离散数学归纳例题

离散数学归纳例题（精选5篇）

离散数学归纳例题 第1篇

集合

一、知识点：

1、元素：

（1）集合中的对象称为元素，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA;（2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性;（3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法；（4）常用数集：N;N*;N;Z;Q;R

2、集合的关系：

子集

相等

3、全集

交集

并集

补集

4、集合的性质：

（1）AAA,A,ABBA;

(2)AA,ABBA;

(3)(AB)(AB);

(4)ABABAABB;

(5)CS(AB)(CSA)(CSB),CS(AB)(CSA)(CSB);

二、典型例题

例1.已知集合A{a2,(a1),a3a3}，若1A，求a。

22例2.已知集合M＝xR|ax22x10中只含有一个元素，求a的值。



例3.已知集合A{x|xx60},B{x|ax10},且B

2例4.已知方程xbxc0有两个不相等的实根x1，x2.设C＝{x1，x2}，A＝{1，3，2A，求a的值。

5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，若AC,CBC，试求b，c的值。

例5.设集合A{x|2x5},B{x|m1x2m1}，（1）若AB，求m的范围；（2）若ABA，求m的范围。

例6.已知A＝{0，1}，B＝{x|xA}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。

三、练习题

1.设集合M＝{x|x17},a42,则（）A.aM B.aM

C.a ＝ M

D.a > M 2.有下列命题：①{}是空集 ② 若aN,bN，则ab2③ 集合{x|x2x10}有两个元素 ④ 集合2B{x|100N,xZ}x为无限集，其中正确命题的个数是（）

A.0 B.1 C.2

D.3 3.下列集合中，表示同一集合的是（）A.M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B.M＝{3，2}，N＝{（2，3）} C.M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D.M＝{1，2}，N＝{2，1}

22M{2,3,a1},N{aa4,2a1}，若MN{2}，则a的取值集4.设集合合是（）

1{3,2,}A.A.a2

1{3,}2

B.{－3} C.D.{－3，2} 5.设集合A ＝ {x| 1 < x < 2}，B ＝ {x| x < a}，且AB，则实数a的范围是（）

B.a2

C.a1

D.a1

6.设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，B＝

A.AB B.BA

C.A＝B D.AB 7.已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N＝（）

A.Φ

B.M

C.N

D.R 8.已知A ＝ {－2，－1，0，1}，B ＝ {x|x＝|y|，y∈A}，则集合B＝_________________ 9.若A{x|x3x20},B{x|xaxa10},且BA，则a的值为_____ 10.若{1，2，3}A{1，2，3，4，5}，则A＝____________ 11.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值 12.已知集合A{x|x4xp0},B{x|xx20}且AB,求实数p的范围。

13.已知A{x|xaxa190},B{x|x5x60}，且A，B满足下列三个条件：① AB

② ABB

③ Φ2222222{(x,y)|y1}x，则集合A，B的关系是（）

AB，求实数a的值。

四、练习题答案

1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.B 7.C

8.{0，1，2} 9.2，或3 10.{1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}

a2a2aaba0a0b2b2abbb0b111.解：依题意，得：或，解得：，或，或1412

aa0b

结合集合元素的互异性，得b1或12.解：B＝{x|x<－1，或x>2}

1412。

① 若A ＝ Φ，即 164p0，满足AB，此时p4

② 若A，要使AB，须使大根24p1或小根24p2（舍），解得：3p4

所以 p3

13.解：由已知条件求得B＝{2，3}，由ABB，知AB。而由 ①知AB，所以A

又因为Φ

B。

222AB，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3}。

当A＝{2}时，将x＝2代入xaxa190，得42aa190a3或5

经检验，当a＝ －3时，A＝{2，－ 5};当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。

22当A ＝ {3}时，将x＝3代入xaxa190，得

经检验，当a＝ －2时，A＝{3，－ 5};当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。

综上所述，不存在实数a使集合A，B满足已知条件。93aa2190a2或5

离散数学归纳例题 第2篇

典型例题一

例

已知线段a、b，画一条线段，使其等于a2b． 分析

所要画的线段等于a2b，实质上就是abb．

画法：1．画线段ABa．2．在AB的延长线上截取BC2b．线段AC就是所画的线段．

说明

1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．

2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．

典型例题二

例

如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．

错解

如图（1），（1）作射线AM；（2）在射线AM上截取AB=BC=a，CD=b，则线段AD即为所求． 错解分析

主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．

图（1）

图（2）

正解

如图（2），（1）作射线AM；（2）在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；（3）在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段．

典型例题三

例

求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．

图（1）

图（2）错解

如图（2），（1）作射线O1M1；（2）在图（1），以O为圆心作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以O1为圆心作弧，交O1M1于C；（4）以C为圆心作弧，交于点D；（5）作射线O1D．

则∠CO1D即为所求的角．

错解分析

作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧．

正解

如图（2），（1）作射线O1M1；（2）在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以O1为圆心，OA的长为半径作弧，交O1M1于点C；

（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线O1D． 则∠CO1D就是所要求作的角．

典型例题四

例

如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．

分析

先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B=∠C=∠α，底边BC=a，故可以先作∠B=∠α，或先作底边BC=a．

作法

如下图

（1）∠MBN=∠α；（2）在射线BM上截取BC=a；（3）以C为顶点作∠PCB=∠α，射线CP交BN于点A．△ABC就是所要求作的等腰三角形．

说明

画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．

典型例题五

例

如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）． 分析

根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．

作法

如图（2）．

图（1）

图（2）（1）过点C作直线EF，交AB于点F；

（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．

说明

作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．

典型例题六

例

如下图，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=36，∠C=44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．

分析

本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS、ASA．

解

与△ABC全等的三角形如下图所示．

典型例题七

例

正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．

（2003年，桂林）

分析

这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．

作法

如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．

典型例题八

例

已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC． 错解

如图（1）

作法

（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；（2）分别以D、E为圆心，以大于

1DE的长为半径作弧，两弧相交于C点； 2（3）连结OC，则OC就是∠AOB的平分线． 错解分析

对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC，则OC是一条线段，而角平分线应是一条射线．

图（1）

图（2）

正解

如图（2）

（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；（2）分别以D、E为圆心，以大于

1DE的长为半径作弧，两弧交于C点； 2（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线．

典型例题九

例

如图（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）． 求作△ABC，使BC=a，AB=b，BC边上的高AD=h．

图（1）

错解

如图（2），（1）作线段BC=a；

（2）作线段BA=b，使AD⊥BC且AD=h． 则△ABC就是所求作的三角形．

错解分析

①不能先作BC；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD，再作AB，最后确定BC．

图（2）

图（3）

正解

如图（3）．

（1）作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ；（2）在DM上截取线段DA=h；

（3）以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于B；

（4）以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于C1和C2；（5）连结AC1、AC2，则△ABC1（或△ABC2）都是所求作的三角形．

典型例题十

例

如下图，已知线段a，b，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．

分析

本题解答的关键在于作出∠ACB=90°，然后确定A、B两点的位置，作出△ABC．

作法

如下图

（1）作直线MN：

（2）在MN上任取一点C，过点C作CE⊥MN；（3）在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；（4）连结AB，△ABC就是所求作的直角三角形．

说明

利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．

典型例题十一

例 如下图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．

求作：（1）BC边上的高；（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）． 分析

（1）作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线；

（2）作BC边上的中线，要先确定出BC边的中点，即作出BC边的垂直平分线． 作法

如下图

（1）①在直线CB外取一点P，使A、P在直线CB的两旁； ②以点A为圆心，AP为半径画弧，交直线CB于G、H两点； ③分别以G、H为圆心，以大于

1GH的长为半径画弧，两弧交于E点； 21BC的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点； 2④作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的△ABC中BC边上的高．（2）①分别以B、C为圆心，以大于②作直线MN，交BC于点F；

③连结AF，则线段AF就是所要求作的△ABC中边BC上的中线．

说明

在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．

典型例题十二

例

如图（1）所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OC．

图（1）

图（2）

分析

由题意知，点C不仅要在∠MON的平分线上，且点C到O、A两点的距离要相等，所以点C应是∠MON的平分线与线段OA的垂直平分线的交点．

作法

如图（2）所示（1）作∠MON的平分线OP；

（2）作线段OA的垂直平分线EF，交OP于点C，则点C就是所要求作的点．

说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．

（2）两条直线交于一点．

典型例题十三

例

如下图，已知线段a、b、∠α、∠β．

求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，AD∥BC，∠B=∠α；∠C=∠β．

分析

假定梯形已经作出，作AE∥DC交BC于E，则AE将梯形分割为两部分，一部分是△ABE，另一部分是AECD．在△ABE中，已知∠B=∠α，∠AEB=∠β，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD．

作法

如下图．

（1）作线段BC=b；

（2）在BC上截取BE=b-a ；

（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA交于A；（4）以EA、EC为邻边作AECD． 四边形ABCD就是所求作的梯形．

说明

基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．

典型例题十四

例

如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．

（2002年，青岛）

分析

依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm，就可以确定出蓝方指挥部的位置．

解

如下图，图中C点就是蓝方指挥部的位置．

典型例题十五

例

如图（1），已知有公共端点的线段AB、BC．求作⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2002年，大连）

图（1）

图（2）

分析

因为A、B、C三点在⊙O上，所以OA=OB=OC=R．根据到线段AB、BC各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB、BC垂直平分线即可．

解

如图（2）

说明

角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．

典型例题十六

例

如图，是一块直角三角形余料，C90．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．

分析

要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可．

作法

如图．

① 作ACB的角平分线CD，交AB于点G；

离散数学归纳例题 第3篇

题目:已知定点A (-4, 0) 及椭圆C:x2+3y2=6, 直线MN经过椭圆C的右焦点, 当M、N在椭圆C上运动时, 试判断是否存在最大值;若存在.求出最大值, 若不存在, 请说明理由.

1.引导学生在探究中感悟数学思想

数学例题教学要应以学生为主体, 组织典型例题, 留足开展自主探究、合作探究的时间, 选择学生典型的探究结果, 以暴露和再现问题解决的活动过程和思维过程, 引导学生让在探究活动中积累数学经验, 感悟数学思想.

授课教师的第一个教学片断:通过“呈现例题、自主探究、案例分享”的操作流程, 引导学生在探究活动中积累经验, 进行思维上的碰撞和行动上的调整, 让学生在探究活动中较好地感悟数学思想.

首先, 通过PPT呈现例题.其次, 学生自己对例题进行分析, 并进行探究, 老师在教室内巡视学生探究情况.巡视中, 老师收集了四位学生问题解决情况并呈现在媒体上, 并有意识地安排了问题解决情况的先后顺序, 由浅入深, 引导学生在行动体验中感悟数学思想.

授课教师通过呈现四位学生的探究情况, 讲授较少, 层层递进, 再现和暴露学生的思维活动过程, 引导学生感悟了以下数学思想.

(1) 数形结合的思想.在探究过程中, 通过 “ 以形助数, 以数辅形”将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 变抽象思维为形象思维, 使得复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 优化了问题探究.

(2) 方程与函数的思想. 探索过程中, 为了分析的运动变化变化规律, 四位同学用不同方法探究了具体问题中的数量关系, 并用方程的形式或函数的形式表示出这种数量关系, 只是不同学生的达成情况不一样.

(3) 分类与整合的思想.生1、生2、生3观察到, 动直线MN的斜率不存在时, 不能将问题进行统一研究, 所以他们以斜率是否存在为标准实施分类, 然后对每一类问题分别探究, 期望最后综合各类结果求解, 生4充分理解直线方程的本质, 将动直线的方程用x=ky+b表示, 则回避了分类划分, 可谓更高一筹.

(4) 局部与整体的思想.生1、生2由局部到整体, 设想将两个量和tan∠MAN分别求出, 达到问题转化, 但因数量关系过于复杂故无功而返;生3、生4从整体出发, 有效地将数量关系简化为△AMN的面积, 思维层面明显优于生1、生2.四位学生的探究过程和情况在引导全班同学感悟数学思想方面具有较好示范作用.但生3在求△AMN的面积时, 又重复了生1、生2由局部到整体的设想, 致使运算量较大无法实现问题转化, 生4充分利用△AMN结构特征, 将之分割为求两个△AMF和△ANF, 再次让全班同学感悟到数学思想在问题解决中的作用.

2.引导学生在反思中感悟数学思想

荷兰哲学家B.斯宾诺莎认为:反思是“认识真理的比较高级的形式”.德国哲学家G.W.F.黑格尔认为:反思“是作为一种从把握外在本质到把握内在本质的过程”.可见, 反思是不同于直接认识的间接认识. 我们经常听到学生埋怨:“老师讲了好多题, 而且是讲了多遍, 我听明白了, 可是我的解题能力就是得不到提高! ”是何原因? 观察教师的教学不难发现, 很多时候是例题继例题, 没有更多地引导不同层次学生从素材背景、数学关系式、数学图形、活动体验、活动过程等方面展开回顾、分析, 对数学思想的认识没有达到较高的认知, 学习也就仍停留在例题表层和感性认识, 没有“离开感觉形成内部经验的心灵活动” (J.洛克) , 因此对数学思想的深层次感悟就不够理想和到位, 出现这样的情况就不稀奇了.

授课教师的第二个教学片断:在展现了4位学生的探究成果后, 他安排了生4开展了反思.生4向同学回顾并交流了她在解题探究过程中为什么选择了从整体的思想突破, 如何回避了对斜率存在与否的分类, 如何选择了切割的方法求△AMN的面积, 以及在探究过程中是如何调整思路和用数学思想解决问题, 给了其他同学以有益的启发、感悟.但若再安排生1、生2、生3乃至于更多同学交流反思自己在探究解题过程中的想法, 谈一谈在探究过程中是如何经历观察、思考、比较, 以及解题过程中的困惑, 教师再依据不同层次学生的反思情况, 开展总结、点评、指导, 则效果更好.

3.引导学生在变式中感悟数学思想

数学例题教学应通过 “变更问题情境”“同一问题多种解法”“同一思想解决多种问题”等形式对例题进行引申和变化, 引导学生深刻感悟数学思想, 达到“突出其中的不变因素”和学以致用之目的.

授课教师的第三个教学片断:完成反思教学后, 通过变更问题情境和角度给了一道变式题.

变式题:已知椭圆C:及, 过点B且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于另一点M, 交x轴于点P, 点M关于x轴的对称点为N, 直线BN交x轴于点Q.求|OP|+|OQ|的最小值.

与例题相比较, 变式题仍蕴涵有数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想, 但变式题变更了考查视角, 彰显了局部到整体的思想, 学生需分别解决|OP|、|OQ|后, 整合整体以达到解决问题, 通过变式引导学生对局部与整体的思想有更深的感悟.

4.结语

数学教师应当在探索、反思、变式中引导学生感悟数学思想, 并用数学思想解决问题, 这样数学例题教学的现状才能大为改观.

参考文献

[1]普通高中数学课程标准.中华人民共和国教育部制订, 2013.4.

离散数学归纳例题 第4篇

关键词 离散数学；关系；笛卡尔积

中图分类号：G642.4 文献标识码：B 文章编号：1671—489X（2012）30—0094—02

离散数学是信息学科尤其是计算机学科的一门重要的专业基础课程，它的主要研究对象是离散结构及其应用，为计算机理论和应用提供必不可少的数学基础及思维方法。其理论和方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中，同时也为计算机应用提供必要的数学工具。

然而，该学科的知识点分散、概念抽象，给学生学习和理解带来很大困难。如何学好这门课，对计算机学科的学生来说显得特别重要；如何教好离散数学，从而提高教学质量，是有关教师应该努力探讨和研究的。

本文主要探讨离散数学中关系的教学方法，期望对类似的问题能有参考意义。

1 关系的重要性

关系是离散数学中用来刻画事物之间联系的一个重要的概念，在计算机科学与技术领域中有着广泛的应用。关系数据库模型就是以关系及其运算作为理论基础的[1]。图论中的一个图，实际上也就是相关对象集合上的一个关系。正确理解关系的概念以及關系模型，对于利用关系模型来进行数学建模尤其重要。

2 关系的定义及集合表示

定义1：（二元关系）假设A和B是两个集合，A与B的笛卡尔积A×B的一个子集合，叫做一个A到B的二元关系[2]。

定义2：（多元关系）假设A1，A2，…An是n个集合，它们的笛卡尔积A1×A2×…×An的一个子集合，叫做一个A1，A2，…An间的一个n元关系[3]。

以上的两个定义分别是二元关系和多元关系的定义，但无论是哪个定义，都似乎跟实际中的关系有很大距离，学生很难想象如何将实际中的关系跟这些个抽象的定义联系起来，他们必然要问：为什么要这样定义关系？

现实中的关系一般指事物之间或者对象之间的某种或者某些联系，这些对象之间的关系，也同样可以说是集合的元素之间的关系，以下是一些实际关系的例子。

【例1】四支球队a、b、c及d队，他们之间进行了一些比赛，以下一张表格记录了他们之间的比赛结果——胜负关系：a胜b、b胜c、c胜a、d胜a、d胜b、d又胜了c。为了简单起见，用（a，b）来表示a胜b，于是可以将所有胜负重新记录表示成{（a，b），（b，c），（c，a），（d，a），（d，b），（d，c），（d，b）}。这就是一张胜负表，该表清楚地表现了这四个队a、b、c、d之间的胜负关系，它就是这四个队之间的一个关系——比赛胜负关系。

当用集合S表示4个队时，S={a，b，c，d}，那么胜负关系表{（a，b），（b，c），（c，a），（d，a），（d，b），（d，c），（d，b）}就是S与S的笛卡尔积S×S的一个子集。也就是说用这个子集合表示了这四个队之间的某轮比赛的胜负关系。

【例2】一个电话号码簿，它里面记录了很多单位或个人的一些电话号码。不难理解，一个号码本就是一个集合。这个号码本也就是这个集合表示了人和单位跟一些电话号码之间的一种关系，它是一个实实在在的关系。如果用A表示所有有关的单位和人的集合，用B表示所有相关的电话号码的集合，简单地用（a，b）表示a的电话号码是b，其中a∈A，b∈B分别表示A中的一个元素（单位或者人）和B中的一个号码。那么所有这些有关的序对（a，b）就构成电话号码本，就构成这个号码集合。可以看出这个集合正好是A与B的笛卡尔积A×B的一个子集。当有人或有单位的号码发生变化，这个号码本也相应地发生变化，变成另外一个号码本，也就是另外一个集合，另外一个子集合，但仍然是A×B的一个子集。

【例3】（学生、课程、成绩之间的关系）假设用集合A表示某大学计算机学院的所有学生，B集合表示计算机学院的所有课程，C集合表示不大于100的非负整数的集合，那么学生张三的离散数学考试成绩是95分，就可以表示成（张三，离散数学，95）。将计算机学院所有学生所有课程的这样的记录放在一起，就是一张成绩表，也就是教务管理中的成绩库。那么这个成绩库就是一个集合，这个集合表示的是计算机学院学生，课程和成绩三者之间的一个关系。而这个集合恰好是集合A、B、C的笛卡尔积A×B×C的一个子集。

以上三个例子都说明了同一个问题：无论是一个集合内部元素之间的关系，还是不同集合的元素之间的关系，还是多个集合元素之间的关系，都可以表示成相关集合的笛卡尔积的子集。把笛卡尔积的子集当成一个数学模型，那就可以用这个数学模型来表示关系，包括二元关系和多元关系[4]。

3 抽象关系的具体解释

设集合A={a，b，c，d}，S={（a，b），（c，d）}，显然，那么根据定义1，S是A集合到A集合自身的一个二元关系。这个关系看似是抽象的，但当给a、b、c、d赋予具体的含义，分别表示成张三、李四、王五和赵六4个人，而（x，y）表示为x与y是朋友，那么二元关系S就表示成4个人之间具有的一个朋友关系。其中，张三跟李四是朋友，王五跟赵六也是朋友，但其他人之间都不是朋友。即便是空集，即空关系，在这里可以理解为集合A的人之间没有人有朋友关系。

当然根据不同的情况，也可以给出另外的含义和解释。比如说a=5、b=10、c=3、d=9，那么上面的关系S可以解释为集合A={5，10，3，9}中元素间的整除关系。

这个例子说明，一些集合的笛卡尔积的任何一个子集，也即任一个关系，都可以在某些场合中解释对应为实际的关系。

4 结论

综合上面所述，任何一个现实中的具体的关系，都可以用一个笛卡尔积的子集这个数学模型表示出来；任一个抽象的关系，在给集合的元素赋予具体的含义后，都可以对应地解释为一个实际问题中的具体关系。这样就建立起来笛卡尔积子集跟关系之间的联系，学生再来理解关系的概念也就不再有难度了。通过这样讲解后，也能给学生如何利用数学模型、数学工具表示实际问题的体会。

5 教学中的几点建议

1）离散数学概念繁多，而且抽象。教学时，最好多讲一些相关的应用背景知识，提高学生的学习兴趣和积极性。然后多举一些实际的例子，讲解从具体实例抽象到数学模型、数学概念的演绎过程，对学生学习理解抽象的数学概念，提高抽象思维能力是很有帮助的，同时对于学生以后学习数学建模也是很有用的。

2）鼓励学生自己举例，能够加深对知识的理解，同时提高学生应用知识的能力。

参考文献

[1]屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].2版.北京：清华大学出版社，2009.

[2]Rosen K H. Discrete mathematics and Its Applications[M].4版.北京：机械工业出版社，2007.

[3]洪凡.离散数学基础[M].3版.武汉：华中科技大学出版社，2008.

离散数学归纳例题 第5篇

国家公务员考试申论归纳概括题常考题型之典型例题解析1

例一:政府诚信

给定资料

资料1

党的十六届三中全会提出，“建立全社会信用体系”。在社会信用体系建设中，转变政府职能、搞好诚信制度建设是核心。政府诚信其本质就是为经济发展“铺路搭桥”，为经济发展创造良好的信用环境。政府诚信是整个信用体制建设的基础和保证，是创新信用环境的主体，是整个社会信用体系的基石。一 个地区的信用状况，尤其是政府信誉度高低，对发展影响极大，政府是诚信的，能促进发展。与此同时，建设诚信政府，就是坚持改革开放。进一步改革开放，最关键的是要创造一个良好的投资环境，包括政 策环境、基础设施环境、服务环境，其中最主要的是信用环境。从建设诚信政府的角度，推进政府职能转 变，建立良好的服务环境、信用环境，才能真正有效地扩大开放。

资料2

我国有的政府部门存在项目审批不严，监管不力的问题。行政审批随意性强，监督制约不力，是滋 生腐败的重要条件和土壤。近年来查处的政府工作人员腐败案件，许多都与滥用行政审批权有关。

目前，我国电信监管组织体系健全程度与实际需要相距甚远，且缺乏权威性，全国31个省(区、市)的管制机构虽已正式组建，但人数偏少。据有关材料表明，目前我国电信监管人员才有500人，尚不足 美国、巴西管制机构的1/3，许多实际问题得不到及时有效解决??’市级以下有的电信部门没有建立行业 监督机构，即使有机构也无健全的职能或不能有效地发挥职能作用等，而且现有人员的监管执法经验也 显不足，很难实施有效的管理。我国涉及食品安全监管职责的有工商、质监、卫生、农业、药监、商务等近10个部门，但由于各部门职能交叉重叠，缺乏协调和联动，严重削弱了监管的整体效果。在这些部门后 面，有食品标准、产品质量、食品卫生、消费者权益保护、农药管理、动物防疫等20部以上的专业性法律 法规，然而法与法之间相互协调性差，配套性差，成了真正的“部门法”。有收费的项目，大家争着去做，安全问题出事了，谁都可以推卸责任。

资料3

三鹿奶粉受污染事件引起国务院和社会各界的广泛关注，事件发生后，国家质检总局紧急在全国开 展了奶粉三聚氰胺专项检查。2008年9月17日，河北省委常委、副省长杨崇勇承认，河北省政府和石 家庄市政府对“三鹿问题奶粉”事件皆负有责任。其中，石家庄市政府对此事件负有重大责任。他同时 还披露，一些不法分子早在2005年就开始向牛奶中掺入三聚氰胺。

9月17日当天，国务院新闻办召开新闻发布会，国家质检总局局长李长江公布了婴幼儿奶粉抽检 结果，卫生部部长陈竺介绍了患儿的医疗救治情况。杨崇勇也参加了这次发布会。他在会后接受了《财 经》记者采访。“(这起事件中)石家庄政府是有重大责任的。”据杨崇勇透露，石家庄市政府在2008年8 月2日已经得到三鹿集团有关“问题奶粉”的报告，但在长达一个多月的时间里，没有将有关情况上报。而按照国家重大食品安全事故的应急预案，石家庄市政府是应该在两小时内向河北省政府报告的。同 时，_____________________________________________________________________

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石家庄市药监部门和质检部门也未按照国家规定，在两小时内向河北省药监局和质检局报告。而相 关农业部门未对奶站的进行有效监管，也同样负有责任。

鉴于此，9月16日晚，石家庄人大常委会按照法律程序，免去石家庄市分管农业生产的副市长张发 旺的职务。此外，石家庄市畜牧水产局局长孙任虎、石家庄市食品药品监督管理局局长、党组书记张毅，石家庄市质量技术监督局局长、党组书记李志国也被免职。

对于石家庄市政府在此事件中是否存在“官商勾结”的情况，杨崇勇称目前仍在调查中。杨崇勇承 认，河北省政府在“三鹿问题奶粉”事件中也负有一定责任。他表示，河北省政府在9月9日接到石家庄 市政府的书面报告以后，即派人对此事进行查证，“这花去了 一天时间”。事后认定，这是一起重大食品 安全事故，立即采取措施。“但是我们也没有在两小时之内上报，而是拖了一天，到了 11日下午的时候，国家的联合调查组就已经赶到了河北。”他还说，对于问题的危害和认识，对于国家的规定和应急预案，掌握得不够全面。

资料4

据中央电视台《焦点访谈》近日报道，山西省民政厅挪用救灾款建办公大楼，其中2 000多万元救灾 捐赠款及260万元福利金被挪用。经记者调查发现，在建民政厅大楼时，省财政拨了 1 000万元后，民 政厅又以建救灾仓储中心的名义申请了一笔2 000多万元的救灾捐赠款。但是，几个月前已经投入使用的民政厅大楼面积达到13 000多平方米，而救灾仓储中心的面积却只是这13 000多平方米的一个零 头，而且配套工程尚未完成。山西省民政厅还以兴建老年人活动中心的名义动用了本应专款专用的 260万元福利金，而所谓的老年人活动中心只是三间小房子。

资料5

2008年6月29日，陕西省政府召开新闻发布会通报“华南虎照片事件”调查处理情况，认定“华南 虎照”系假照片，“拍照人”周正龙因照片造假涉嫌诈骗罪被逮捕，另有包括陕西省林业厅2名副厅长在 内的13名官员受到行政处分。2007年10月12日，陕西省林业厅公开发布消息称，该省镇坪县城关镇 文彩村农民周正龙拍到了野生华南虎照片，照片多达70余张，陕西省林业厅经“鉴定”认为照片真实，并 奖励了周正龙2万元人民币。但由于被公布的所谓“华南虎照”漏洞百出，迅速弓I来各界的质疑，在舆论 不断追击下，历经250余天周折之后，“虎照系造假”终于盖棺定论。但是，事情并不能到此结束。一个 普通农民所拍的假虎照，为什么在全国折腾了 8个多月才调查清楚?背后如果没有政府部门的“强大支 持”,肯定难以延续至今。为什么有关政府部门要提供“强大支持”?这反映了政府的不作为和乱作为。除此以外，恐怕还揭示了政府部门作为利益集团的深层问题——在可能给地方带来利益时，地方政府一 定会动用行政资源来争取;反之，地方政府则会动用行政资源来拼命保护。至于政府诚信、事实如何，都 无关紧要。当问题被公众化时，某些地方政府或部门，甚至不惜动用政府“公器”来维持一己之需，有时 甚至只是为了政府官员的面子问题!这种落后的观念，在中国官场上并不少见，与中央所倡导的执政能 力和执政文明的理念，是完全背道而驰的。

资料6

如果官员没有诚信，社会将会怎样?这个问题近来成为广大读者关注的焦点。事情缘于2007年3 月14日的一则媒体报道：山西省绛县103名农民工到处奔波讨要被拖欠的近13万元工资，一直没有结 果。_____________________________________________________________________

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他们向当地政府反映时，绛县副县长曾写下书面保证:3天之内解决，否则从县财政支出。然而，时 隔一年有余，农民工的工钱仍没影儿。对此，该副县长在接受采访时说，他当时去做劝解工作，本来就是 想让农民工回去算了。有此话在先，政府的承诺无法兑现，也就在意料之中了。

政府官员将承诺不当真的事件，引起了社会的强烈反响，一时间，本刊(《半月谈》，下同)读者关于此 事的评论连篇累牍，其讨论之热烈，批评之中肯，令人击节。

人们对政府官员的诚信问题如此关注，至少说明，一些政府官员的诚信度远未达到群众的预期。常 见的现象是，某些政府官员对群众当面信誓旦旦，背后信义全无;更有甚者，一些官员将一时的承诺作为 糊弄群众的权宜之计和机巧手段,从根本上损害了群众的切身利益。在本刊读者来信中，就有大量反映 地方政府缺乏诚信从而损坏百姓利益的事例：有的地方政府先许以种种优惠政策招商，将投资者引来之 后，又出尔反尔，不兑现事先的承诺甚至干出坑害投资者的事情;有的政府部门在其掌管的项目实施中 故意侵害承包施工方利益，让企业长期垫付项目费用而不予偿还，部分企业因此被拖垮、拖死;一些地方 政府在移民工作中违背国家有关政策，先以种种承诺令移民搬迁，一旦达到目的，就对先前的承诺大打 折扣，给移民的生产生活造成极大困难......摘自新华社《半月谈》2007年第7期

资料7

2007年5月11日，CCTV《第一时间》播出节目——全国牙防组：一个没有认证资格的“认证机构”。全国牙防组到底是一个什么样的机构，他们又做了哪些事情呢?

全国牙防组是在1988年在卫生部的批准下成立的牙病防治组织，目的是向全国人民宣传口腔卫生 和牙齿保健，它并不是一个认证机构，也没有认证资格，但是从1992年起，牙防组为了赢利开始为牙膏 等口腔保健品进行认证，到目前为止，它已经为佳洁士、两面针、乐天木糖醇等9种口腔保健用品作过认 证，类别涉及牙膏、牙刷和口香糖。据全国牙防组副组长张博学介绍，在认证过程中，除了检测和实验等 少量费用，牙防组不收取任何资金，但是通过认证后，相关企业就需要提供捐赠，而且捐赠费用大大超过 认证费用，例如，2002年牙防组为佳洁士含氟牙膏作出认证，并在佳洁士的广告中出现全国牙防组“权

威认证”形象后，宝洁向它捐资1 000万元人民币。而2005年在对乐天木糖醇进行认证后，乐天公司一 次性支付给牙防组百万元实验费，同时每年还要给10万元赞助费。

资料8

2009年初，浙江省东阳市纪委接到群众实名举报，承包垃圾填埋场部分工程的某村党支部书记涉 嫌严重的经济问题，工程本身也存在很大的质量问题。市纪委迅速调查，最终揪出了一起包括市行政执 法局局长在内的4名党员干部违纪违法串案。日前，主要涉案人员都已被追究刑事责任。

对纷繁无序的信访举报实行分类管理，对实名举报进行优先办理，已经成了东阳市纪委及时查处违 纪违法案件的有效做法。为了确保案件线索不流失，从2006年开始，东阳市纪委在综合举报线索的内 容、性质、情节、举报人情况等要素的基础上，将举报线索分成A、B、C、D四类实行管理。2008年4月，市纪委根据一件A类举报提供的线索，一举查处了市国土局原副局长曹某等7名党员干部严重违纪违 法_____________________________________________________________________

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案件。通过对相关线索的排查梳理，全年共查处了 20名机关部门中层以上干部以权谋私、贪污受贿 的案件，引起不小的震动。

同时，对一些反映情况复杂的疑难信访，东阳市实行领导包案办理。2008年，“领导包案’’一共13 起，全部得到妥善解决。2006年12月，市纪委接到群众实名举报反映六石街道蒋某欲用25万元资金 贿选一名市人大代表的线索，7天时间就查明真相，对4名涉案人员进行了党政纪处分。

据统计，2006年至2008年，东阳市纪委共受理信访举报1 866件次。受理的实名举报占信访总量 的比例逐年提高，2006年为48.5%，2007年为50.6%，2008年为53%。

资料9

中广网北京2009年1月9曰消息

12月1日上午8时，巴中市委为南江县原纪委书记王瑛举行了追悼会，市委书记李仲彬要求全市 党政干部向她学习。王瑛生前兢兢业业，倡导“为民服务零距离”，主张用真诚的关心和爱护挽救犯错误 的干部，深受南江县干部群众爱戴。2006年7月，她晕倒在抗旱第一线，经诊断患上了肺癌。但她没有 放弃工作，反而更加敬业。2007年1月，王瑛同志被中央纪委、人事部、监察部表彰为全国纪检监察系 统先进工作者标兵。11月27日，王瑛最终没有战胜病魔，永远闭上了眼睛，年仅47岁。

王瑛出生于阿坝州小金县，1997年12月来南江工作。“我们是人民的纪检检察官，百姓是我们的 衣食父母，我们就得真心为人民服务，零距离为人民服务。”这是王瑛经常对身边纪检监察干部说的一句 话。为确保实现“为民服务零距离”，王瑛倡导建起了专门的软环境建设投诉中心，定期开展面对面投诉 活动，现场受理群众投诉，公开承诺办理时限，让群众反映的问题件件有着落。

几年来，王瑛直接牵头办理疑难案件、典型案件、大要案件达50多件，为国家挽回经济损失近1 000 万元。

2007年1月，王瑛同志被中央纪委、人事部、监察部表彰为全国纪检检察系统先进工作者标兵，上 级奖励给她2万元奖金，但她却将奖金专户另存，全部用于资助贫困学生。目前，她已为西南农业大学 黄敏等2名学生按月提供生活费用，累计6 000多元。2007年7月，南江遭受了历史上罕见的洪涝灾 害。王瑛冒雨赶往挂联的高塔乡天马村，深入到最危险的地方，当看到3家房屋垮塌，她当场掏出身上 仅有的1 000元钱，送给了受灾农户。

“5.12”汶川大地震后，王瑛组织全体纪检监察干部积极投身抗震救灾，扎实开展监督检查。即使 躺在病床上，她仍牵挂着受灾群众，仍关注着救灾款物的管理使用。就在王瑛同志逝世的前一天，还专 门安排人代她到挂联的乡、村走访慰问，了解灾后重建和贫困群众安全过冬等方面的情况。

作答要求:请用不超过150字的篇幅，概括出给定资料的主要内容。

分析:

第一步——概括各段资料的含义，抓住资料信息。

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资料1的主要内容:政府诚信具有更大意义，它是整个信用体制建设的基础和保证，是创新信用环 境的主体，是整个社会信用体系的基石。资料2的主要内容:我国政府不少部门存在项目审批不严，监管不力的问题，由此引发了许多腐败 问题，严重影响政府的诚信问题。

资料3的主要内容三鹿奶粉事件”引起了社会的广泛关注，事件发生后，石家庄市政府没有及 时向河北省政府上报情况，石家庄市药监部门和质检部门也未按照国家规定，向河北省药监局和质 检局报告，相关农业部门也未对奶站进行有效监管。而河北省政府接到报告后，也没有按照规定上 报。整个事件，由于处理不当、监管不力，河北省政府和石家庄市政府都负有责任，严重影响了政府 的诚信。

资料4的主要内容:山西省民政厅挪用救灾款和福利金建办公大楼，严重损害了政府在人民心中的 形象。

资料5的主要内容:历经8个多月的时间，陕西省政府终于召开新闻发布会通报“华南虎照片事件” 调查处理情况，认定“华南虎照”系假照片。而之前，陕西省林业厅经“鉴定”认为照片真实，并奖励了周 正龙。某些地方政府或部门为了一己之需，不惜动用政府“公器”，这样的行为实在是有失政府的诚信。

资料6的主要内容:山西省绛县政府书面承诺，解决103名农民的工拖欠工资问题，可是过后却找 理由不兑现。山西省绛县政府有失诚信，引起了社会的强烈反响，其形象在人民心中大打折扣。

资料1的主要内容:全国牙防组不是一个认证机构，但是它却违规对多家牙膏等口腔保健品进行认证，并收取巨额赞助费。相关部门监管不力、审批不严，与国家执政为民的要求背道而驰，对政府的诚信 产生重大的影响。

资料8的主要内容:浙江省东阳市纪委采取相关措施，提倡鼓励实名举报，成效显著。实名举报信 访总量逐年上升，这体现当地人民对政府的信任度不断提高。

资料9的主要内容:四川省巴中市南江县原纪委书记王瑛全心全意为人民服务的先进事迹。

第二步——分层概括。

第一层(资料1):政府诚信具有重大作用，它是整个信用体制建设的基础和保证，是创新信用环境 的主体，是整个社会信用体系的基石。

第二层(资料2)：我国政府不少部门存在项目审批不严，监管不力的问题。

第三层(资料3～资料7):用事例说明因为政府部门项目审批不严、监管不力导致政府诚信度降低。

第四层(资料8～资料9):浙江省东阳市政府、四川省巴中市南江县原纪委书记王瑛用自己的实际 行动，体现了 一切为民的公务员意识和建设诚信政府的重要性。

第三步——概括中心。

我国不少政府部门存在项目审批不严、监管不力的问题，从而导致政府诚信度下降，影响了干群关 系。政府诚信是整个信用体制建设的基础和保证，事关社会主义和谐社会建设的大局，因此，必须对政 府诚信问题予以高度重视。

第四步——考虑字数，具体成文。

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参考解答:政府诚信是整个信用体制建设的基础和保证。目前，众多行业存在政府失信于民的现象，主要原因在于政府监管不力，职责不清及自身诚信缺失。政府失信于民造成人民利益受损，人民对 政府的信任度降低。当然，也涌现了王瑛等先进党员干部全心全意为人民服务的典范，以及浙江省东阳 市政府执政为民的政府。各地政府应以他们等为榜样，加强信用体制的建设，严惩有损政府诚信的行为。各级政府要本着一切为民的意识，建设诚信政府、服务型政府。

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