学生动手实验画图、几何画板演示，学生观察、体验。

预计：学生回答正五边形，并很快解释值为 0 的理由，将五个单位向量的起点放在原点处，终点连接，也构成正五边形，原点为其中心，由力学知识所知，五个单位向量的和为零向量。

教师给予表扬，强调同学有很好的直觉思维，因为一个真理的发现很重要，而证明只是一个时间问题。正如大数学家、物理学家牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。” 并鼓励他完成逻辑证明。

教师点拨：既然构造五个单位向量能组成正五边形，那么对于多边形有怎样的向量运算性质呢?

学生：此时五个单位向量的和为零向量的结论有了依据，学生兴奋不已，而且得到了一个“副产品”，这五个角的正弦和也为 0。

由此引导学生自我编题，体验一类三角求值的本质特点，从而进行一般研究。

推广：

5.3 课堂总结，

(1) 深化理解向量概念，熟练掌握向量的运算和性质。掌握平面向量在代数中应用的解题步骤。

(2)善于抽象概括 ，从而做到触类旁通; 研究问题的数学特征(代数意义、几何意义)，善于联想，使数量关系与几何形式有机结合。

(3)通过问题探究，应注重逻辑思维和直觉思维的有机渗透，因为直觉思维是创造性思维活动的一种表现。

5.4 注意

向量是解决数学问题的一个工具，当然如果不用向量，也可以解决有关问题。

但是如果由代数特征，联想向量的概念和运算，巧设向量解题，那么可以简化问题解决，也可以加强数形结合思想的应用。

5.5 作业(为进一步巩固本课所学知识和方法，完成下列作业，因课上时间)

5.6 板书

平面向量的内积应用举例 第3篇

一、解决有关垂直问题

利用向量的垂直可以解决平面几何、立体几何、平面解析几何中的许多垂直问题, 比传统方法简便易操作。解决这类问题的主要依据有两个: (1) 若两非零向量是a圻与b圻, 则 (2) 设两非零向量

例1: (2005年高考全国卷1) 点O是三角形ABC所在平面内的一点, 满足则点O是三角形ABC的 () 。

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

例2: (2006年湖北省高考题) 已知非零向量互相垂直, 则= () 。

D.三条高的交点

例3：过定点A (2, 3)任作两条互相垂直的直线l1与l2，且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于点N，求线段MN的中点P的轨迹方程。

解：设P (x, y)，因为P是MN的中点，由中点坐标公式可求得M (2x, 0), N (0, 2y)。

整理得4x+6y-13=0, 这就是所求的轨迹方程。

点评:该解法利用向量垂直解题, 避开斜率公式, 不必担心斜率存不存在, 简化了计算。

二、三角形的有关问题

例4:△ABC中, 若c2=bccosA+cacosB+abcosC, 试判断此三角形的形状。

点评:当然, 本题用余弦定理也不难推断。本解法中用到向量法的基本思想:形到向量向量的运算向量和数到形。

例5:已知ABC的三个顶点的坐标分别为A (5, 4) 、B (2, 0) 、C (7, 0) , 求sin∠A的值。

点评:求三角形中的边长、内角等通常可以利用向量的模、向量内积及向量夹角公式, 运算简便。

三、证明不等式

利用向量内积证明不等式的主要依据有:

点评:构造向量并利用向量内积的性质证明某些不等式, 方法便捷易行, 不失为一种很好的证题技巧。

四、求函数最大值

由上述例7又可得出以下一类函数求最大值的方法。

五、在圆锥曲线中的应用

例10: (2000年全国高考14题) 已知椭圆的焦点为F1, F2, 点P为椭圆上的动点, 当∠F1PF2为钝角时, 求点P的横坐标的取值范围。

例11: (由2006年广东高考题18题改编) 设函数f (x) =-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值, 在xoy平面上点A、B坐标分别为 (x1, f (x1) ) 、 (x2, f (x2) ) 。该平面上动点满足求 (1) 点A、B的坐标; (2) 动点P的轨迹方程。

解: (1) (略解) 由求导易求得在x=-1处取得极小值0, 在x=1处取得极大值4。

即点A、B的坐标分别为A (-1, 0) , B (1, 4) 。

∴这就是所求点P的轨迹方程, 是以C (0, 2) 圆心, 半径为3的圆。

点评:向量与圆锥曲线结合的题目通常是高考题中的压轴题, 在能力上的要求较高。向量这个工具用得好, 往往会减少很多运算量。

平面向量的坐标应用 第4篇

一、平面向量的坐标运算

例1 已知三点A（1，-2），B（7，0），C（-5，6），用坐标表示向量

解：由，可得

评析：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的。

二、向量平行的坐标表示

侧2 已知A，B，C三点的坐标分别为（-l，

求证：

证明：由题意得

设点E，F的坐标分别为

因为，所以，可得

由，可得。

评析：若向量，满足（或），则a∥b。

三、三点共线问题

__’.________’

例3 已知16），求证：A，B，C三点共线。

证明：（-2，-4）。

由4×（-4）-8×（-2）=0，可知，又它们有公共点B，所以A，B，C三点共线。

例4 在平面直角坐标系xOy中，点A（4，O），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标。

解：设点P的坐标为（x，y）。

由，得4x-4y=O，即x-y=0 ①。

由，且，可得-6×（x-2）-2×（y-6）=0，即3x+y-12=0②。

由①②解得即点P的坐标为（3，3）。

评析：A，B，C三点共线<=>与共线。

四、利用向量的坐标解决平面几何问题

例5 已知点A（2，3），B（5，4），C（7，lO）及

（l）当λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？

（2）若点P在第三象限内，求λ的取值范围。

（3）四边形ABCP能为平行四边形吗？若能，求出相应的λ值；若不能，请说明理由。

解：设点P的坐标为（x，y），则y-3）。

由，得（x-2，y-3）=（3，1）+λ（5，7），所以即可得点P的坐标为（5λ+5，7λ+4）。

（l）当点P在第一、三象限的角平分线上时，5λ+5=7λ+4，解得。

（2）当点P在第三象限时，可得解得λ<-1，即A的取值范围为（一∞，-l）。

（3）。若四边形ABCP为平行四边形，则，即得方程组可知此方程组无解，所以四边形ABCP不能为平行四边形。

平面向量的应用 第5篇

平面向量中三点共线定理的应用与推广 作者：苏庆飞

来源：《数理化学习·高三版》2013年第04期

应该说，平面向量中三点共线定理在高中阶段的应用还是比较广泛的，如果我们能够熟练掌握并能灵活运用这个定理来解题，往往能够起到事半功倍的效果.下面试举几例来说明一下平面向量中三点共线定理的应用.反思：本题解法较多，相对其它解法，运用三点共线定理来解决最为简洁，且思路直观，条理清晰，容易下手.当然，这就要求我们在审题时能够注意观察、联想，再灵活运用所学知识来解题.同样，在本例中，如果点E、F的位置发生改变，但是只要能够知道AE与AB的比例关系和AF与AC的比例关系，我们同样可以求出x，y的值.反思：解法一把问题化归了例3这类题型，化未知为已知，化不熟悉为熟悉，体现了数学中的一种重要思想——化归思想；解法二是通过△ABC面积这个桥梁，沟通R与H之间的关系，从而为建立x与x′之间的关系打下基础.总的来说，这两种解法都是紧紧抓住了“三点共线”这个中心，解法新颖，构思巧妙，不禁能让人感受到数学的内在美.平面向量共线定理的推广：

推广1：确定平面向量基底前的系数范围

推广2：空间向量四点共面定理

平面向量的应用 第6篇

教学目的：

1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；

2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.； 3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程：

一、复习引入：

1.两个向量的数量积： ab |a||b|cos.2.平面两向量数量积的坐标表示: abx1x2y1y2.3.向量平行与垂直的判定: a//bx1y2x2y10.abx1x2y1y20.4.平面内两点间的距离公式：

|AB|5.求模：

(x1x2)2(y1y2)2

aaa

a

二、讲解新课： 例

x2y a(x1x2)2(y1y2)2

1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，AC ABAD,DB ABAD,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

DABC

思考1：

如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？

练习1.已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.（用向量方法证明）

思考2：

运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.例2．如图，□ ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ FD

E RT

A B

三、课堂小结

用向量方法解决平面几何的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.四、课后作业

习题2.5 A组第1题

C 2

2.5.2向量在物理中的应用举例

教学目的：

1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题 的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；

2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会 数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：

一、复习引入： 1.讲解上节作业题.已知A(1,0),直线l:y2x6,点R是直线l上的一点,若RA2AP,求点P的轨迹方程.2.你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与平行四边形法则是什么？

二、讲解新课：

例1.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种形象吗？

探究1.设两人拉力分别为F1，F2，其夹角为，旅行包的重力为G。(1)为何值时，|F1|最小，最小值是多少? 3

(2)| F1|能等于|G|吗?为什么? 探究2: 你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗? 用向量解决物理问题的一般步骤是：

(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.例2.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|＝10 km/h，水流速度|v2|＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？

思考

3、: “行驶最短航程”是什么意思？怎样才能使航程最短？

三、课堂小结

向量解决物理问题的一般步骤:(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.四、课后作业

《平面向量的加法教案》 第7篇

课题名称：平面向量的加法

教材版本：苏教版《中职数学基础模块*下册》 年 级： 高一

撰写教师： 徐艳

一、理解课程要求

教材分析：

(1)地位和作用

《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法﹑减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的三角形法则和运算律.向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课,为后继学习向量的减法运算及其几何意义﹑向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用.因此，本节学习起着承上启下的作用.（2）教学内容及教材处理

教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知.同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情.教学目标：（1）知识目标

① 理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量； ② 掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和； ③ 掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算.（2）能力目标

① 经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程；

② 通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力.(3)情感目标

努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态.二、分析学生背景

(1)认知分析:学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础.(2)能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力.(3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，好在11综计1班学生对数学学习尚有一定兴趣，与教师沟通较好，故此应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流.教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法﹑启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作﹑自主探究以及练习法.三、选择媒体资源

媒体资源1 名 称： 两岸直航视频

媒体格式： avr 媒体资源2 名 称： 《爱的直航》 媒体格式： MP3

四、教学过程

一﹑创设情境

书本P39探究（给学生放映两岸直航视频）

★ 设计理念与意图:通过实际生活事件引入课题,提出数学问题，激发学生的兴趣,引发学生的探究欲望,为探究新知作铺垫.二﹑探求新知

1.向量加法定义：求两个向量和的运算.2.求作两个向量的和向量：

a b B a b abC A(1)在平面内任取一点A;作法： (2)作ABa,BCb;(3)则向量AC=ab.3.例题 书本P40

例2 用三角形法则作共线向量的和向量.设计意图：帮助学生突破难点，即理解三角形法则.4.练习： 书本P41练习1,2 设计意图：让学生分组练习，进一步加深对三角形法则的理解，巩固所学知识.5.加法运算律

(1)交换律：ab=b+a

(2)结合律：(ab）+c=a(bc)

练习:书本P41页练习3 设计意图：让学生运用加法交换律和结合律进行向量运算.思考：

如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n个向量的和是什么？

C例

A

三、课堂小结（学生归纳总结）

ABBCCA0B

1、向量加法的三角形法则：首尾相接，首尾连.2、向量运算律：交换律和结合律.给学生放映歌曲《爱的直航》

四、课后作业 练习册相应练习设计意图：帮助学生及时巩固所学知识.五、教学反思

平面向量几何意义的应用 第8篇

【例1】 已知非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$满足$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\cdot \overrightarrow{BC}=0$且$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})=\frac{1}{2}$, 则△ABC为 ( ) .

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形

分析:本题可先由条件的几何意义得出AB=AC, 再求得$A=\frac{\text{π}}{3}$, 即可得出答案.

解:因为非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$满足$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})\cdot \overrightarrow{BC}=0$,

所以∠BAC的平分线垂直于BC, 所以AB=AC.

又因为$\cos \angle BAC=(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})=\frac{1}{2}$,

所以$\angle BAC=\frac{\text{π}}{3}.$

所以△ABC为等边三角形, 故选D.

【例2】 平面上的两个向量$\overrightarrow{{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}B}$满足$|\overrightarrow{{\rm O}A}|=a‚|\overrightarrow{{\rm O}B}|=b$, 且$\overrightarrow{{\rm O}A}\perp \overrightarrow{{\rm O}B}‚a{}^2+b{}^2=4$, 向量$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}=x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B}(x,y\in \mathbf{R})$且$a{}^2(x-\frac{1}{2}){}^2+b{}^2(y-\frac{1}{2}){}^2=1.$

(1) 如果点M为线段AB的中点, 求证:$\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}=(x-\frac{1}{2})\overrightarrow{{\rm O}A}+(y-\frac{1}{2})\overrightarrow{{\rm O}B}$;

(2) 求$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}$的最大值, 并求此时四边形OAPB面积的最大值.

分析:对第 (1) 问, 可先求$\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}$, 在由条件即可得出结论.对第 (2) 问, 先设点M为AB的中点, 进而利用 (1) 的结论并由条件确定P, O, A, B四点共圆, 结论即可得到.

解: (1) 因为点M是AB的中点,

所以$\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\rm O}A}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{\rm O}B}.$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}=\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}\\ =(x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B})-(\frac{1}{2}\overrightarrow{{\rm O}A}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{\rm O}B})\\ =(x-\frac{1}{2})\overrightarrow{{\rm O}A}+(y-\frac{1}{2})\overrightarrow{{\rm O}B}.\end{array}$

(2) 设点M是AB的中点,

则由$\overrightarrow{{\rm O}A}\perp \overrightarrow{{\rm O}B}$知

$|\overrightarrow{{\rm M}A}|=|\overrightarrow{{\rm M}B}|=|\overrightarrow{{\rm M}{\rm O}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=1.$

又由 (1) 及$a{}^2(x-\frac{1}{2}){}^2+b{}^2(y-\frac{1}{2}){}^2=1$得

$\begin{array}{l}|\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}|{}^2=|\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}|{}^2\\ =(x-\frac{1}{2}){}^2|\overrightarrow{{\rm O}A}|{}^2+(y-\frac{1}{2}){}^2|\overrightarrow{{\rm O}B}|{}^2\\ =a{}^2(x-\frac{1}{2}){}^2+b{}^2(y-\frac{1}{2}){}^2\\ =1.\\ |\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}|=|\overrightarrow{{\rm M}A}|=|\overrightarrow{{\rm M}B}|=|\overrightarrow{{\rm M}{\rm O}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=1.\end{array}$

故P, O, A, B四点都在以M为圆心, 1为半径的圆上,

所以当且仅当OP为圆M的直径时, $|\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}|{}_{\max }=2.$

此时四边形OAPB为矩形,

则$S{}_{\text{四}\text{边}\text{形}{\rm O}A{\rm P}B}=|\overrightarrow{{\rm O}A}||\overrightarrow{{\rm O}B}|=ab\le \frac{a{}^2+b{}^2}{2}=2,$

例谈平面法向量的应用 第9篇

【关键词】空间直角坐标系 平面法向量 距离 夹角

几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究几何是几何代数化的需要。大家知道，使用“形到形”的综合推理方法学习立体几何，对多数学生都是比较困难的，通过使用向量方法学习立体几何，可使学生较牢固地掌握向量代数工具，从而丰富学生的思维结构和运用数学的能力。这样做不仅不会增加学生的负担，相反，由于学生掌握了一套有力的工具反而会降低学习的难度，减轻学生的负担。因此在高中引进向量的代数方法是比较自然的，也是必要的。下面是我在教学中一些体验，就是平面法向量在解决空间点、线、面的夹角和距离的应用。

一、在空间中求点到平面的距离

例：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离。 z

分析：求点到平面的距离常见的有三种方法：一是 D1 C1

作出垂线段；二是用等积法；三是用向量的方法： F

设AP是平面α的一条斜线段，n是平面α的一 A1 B1 E

个法向量，则AP在n上射影的长就是点A到平 D C y

面α的距离（P为斜足），本题用向量法可谓直接

了当。 A G B

解： 如图（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系 x （1）

D-xyz 。由正方体棱长为2知A（2，0，0）G（2，1，1）E（0，2，1）

F（1，0，2）则

设n=（x，y，z）是平面EFG的一个法向量，则

，

1.求异面直线的距离

例：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2若M、N分别为DC，BB1中点，求异面直线MN与A1B间的距离。

分析：将MN与A1B的距离转化为

的公共法向量上的射影长，勿须找公垂线段，

方法令人耳目一新。 （2）

解：如图（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz

因为M，N为CD，BB1中点

所以M（3，2，0），N（0，4，1）

2.求线面夹角问题

例：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB= ，AA1=1，AD= ，E、F分别是AB，C1D1的中点，求直线A1B1与平面A1EF所成的角。

分析：本题可转化为求向量 与面A1EF的

法向量所成的角再求其余角，而不必找线

面夹角的位置，可省去多条辅助线，

方法浅显易懂。

解：如图（3）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-XYZ

1.求二面角

例：正三棱锥ABC-A1B1C1中，底面边长为a，在BB1上截取BD=a，在CC1上截取CE=a，求截面ADE和底面ABC所成角的大小。

分析：本题可转化为求平面ADE与平

面ABC两法向量的夹角（同时应判别该二面角

是钝角或锐角，若夹角为0或 时，

平面ADE//平面ABC ），方法避免了寻找二

面角的平面角的繁杂过程，可谓简洁方便。

（4）

解：如图（4）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz，

以上是笔者对平面法向量在立体几何中的几点应用的看法，当然平面法向量的功能是强大的，在解决许多具体问题中发挥的很大的作用，希望读者能提出更多好建议。勿庸置疑，向量法解立体几何问题，并不是完美无缺，有时会发现它是一个较啰嗦的东西，对学生的空间想象能力是有碍的。因此我们在教学过程中对解题方法应权衡利弊，舍远求近，去繁求简，开阔学生的解题思路，增强学生解决实际问题的能力。

【参考文献】：

[1]中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社 2003

[2]施良方等.课堂教学的原理 策略与研究.华东师范大学出版社 1999

[3]李建明.从新旧教材例（习）题的变化感悟课程理念 《中学数学教与学》2008.5

平面向量的概念教案(中职) 第10篇

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：

通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．

【教学重点】

向量的线性运算．

【教学难点】

已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．

【教学设计】

从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．

向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作a，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为a的倍．由此得到a∥bab．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“0 ”等条件.【教学过程】

【新知识】

在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．

平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．

图7－2

aA B

向量的大小叫做向量的模．向量a, AB的模依次记作a，AB．

模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的． 模为1的向量叫做单位向量． 巩固知识 典型例题

例1 若平行四边形OABC的三个顶点O（0,0），A（2，-2），C（5,2），则B点坐标为

作 业

1.已知点A(1,0),B(02),C(1,2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标。2.如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，D C E A （1）找出图中与AB共线的向量； （2）找出图中与AB相等的向量； （3）找出图中与｜AB｜相等的向量；

B （4）找出图中与EC相等的向量.3.如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：

A

B

E

O

D 分别写出与AO,BO相等的向量；

F

平面向量的坐标运算教案 第11篇

教学目标：

1.知识与技能：

理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。2.过程与方法：

在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。3.情感、态度与价值观：

通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。教学重点：

平面向量的坐标表示及坐标运算。教学难点：

平面向量坐标表示的意义。教学方法：

结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。教学手段：

投影仪、多媒体软件 教学过程 1.情境创设

教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？

学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解

设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做

好铺垫。

2.展开探究

问题一：平面向量的基本定理内容是什么？ 教师请一学生回答，同时投影出示其内容。问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加

合理呢？

组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并 提出问题 问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？

设计目的：此问题引发学生联想，对平面向量坐标表示方法具有指导性作用。教师讲授：在直角坐标系内，我们分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj ,我们把 叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标，(x,y)式叫做向量的坐标表示。

3.深化理解

一.平面向量坐标表示的的理解 提出问题：

(1)、如果以原点O作为起点作一向量OA=a（投影动画同步演示），那么点A的位置是否可以唯一确定呢？

(2)、点A的坐标与向量OA的坐标之间有什么关系？(3)、两个向量相等的充要条件利用坐标如何进行表示呢？

(4)、如果我们将一个平面向量在直角坐标系中作任意平移（不该表大小和方向），那么它的坐标会改变吗？

组织学生以小组为单位展开探究交流活动，在讨论后回答上述问题，可师生共同完善答案，归纳如下:

(1)、点A的位置受向量OA决定，唯一确定。

(2)、以原点O为起点的向量OA的坐标和终点A的坐标事完全相同的。(3)、两个平面向量相等的充要条件是两个向量的坐标相同。

(4)、在直角坐标系中平面向量在大小和方向不变的前提下自由移动，它们的坐标就是相同的。

设计目的：让学生在合作探究中去主动学习，不仅锻炼了解决问题的能力，还培养了探究协作的能力。

出示练习：用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标（图略）。教师让学生独立完成，之后借助投影让 个别学生展示完成情况，教师点评。设计目的：增进了所学新知的内化。

二、平面向量的坐标运算

提出问题：通过以上研究，我们了解了平面向量的坐标表示，向量是可以进行运

算的，如何运用所学的知识进行两个向量的和与差的坐标表示及实数 与向量积的坐标表示呢？

投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐标

学生展开讨论，可能给出多种推导方法，教师要耐心给与点评，并做最后归纳。（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法。

（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。

（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标 教师提问：设AB是表示向量a的有向线段，点A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐标如何表示？

学生结合向量坐标运算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教师强调

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。设计目的 ：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。

4.例题剖析

例

1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。

变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标，使这四点成为平行四边形的四个顶点。

教师给学生充足时间独立思考，适当时可提示作图理解，而变式对学生来说

难度增大，要鼓励学生大胆尝试，独立求解，并提示要考虑图形的多种画法。设计目的：通过例题和变式综合考查学生对本节所学知识的理解和掌握程度，也促进学生应用知识解决问题的能力。

5.课堂小结

请学生对本节课内容作归纳，不足之处师生补充完善，最后教师作总结式说明。1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量的基本定理。

2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便。

3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了数形结合思想方法的应用。

前面我们还学习了这留待我们下一 节再来研究。

6.布置作业（1）.课后习题

（2）如何运用向量坐标来表示和判定共线向量呢？让学生预习下节内容。

7.板书设计

平面向量的坐标运算

1.平面向量的坐标

例1

变式 定义

解：

解：（1）

（2）

（3）

高中数学《平面向量》的教案 第12篇

通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

过程：

一、复习：

1.实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)

2.三个运算定律(结合律，第一分配律，第二分配律)

3.向量共线的充要条件

4.平面向量的基本定理(定理的本身及其实质)

二、例题

1.当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ

证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立

当λ为正整数时，令λ=n,则有：

n(+)=(+)+(+)++(+)

=++++++++=n+n

即λ为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令λ=n(n为正整数)，有：

n(+)=n[(+)]=n[+()]=n()+n()=n+(n)=nn

分配律仍成立

综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。

2.1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态(如图)，已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力?

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90

1(kg)P1OP=60P2OP=30

∴cos60=1=0.5(kg)

cos30=1=0.87(kg)